廣東四會中學2017九年級奧數(shù)培訓.三角形的“四心”-奧數(shù)精講與測試(無答案)

知識點、重點、難點三角形的外心、內(nèi)心、重心及垂心（以下簡稱“四心”）是新頒發(fā)的初中數(shù)學競賽大綱特別加強的內(nèi)容，是初中數(shù)學競賽的熱點。1.外心三角形三條垂直平分線的交點叫三角形的外心，即該三角形外接圓的圓心，△ABC的外心通常用字母O表示。它具有如下性質(zhì)：(1)外心到三角形三頂點的距離相等．這個距離就是外接圓的半徑；(2)在△ABC中，若∠A是銳角，則∠BOC=2∠A；若∠A是鈍角，則∠BOC＝360°－2∠A.2.內(nèi)心三角形三條角平分線的交點叫做三角形的內(nèi)心，即是該三角形內(nèi)切圓的圓心，△ABC的內(nèi)心一般用字母I表示．它具有如下性質(zhì)：(1)內(nèi)心在△ABC三邊距離相等，這個相等的距離是△ABC內(nèi)切圓的半徑；(2)若I是△ABC的內(nèi)心，則；(3)若I是△ABC的內(nèi)心，AI延長線交△ABC外接圓于D，則有DI=DB＝DC，即D為△BCI的外心。3.重心三角形三條中線的交點叫做三角形的重心，它具有如下性質(zhì)：(1)重心到頂點的距離是它到對邊中點距離的2倍；(2)若G是△ABC的重點，則；(3)重心是到三角形三頂點的距離的平方和最小的點。4.垂心三角形三條高所在直線的交點叫做三角形的垂心“如圖”，它具有如下性質(zhì)：(1)圖中有六組四點共圓（如A、F、H、E；A、B、D、E等）及三組（每組四個）相似直角三角形；特別的AH·HD=BH·HE=CH·FH；(2)垂心H關于三邊的對稱點均在△ABC的外接圓上；(3)H、A、B、C中任一點是另三點連成的三角形的垂心；(4)△ABC的內(nèi)接三角形（即頂點在△ABC的邊上）中，以垂足△DEF的周長最短。例題精講例1：如圖，在△ABC中，AB=AC，延長CA到P，再延長AB到Q，使AP=BQ，求證：△ABC的外心O與A、P、Q四點共圓。分析一連結(jié)AO、CO、PO、QO，要證O、A、P、Q四點共圓，顯然只要證∠P=∠Q.在△AQO和△CPO中，由AB=AC，BQ=AP，得AQ＝CP，又O點是△ABC的外心，故OA＝OC，∠OCP＝∠OAC.由于等腰三角形的外心必在頂角的平分線上，所以∠OAC＝∠OAQ.從而∠OCP＝∠OAQ，故△AQO≌△CPO，可得∠CPO＝∠AQO.因此O、A、P、Q四點共圓。分析二O是△ABC的外心，作△ABC的外接圓O，并作OH⊥AB于H，OG⊥AC于G，連結(jié)OP、OQ（圖略）．易知OH＝OG，BH=AG，從而Rt△OQH≌Rt△OPG，于是∠P=∠Q，故O、P、A、Q四點共圓。例2：已知∠ACE=∠CDE=90°，點B在CE上，CB=CD，過A、C、D三點的圓交AB于點F（如圖241），求證：F是△CDE的內(nèi)心。證明連結(jié)DF、DB、CF，則∠CDF=∠A=45°，∠EDF=45°，即DF是∠CDE的平分線。因為CD=CB，所以∠CDB=∠CBD.又∠CDF=∠CBF=45°，所以∠FDB=∠FBD，所以DF=BF.又CF為公共邊，所以△DCF≌△BCF，所以∠DCF=∠BCF，即CF為∠DCE的平分線。因此F為△CDE的內(nèi)心。例3：如圖，已知△ABC的高AD、BE交于H，△ABC、△ABH的外接圓分別為⊙O與⊙，求證：⊙O與⊙的半徑相等。證明如圖所示，過A作⊙和⊙O的直徑AP、AQ，連結(jié)PB、QB，則∠ABP=∠ABQ=90°，故P、B、Q三點共線。因為H為△ABC的垂心，所以D、C、E、H四點共圓，所以∠AHE=∠C.又∠C=∠Q，所以∠AHE=∠Q.因為A、H、B、P均在⊙上，所以∠AHE=∠P，所以∠P=∠Q，所以AP=AQ.所以⊙O與⊙的半徑相等。例4：如圖，直線AB與⊙O相交于點E、F，EF為⊙O的直徑，且AE=EF=FB，直線AP與⊙O半徑OD垂直于D，求證：∠ADE=∠PDB．證明如圖，延長DO交⊙O于M，連結(jié)AM，延長DE交AM于N，則△OAM≌△OBD，有∠OAM=∠OBD，知AM∥BD，故∠PDB=∠DAN．因為AE＝EF，O為EF和DM的中點，則E為△ADM的重心，所以N為AM的中點。又AD⊥OD，即DN為Rt△ADN斜邊AM的中線，則DN=AN=NM，則∠ADE=∠DAN=∠PDB．例5：設O為△ABC的外心，I為△ABC的內(nèi)心，R和r分別為△ABC的外接圓和內(nèi)切圓的半徑，求證：（歐拉定理）證明連AI交⊙O于D，連DO并延長交⊙O于E，連結(jié)BD、BE，連結(jié)OI，直線OI交外接圓于G、H(如圖)．過I作IF⊥AB于F，則IF=r，DE=2R.由相交弦定理，AI·ID=GI·IH=(R＋OI)(R－OI)=．又∠BAD=∠BED，則△AIE∽△EDB，=AI·BD＝，2Rr=AI·BD=DE·IF=2Rr．由I是△ABC的內(nèi)心，則ID=BD．于是AI·ID，即.例6：如圖，設O、G、H分別為△ABC的外心、重心、垂心，AF是中線，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求證：O、G、H三點共線，且GH=2OG.證明如圖，連結(jié)OG、OH、OF，作△ABC的外接圓O，連結(jié)CO并延長CO交⊙O于P，連結(jié)AP、BP.由垂心性質(zhì)知H為AD與BE交點，則BP∥AH，AP∥BE，故APBH是平行四邊形，于是得PB=AH.在△BCP中，OF=PB，所以OF=AH.在△BCP中，OF=PB，所以OF=AH.由OF∥PB，PB∥AH，得OF∥AH，故∠OFG=∠HAG．又GF=AG，故△OFG∽△HAG，于是∠AGH=∠OGF．又∠AGH＋∠HGF=180°，所以∠OGF＋∠HGF＝180°，故O、G、H三點共線，顯然有GH=2OG（通過三角形垂心、外心、重心的直線，稱為歐拉線，這一結(jié)論是由瑞士數(shù)學家歐拉提出并解決）。A卷一、填空題1.如圖，已知G是△ABC的重心，若AG=3，BG=4，CG=5，則△ABC的面積等于。2.如圖，已知AD為△ABC中BC邊上的中線，E是AD的中點，F(xiàn)是BE的延長線與AC的交點，則AC：AF的值等于。3.如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A和∠B的平分線相交于P點，又PE⊥AB于E點。若BC=4，AC=6，則AE·EB=。4.已知O點為銳角△ABC的外心，連結(jié)AO、BO、CO，并延長分別交對邊于L、M、N(如圖)，則。5.如圖，在△ABC中，H為垂心，O為外心，∠BAC=60°，且△ABC外接圓直徑為10，則AH=。6.在△ABC中，∠A是鈍角，O是垂心，AO=BC，則cos(∠OBC＋∠OCB)的值是。7.已知AD、BE、CF是銳角△ABC的三條高線，垂心為H，則圖中直角三角形的個數(shù)是。8.如圖，D是△ABC的內(nèi)心，E是△ABD的內(nèi)心，F(xiàn)是△BDE的內(nèi)心。若∠BFE的度數(shù)為整數(shù)，則∠BFE至少是度。9.設△ABC的外接圓半徑為R，內(nèi)切圓半徑為r，內(nèi)心為I，延長AI交外接圓于D，則AI·ID。10.已知H、O分別是△ABC的垂心和外心，OE⊥BC于E，則AH：OE=。二、解答題11.已知平行四邊形ABCD的面積是120，E、F分別是AB、BC的中點，AF分別與ED、BD交于G、H，求四邊形BHGE的面積。12.如圖，已知AB是⊙O的直徑，AH是弦，C是于F，求證：AF=2EF.的中點，CD⊥AB分別交AH、AB于E、D，BC交AH13.如圖，已知△ABC的重心G與內(nèi)心I的連線GI∥BC，求證：AB＋AC=2BC.14.如圖，I是△ABC的內(nèi)心，且I、D、C、E四點共圓。若ED＝2，試求ID＋IE的值。B卷一、填空題1.在△ABC中，BC=3，AC=4，BC和AC的中線AE、BD互相垂直，則AB＝。2.在△ABC中，BC=a，AC＝b，AB＝c，∠C＝90°，CD和BE是△ABC的兩條中線，且CD⊥BE，那么a：b：c=。3.設M是△ABC的重心，過M的線段交AB、AC于P、Q且則。4.在△ABC中，高AD和BE所在直線交于H點，且BH=AC，則∠ABC=5.在△ABC中，∠A是鈍角，O是重心，AO＝BC，則∠OBC＋∠OCB=。。6.如圖，在△ABC中，G是重心，I為∠B和∠C的平分線的交點。若IG∥BC，且BC=5，則AB＋AC=。7.若△ABC的重心為G，AG=，BG＝，CG=，則△ABC的面積是。8.在△ABC中，已知BD和CE分別是兩邊上的中線，且BD⊥CE，BD=4，CE=6，則△ABC的面積=9.設O為銳角三角形△ABC的外心，連結(jié)AO、BO、CO，并延長分別交對邊于L、M、N，則。的值是。10.P點在△ABC中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，AC與BP交于點D，且PB=4，PD=3，則AD·DC=二、解答題。11.已知ABCD中，E是AB的中點，AB=10，AC=9，DE=12，求ABCD的面積。12.如圖，已知P為△ABC內(nèi)一點，且∠PAB=∠PCB，∠PBC=∠PAC.求證：P為△ABC垂心。13.已知△ABC中，高AD在其內(nèi)部，過△ABD、△ACD的內(nèi)心、引直線分別交AB、AC于E、F.（1）求證：若∠BAC=90°，則AE=AF；（2）若AE=AF，則∠BAC=90°成立嗎？若仍成立，請給予證明；若不成立，請說明理由，并指出不成立的情形。14.△ABC的外心為O，AB=AC，D是AB的中點，E是△ACD的重心。證明：OE⊥CD．C卷一、填空題1.在直角△ABC中，∠A=90°，G為重心，且GA=2，則GB＋GC=2.以三角形的三條中線長為邊作三角形，則它的面積與原三角形面積之比為3.已知凸四邊形ABCD的面積為1，其對角線交于點P，△PAB、△PBC、△PCD、△PDA的重心分別為。。、、、，則四邊形的面積等于。4.不等邊△ABC的兩條高長度分別為4和12，若第三條高的長也是整數(shù)，則第三條高長是。5.△ABC的周長為25厘米，BC=10厘米，I為三角形的內(nèi)心，線段EF過點I分別交AB、AC于E、F，且EF∥BC，則△AEF的周長為。6.如圖，在△ABC中，點D、E是∠ABC、∠ACB三等分線的交點。當∠A=60°時，∠BDE的度數(shù)為7.在△ABC中，BC=5，M和I分別是△ABC的重心與內(nèi)心。若MI∥BC，則AB＋AC=。。8.已知△ABC的兩條中線BD、CE的中點分別為M、N，則。9.在△ABC中，D是△ABC的內(nèi)心，E是△ABD的內(nèi)心，F(xiàn)過△BDE的內(nèi)心，且∠BFE的度數(shù)是一個整數(shù)，則這個整數(shù)的最小值為。10.已知△ABC的高AD的延長線交外接圓于E，H為△ABC的垂心，且HD=，則DE=。二、解答題11.如圖，已知M點是銳角∠POQ內(nèi)一點，由M點作，過作⊥OP，⊥O