大學(xué)物理課件：質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及其守恒定律

轉(zhuǎn)動(dòng)定律例題五例已知qqmB()A()LmLL2LOOq從等傾角處靜止釋放兩勻直細(xì)桿地面求兩者瞬時(shí)角加速度之比bb解法提要MbIbbMIMI213singmLq1mLsingmLq1mL32122根據(jù)1L1LLL2短桿的角加速度大且與勻質(zhì)直桿的質(zhì)量無關(guān)第一節(jié)角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及其守恒定律5-2ssssangularmomentumandlawofconservationofangularmomentum一、角動(dòng)量angularmomentumrqOmv速度位矢質(zhì)量角夾rv大?。篖rqmvsin方向：rmv()rvLq定義：rpLrmv運(yùn)動(dòng)質(zhì)點(diǎn)mO對(duì)

點(diǎn)的角動(dòng)量為角動(dòng)量與角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量及其守恒定律Angularmomentumandlawofconservationofangularmomentumaboutparticle大量天文觀測(cè)表明地球繞太陽時(shí)rqmvsin常量問題的提出二、質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理及其守恒定律theoremofparticalangularmomentumanditsconservation地球上的單擺OmqvrLmvr大小會(huì)變L變太陽系中的行星OrvmqsinqLmvr大小未必會(huì)變。靠什么判斷？L變變變Lvrmsin大小Lmvrq質(zhì)點(diǎn)對(duì)的角動(dòng)量mO問題的提出質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量定理導(dǎo)致角動(dòng)量隨時(shí)間變化的根本原因是什么？LddtL思路：分析與什么有關(guān)？+()由Lvrm則ddtLddtrvmddtrvmrddt(vm)0vmv(兩平行矢量的叉乘積為零)mdvdtmaF得ddtLrF角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)對(duì)參考點(diǎn)的mO位置矢量ddtLr所受的合外力F等于叉乘質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理微分形式ddtLrF是力矩的矢量表達(dá)：rF而OrFmd即力矩rFM大小MFrsin方向垂直于rF所決定的平面，由右螺旋法則定指向。Fdqq得質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定參考點(diǎn)的mOddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩稱為質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

的微分形式如果各分力與O點(diǎn)共面，力矩只含正、反兩種方向?？稍O(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)法求合力矩。積分形式質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理也可用積分形式表達(dá)ddtLM由,dLMdt0ttdLMdtL0LLL0稱為沖量矩角動(dòng)量的增量這就是質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

的積分形式例如，單擺的角動(dòng)量大小為L(zhǎng)=

mvr,v為變量。

在t=0時(shí)從水平位置靜止釋放，初角動(dòng)量大小為L(zhǎng)0=mv0r=0；時(shí)刻t

下擺至鉛垂位置，

角動(dòng)量大小為L(zhǎng)⊥

=

mv⊥r。則此過程單擺所受的沖量矩大小等于

L-L0=mv⊥r=

mr

2gr

。歸納歸納質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理ddtLrFM角動(dòng)量的時(shí)間變化率所受的合外力矩0ttdLMdtL0LLL0沖量矩角動(dòng)量的增量微分形式積分形式特例：當(dāng)M0時(shí)，有LL00即LL0物理意義：當(dāng)質(zhì)點(diǎn)不受外力矩或合外力矩為零（如有心力作用）時(shí)，質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量前后不改變。質(zhì)點(diǎn)角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律ddtLM根據(jù)質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理

rFM()若MrF0則ddtL0即L常矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)所受的合外力對(duì)某參考點(diǎn)的力矩OmM為零時(shí)，質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量的時(shí)間變化率為ddtLL零，即質(zhì)點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)的角動(dòng)量守恒。質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律稱為若質(zhì)點(diǎn)所受的合外力的方向始終通過參考點(diǎn)，其角動(dòng)量守恒。如行星繞太陽運(yùn)動(dòng)，以及微觀粒子中與此類似的運(yùn)動(dòng)模型，服從角動(dòng)量守恒定律。開普勒第二定律應(yīng)用質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量守恒定律可以證明開普勒第二定律行星與太陽的連線在相同時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積定律證明證：時(shí)刻m對(duì)O的角動(dòng)量大小為tLrvmddtrrmsinqrmddtsmddtsh2mAddt即LAddt2m因行星受的合外力總指向是太陽，角動(dòng)量守恒。hmsdOrdr+dtt()t)(r+drqAd21Addrh21sdhdt瞬間位矢掃過的微面積L則LAddt2m常量（稱為掠面速率）故，位矢在相同時(shí)間內(nèi)掃過的面積相等質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量四、質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理theoremofangularmomentumofparticalsystem質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量LSiLirSiimivi各質(zhì)點(diǎn)對(duì)給定參考點(diǎn)的角動(dòng)量的矢量和慣性系中某給定參考點(diǎn)m12m3mr13r2r3v2vv1O質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理稱為微分形式微、積分形式質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理LSiLiSirimivi將對(duì)時(shí)間求導(dǎo)ddtL(SiLiSiddtrimividdt+rimividdt(Si0+FiSivimivi+miiariri內(nèi)力矩在求矢量和時(shí)成對(duì)相消Om12mF1F1內(nèi)F2內(nèi)外F2外r12rd某給定參考點(diǎn)Si+iF內(nèi)外Fi外ririSiMi內(nèi)+SiMiSiMi外得ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理稱為微分形式ddtLSiMi外M質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的時(shí)間變化率質(zhì)點(diǎn)受外力矩的矢量和質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系所受的0tdtMtdLLL0LL0質(zhì)點(diǎn)系的沖量矩角動(dòng)量增量質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理的積分形式

若各質(zhì)點(diǎn)的速度或所受外力與參考點(diǎn)共面，則其角動(dòng)量或力矩只含正反兩種方向，可設(shè)順時(shí)針為正向，用代數(shù)和代替矢量和。質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒定律0tdtMtdLLL0LL0ddtLSiMi外M由若,M0則LL0或L恒矢量當(dāng)質(zhì)點(diǎn)系所受的合外力矩為零時(shí)，其角動(dòng)量守恒。隨堂小議（1）（2）（3）（4）兩人同時(shí)到達(dá)；用力上爬者先到；握繩不動(dòng)者先到；以上結(jié)果都不對(duì)。兩人質(zhì)量相等O一人握繩不動(dòng)一人用力上爬隨堂小議可能出現(xiàn)的情況是終點(diǎn)線終點(diǎn)線滑輪質(zhì)量既忽略輪繩摩擦又忽略P5.5(1)小議分析Om12mv12vR同高從靜態(tài)開始往上爬忽略輪、繩質(zhì)量及軸摩擦質(zhì)點(diǎn)系m12m,若m12m系統(tǒng)受合外力矩為零，角動(dòng)量守恒。系統(tǒng)的初態(tài)角動(dòng)量系統(tǒng)的末態(tài)角動(dòng)量m1v1R2m2vR0得2vv1不論體力強(qiáng)弱，兩人等速上升。若m12m系統(tǒng)受合外力矩不為零，角動(dòng)量不守恒?？蓱?yīng)用質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量定理進(jìn)行具體分析討論。第四節(jié)剛體的角動(dòng)量與轉(zhuǎn)動(dòng)慣量5-3sssslawofconservationofangularmomentumofrigid-body剛體的角動(dòng)量剛體的角動(dòng)量一、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量是無數(shù)質(zhì)點(diǎn)對(duì)公共轉(zhuǎn)軸的角動(dòng)量的疊加

所有質(zhì)點(diǎn)都以其垂軸距離為半徑作圓周運(yùn)動(dòng)任一質(zhì)元（視為質(zhì)點(diǎn)）的質(zhì)量mri其角動(dòng)量大小Limriviriw2mririvimriOriwviriw全部質(zhì)元的總角動(dòng)量L∑Liw∑2mriri()wI對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的剛體L∑LiwwIm2r()dLwI定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體的角動(dòng)量大小方向L與同繞向wLw或與沿軸同指向角動(dòng)量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量rmirmiFiOriij瞬時(shí)角速度w角加速度瞬時(shí)b再推導(dǎo)剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律bIM剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律即bMIMI剛體所獲得的角加速度

的大小與剛體受到的

b合外力矩的大小成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量成反比。剛體的角動(dòng)量定理wbML1.剛體的角動(dòng)量定理IItdd()dtdtddIw合外力矩角動(dòng)量的時(shí)間變化率（微分形式）（積分形式）L112d2121dt2ttMLLLLIwIw沖量矩角動(dòng)量的增量剛體的角動(dòng)量定理剛體的角動(dòng)量定理回憶質(zhì)點(diǎn)的角動(dòng)量定理（微分形式）（積分形式）0ttdLMdtL0LLL0ddtLrFM剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理2.剛體系統(tǒng)的角動(dòng)量定理若一個(gè)系統(tǒng)包含多個(gè)共軸剛體或平動(dòng)物體系統(tǒng)的總合外力矩∑MiLtdd∑i系統(tǒng)的總角動(dòng)量的變化率1dt2ttM系統(tǒng)的總沖量矩系統(tǒng)的總角動(dòng)量增量∑()1LLii2系統(tǒng)：輕繩mm1（忽略質(zhì)量）總合外力矩對(duì)O的角動(dòng)量mm1對(duì)O的角動(dòng)量gm1RLmLm1Iw21mR2wm1vRmR2w∑Mi∑MiLtdd∑i由得gm1Rtdd同向(21mR2w+mR2w)21m(m1+)R2wtddwtddb而解得bgm121m(m1+)R例如wOvm1gm1mRR靜止釋放b求角加速度主要公式歸納剛體MLtdd（微分形式）（積分形式）剛體系統(tǒng)角動(dòng)量定理∑MiLtdd∑i1dt2ttM∑()1LLii21dt2ttM1LL2剛體的歸納：IwL角動(dòng)量關(guān)鍵式：IwLMLtdd是矢量式IwLMLtdd與質(zhì)點(diǎn)平動(dòng)對(duì)比mvpFtddp剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量守恒定律剛體的角動(dòng)量定理由MLtdd剛體所受合外力矩M0若則Ltdd0即LIw常矢量

當(dāng)剛體所受的合外力矩等于零時(shí)，MIw

剛體的角動(dòng)量保持不變。剛體的角動(dòng)量守恒定律回轉(zhuǎn)儀定向原理LwI萬向支架受合外力矩為零回轉(zhuǎn)體質(zhì)量呈軸對(duì)稱分布；軸摩擦及空氣阻力很小。角動(dòng)量守恒LwI恒矢量回轉(zhuǎn)儀定向原理wI其中轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為常量若將回轉(zhuǎn)體轉(zhuǎn)軸指向任一方向使其以角速度高速旋轉(zhuǎn)則轉(zhuǎn)軸將保持該方向不變而不會(huì)受基座改向的影響基座回轉(zhuǎn)體（轉(zhuǎn)動(dòng)慣量）Iw角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則Iw變小。收臂大小Iw

用外力矩啟動(dòng)轉(zhuǎn)盤后撤除外力矩張臂I大小w花樣滑冰中常見的例子角動(dòng)量守恒的另一類現(xiàn)象變小則Iw變大，乘積保持不變，Iw變大則I