二項(xiàng)分布及其應(yīng)用

關(guān)于二項(xiàng)分布及其應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第1頁(yè)，共43頁(yè)內(nèi)容提綱二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件二項(xiàng)分布的性質(zhì)二項(xiàng)分布的特點(diǎn)二項(xiàng)分布的應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第2頁(yè)，共43頁(yè)舉例：設(shè)小白鼠接受一定劑量的某種毒物染毒后死亡率為80%。若每組各用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受該種毒物染毒，觀察各組小白鼠的存亡情況。一、二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第3頁(yè)，共43頁(yè)概率的乘法原理：幾個(gè)相互獨(dú)立的事件同時(shí)發(fā)生的概率等于各事件發(fā)生概率的乘積。概率的加法原理：幾個(gè)互不相容的事件至少發(fā)生其一的概率等于各事件發(fā)生概率的和?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第4頁(yè)，共43頁(yè)3只小白鼠存亡的排列和組合方式及其概率的計(jì)算

該例題中各種組合的概率恰好等于該二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)，所以將n次這種只具有兩種互相對(duì)立結(jié)果中一種的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第5頁(yè)，共43頁(yè)該例題中各種組合的概率恰好等于該二項(xiàng)式展開(kāi)式的各項(xiàng)，所以將n次這種只具有兩種互相對(duì)立結(jié)果中一種的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)成功次數(shù)的概率分布稱為二項(xiàng)分布。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第6頁(yè)，共43頁(yè)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第7頁(yè)，共43頁(yè)例.求前例中三只小白鼠死亡2只的概率?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第8頁(yè)，共43頁(yè)一、二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件1、概念：若試驗(yàn)E只有兩種相互對(duì)立的結(jié)果(A及

),并且，，把E獨(dú)立地重復(fù)n次的試驗(yàn)稱為n重貝努里試驗(yàn)（Bernoullitrial）。

n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)x

所服從的分布即為二項(xiàng)分布（binomialdistribution），記為x~B(,n）。

例拋硬幣（正/反），患者治療后的結(jié)局（治愈/未愈），實(shí)驗(yàn)動(dòng)物染毒后結(jié)局（生存/死亡），……?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第9頁(yè)，共43頁(yè)2、應(yīng)用條件：

①n次試驗(yàn)相互獨(dú)立（n

個(gè)觀察單位相互獨(dú)立）。

②每次試驗(yàn)只有兩種可能結(jié)果中的某一種（適用于二分類(lèi)資料）。

③每次試驗(yàn)發(fā)生某一種結(jié)果的概率固定不變（要求各觀察單位同質(zhì)）。一、二項(xiàng)分布的概念及應(yīng)用條件現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第10頁(yè)，共43頁(yè)設(shè)從概率為的總體中隨機(jī)抽取樣本量為n的樣本，每個(gè)樣本的事件發(fā)生數(shù)為x，則x~B(，n)。可以證明：若用相對(duì)數(shù)表示，即樣本率的均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為：二、二項(xiàng)分布的性質(zhì)（一）均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第11頁(yè)，共43頁(yè)率的標(biāo)準(zhǔn)誤（standarderrorofrate）：（理論值）（實(shí)際值）現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第12頁(yè)，共43頁(yè)（二）二項(xiàng)分布的累計(jì)概率從陽(yáng)性率為的總體中隨機(jī)抽取n個(gè)觀察單位，則（1）最多有k例陽(yáng)性的概率為（2）最少有k例陽(yáng)性的概率為

現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第13頁(yè)，共43頁(yè)(三)二項(xiàng)分布的圖形xpn=5,

=0.5n=10,

=0.5xn=20,

=0.5n=30,

=0.5現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第14頁(yè)，共43頁(yè)n=5,

=0.3n=10,

=0.3n=20,

=0.3n=50,

=0.3現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第15頁(yè)，共43頁(yè)=0.2,n=50=0.2,n=20=0.2,n=5=0.2,n=10=0.2,n=20現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第16頁(yè)，共43頁(yè)（四）二項(xiàng)分布的特點(diǎn)1、當(dāng)時(shí)，無(wú)論n大小，其圖形均呈對(duì)稱分布；2、當(dāng)，且n小時(shí)呈偏態(tài)分布；隨n不斷增大，逐漸趨于對(duì)稱分布；當(dāng)時(shí)，逼近正態(tài)分布。實(shí)際工作中，只要n足夠大，與1-均不太小時(shí)（通常規(guī)定且與時(shí)），可看作近似正態(tài)分布，即或且n小時(shí)n>50現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第17頁(yè)，共43頁(yè)二項(xiàng)分布的正態(tài)近似示意圖現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第18頁(yè)，共43頁(yè)二項(xiàng)分布的累計(jì)概率:k1k2現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第19頁(yè)，共43頁(yè)三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用

（一）估計(jì)總體率的可信區(qū)間1、率的抽樣誤差

(理論值)

(估計(jì)值)2、總體率的區(qū)間估計(jì)現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第20頁(yè)，共43頁(yè)2、總體率的區(qū)間估計(jì)(1)查表法——樣本量較小時(shí)(n50)例3.6某醫(yī)院皮膚科醫(yī)師用某種藥物治療20名系統(tǒng)性紅斑狼瘡患者，其中8人近期有效，求該法近期有效率的95%可信區(qū)間。用n=20和x=8查附表7.2百分率的可信區(qū)間得該法近期有效率的95%可信區(qū)間為19%64%。由于附表7百分率的可信區(qū)間中值只列出了x

n/2的部分，當(dāng)x>n/2時(shí)，應(yīng)以n-x查表，再?gòu)?00中減去查得的數(shù)值即為所求可信區(qū)間。三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第21頁(yè)，共43頁(yè)2、總體率的區(qū)間估計(jì)（2）正態(tài)近似法當(dāng)樣本含量足夠大，且樣本率p和1-p均不太小，一般np與n(1-p)均大于5時(shí)，樣本率的抽樣分布近似正態(tài)分布，即此時(shí),總體率的可信區(qū)間可按下式進(jìn)行估計(jì):其中,三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第22頁(yè)，共43頁(yè)三、二項(xiàng)分布的應(yīng)用

（二）假設(shè)檢驗(yàn)1、樣本率與已知總體率的比較：(1)直接計(jì)算概率法:例1根據(jù)以往長(zhǎng)期的實(shí)踐，證明某常用藥的治愈率為65%?，F(xiàn)在某種新藥的臨床試驗(yàn)中，隨機(jī)觀察了10名用該新藥的患者，治愈8人。問(wèn)該新藥的療效是否比傳統(tǒng)的常用藥好？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第23頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)。

H0：=0，即新藥治愈率與傳統(tǒng)藥物相同

H1：>0，即新藥治愈率高于傳統(tǒng)藥物

=0.05（2）根據(jù)二項(xiàng)分布的分布規(guī)律，計(jì)算P值。H0成立時(shí)，隨機(jī)抽查的10人中治愈人數(shù)x的分布現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第24頁(yè)，共43頁(yè)(3)做出推斷結(jié)論。本例P>0.05，按=0.05的檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為新藥療效較傳統(tǒng)藥物療效好?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第25頁(yè)，共43頁(yè)例2據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，新生兒染色體異常率一般為1％，某醫(yī)生觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒，發(fā)現(xiàn)有1例染色體異常，問(wèn)該地新生兒染色體異常率是否低于一般？H0成立時(shí),400名新生兒中染色體異常例數(shù)的概率分布現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第26頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：=0，即該地新生兒染色體異常率不低于一般

H1：<0，即該地新生兒染色體異常率低于一般

=0.05(2)根據(jù)二項(xiàng)分布的分布規(guī)律，計(jì)算P值。本例0=0.01，n=400，x=1，根據(jù)題意需求最多有1例染色體異常的概率，按二項(xiàng)分布的概率函數(shù)得(3)做出推斷結(jié)論:P>0.05，按=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該地新生兒染色體異常率低于一般?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第27頁(yè)，共43頁(yè)1、樣本率與已知總體率的比較：(2)正態(tài)近似法:當(dāng)n0和n(1-0)均大于5時(shí),可用正態(tài)近似法,按下式計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量u值?；颥F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第28頁(yè)，共43頁(yè)例3據(jù)報(bào)道，某常規(guī)療法對(duì)某種疾病的治愈率為65%?，F(xiàn)某醫(yī)生用中西醫(yī)結(jié)合療法治療了100例該病患者，治愈了80人。問(wèn)該中西醫(yī)結(jié)合療法的療效是否比常規(guī)療法好？當(dāng)H0成立時(shí),100例患者中治愈人數(shù)的概率分布現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第29頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：=0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效與常規(guī)療法相同

H1：>0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效好于常規(guī)療法

=0.05

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

。本例,0=0.65，n=100，x=80。

（3）確定P值，做出推斷結(jié)論。查表得,0.0005<P<0.001,按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法的療效好于常規(guī)療法?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第30頁(yè)，共43頁(yè)例4經(jīng)長(zhǎng)期臨床觀察,發(fā)現(xiàn)胃潰瘍患者發(fā)生胃出血癥狀的占20%?，F(xiàn)某醫(yī)院觀察了304例65歲以上的老年胃潰瘍患者，有96例發(fā)生胃出血癥狀，占31.58%。問(wèn)老年胃潰瘍患者是否較一般患者更易發(fā)生胃出血？H0成立時(shí),304例老年胃潰瘍患者中胃出血發(fā)生人數(shù)的分布現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第31頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：=0，即老年胃潰瘍患者胃出血發(fā)生率與一般患者相同

H1：>0，即老年胃潰瘍患者胃出血發(fā)生率高于一般患者

=0.05

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

。

（3）確定P值,做出推斷結(jié)論。查表得,P<0.0005,按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0,接受H1,認(rèn)為老年胃潰瘍患者較一般患者更易發(fā)生胃出血。

現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第32頁(yè)，共43頁(yè)小貼士：注意事項(xiàng)以上各例均為單側(cè)檢驗(yàn),若需進(jìn)行雙側(cè)檢驗(yàn),則P值為從H0規(guī)定的總體中抽到現(xiàn)有樣本以及更極端（即概率小于等于現(xiàn)有樣本概率）情形的累計(jì)概率。例2*

據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，新生兒染色體異常率一般為1％。為了解某地新生兒染色體異常率，某醫(yī)生觀察了當(dāng)?shù)?00名新生兒,發(fā)現(xiàn)有1例染色體異常，問(wèn)該地新生兒染色體異常率是否與一般人群相同？（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0:=0，即該地新生兒染色體異常率與一般人群相同

H1:0，即該地新生兒染色體異常率與一般人群不同

=0.05現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第33頁(yè)，共43頁(yè)

若H0成立,由400名新生兒中染色體異常的人數(shù)服從B(0.01,400),

現(xiàn)有樣本為x=1：

比現(xiàn)有樣本更極端（即p0.07253)的情形包括x=0,x=7,x=8,…,x=400。故P>0.05，按=0.05檢驗(yàn)水準(zhǔn)不拒絕H0，尚不能認(rèn)為該地新生兒染色體異常率與一般人群不同?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第34頁(yè)，共43頁(yè)例3*

據(jù)報(bào)道，某常規(guī)療法對(duì)某種疾病的治愈率為65%?，F(xiàn)某醫(yī)生為了解一種中西醫(yī)結(jié)合療法的療效，用該中西醫(yī)結(jié)合療法治療了100例該病患者，治愈了80人。問(wèn)該中西醫(yī)結(jié)合療法的療效是否與常規(guī)療法相同？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第35頁(yè)，共43頁(yè)建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)：

H0:=0，即中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法療效相同

H1:0，即中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法療效不同

=0.05若H0成立時(shí),100人中治愈人數(shù)x~B(0.65,100)，其中p(80)=0.00044，比其更極端的情形包括x80和x49。按正態(tài)近似法對(duì)應(yīng)的概率分別為P(u3.14)和P(u-3.14)。

故P=(u1)+[1-(u2)]=2(u1)=0.00168。

P<0.05，故按=0.05水準(zhǔn)拒絕H0,接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法與常規(guī)療法不同。現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第36頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：=0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效與常規(guī)療法相同

H1：0，即該種中西醫(yī)結(jié)合療法療效好于常規(guī)療法

=0.05

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

。本例,0=0.65，n=100，x=80。

（3）確定P值，做出推斷結(jié)論。查表得,0.001<P<0.002,按

=0.05水準(zhǔn)拒絕H0，接受H1，認(rèn)為中西醫(yī)結(jié)合療法的療效好于常規(guī)療法?，F(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第37頁(yè)，共43頁(yè)2、兩樣本率的比較兩個(gè)樣本率進(jìn)行比較的目的是推斷兩個(gè)樣本各自代表的兩總體率是否相等，當(dāng)兩個(gè)樣本含量較大且樣本率均滿足正態(tài)近似條件(即n1>50,n2>50且n1p1,n1(1-p1),n2p2,n2(1-p2)均大于5)時(shí)，可用u檢驗(yàn):

其中，p1,p2

分別為兩樣本率,pc為兩樣本的合并率:現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第38頁(yè)，共43頁(yè)2、兩樣本率的比較例5為研究高血壓病的遺傳度,某醫(yī)師進(jìn)行了高血壓子代患病率調(diào)查。其中父母雙親有一方患高血壓者調(diào)查了205人，其中高血壓患者101人；父母雙親均患高血壓者調(diào)查了153人，其中高血壓患者112人。問(wèn)雙親中只有一方患高血壓與雙親均患高血壓的子代中，高血壓患病率是否相同？現(xiàn)在學(xué)習(xí)的是第39頁(yè)，共43頁(yè)（1）建立檢驗(yàn)假設(shè)，確定檢驗(yàn)水準(zhǔn)

H0：1

=2，即兩組人群中子代患病率相同

H1：12，即兩組人群中子代患病率不同

=0.05

（2）計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量

。

本例,p1=101/205=0.49268,

p