高等數(shù)學(xué)課件：v-12-4 一階線(xiàn)性微分方程_第1頁(yè)
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第四節(jié)

一階線(xiàn)性微分方程一、線(xiàn)性方程二、伯努利方程三、小結(jié)實(shí)例1.問(wèn)題的提出有一電路圖,如圖所示,解根據(jù)基爾霍夫定律可得方程*基爾霍夫(G.R.Kirchhoff,1824～1887),

德國(guó)物理學(xué)家.他于1845年提出此定律一、線(xiàn)性方程2.定義方程(1)稱(chēng)為齊次的.方程(1)稱(chēng)為非齊次的.對(duì)應(yīng)齊次方程一階線(xiàn)性微分方程的標(biāo)準(zhǔn)形式:方程(2)稱(chēng)為方程(1)對(duì)應(yīng)的齊次方程齊次方程的通解為(1)線(xiàn)性齊次方程3.解法是可分離變量的方程*齊次方程通解中的不定積分記號(hào)表示一個(gè)確定的原函數(shù)作變換(2)線(xiàn)性非齊次方程對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為

?積分得√方程(1)的通解為將齊次方程通解中的常數(shù)變易為待定函數(shù)的方法稱(chēng)為常數(shù)變易法實(shí)質(zhì):

未知函數(shù)的變量替換.對(duì)應(yīng)齊次方程通解非齊次方程特解*什么是常數(shù)變易法?非齊次通解=對(duì)應(yīng)齊次通解+非齊次特解解例1故方程的通解為代入通解公式得簡(jiǎn)解方程的通解為2005研故所求特解為*應(yīng)用通解公式時(shí)必須將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式例2解例3代入公式得穩(wěn)態(tài)電流暫態(tài)電流故所求特解為分析

將上式改寫(xiě)為(1)(2)解(1)列方程例4(2)求解伯努利(Bernoulli)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式方程(3)為線(xiàn)性微分方程

方程為(3)非線(xiàn)性微分方程二、伯努利方程1.定義*伯努利方程(3)是由詹姆斯.伯努利(JamesBernoulli,瑞士數(shù)學(xué)家,1654-1705)于1695年提出的求出通解后,將代入即得代入上式2.解法*此變量替換由萊布尼茲于1696年給出解例5

?解法一代入原方程得隱式通解為解法二例6可分離變量的方程x關(guān)于y的一階線(xiàn)性非齊次方程*解法二如何理解?三、小結(jié)2.線(xiàn)性非齊次方程3.伯努利方程變量替換常數(shù)變易法思考題證明方程(1)的通解公式包含了它的一切解.1.線(xiàn)性齊次方程變量分離法(1)常數(shù)變易法;(2)變量替換;(3)改變變量的屬性

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