第7章 FIR數(shù)字濾波器的理論與設(shè)計

數(shù)字信號處理多媒體教學(xué)系統(tǒng)版權(quán)所有：yuning2003。3第2版第七章

FIR數(shù)字濾波器的理論與設(shè)計數(shù)字信號處理1

（1）以窗函數(shù)為基礎(chǔ)的窗函數(shù)截取法：以傳統(tǒng)的窗函數(shù)為基礎(chǔ)，利用已有的窗函數(shù)特性曲線和設(shè)計數(shù)據(jù)進行FIR濾波器的設(shè)計。具有設(shè)計簡單，工程實用價值高的優(yōu)點。是本課程主要介紹的方法。（2）局部優(yōu)化設(shè)計法：（等波紋逼近法）以理想濾波器特性為基礎(chǔ)，設(shè)定一、二個過渡帶逼近點，然后對FIR濾波器差分方程系數(shù)進行優(yōu)化計算得H(z)。由于需要部分優(yōu)化計算，所以計算量較大。局部優(yōu)化設(shè)計法主要是針對過渡帶進行優(yōu)化，而通帶波動，阻帶特性等不一定很好。（3）最優(yōu)化設(shè)計法：（計算機輔助設(shè)計）在某種最小化誤差準則下，建立差分方程系數(shù)bi對理想特性的逼近方程，使用迭代方法解方程組得到最佳逼近系統(tǒng)。由于此方法計算量大，需要借助于計算機進行設(shè)計。

FIR濾波器的設(shè)計方法：27.1FIR濾波器的線性相位特性：

在一些實際應(yīng)用中，要求濾波器具有線性相位特性。對于IIR濾波器其相位特性一般都是非線性的，并且很難于實現(xiàn)線性相位特性。而對于FIR濾波器就比較容易實現(xiàn)線性相位特性。7.1.1濾波器的線性相位特性1、系統(tǒng)的時延特性：32、FIR濾波器的線性相位（恒時延）條件4

可以證明，在其他幾種對稱情況下（沖擊響應(yīng)h(n)為偶/奇對稱，無論N為偶數(shù)或奇數(shù)），F(xiàn)IR濾波器相位特性也都滿足線性相位特性。（P149~150）57.1.2線性相位特性FIR濾波器的實現(xiàn)流圖：6其余情況的實現(xiàn)流圖結(jié)構(gòu)類似。77.1.3線性相位特性FIR濾波器的零、極點：89窗函數(shù)截取法以傳統(tǒng)的窗函數(shù)為基礎(chǔ)，利用已有的窗函數(shù)特性曲線和設(shè)計數(shù)據(jù)進行FIR濾波器的設(shè)計。具有設(shè)計簡單，工程實用價值高的優(yōu)點。7.2FIR濾波器的窗函數(shù)截取設(shè)計方法：7.2.1理想濾波特性的傅立葉級數(shù)逼近：這里仍以低通濾波器為例來進行討論。10理想濾波器沖擊序列的加窗處理117.2.2截斷特性的誤差分析1213)()()(wwwjjdjeWeHeH*=|Hd(ejω)|N-1|W(ejω)|nhd(n)0h(n)=hd(n-N/2).w(n)N-1w(n)14吉布斯效應(yīng)及改善：

這種由于截斷而產(chǎn)生的理想濾波器的幅度特性的波動現(xiàn)象稱為吉布斯效應(yīng)。它使得截斷后產(chǎn)生的FIR濾波器特性與理想特性之間有誤差，分析誤差產(chǎn)生的原因和影響誤差的因素可以設(shè)計出特性更加好的FIR濾波器。N=8N=16N=3215結(jié)論：為了改善逼近效果，需要選用主瓣狹窄，旁瓣相對低的窗函數(shù)。但這兩項要求往往不能同時滿足。因為過渡帶寬可以用提高階數(shù)N來滿足設(shè)計要求，所以工程上主要是選取旁瓣相對低的窗函數(shù)來對理想沖擊響應(yīng)序列進行截斷。討論：167.2.3幾種常用的窗函數(shù)1718矩形窗N=8漢寧窗N=8哈明窗N=83階Blackman窗N=819矩形窗N=8哈明窗N=82階Blackman窗N=8漢寧窗N=8窗函數(shù)幅度頻率特性20矩形窗N=64漢寧窗N=64哈明窗N=642階Blackman窗N=6421對理想低通特性的逼近矩形窗N=8漢寧窗N=8哈明窗N=82階Blackman窗N=822矩形窗N=16漢寧窗N=16哈明窗N=162階Blackman窗N=1623矩形窗N=64漢寧窗N=64哈明窗N=642階Blackman窗N=6424矩形窗N=8漢寧窗N=8哈明窗N=82階Blackman窗N=8不同窗函數(shù)的阻帶特性25矩形窗N=64漢寧窗N=64哈明窗N=642階Blackman窗N=642627矩形窗N=64漢寧窗N=64哈明窗N=643階Blackman窗N=64不同的窗函數(shù)（N相同）的阻帶特性28階數(shù)N對窗函數(shù)阻帶特性的影響哈明窗N=8哈明窗N=16哈明窗N=64哈明窗N=32297.2.4FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法設(shè)計步驟：303132333435（6）序列向右平移（N-1)/2個時間點，成為因果序列：36373839（6）序列向右平移（N-1)/2個時間點，成為因果序列：4041說明：*窗函數(shù)設(shè)計方法設(shè)計的FIR濾波器一般可以滿足實際應(yīng)用需要。如果系統(tǒng)設(shè)計指標要求較高，則可能需要復(fù)核技術(shù)指標，通過調(diào)整窗函數(shù)和階數(shù)N進一步優(yōu)化系統(tǒng)設(shè)計。或考慮采用計算機輔助設(shè)計等其他優(yōu)化設(shè)計方法達到高指標要求。*FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計方法不僅可以設(shè)計低通濾波器，而且可以設(shè)計非低通濾波器。甚至其它非基本類型的濾波特性的系統(tǒng)，只要其頻率特性可以進行分段積分，就可以直接使用窗函數(shù)設(shè)計方法得到相應(yīng)的FIR濾波系統(tǒng)。*為了得到因果線性相位特性的濾波系統(tǒng)，在窗函數(shù)設(shè)計方法中一個是使系統(tǒng)頻率特性為偶對稱，另一個是對理想系統(tǒng)沖擊響應(yīng)序列進行移位再截斷。如果是先移位再截斷，使用0≤n≤N-1范圍的窗函數(shù)；如果是先截斷再移位，使用（N-1）/2≤n≤（N-1）/2范圍的窗函數(shù)。*FIR濾波系統(tǒng)始終是穩(wěn)定系統(tǒng)。實現(xiàn)中沒有誤差積累，但有較大的時延（NT）。427.3FIR濾波器的頻率取樣設(shè)計法7.3.1設(shè)計原理：4344N=64,無過渡點N=64,過渡點=0.5N=64,過渡點=0.6N=64,過渡點=0.390445N=64,無過渡點N=512,無過渡點N=64,過渡點=0.6N=64,過渡點=0.390446結(jié)論：頻率取樣法所得FIR濾波器通帶和阻帶波動主要是由于過渡帶的突變引起的。通過在過渡帶優(yōu)化過渡樣點可以得到較好的通帶和阻帶特性，缺點是過渡帶加寬，但可以通過增加樣點數(shù)N來克服。一般一個過渡樣點可以使最小阻帶衰耗達-40dB，而2個過渡樣點可以使最小阻帶衰耗達-60dB。所以頻率取樣法設(shè)計FIR濾波器主要是確定樣點數(shù)N和過渡樣點。N=64,過渡點1=0.5886,過渡點2=0.1065477.3.2頻率采樣法設(shè)計FIR濾波器的步驟4849無過渡點，N=64過渡點H1=0.5，N=64過渡點H1=0.3904，N=64過渡點H1=0.5898,H2=0.1065，N=645051計算結(jié)果如下：52537.4IIR濾波器和FIR濾波器的比較1、濾波器特性方面：

（1）IIR濾波器可以通過調(diào)整另、極點位置實現(xiàn)較陡峭的幅頻特性。所以一般逼近函數(shù)階數(shù)較低，但難以實現(xiàn)線性相位特性。

FIR濾波器極點在z=0，無法調(diào)整。實現(xiàn)同樣的特性需要較高的階數(shù)。容易實現(xiàn)線性相位特性。（2）IIR濾波器用以逼近比較有規(guī)則的特性。對于復(fù)雜特性，難以確定逼近函數(shù)。

FIR濾波器可用分段積分或特性樣本點來逼近復(fù)雜特性。（3）IIR濾波器時延較小，特別是采取并聯(lián)實現(xiàn)方案時，容易滿足實時系統(tǒng)要求。

FIR濾波器時延為NT，一般比較大。主要用于非實時系統(tǒng)。（4）對系數(shù)誤差的靈敏度（由于系數(shù)誤差引起系統(tǒng)特性變化，或不穩(wěn)定），IIR濾波器較高，特別當(dāng)極點位置靠近單位圓時。對計算中的有限字長效應(yīng)敏感。

FIR不會產(chǎn)生穩(wěn)定問題。542、在實現(xiàn)方法上：（1）IIR濾波器用遞歸算法、有反饋系統(tǒng)實現(xiàn)，有積累誤差產(chǎn)生。

FIR濾波器用非遞歸算法、無反饋系統(tǒng)實現(xiàn)，沒有積累誤差。（2）IIR濾波器用差分方程實現(xiàn)（可以用低階差分方程級聯(lián)或并聯(lián)實現(xiàn)）。

FIR濾波器為有限沖擊響應(yīng)，可以用直接卷積實現(xiàn)；也可以用FFT方法實現(xiàn)（分段卷積），有利于大量連續(xù)數(shù)據(jù)的濾波處理。（3）在滿足相同的逼近要求下，

IIR濾波器階數(shù)較低，便于用集成電路數(shù)字硬件實現(xiàn)。

FIR濾波器階數(shù)高，一般需要用信號處理機和軟件實現(xiàn)。55（1）IIR濾波器的設(shè)計可以借助于成熟的模擬濾波器設(shè)計技術(shù)，簡化設(shè)計過程。

FIR濾波器設(shè)計的窗函數(shù)設(shè)計法中，對通帶波動和阻帶衰耗不容易控制，一般對特性要求較高的濾波器設(shè)計需要反復(fù)試算，設(shè)計計算量大。3、在設(shè)計方法上：（2）IIR濾波器的設(shè)計借助于模擬濾波器設(shè)計技術(shù)，對于非低通濾波特性需要進行頻率坐標變換，增加了計算量。對于其他復(fù)雜特性要求的濾波器（非基本類型）用IIR形式不容易實現(xiàn)。

FIR濾波器設(shè)計的窗函數(shù)設(shè)計法中，窗函數(shù)是對時域的沖擊響應(yīng)進行處理。所以，對于非低通濾波特性或其他復(fù)雜的濾波特性只要可以計算分段積分，求取沖擊響應(yīng)序列h(n),都可以直接使用FIR濾波器的窗函數(shù)設(shè)計法。（3）兩種濾波器都可以使用最優(yōu)化設(shè)計方法進行設(shè)計。但對于IIR濾波器因為有穩(wěn)定性問題，所以在最優(yōu)化設(shè)計后需要進行穩(wěn)定性校驗。而FIR濾波器就沒有這一問題。56結(jié)論：