2011屆高考數(shù)學總復習直通車課件-數(shù)列

1.數(shù)列的概念按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項.數(shù)列中的每一項都和它的序號有關，排在第一位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第1項（通常也叫做首項),往后各項依次叫做這個數(shù)列的第2項，…，第n項，….數(shù)列的一般形式可以寫成

其中

是數(shù)列的第n項，我們把上面的數(shù)列簡記為

.2.數(shù)列的分類（1）根據(jù)數(shù)列的項數(shù)可以將數(shù)列分為兩類:有窮數(shù)列——項數(shù)有限的數(shù)列；無窮數(shù)列——項數(shù)無限的數(shù)列.（2）按照數(shù)列的每一項隨序號變化的情況分類：遞增數(shù)列——從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列；遞減數(shù)列——從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列；常數(shù)列——各項相等的數(shù)列；擺動數(shù)列——從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列.基礎梳理第一節(jié)數(shù)列的概念與簡單表示法第一頁，編輯于星期一：八點四十六分。3.數(shù)列與函數(shù)的關系從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以N*（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)=f(n)，當自變量按照從小到大的順序依次取值時，所對應的一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù)y=f(x)，如果f(i)(i=1,2,3,…)有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1),f(2),f(3),…,f(n),….4.數(shù)列的通項公式如果數(shù)列的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式。5.遞推公式如果已知數(shù)列的首項（或前n項)，且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式叫做數(shù)列的遞推公式.6.數(shù)列的簡單表示法:列舉法、列表法、解析法、圖象法.第二頁，編輯于星期一：八點四十六分。典例分析【例1】寫出下列數(shù)列的一個通項公式，使它的前幾項分別是下列各數(shù).(4)1,3,6,10,15,….題型一數(shù)列的概念及通項公式分析寫出數(shù)列的通項公式，應注意觀察數(shù)列中各項和項數(shù)n的聯(lián)系和變化情況，應特別注意自然數(shù)列、正奇數(shù)列、正偶數(shù)列與相關的數(shù)列、等差數(shù)列、等比數(shù)列，以及由它們組成的數(shù)列，從其中找出規(guī)律，并分別寫出通項公式.第三頁，編輯于星期一：八點四十六分。解（1）這是一個分數(shù)數(shù)列，分子為偶數(shù)列，而分母為1×3,3×5,5×7,7×9,9×11,…,是兩個連續(xù)奇數(shù)的積，故所求數(shù)列通項公式為(2)數(shù)列的前5項可改寫為：由于數(shù)列的各項間正負互相間隔，應有調節(jié)符號作用的數(shù)列，分子構成規(guī)律為,分母也為兩個連續(xù)奇數(shù)的積,故(3)原數(shù)列直接寫不能看出通項公式，但改寫之后，分母依次為1,2,3,4,…,分子為1,0,-1,0,…,呈周期性變化，可以用表示，當然也可以用表示.故.第四頁，編輯于星期一：八點四十六分。(4)由觀察可知，此題亦可這樣考慮：以上（n-1）個式子左邊相加為,又第五頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思（1）根據(jù)數(shù)列的前幾項求它的一個通項公式，要注意觀察每一項的特點，可使用添項、還原、分割等辦法，轉化為一些常見數(shù)列的通項公式來求.（2）根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著“從特殊到一般”的思想;由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對于正負符號變化，可用調整.（3）觀察、分析問題的特點是最重要的，觀察要有目的，觀察出項與項數(shù)之間的關系、規(guī)律，利用我們熟知的一些基本數(shù)列（如自然數(shù)列，奇、偶數(shù)列等）轉換,從而使問題得到解決.舉一反三第六頁，編輯于星期一：八點四十六分。1.已知數(shù)列的前4項分別為1,0,1,0，則下列各式可以作為數(shù)列的通項公式的個數(shù)為()①(n∈N*);②(n∈N*);③+(n-1)(n-2)(n∈N*);④(n∈N*);1(n為正偶數(shù)),⑤=

0(n為正奇數(shù)).A.1B.2C.3D.4第七頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析當n為正奇數(shù)時，當n為正偶數(shù)時，所以①②④可以作為數(shù)列的通項公式.當n=3時，+(n-1)(n-2)=3,所以③不是數(shù)列{an}的通項公式;⑤顯然不是數(shù)列的通項公式.答案C第八頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型二遞推公式【例2】根據(jù)下列條件，寫出數(shù)列的通項公式.分析(1)將遞推關系寫成n-1個等式累加.（2）將遞推關系寫成n-1個等式累乘，或逐項迭代也可.解（1）當n=1,2,3,…,n-1時，可得n-1個等式：將其相加，得第九頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)方法一：方法二：由得第十頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思（1）對于由形如的遞推公式求通項公式，只要f(n)可求和，便可利用累加的方法求通項.（2）對于由形如的遞推公式求通項公式，只要g(n)可求積，便可利用累乘的方法求通項.(3)已知首項,遞推關系為(n∈N+)，求數(shù)列的通項公式的關鍵是將轉化為的形式，其中a的值可由待定系數(shù)法確定，即(4)已知首項a,遞推關系為（n∈N+）,將遞推關系兩邊取倒數(shù)，整理即可得,將視為通項，便轉化為第(3)種類型，從而得以解決.第十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三2.根據(jù)數(shù)列{}的首項和基本關系式，求的通項公式.解析∵∴以上n-1個式子相加,得第十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型三利用數(shù)列的前n項和公式求通項【例3】(12分)已知下面數(shù)列的前n項和,求的通項公式.（1）(2)分析當n≥2時，由求出，再驗證當n=1時是否成立.解(1),……………..2’當n≥2時，…………......4’由于也適合此等式，∴…..6’(2)當n≥2時，…………8’第十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。當b=-1時，適合此等式；當b≠-1時，不適合此等式…10’∴當b=-1時，……….11’當b≠-1時，………….…12’舉一反三3.（1）已知數(shù)列{}的前n項和滿足求{}的通項公式；（2）已知求{}的通項公式.學后反思數(shù)列的通項與前n項和的關系是此公式經常使用，應引起足夠的重視.已知求時方法千差萬別，但已知求時方法卻是高度統(tǒng)一.當n≥2時，求出也適合n=1時，可直接寫成，否則分段表示.第十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析：（1）由已知得當n=1時，當n≥2時，∴(2)由得,當n≥2時，∴,即∴數(shù)列{}為等差數(shù)列，且公差d=4.又第十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。易錯警示【例】已知數(shù)列的前n項和,求.錯解∵,∴數(shù)列的通項公式為=4n+1.錯解分析上述解答忽略了使用的成立條件n≥2.如果令n=1，則這個式子化為這里的是沒有意義的，故本題求得的只是數(shù)列從第二項起的通項公式,而不包括.事實上,并不適合=4n+1.正解當n=1時，;當n≥2時，=4n+1.7,n=1,故數(shù)列的通項公式為=4n+1,n≥2.第十六頁，編輯于星期一：八點四十六分?？键c演練10.(2010·銀川模擬)已知數(shù)列滿足,且(n∈N+),則數(shù)列的通項公式是_____.解析:由已知得,答案:第十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。11.求下列數(shù)列的通項公式:（1）(n∈N*);(2)(n≥2,n∈N*).解析：（1）將移項得,得出:將這n-1個等式相加得(n∈N*).第十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)由得又∵+1=2,∴數(shù)列{+1}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴+1=,∴12.已知數(shù)列{}的通項公式為.(1)求該數(shù)列的前三項,60是此數(shù)列的第幾項？（2）n為何值時，=0,＞0,＜0?(3)該數(shù)列前n項和是否存在最值？說明理由.解析：(1)由得=1-1-30=-30,設=60,則60=-n-30,解得n=10或n=-9(舍去),第十九頁，編輯于星期一：八點四十六分?！?0是此數(shù)列的第10項.（2）令-n-30=0,解得n=6或n=-5(舍去),∴當n=6時，=0;令-n-30＞0，解得n＞6或n＜-5(舍去),∴當n＞6(n∈N*)時，＞0;令-n-30＜0,解得-5＜n＜6,又∵n>0,n∈N*,∴當0＜n＜6(n∈N*)時，＜0.(3)由(n∈N*),知{}是遞增數(shù)列，且故存在最小值,不存在的最大值.第二十頁，編輯于星期一：八點四十六分。第二節(jié)等差數(shù)列及其前n項和基礎梳理1.等差數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，通常用字母d表示.2.等差數(shù)列的通項公式如果等差數(shù)列{}的首項為,公差為d,那么它的通項公式是

,3.等差中項如果三個數(shù)a,A,b組成的數(shù)列是等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項.第二十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。4.等差數(shù)列的常用性質（1）通項公式的推廣：

(n,m∈N*);(2)若{}為等差數(shù)列，且k+=m+n(k,,m,n∈N*),則

.(3)若{}是等差數(shù)列，公差為d,則{}也是等差數(shù)列，公差為2d.(4)若{},{}是等差數(shù)列，則{}也是等差數(shù)列.(5)若{}是等差數(shù)列，則(k,m∈N*)組成公差為md的等差數(shù)列.5.等差數(shù)列的前n項和公式設等差數(shù)列{}的公差為d,其前n項和

.6.等差數(shù)列的前n項和公式與函數(shù)的關系數(shù)列{}是等差數(shù)列的充要條件是其前n項和公式=f(n)是n的二次函數(shù)且常數(shù)項為0，即

.7.在等差數(shù)列{}中，＞0,d＜0，則存在最大值;若＜0,d＞0，則存在最小值.第二十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。典例分析題型一等差數(shù)列的基本運算【例1】(2009·安徽)已知{}為等差數(shù)列，.以表示{}的前n項和，則使得達到最大值的n是（）A.21B.20C.19D.18分析用、d表示出,從而得到關于,d的方程組，進而解出,d的值，將表示為n的函數(shù)，再研究最值問題.解∵∴99-105=3d,∴d=-2.又∴當n=20時，有最大值.第二十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思等差數(shù)列{}中一共涉及五個基本量，即首項,第n項,項數(shù)n,公差d以及前n項和,在,,n,d,中只要知道其中三個，其他兩個就能求（簡稱“知三求二”）.其中與d是兩個最基本的量，往往用它們表示其他的量，然后列出方程（組）進一步求解.另外等差數(shù)列的通項公式,前n項和公式以及其性質公式應在解題過程中靈活應用.舉一反三1.（2009·全國Ⅱ）設等差數(shù)列{}的前n項和為,若,則第二十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析:設等差數(shù)列的公差為d,首項為,則由,知.∴答案:92.等差數(shù)列{an}中，a1+a4+a7=39，a3+a6+a9=27，則{an}的前9項和為（）A.99B.110C.198D.220解析：∵兩式相加得(a1+a9)+(a4+a6)+(a3+a7)=66，∴3(a1+a9)=66，∴a1+a9=22,∴S9==99.答案：A第二十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。【例2】(2010·啟東模擬)已知數(shù)列{}的前n項和為且滿足

(1)求證:是等差數(shù)列；（2）求的表達式.題型二等差數(shù)列的判定第二十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。分析（1）由已知條件聯(lián)想(n≥2)，然后再利用等差數(shù)列的定義證明為常數(shù)；（2）根據(jù)等差數(shù)列通項公式求出，代入(n≥2)即可求出.解（1）證明：∵(n≥2),∴∴=2(n≥2).由等差數(shù)列的定義知是以為首項，以2為公差的等差數(shù)列.（2）由（1）知∴當n≥2時，有又∵當n=1時，,∴第二十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思(1)數(shù)列{}是等差數(shù)列的判定方法有四種：①(n∈N*且n≥2,d為常數(shù))或(n∈N*);②(n∈N*且n≥2);③=kn+b(k,b為常數(shù));④(A,B為常數(shù)).（2）判斷等差數(shù)列最常用的方法是定義法(n∈N*)和等差中項法(n∈N*且n≥2).舉一反三3.已知非零實數(shù)a,b,c的倒數(shù)成等差數(shù)列，求證：也成等差數(shù)列.解析：由成等差數(shù)列，得當a+b+c≠0時，兩邊同乘以a+b+c,得,化簡得∴成等差數(shù)列；若a+b+c=0,則各項均為-1,也成等差數(shù)列.第二十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型三等差數(shù)列性質的應用【例3】(1)(2008·寧夏、海南)已知{}為等差數(shù)列，求的值;(2)等差數(shù)列{}的前m項和為30,前2m項和為100,求它的前3m項的和.分析（1）由等差數(shù)列的性質即可求出,或用與d表示出根據(jù)已知條件列出關于與d的方程組，求出與d的值，然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式求出.(2)由等差數(shù)列{}的前n項和的性質:也成等差數(shù)列，即由即可求出.解(1)方法一：由等差數(shù)列通項公式有方法二：由等差數(shù)列的性質有:=15.第二十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)方法一：∵∴∴成等差數(shù)列.從而有∴方法二：將代入

得①②

由方程組得∴第三十頁，編輯于星期一：八點四十六分。方法三：由等差數(shù)列{}的前n項和公式知是關于n的二次函數(shù)，即(A,B是常數(shù))，將代入，得∴學后反思(1)運用通項公式和前n項和公式結合方程思想是解決此類問題的通用方法.(2)運用等差數(shù)列的性質解決此類問題更簡捷.等差數(shù)列常用的性質有：①{}是等差數(shù)列，且m+n=p+q,則(m,n,p,q∈N*);②{}是等差數(shù)列，是前n項和,則仍然成等差數(shù)列.第三十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。4.（2009·濱州模擬）等差數(shù)列{},{}的前n項和分別是,,

且則=()解析：利用等差數(shù)列的性質，若m+n=p+q,則.所以答案：C舉一反三第三十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型四等差數(shù)列中的最值問題【例4】(12分)在等差數(shù)列{}中，已知前n項和為,且求當n取何值時，取得最大值，并求出它的最大值.分析（1）由及可求得d,進而求得通項,由通項得到此數(shù)列前多少項為正，或利用是關于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)求最值的方法求解.（2）利用等差數(shù)列的性質，判斷出數(shù)列從第幾項開始變號.解方法一：∵∴………….2′∴……..4′∴……………….6′即當n≤12時，＞0,n≥14時，＜0…………………8′∴當n=12或13時，取得最大值，…………………..10′且最大值為……….…………..……12′第三十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。方法二：同方法一求得…..……….2′∴∵n∈N*,∴當n=12或13時，有最大值，且最大值為….12′方法三:同方法一得…………………..2′

又由得…………….6′∴即……………………....8′∴當n=12或13時，有最大值，且最大值為……………...12′學后反思求等差數(shù)列前n項和的最值常用的方法：（1）利用等差數(shù)列的單調性，求出其正負轉折項；（2）利用性質求出其正負轉折項，便可求得和的最值；（3）利用等差數(shù)列的前n項和(A,B為常數(shù))為二次函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質求最值.第三十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。5.設等差數(shù)列{}的前n項和為,已知(1)求公差d的取值范圍；（2）指出中哪一個值最大，并說明理由.舉一反三解析：(1)依題意，有①②由,得③將③式分別代入①、②式，得∴即第三十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)方法一：由d＜0可知,因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n，使得則就是，中的最大值.由于即因此故在,中的值最大.方法二：由d＜0可知因此，若在1≤n≤12中存在自然數(shù)n,使得則就是，中的最大值.由故在,中，的值最大.第三十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。易錯警示【例】已知數(shù)列{}中，(n≥2,n∈N*).判斷{}是等差數(shù)列嗎？錯解,∴{}是等差數(shù)列.錯解分析沒有注意條件n≥2.當n≥2時，,這說明從第三項開始，后一項與前一項的差為同一個常數(shù)，而.

正解∵,∴{}不是等差數(shù)列.第三十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。考點演練10.(2009·海南)等差數(shù)列{}的前n項和為,已知,則m=——.解析:在等差數(shù)列{}中，由得∵不恒為零，∴=2.由,得(2m-1)=38,即2(2m-1)=38,∴m=10.答案:1011.(2009·江蘇改編)設{}是公差不為零的等差數(shù)列,為其前n項和,滿足.求數(shù)列{}的通項公式及前n項和.第三十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析：由題意，設等差數(shù)列{}的通項公式為由，得.①又因為=7,所以+3d=1.②由①②可得=-5,d=2.所以數(shù)列{}的通項公式=2n-7,12.在第十一屆全運會舉行期間，10月18日的金牌榜上有一組很有趣的數(shù)字.山東、廣東、天津、湖南四省市的名次成等差數(shù)列{}，四省市所獲金牌數(shù)成等差數(shù)列{}.其中，四省市名次之和為30,而廣東省的金牌數(shù)是湖南省的2倍，試求四省市當天的名次及所獲金牌數(shù).第三十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析：設等差數(shù)列{}、{}的公差分別為由,得,又由題意故山東、廣東、天津、湖南四省市10月18日的名次分別為3,6,9,12,所獲金牌數(shù)依次為25,20,15,10.第四十頁，編輯于星期一：八點四十六分。第三節(jié)等比數(shù)列及其前n項和 基礎梳理1.等比數(shù)列的定義如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比等于同一常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母q表示.2.等比數(shù)列的通項公式設等比數(shù)列{}的首項為,公比為q,則它的通項公式.

.3.等比中項如果a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.第四十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。5.等比數(shù)列的前n項和公式等比數(shù)列{}的公比為q(q≠0),其前n項和為，當q=1時，當q≠1時即或

..

.

6.等比數(shù)列前n項和的性質等比數(shù)列{}的前n項和為,則（均不為0時）仍成等比數(shù)列.4.等比數(shù)列的常用性質（1）通項公式的推廣：(n,m∈N*).(2)若{}為等比數(shù)列，且k+=m+n(k,,m,n∈N*),則(3)若{},{}（項數(shù)相同）是等比數(shù)列，則{},(≠0),{},{},(≠0)仍是等比數(shù)列.第四十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。典例分析題型一等比數(shù)列的基本運算【例1】已知數(shù)列{}為等比數(shù)列，（1）若＞0,且求,求.分析首項和公比q是確定等比數(shù)列{}最基本的量，而已知條件可轉為關于和q的方程.解(1)由已知＞0，且知即故第四十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)由已知得即兩式相除得即2-5q+2=0，解得q=2或q=,當q=2時，=1,∴當q=時，=4,∴學后反思在求等比數(shù)列基本量的運算中,“知三求二”問題通常是利用通項公式與前n項和公式建立方程組，解之即可，同時利用前n項和公式時需對q進行分類討論.第四十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三1.(2009·浙江)設等比數(shù)列{}的公比q=,前n項和為,則=——.解析:

答案:152.等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，已知a1+an=66，a2an-1=128，Sn=126，求n和公比q的值.解析：在等比數(shù)列{an}中，a1an=a2an-1=128，又a1+an=66，∴解得或∴q≠1.

由an=a1qn-1和Sn==126,得或解得或第四十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。設數(shù)列{}的前n項和求證：{}是等比數(shù)列.【例2】分析利用來化簡證明

所以{}是以2為首項，公比為2的等比數(shù)列.學后反思等比數(shù)列的判定方法主要有：(1)定義法:=q(q是不為0的常數(shù)，n∈N*){an}是等比數(shù)列；(2)通項公式法：an=cqn(c,q均是不為0的常數(shù)，n∈N*){an}是等比數(shù)列;(3)中項公式法：a2n+1=an·an+2(an、an+1、an+2不為零，n∈N*){an}是等比數(shù)列;(4)前n項和公式法：Sn==kqn-k(k=是常數(shù)，且q≠0,q≠1){an}是等比數(shù)列.題型二等比數(shù)列的判定第四十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析：∴{+1}是以+1=2為首項，2為公比的等比數(shù)列.題型三等比數(shù)列的性質【例3】(1)在等比數(shù)列{}中，求的值；（2）等比數(shù)列{}中，則等于()A.4B.8C.16D.32分析(1)利用等比數(shù)列的性質求解.（2）合理利用等比中項求解.舉一反三3.已知數(shù)列{}滿足(n∈N*).求證：數(shù)列{+1}是等比數(shù)列.第四十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。解（1）由等比數(shù)列的性質知也成等比數(shù)列，則(2)∵數(shù)列{}為等比數(shù)列，∴學后反思在等比數(shù)列的基本運算問題中，一般是建立、q滿足的方程組，求解方程組，但如果靈活運用等比數(shù)列的性質，便可減少運算量，提高解題速度，要注意挖掘已知，注意“隱含條件”.舉一反三4.（1）在等比數(shù)列{}中，則=()A.14B.16C.18D.20第四十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)在等比數(shù)列{}中，已知求的值.解析：（1）因為成等比數(shù)列，而所以.解析又∵.題型四等比數(shù)列的最值問題【例4】(12分)等比數(shù)列{}的首項為=2008，公比q=-.(1)設f(n)表示該數(shù)列的前n項的積，求f(n)的表達式;(2)當n取何值時，f(n)有最大值？第四十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。分析（1）求出等比數(shù)列的通項公式，然后根據(jù)f(n)=求f(n)的表達式.（2）先判斷f(n)的符號，然后根據(jù)|f(n)|的單調性，進一步解決問題.解（1）…………….2′

……………..4′(2)∴當n≤10時，………….6′∴|f(11)|＞|f(10)|＞…＞|f(1)|;第五十頁，編輯于星期一：八點四十六分。當n≥11時，……..7′∴|f(11)|＞|f(12)|＞….∵f(11)＜0,f(10)＜0,f(9)＞0,f(12)＞0,∴f(n)的最大值為f(9)和f(12)中的最大者，………..9′……………..11’∴當n=12時，f(n)有最大值為…………………..12′第五十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思只要明確的正負，q與1的大小關系即可確定等比數(shù)列的前n項和的最值問題,但是對于求等比數(shù)列前n項積的最值問題的方法有:一是用定義，若f(n)≥f(n+1),f(n)≥f(n-1)，則f(n)為最大值；二是用函數(shù)法.舉一反三5.（2009·濰坊模擬）已知等比數(shù)列{}與數(shù)列{}滿足（n∈N*）.(1)判斷{}是何種數(shù)列，并給出證明；（2）若,求(3)若,求的最大值或最小值.解析：（1）是等差數(shù)列.證明:設{}的公比為q（q＞0）,∵∴{}是以為公差的等差數(shù)列.第五十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。（2）∵,∴由等差數(shù)列的性質，得(3)由,得又∵,∴解得即當時，有最大值,即當n=5時，有最大值.易錯警示第五十三頁，編輯于星期一：八點四十六分?！纠恳阎粋€等比數(shù)列的前四項之積為,第2、3項的和為,求這個等比數(shù)列的公比.錯解依題意，設這四個數(shù)為①則②由①得a=±,代入②并整理，得解得q=±1或q=-±1,故原等比數(shù)列的公比為=3+2或=3-2,錯解分析從表面上看，這種解法正確無誤，但認真審查整個解題過程，由于設這四個數(shù)為公比為,就等于規(guī)定了這個等比數(shù)列各項要么同為正，要么同負，而例題中無此規(guī)定,錯誤就出在這里.第五十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。正解依題意，設這四個數(shù)為則解得q=3±2或q=-5±2.考點演練10.（2009·江蘇）設{}是公比為q的等比數(shù)列,|q|＞1,令=+1(n=1,2,…).若數(shù)列{}有連續(xù)四項在集合{-53,-23,19,37,82}中，則6q=——.解析:由題意知，數(shù)列{}有連續(xù)四項在集合{-53,-23,19,37,82}中，說明{}有連續(xù)四項在集合{-54,-24,18,36,81}中，由于{}中連續(xù)四項至少有一項為負，第五十五頁，編輯于星期一：八點四十六分?！鄎＜0,又∵|q|＞1,∴{}的連續(xù)四項為-24,36,-54,81,∴,∴6q=-9.答案:-9設{}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，是其前n項和，求證：解析：設{}的公比為q且q＞0,則由{}為正數(shù)列，∴兩邊取對數(shù)可得:第五十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。12.(2009·全國Ⅱ)設數(shù)列{}的前n項和為,已知(1)設,求證:數(shù)列{}是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的通項公式.解析：(1)證明：由已知有,解得故.又,于是,即因此數(shù)列{}是首項為3，公比為2的等比數(shù)列.第五十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。（2）由(1)知等比數(shù)列{}中,=3,公比q=2,所以于是,因此數(shù)列是首項為,公差為的等差數(shù)列，所以第五十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。第四節(jié)數(shù)列求和基礎梳理數(shù)列求和的常用方法（1）公式法①直接用等差、等比數(shù)列的求和公式求.②掌握一些常見的數(shù)列的前n項和..(2)倒序相加法如果在一個數(shù)列中，與首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一常數(shù)，那么求這個數(shù)列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數(shù)列的前n項和即是用此法推導的.

.

..

.第五十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。（3）錯位相減法如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列的對應項之積構成的，那么這個數(shù)列的前n項和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項和就是用此法推導的.（4）裂項相消法把數(shù)列的通項拆成兩項之差，在求和時中間的一些項可以相互抵消，從而求得其和.常見的拆項公式有：

①③②.

.....第六十頁，編輯于星期一：八點四十六分。有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當拆開，可分為幾個等差，等比或常見的數(shù)列，即先分別求和，然后再合并，形如：①,其中等差數(shù)列；是等比數(shù)列；

②典例分析(5)分組求和法題型一利用常用公式求和【例1】已知，求的值.分析由已知條件可求得x的值，再代入求的值.第六十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。解學后反思利用常用求和公式求和是數(shù)列求和最基本最重要的方法.常用求和公式有：（1）等差數(shù)列求和公式：第六十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)等比數(shù)列求和公式:=舉一反三已知數(shù)列{}的通項，求數(shù)列{}的前n項和.提示：

第六十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。解析：題型二利用錯位相減法求和【例2】(2008·全國)在數(shù)列{}中，(1)設,證明:數(shù)列{}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{}的前n項和.分析(1)求，觀察與的關系.（2）由的特點可知，運用錯位相減法求.第六十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。解（1）證明：由已知得又∵,∴{}是首項為1，公差為1的等差數(shù)列.

學后反思(1)一般地，如果數(shù)列

是等差數(shù)列，{}是等比數(shù)列，求數(shù)列{·}的前n項和時，可采用錯位相減法.（2）用錯位相減法求和時，應注意：①要善于識別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負數(shù)的情形更值得注意;②在寫出“”與“q”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”，以便于下一步準確寫出“-q”的表達式;.（2）由(1)知,即，,兩邊乘以2得:,兩式相減得

第六十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三③應用等比數(shù)列求和公式必須注意公比q≠1這一前提條件，如果不能確定公比q是否為1,應分兩種情況討論，這在以前高考中經?？疾?.(2009·天津改編)已知等差數(shù)列的公差為d(d≠0)，等比數(shù)列{}的公比為q(q＞1),設(n∈N*).(1)若,d=2,q=3,求的值；（2）若=1,證明:(n∈N*).解析：(1)由題設，可得n∈N*,所以.第六十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。（2）證明：由題設，可得,則

①②①-②，得①+②，得③③式兩邊同乘以q,得所以

n∈N*.第六十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型三利用裂項相消法求和【例2】(2008·江西)等差數(shù)列{}的各項均為正數(shù),,前n項和為x為等比數(shù)列,(1)求(2)求分析由條件易求得應用裂項法求出的值.解⑴設｛｝的公差為d,的公比為q,則d為正數(shù)，依題意有解得或第六十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思如果數(shù)列的通項公式可轉化為f(n+1)-f(n)的形式，常采用裂項求和的方法.特別地，當數(shù)列形如,其中{}是等差數(shù)列時，可嘗試采用此法.常用裂項技巧如：使用裂項法，要注意正負項相消時，消去了哪些項，保留了哪些項；要注意由于數(shù)列{}中每一項均裂成一正一負兩項，所以互為相反數(shù)的項合并為零后，所剩正數(shù)項與負數(shù)項的項數(shù)必是一樣多的，切不可漏寫未被消去的項，未被消去的項有前后對稱的特點.實質上，正負項相消是此法的根源和目的.第六十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三3.求數(shù)列解析：題型四倒序相加法求和【例3】設函數(shù)圖象上有兩點，若

p是的中點,且p點的橫坐標為.⑴求證p點的縱坐標為定值，并求出這個值；

⑵求第七十頁，編輯于星期一：八點四十六分。分析（1）由已知函數(shù)圖象上兩點可得,設P(x,y),根據(jù)中點坐標公式去求(2)根據(jù)（1）的結論：若，則由可以得到，利用倒序相加進行求解.解(1)證明:∵P為的中點，第七十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思本題在求和時，運用第（1）問所得等式f(x)+f(1-x)=1得到通項的特征，即，由于距首末兩項等距的兩項相加和為定值，所以可以用倒序相加法求和.第七十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三

4.如果函數(shù)f(x)滿足:對任意的實數(shù)m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)且f(1005)=2,則f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2008)+f(2010)=——.解析：由已知f(x)對任意實數(shù)m、n都有f(m)+f(n)=f(m+n)，得f(1005)+f(1005)=f(2010)=2+2=4;f(0)+f(2010)=f(2010)=4;f(2)+f(2008)=f(2010)=4;…f(1004)+f(1006)=4.令S=f(0)+f(2)+f(4)+f(6)+…+f(2008)+f(2010),則S=f(2010)+

f(2008)+f(2006)+…+f(2)+f(0).于是2S=[f(0)+f(2010)]+［f(2)+f(2008)］+［f(4)+f(2006)］+…+［f(2008)+f(2)］+[f(2010)+f(0)]=4×1006=4024,故S=×4024=2012.答案：2012第七十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型五分組法求和【例4】(12分)(2008·陜西)已知數(shù)列{}的首項(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列的前n項和.分析(1)由已知條件利用等比數(shù)列的定義證明，即從得到的等式關系.（2）充分利用（1）的結論得出.欲求數(shù)列的前n項和可先求出的值.解(1)第七十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思某些數(shù)列，通過適當分組，可得出兩個或幾個等差數(shù)列或等比數(shù)列，進而利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的求和公式求和，從而得出原數(shù)列的和.拆項法是通過對數(shù)列通項結構的分析研究，將數(shù)列分解轉化為若干個能求和的新數(shù)列，從而求得原數(shù)列的和的一種求和方法.①②②①-第七十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。舉一反三5.求和:解析：當x≠±1時，當x=±1時，=4n.第七十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。易錯警示【例1】求和:錯解.正解(1)當x≠1且y≠1時(2)當x≠1且y=1時,(3)當x=1且y≠1時，(4)當x=1且y=1時，=2n.錯解分析等比數(shù)列的求和公式應分q=1和q≠1兩種情況討論.上述解答只求了x≠1且y≠1的一種情況.第七十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。考點演練10.解析：答案：第七十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。11.已知數(shù)列{}的前n項和(1)求證：數(shù)列{}是等差數(shù)列；

（2）若,求數(shù)列{}的前n項和.解析②①②①第七十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。12.(2009·山東)等比數(shù)列{}的前n項和為,已知對任意的n∈N*,點(n,)均在函數(shù)y=+r(b＞0且b≠1，b,r均為常數(shù)）的圖象上.（1）求r的值；（2）當b=2時，記(n∈N*),求數(shù)列{}的前n項和.解析：(1)由題意,,當n≥2時，.所以.由于b＞0且b≠1,所以n≥2時，{}是以b為公比的等比數(shù)列,又即,解得r=-1.第八十頁，編輯于星期一：八點四十六分。(2)由（1）知，n∈N*，所以兩式相減得第八十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。第五節(jié)數(shù)列的綜合應用基礎梳理1.解答數(shù)列應用題的基本步驟（1）審題——仔細閱讀材料，認真理解題意;（2）建?！獙⒁阎獥l件翻譯成數(shù)學（數(shù)列）語言，將實際問題轉化成數(shù)學問題，弄清該數(shù)列的特征、要求什么;（3）求解——求出該問題的數(shù)學解;（4）還原——將所求結果還原到原實際問題中.第八十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。（1）等差模型：如果增加（或減少）的量是一個固定值時，該模型是等差模型，增加（或減少）的量就是公差.其一般形式是：=d(常數(shù)).

100﹪=q2.數(shù)列應用題常見模型(2)等比模型：如果后一個量與前一個量的比是一個固定的時，該模型是等比模型，這個固定的數(shù)就是公比.其一般形式是:

(3)混合模型：在一個問題中同時涉及到等比數(shù)列和等差數(shù)列的模型.(4)生長模型：如果某一個量，每一期以一個固定的百分數(shù)增加（或減少），同時又以一個固定的具體量增加（或減少）,稱該模型為生長模型，如分期付款問題,樹木的生長與砍伐問題等.

（5）遞推模型：如果容易推導該數(shù)列任意一項與它的前一項（或前n項）間的遞推關系式,那么我們可以用遞推數(shù)列的知識求解問題.(常數(shù)).第八十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型一建立等差或等比數(shù)列模型解應用題【例1】陳老師購買安居工程集資房72平方米,單價為1000元/平方米，一次性國家財政補貼28800元，學校補貼14400元，余款由個人負擔.房地產開發(fā)公司對教師實行分期付款,每期為一年，等額付款，簽訂購房合同后一年付款一次，再經過一年又付款一次，等等，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%,每年按復利計算，那么每年應付款多少元？（計算結果精確到百元）(參考下列數(shù)據(jù))分析(1)分期付款，各期所付的款與各期所付款時所生利息的合計，應等于個人負擔的購房余額的現(xiàn)價及這次付款現(xiàn)價到最后一次付款時所生的利息之和.（2）每年按復利計算，即本年利息計入次年的本金生息.解設每年應付款x元，那么到最后一次付款時(即購房10年后)，第1年付款及所生利息之和為x×元，第2年付款及所生利息之和為x×元，…，第9年付款及其所生利息之和為x×1.075元，第10年付款為x元，而所購房余款的現(xiàn)價及其利息之和為［1000×72-(28800+14400)］×=28800×元，第八十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。∴x(1+1.075++…+)=28800×.∴x=28800××≈28800×2.061×0.071≈4200元.∴每年需付款4200元.學后反思分期付款中的有關計算關鍵在于：（1）準確計算出在貸款全部付清時，各期所付款額的增值.(注：最后一次付款沒有利息)（2）明確各期所付的款額連同到最后一次付款時所產生的利息之和，等于商品售價及從購買到最后一次付款時的利息之和，只有掌握了這一點，才可順利建立等量關系.（3）掌握等比數(shù)列前n項和的計算方法.舉一反三第八十五頁，編輯于星期一：八點四十六分。1.甲、乙兩人連續(xù)6年對某縣農村養(yǎng)雞規(guī)模進行調查，提供如圖所示兩個不同的信息.甲調查表明：從第1年平均每個養(yǎng)雞場生產1萬只肉雞上升到第6年平均每個養(yǎng)雞場生產2萬只肉雞.乙調查顯示：養(yǎng)雞場個數(shù)由第1年的30個減少到第6年的10個.請回答下列問題：（1）第2年養(yǎng)雞場的個數(shù)及全縣生產肉雞的只數(shù)各是多少？（2）第6年這個縣出產的肉雞數(shù)比第1年出產的肉雞數(shù)增加了還是減少了？解析：（1）設第n年全縣有養(yǎng)雞場個，每個養(yǎng)雞場產雞萬只，則由題意，{},{}都是等差數(shù)列，且1≤n≤6,n∈N*,第八十六頁，編輯于星期一：八點四十六分。因此,(萬只).所以第2年有雞場26個，全縣產雞31.2萬只.（2）由（1）知，所以第6年出產的肉雞數(shù)比第1年出產的肉雞數(shù)減少了.題型二建立遞推模型解應用題【例2】某油料庫已儲油料at,計劃正式運營后的第一年進油量為已儲油量的25%,以后每年的進油量為上一年底儲油量的25%，且每年運出bt,設為正式運營第n年底的儲油量.（1）求的表達式并加以證明；第八十七頁，編輯于星期一：八點四十六分。（2）為應對突發(fā)事件，該油庫年底儲油量不得少于at,如果b=at，該油庫能否長期按計劃運營？如果可以請加以證明，如果不行請說明理由.（取lg2≈0.3010,lg3≈0.4771）分析（1）本題易知,由構造法得數(shù)列{-4b}是等比數(shù)列.即可求出{-4b}的通項公式，即可求.（2）根據(jù)題意把問題轉化為不等式問題,通過解不等式說明實際問題.解(1)依題意油庫原有儲油量為at,則=(1+25%)a-b=54a-b,=(1+25%)-b=54-b(n≥2,n∈N*），第八十八頁，編輯于星期一：八點四十六分。令∴數(shù)列{-4b}是首項為a-5b,公比為的等比數(shù)列.(2)若b=at時，該油庫第n年年底儲油量不少于at,可見該油庫只能在5年內運營，因此不能長期運營.第八十九頁，編輯于星期一：八點四十六分。學后反思(1)分析數(shù)列中相鄰兩項間的關系，得遞推關系，構造數(shù)列（等差或等比數(shù)列）求得通項是解決數(shù)列問題的有效方法之一.本題可以通過分析,構造等比數(shù)列{-4b},求得,也可以用數(shù)學歸納法證明.將不等式≥a轉變?yōu)榈挠嬎?充分利用信息lg2,lg3，向著解題的目標要求轉變.（2）常見的遞推關系①迭加型：，如果可以求出f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)的表達式，即可求出通項公式.若f(n)=d,則=(n-1)d+第九十頁，編輯于星期一：八點四十六分。②迭乘型：如果可以求出f(n-1)·f(n-2)·…·f(1)的乘積，即可求出通項公式.若f(n)=q(q≠0,且q≠1)，則.③一階線性型：(其中p,q均為常數(shù)，pq(p-1)≠0).不妨設,這樣就得到一個等比數(shù)列{-t}，其公比為p,首項為-t,且不難求出.④分式線性型：然后再用待定系數(shù)法求解.舉一反三第九十一頁，編輯于星期一：八點四十六分。2.某學生在體育訓練時弄傷了膝關節(jié)，醫(yī)生給他開了一些消炎藥，并叮囑他每天早晚八時各服用一片藥片.現(xiàn)知該藥片每片220毫克，他的腎臟每12小時從體內濾出這種藥的60%；并且如果這種藥在體內的殘留量超過386毫克，就將產生副作用.請問：(1)該同學上午八時第一次服藥，問:第二天早間服完藥時，藥在他體內還殘留多少？（2）該同學若長期服用該藥會不會產生副作用？解析：(1)設該同學第n次服藥后，藥在他體內的殘留量為毫克，=220,=220+×(1-60%)=220×1.4.=220+×(1-60%)=220+220×1.4×0.4=343.2.第二天早間是他第三次服藥，故服藥后，藥在他體內的殘留量為343.2毫克.第九十二頁，編輯于星期一：八點四十六分。（2）由=220+0.4得,(n≥2).∴是一個以-為首項，0.4為公比的等比數(shù)列，∴-=（-）·＜0,∴這就是說,該同學長期服用該藥不會產生副作用.第九十三頁，編輯于星期一：八點四十六分。題型三等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用【例3】(12分)設數(shù)列{}的前n項和為,且其中m為常數(shù)，m≠-3,且m≠0.(1)求證:{}是等比數(shù)列；(2)若數(shù)列{}的公比滿足q=f(m)且,

求證:為等差數(shù)列，并求.分析對于已知的條件運用之間的關系式：求出之間的關系，以及之間的關系，再進行判定.第九十四頁，編輯于星期一：八點四十六分。證明（1）由,得