固體物理答案

1、第一章 金屬自由電子氣體模型1. 你是如何理解絕對(duì)零度時(shí)和常溫下電子的平均動(dòng)能十分相近這一點(diǎn)的？ 解答 自由電子論只考慮電子的動(dòng)能。在絕對(duì)零度時(shí)，金屬中的自由（價(jià)）電子，分布在費(fèi)米能級(jí)及其以下的能級(jí)上，即分布在一個(gè)費(fèi)米球內(nèi)。在常溫下，費(fèi)米球內(nèi)部離費(fèi)米面遠(yuǎn)的狀態(tài)全被電子占據(jù)，這些電子從格波獲取的能量不足以使其躍遷到費(fèi)米面附近或以外的空狀態(tài)上，能夠發(fā)生能態(tài)躍遷的僅是費(fèi)米面附近的少數(shù)電子,而絕大多數(shù)電子的能態(tài)不會(huì)改變。也就是說，常溫下電子的平均動(dòng)能與絕對(duì)零度時(shí)的平均動(dòng)能十分相近。2. 晶體膨脹時(shí)，費(fèi)米能級(jí)如何變化？解答 費(fèi)米能級(jí) ， 其中n單位體積內(nèi)的價(jià)電子數(shù)目。晶體膨脹時(shí)，體積變大，電子數(shù)目不變，

2、n變小，費(fèi)密能級(jí)降低。3 為什么溫度升高，費(fèi)米能反而降低？ 解答 當(dāng)時(shí)，有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)即是費(fèi)米能級(jí)。除了晶體膨脹引起費(fèi)米能級(jí)降低外，溫度升高，費(fèi)米面附近的電子從格波獲取的能量就越大，躍遷到費(fèi)米面以外的電子就越多，原來有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)上的電子就少于一半，有一半量子態(tài)被電子所占據(jù)的能級(jí)必定降低，也就是說，溫度升高，費(fèi)米能反而降低。4 為什么價(jià)電子的濃度越大，價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大？解答 由于絕對(duì)零度時(shí)和常溫下電子的平均動(dòng)能十分相近，我們討論絕對(duì)零度時(shí)電子的平均動(dòng)能與電子的濃度的關(guān)系。價(jià)電子的濃度越大，價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大，這是金屬中的價(jià)電子遵從費(fèi)米狄拉克統(tǒng)計(jì)分布的必

3、然結(jié)果。在絕對(duì)零度時(shí)，電子不可能都處于最低能級(jí)上，而是在費(fèi)米球中均勻分布。由式 可知，價(jià)電子的濃度越大費(fèi)米球的半徑就越大，高能量的電子就越多，價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大。這一點(diǎn)從和式看得更清楚。電子的平均動(dòng)能正比于費(fèi)米能 ，而費(fèi)米能又正比于電子濃度。所以價(jià)電子的濃度越大，價(jià)電子的平均動(dòng)能就越大。5 兩塊同種金屬，溫度不同，接觸后，溫度未達(dá)到相等前，是否存在電勢(shì)差？為什么？解答 兩塊同種金屬，溫度分別為和，且。在這種情況下，溫度為的金屬高于費(fèi)米能的電子數(shù)目，多于溫度為的金屬高于費(fèi)米能的電子數(shù)目。兩塊同種金屬接觸后，系統(tǒng)的能量要取最小值，溫度為的金屬高于的部分電子將流向溫度為的金屬。溫度未達(dá)到相等前，

4、這種流動(dòng)一直持續(xù)，期間，溫度為的金屬失去電子，帶正電；溫度為的金屬得到電子，帶負(fù)電，兩者出現(xiàn)電勢(shì)差。6 為什么價(jià)電子的濃度越高，電導(dǎo)率越大？解答 電導(dǎo)是金屬通流能力的量度。通流能力取決于單位時(shí)間內(nèi)通過截面積的電子數(shù)。但并不是所有價(jià)電子對(duì)導(dǎo)電都有貢獻(xiàn)，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的是費(fèi)米面附近的電子。費(fèi)米球越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多。費(fèi)米球的大小取決于費(fèi)米半徑。 可見電子濃度越高，費(fèi)米球越大，對(duì)導(dǎo)電有貢獻(xiàn)的電子數(shù)目就越多，該金屬的電導(dǎo)率就越高。7 一金屬體積為，價(jià)電子總數(shù)為，以自由電子氣模型，（1）在絕熱條件下導(dǎo)出電子氣體的壓強(qiáng)為： ，其中電子氣體的基態(tài)能量（2）證明電子氣體的體積彈性模量 。解答 （1

5、） 在絕熱近似條件下，外場(chǎng)力對(duì)電子氣作的功等于系統(tǒng)內(nèi)能的增加，即 式中p是電子氣的壓強(qiáng)。由上式可得 在常溫條件下，忽略掉溫度對(duì)內(nèi)能的影響，則由 由此可得到 （2） 體積彈性模量與壓強(qiáng)p和體積的關(guān)系為 ，將代入體積彈性模量與壓強(qiáng)p和體積的關(guān)系式，得到 8 每個(gè)原子占據(jù)的體積為 ，絕對(duì)零度時(shí)價(jià)電子的費(fèi)米半徑為 ，計(jì)算每個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目。解答 在絕對(duì)零度時(shí)導(dǎo)電電子的費(fèi)米半徑 ?，F(xiàn)已知一金屬導(dǎo)電電子的費(fèi)米半徑 ，所以，該金屬中導(dǎo)電電子的密度 。是一個(gè)原子占據(jù)的體積，由此可知，該金屬的原子具有兩個(gè)價(jià)電子。 9 求出絕對(duì)零度時(shí)費(fèi)米能 、電子濃度 、能態(tài)密度及電子比熱與費(fèi)米半徑的關(guān)系。解答 絕對(duì)零度時(shí)電子

6、的費(fèi)米半徑 。電子濃度與費(fèi)米半徑的關(guān)系是 。絕對(duì)零度時(shí)電子的費(fèi)米能與費(fèi)米半徑的關(guān)系為 自由電子的能態(tài)密度是 由此可得 平均一個(gè)電子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)為 因?yàn)?所以一個(gè)電子的熱容與費(fèi)米半徑的關(guān)系為 10 經(jīng)典理論認(rèn)為，所有價(jià)電子都參與導(dǎo)電，電流密度與所有電子的飄移速度的關(guān)系是 已知銅的電子濃度，試比較費(fèi)米速度和飄移速度解答是費(fèi)米面上電子的動(dòng)量，電子的費(fèi)米速度則為 將漂移速度 與費(fèi)米速度比較，得 將 ， ， ， ， 代入上式，得到 可見如果認(rèn)為所有價(jià)電子都參與導(dǎo)電，則價(jià)電子的飄移速度將遠(yuǎn)小于費(fèi)米面上電子的速度。這一點(diǎn)也不難理解，因?yàn)榱孔永碚撜J(rèn)為，參與導(dǎo)電的電子只是費(fèi)米面附近的少數(shù)電子。如果把費(fèi)米面附近

7、的電子對(duì)電流的貢獻(xiàn)也粗略地寫成 由于 ，所以。第二章 晶體的結(jié)構(gòu)1晶面指數(shù)為（123）的晶面abc是離原點(diǎn)o最近的晶面，0a ，0b和0c分別與基矢，和重合，除0點(diǎn)外，0a ，0b ，和0c上是否有格點(diǎn)？若abc面的指數(shù)為（234），情況又如何？ 解答 晶面家族（123）截， ，和分別為1，2，3等份，abc面是離原點(diǎn)0最近的晶面，0a的長度等于長度，0b的長度等于的長度的1/2 ，0c的長度等于的長度的1/3 ，所以只有a點(diǎn)是格點(diǎn)。若abc面的指數(shù)為（234）的晶面族，則a、b、和c都不是格點(diǎn)。2在結(jié)晶學(xué)中，晶胞是按晶體的什么特性選取的？解答 在結(jié)晶學(xué)中，晶胞選取的原則是既要考慮晶體結(jié)構(gòu)的周

8、期性又要考慮晶體的宏觀對(duì)稱性。3. 在晶體衍射中，為什么不能用可見光？解答 晶體中原子間距的數(shù)量級(jí)為米，要使原子晶格成為光波的衍射光柵，光波的波長應(yīng)小于米。但可見光的波長為7.6 米,是晶體中原子間距的1000倍。因此，在晶體衍射中，不能用可見光。4溫度升高時(shí)，衍射角如何變化？x光波長變化時(shí)，衍射角如何變化？解答 溫度升高時(shí)，由于熱膨脹，面間距逐漸變大，由布拉格反射公式 可知，對(duì)應(yīng)同一級(jí)衍射，當(dāng)x光波長不變時(shí)，面間距逐漸變大，衍射角逐漸變小。所以溫度升高，衍射角變小。當(dāng)溫度不變，x光波長變大時(shí)，對(duì)于同一晶面族，衍射角隨之變大。5以剛性原子球堆積模型，計(jì)算以下各結(jié)構(gòu)的致密度（一個(gè)晶胞中剛性原子球

9、占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度）分別為：（1）簡(jiǎn)立方， ； （2）體心立方， ；（3）面心立方， ； （4）金剛石結(jié)構(gòu)， 。解答 該想晶體是由剛性原子球堆積而成。一個(gè)晶胞中剛性原子球占據(jù)的體積與晶胞體積的比值稱為結(jié)構(gòu)的致密度。 設(shè)為一個(gè)晶胞中剛性原子球數(shù)，表示剛性原子球半徑，表示晶胞體積，則致密度 （1） 對(duì)簡(jiǎn)立方晶體，任一個(gè)原子有6個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖2.1所示，中心在1，2，3，4處的原子球?qū)⒁来蜗嗲?。因?yàn)?， ，晶胞內(nèi)包含1個(gè)原子，所以 。（2） 對(duì)體心立方晶體，任一個(gè)原子有8個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖2.2所示，體心位置o的原子與處在8個(gè)角頂位置的原子

10、球相切。因?yàn)榫О臻g對(duì)角線的長度為 ， ，晶胞內(nèi)包含2個(gè)原子，所以 。（3）對(duì)面心立方晶體，任一個(gè)原子有12個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖2.3所示，中心位于角頂?shù)脑优c相鄰的3個(gè)面心原子相切。因?yàn)?， ，1個(gè)晶胞內(nèi)包含4個(gè)原子，所以 。（4）對(duì)金剛石結(jié)構(gòu)，任一個(gè)原子有4個(gè)最近鄰，若原子以剛性球堆積，如圖2.4所示，中心在空間對(duì)角線四分之一處的o原子與中心在1，2，3，4處的面心原子相切，因?yàn)?晶胞體積 1個(gè)晶胞內(nèi)包含8個(gè)原子，所以 。6 在立方晶胞中，畫出（101），（021）晶面。解答圖2.5中虛線標(biāo)出的面即是所求的晶面。7. 六角晶胞的基矢 , ，。求其倒格基矢。解答 晶胞體積為 。

11、其倒格矢為 。 。 。8 證明以下結(jié)構(gòu)晶面族的面間距： （1）立方晶系：；（2）正交晶系：；（3）六角晶系：。 解答（1）設(shè)沿立方晶系晶軸的單位矢量分別為，則正格子基矢為 ， ， ，倒格子基矢為 ， ， 。與晶面族（）正交的倒格矢 。 由晶面間距與倒格矢 的關(guān)系式 得 。（2）對(duì)于正交晶系，晶胞基矢，相互垂直，但晶格常數(shù)，設(shè)沿晶軸，的單位矢量分別為， 則正格子基矢為 ， ， 倒格子基矢為 ， ， 。與晶面族（）正交的倒格矢 。由晶面間距與倒格矢 的關(guān)系式 得 。（3）對(duì)于六角晶系，晶面族（）的面間距 也即 （1）由圖2.8可求得六角晶胞的體積 。 倒格基矢的模 。 。倒格基矢間的點(diǎn)積其中利用了

12、矢量混合積的循環(huán)關(guān)系 及關(guān)系式 。 因?yàn)?矢量平行于c ，所以 ， 。將以上諸式代入（1）式，得 ，即 。9求晶格常數(shù)為的面心立方和體心立方晶體晶面族的面間距。解答 面心立方正格子的原胞基矢為 ， ， 由 ， ， ，可得其倒格子基矢為 ， ， ，倒格矢 根據(jù)式 ，得面心立方晶體晶面族的面間距 。體心立方正格子原胞基矢可取為 ， ， 。其倒格子基矢為 ， ， 。則晶面族的面間距為 。10 試證三角晶系的倒格子也屬于三角晶系。解答 對(duì)于三角晶系，其三個(gè)基矢量的大小相等，且它們相互間的夾角也相等，即 ， 。利用正倒格子的關(guān)系，得 ， 。 （1）設(shè)與的交角為 ，與的交角為 , 與的交角為 ,則有 （2

13、） 由（1）和（2）式得 。由和可得 ， ?？梢姷垢窕概c的交角，與的交角, 與的交角都相等。這表明三個(gè)倒格基矢的長度不僅相等，且它們之間的夾角也相等，所以三角晶系的倒格子也屬于三角晶系。11一維原子鏈?zhǔn)怯?，兩種原子構(gòu)成，設(shè) ，原子的散射因子分別為 和 ，入射射線垂直于原子鏈，證明（1） 衍射極大條件是 ，是晶格常數(shù)，是衍射束與原子鏈的夾角.（2） 當(dāng)h為奇數(shù)，衍射強(qiáng)度比例于.（3） 討論 情況. 解答（1） 如圖1所示，設(shè)原子是等間距的，衍射光束與原子鏈的夾角為，當(dāng)入射光垂直于原子鏈時(shí)，原子或原子散射波的光程差為。當(dāng) 時(shí)，各原子（或原子）的散射波的相位差為0 ，散射波相互加強(qiáng)，形成很強(qiáng)的衍

14、射光。 （2） 一個(gè)原胞內(nèi)包含 ， 兩個(gè)原子，取 原子的坐標(biāo)為（000） ，原子的坐標(biāo)為（）。倒格矢，則幾何結(jié)構(gòu)因子 ，衍射光的強(qiáng)度，因此從上式可知，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，衍射光的強(qiáng)度正比于。 （3） 若，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，衍射光的強(qiáng)度為0 。這時(shí)，原子與原子的散射波的相位差為 ，相位相反，互相抵消，即對(duì)應(yīng)消光現(xiàn)象。 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，衍射光的強(qiáng)度最強(qiáng) ，。 第三章 能帶論1布洛赫函數(shù)滿足 ，何以見得上式中k具有波矢的意義？解答 人們總可以把布洛赫函數(shù)展成付里葉級(jí)數(shù) ,其中是電子的波矢。將代入 得到 其中利用了是整數(shù)），由上式可知， 即 具有波矢的意義。2 波矢空間與倒格空間有何關(guān)系？為什么說波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)是準(zhǔn)

15、連續(xù)的？解答 波矢空間與倒格空間處于統(tǒng)一空間，倒格空間的基矢分別為 ， ， ，而波矢空間的基矢分別為 ， ， ； ， ，分別是沿正格基矢 ， ，方向晶體的原胞數(shù)目。倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 ，波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積為 即波矢空間中一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積，是倒格空間中一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積的 。由于是晶體的原胞數(shù)目，數(shù)目巨大，所以一個(gè)波矢點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積與一個(gè)倒格點(diǎn)對(duì)應(yīng)的體積相比是極其微小的。也就是說， 波矢點(diǎn)在倒格空間看是極其稠密的。因此，在波矢空間內(nèi)作求和處理時(shí)，可把波矢空間內(nèi)的狀態(tài)點(diǎn)看成是準(zhǔn)連續(xù)的。3與布里淵區(qū)邊界平行的晶面族對(duì)什么狀態(tài)的電子具有強(qiáng)烈的散射作用？解答 當(dāng)電子的波矢滿

16、足關(guān)系式 時(shí)，與布里淵區(qū)邊界平行且垂直于的晶面族對(duì)波矢為的電子具有強(qiáng)烈的散射作用。此時(shí)，電子的波矢很大，波矢的末端落在了布里淵區(qū)邊界上，垂直于布里淵區(qū)邊界的分量的模等于。4一維周期勢(shì)函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù) 中，指數(shù)函數(shù)的形式是由什么條件決定的？解答 周期勢(shì)函數(shù)付里葉級(jí)數(shù)的通式為 。上式必須滿足勢(shì)場(chǎng)的周期性，即顯然 。要滿足上式，必為倒格矢 ?？梢娭芷趧?shì)函數(shù)的付里葉級(jí)數(shù)中指數(shù)函數(shù)的形式是由其周期性決定的。5在布里淵區(qū)邊界上電子的能帶有何特點(diǎn)？解答 電子的能帶依賴于波矢的方向，在任一方向上，在布里淵區(qū)邊界上，近自由電子的能帶一般會(huì)出現(xiàn)禁帶。若電子所處的邊界與倒格矢正交，邊界是的中垂面，則禁帶的寬度 ，是

17、周期勢(shì)場(chǎng)的付里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)。 不論何種電子，在布里淵區(qū)邊界上，其等能面在垂直于布里淵區(qū)邊界的方向上的斜率為零，即電子的等能面與布里淵區(qū)邊界正交。6緊束縛模型電子的能量是正值還是負(fù)值？解答 緊束縛模型電子在原子附近的幾率大，遠(yuǎn)離原子的幾率很小，在原子附近它的行為同在孤立原子的行為相近。因此，緊束縛模型電子的能量與在孤立原子中的能量相近。孤立原子中電子的能量是一負(fù)值，所以緊束縛模型電子的能量是負(fù)值。態(tài)電子能量表達(dá)式 即是例證。其中孤立原子中電子的能量是主項(xiàng)，是一負(fù)值，和是小量，也是負(fù)值。7緊束縛模型下內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比較，哪一個(gè)寬？為什么？解答 以態(tài)電子為例，緊束縛模型電子能帶的寬

18、度取決于積分的大小，而積分的大小又取決于與相鄰格點(diǎn)的的交疊程度。緊束縛模型下，內(nèi)層電子的與交疊程度小，外層電子的與交疊程度大。因此，緊束縛模型下，內(nèi)層電子的能帶與外層電子的能帶相比，外層電子的能帶寬。8晶格常數(shù)為的一維晶體中，電子的波函數(shù)為（1） ， （2） ，f 是某一函數(shù) ，求電子在以上狀態(tài)中的波矢。解答 由式 可知，在一維周期勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的電子的波函數(shù)滿足 。由此得 （1） 于是 因此得 ， ， ，若只取布里淵區(qū)內(nèi)的值： ， 則有（2） ， 令 ，得 由上式知 所以有 ， ， ， ，由此得在布里淵區(qū)內(nèi)的值為 。9 一維周期勢(shì)場(chǎng)為 其中 , 為常數(shù)，求出勢(shì)能的平均值。解答 由于勢(shì)能具有周期性

19、，因此只在一個(gè)周期內(nèi)求平均即可，于是得10. 用緊束縛方法處理體心立方晶體，求出態(tài)電子的能帶為 解答 用緊束縛方法處理晶格的態(tài)電子，當(dāng)只計(jì)及最近鄰格點(diǎn)的相互作用時(shí)，其能帶的表示式為 ，是最近鄰格矢。對(duì)體心立方晶格，取參考格點(diǎn)的坐標(biāo)為（0，0，0），則8個(gè)最近鄰格點(diǎn)的坐標(biāo)為 。將上述8組坐標(biāo)代入能帶的表示式，得 第七章 固體中的原子鍵合1 是否有與庫侖力無關(guān)的晶體結(jié)合類型？解答 共價(jià)結(jié)合中，電子雖然不能脫離電負(fù)性大的原子，但靠近的兩個(gè)電負(fù)性大的原子可以各出一個(gè)電子，形成電子共享的形式，即這一對(duì)電子的主要活動(dòng)范圍處于兩個(gè)原子之間，通過庫侖力，把兩個(gè)原子連接起來。離子晶體中，正離子與負(fù)離子的吸引力就

20、是庫侖力。金屬結(jié)合中，原子實(shí)依靠原子實(shí)與電子云間的庫侖力緊緊地吸引著。分子結(jié)合中，是電偶極矩把原本分離的原子結(jié)合成了晶體。電偶極矩的作用力實(shí)際就是庫侖力。氫鍵結(jié)合中，氫先與負(fù)性大的原子形成共價(jià)結(jié)合后，氫核與負(fù)電中心不在結(jié)合，迫使它通過庫侖力再與另一個(gè)電負(fù)性大的原子結(jié)合?？梢?，所有晶體結(jié)合類型都與庫侖力有關(guān)。2 如何理解庫侖力是原子結(jié)合的動(dòng)力？解答 晶體結(jié)合中，原子間的排斥力是短程力，在原子吸引靠近的過程中，把原本分離的原子拉近的動(dòng)力只能是長程力，這個(gè)長程吸引力就是庫侖力。所以，庫侖力是原子結(jié)合的動(dòng)力。3 晶體的結(jié)合能，晶體的內(nèi)能，原子間的相互作用勢(shì)能有何區(qū)別？解答 自由粒子結(jié)合成晶體過程中釋放

21、出的能量，或者把晶體拆散成一個(gè)個(gè)自由粒子所需要的能量，稱為晶體的結(jié)合能。原子的動(dòng)能與原子間的相互作用勢(shì)能之和為晶體的內(nèi)能。在ok時(shí)，原子還存在零點(diǎn)振動(dòng)能。但零點(diǎn)振動(dòng)能與原子間的相互作用勢(shì)能的絕對(duì)值相比小得多。所以，在ok時(shí)原子間的相互作用勢(shì)能的絕對(duì)值近似等于晶體的結(jié)合能。4 原子間的排斥作用取決于什么原因？解答 相鄰的原子靠得很近，以至于它們內(nèi)層閉合殼層的電子云發(fā)生重疊時(shí)，相鄰的原子間便產(chǎn)生巨大排斥力。也就是說，原子間的排斥作用來自相鄰原子內(nèi)層閉合層殼電子云的重疊。5 原子間的排斥作用和吸引作用有何關(guān)系？起主導(dǎo)的范圍是什么？解答 在原子由分散無規(guī)則的中性原子結(jié)合成規(guī)則排列的晶體過程中，吸引力起

22、了主要作用。在吸引力的作用下，原子間的距離縮小到一定程度，原子間才出現(xiàn)排斥力。當(dāng)排斥力與吸引力相等時(shí)，晶體達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài)?？梢?，晶體要達(dá)到穩(wěn)定結(jié)合狀態(tài)，吸引力與排斥力缺一不可。設(shè)此時(shí)相鄰原子間的距離為，當(dāng)相鄰原子間的距離 時(shí)，吸引力起主導(dǎo)作用；當(dāng)相鄰原子間的距離時(shí)，排斥力起主導(dǎo)作用。6 共價(jià)結(jié)合為什么有“飽和性”和“方向性”？解答 設(shè)n為一個(gè)原子的價(jià)電子數(shù)目，對(duì)于a，a，a，a族元素，價(jià)電子殼層一共有8個(gè)量子態(tài)，最多能接納（8n）個(gè)電子，形成（8n）個(gè)共價(jià)鍵，這就是共價(jià)結(jié)合的“飽和性”。共價(jià)鍵的形成只在特定的方向上，這些方向是配對(duì)電子波函數(shù)的對(duì)稱軸方向，在這個(gè)方向上交迭的電子云密度最大。這就

23、是共價(jià)結(jié)合的“方向性”。7 共價(jià)結(jié)合，兩原子電子云交疊產(chǎn)生吸引，而原子靠近時(shí)，電子云交疊會(huì)產(chǎn)生巨大的排斥力，如何解釋？解答 共價(jià)結(jié)合，形成共價(jià)鍵的配對(duì)電子，它們的自旋方向相反，這兩個(gè)電子的電子云交迭使得體系的能量降低，結(jié)構(gòu)穩(wěn)定。但當(dāng)原子靠得很近時(shí)，原子內(nèi)部滿殼層電子的電子云交迭，量子態(tài)相同的電子產(chǎn)生巨大的排斥力，使得系統(tǒng)的能量急劇增大。8 試解釋一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子一定要放出能量的現(xiàn)象。解答 當(dāng)一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子變成一個(gè)負(fù)離子，這個(gè)電子能穩(wěn)定地進(jìn)入原子的殼層中，這個(gè)電子與原子核的庫侖吸引能的絕對(duì)值一定大于它與其他電子的排斥能。但這個(gè)電子與原子核的庫侖吸引能是一個(gè)負(fù)值。也就是說，當(dāng)中性

24、原子吸收一個(gè)電子變成負(fù)離子后，這個(gè)離子的能量要低于中性原子的能量。因此，一個(gè)中性原子吸收一個(gè)電子一定要放出能量。9 為什么許多金屬為密積結(jié)構(gòu)？解答 金屬結(jié)合中，受到最小能量原理的約束，要求原子實(shí)與共有電子電子云間的庫侖能要盡可能的低。原子實(shí)越緊湊，原子實(shí)與共有電子電子云靠得就越緊密，庫侖能就越低。所以，許多金屬的結(jié)構(gòu)為密積結(jié)構(gòu)。10 何為雜化軌道？解答 為了解釋金剛石中碳原子具有4個(gè)等同的共價(jià)鍵，1931年泡林（pauling）和斯萊特(slater)提出了雜化軌道理論，碳原子有4個(gè)價(jià)電子，它們分別對(duì)應(yīng) ， ， ，量子態(tài)，在構(gòu)成共價(jià)鍵時(shí)，它們組成了4個(gè)新的量子態(tài)；。4個(gè)電子分別占據(jù) ， ，新軌

25、道，在四面體頂角方向形成4個(gè)共價(jià)鍵。11 一維原子鏈，正負(fù)離子間距為，試證：馬德隆常數(shù)為 。解答 相距的兩個(gè)離子間的互相作用勢(shì)能可表示成 。設(shè)最近鄰原子間的距離為，則有 ，則總的離子間的互作用勢(shì)能。其中 為離子晶格的馬德隆常數(shù)，式中+、號(hào)分別對(duì)應(yīng)于參考離子相異和相同的離子。任選一正離子作為參考離子，在求和中對(duì)負(fù)離子取正號(hào)，對(duì)正離子取負(fù)號(hào)，考慮到對(duì)一維離子鏈，參考離子兩邊的離子是正負(fù)對(duì)稱分布的，則有 。利用下面的展開式ln，并令 ，得 ln（1+1）=ln2于是，一維離子鏈的馬德隆常數(shù)為 2 ln2。12 設(shè)離子晶體中，離子間的互作用勢(shì)為。證明：晶體平衡時(shí)，離子間總的相互作用勢(shì)能，其中z是晶體配

26、位數(shù)。證明： 設(shè)離子數(shù)目為2n ，以表示第j 個(gè)離子到參考離子i 的距離，忽略表面效應(yīng)，則總的相互作用能可表示為 ，其中 為馬德隆常數(shù)，+號(hào)對(duì)應(yīng)于異號(hào)離子，號(hào)對(duì)應(yīng)于同號(hào)離子；z為任一離子的最近鄰數(shù)目。設(shè)平衡時(shí)，由平衡條件， 得 ，即。于是，晶體平衡時(shí)離子間總的相互作用勢(shì)能 。13 兩原子間互作用勢(shì) 當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子時(shí)，核間距為，解離能為4ev，求。解答 當(dāng)兩原子構(gòu)成一穩(wěn)定分子即平衡時(shí)，其相互作用勢(shì)能取極小值，于是有 。由此得平衡時(shí)兩原子間的距離為 ····（1）而平衡時(shí)的勢(shì)能為 ····（2）根據(jù)定義，解離能

27、為物體全部離解成單個(gè)原子時(shí)所需要的能量，其值等于。已知解離能為4ev，因此得 ev····（3） 再將代入（1）、（3）兩式，得 , 。14 勒納瓊斯勢(shì)為 證明：時(shí)，勢(shì)能最小，且；當(dāng)時(shí)，；說明和的物理意義。解答 當(dāng)時(shí)，取最小值，由極值條件 ， 得 。于是有 。再代入u 的表示式得 。當(dāng)時(shí)，則有 。由于是兩分子間的結(jié)合能，所以即是兩分子處于平衡時(shí)的結(jié)合能。具有長度的量綱，它的物理意義是互作用勢(shì)能為0時(shí)兩分子間的間距。第八章 缺陷1為什么形成一個(gè)肖脫基缺陷所需能量比形成一個(gè)弗侖克爾缺陷所需能量低？解答 形成一個(gè)肖特基缺陷時(shí)，晶體內(nèi)留下一個(gè)空位，晶體表面多一個(gè)

28、原子。因此形成一個(gè)肖特基缺陷所需的能量，可以看成晶體表面一個(gè)原子與其他原子的作用能，和晶體內(nèi)部一個(gè)原子與其他原子的相互作用能的差值。形成一個(gè)弗侖克爾缺陷時(shí)，晶體內(nèi)留下一個(gè)空位，多一個(gè)填隙原子。因此形成一個(gè)弗侖克爾缺陷所需要的能量，可以看成晶體內(nèi)部一個(gè)填隙原子與其他原子的相互作用能，和晶體內(nèi)部一個(gè)原子與其他原子相互作用能的差值。填隙原子與相鄰原子的距離非常小，它與其他原子的排斥能比正常原子間的排斥能大得多。由于排斥能是正值，包括吸引能和排斥能的相互作用能是負(fù)值，所以填隙原子與其他原子的相互作用能絕對(duì)值，比晶體表面一個(gè)原子與其他原子相互作用能的絕對(duì)值要小。也就是說，形成一個(gè)肖特基缺陷所需能量比形成

29、一個(gè)弗侖克爾缺陷所需能量要低。2金屬淬火后為什么變硬？解答 晶體的一部分相對(duì)于另一部分的滑移，實(shí)際是位錯(cuò)線的滑移，位錯(cuò)線的移動(dòng)是逐步進(jìn)行的，使得滑移的切應(yīng)力最小。這就是金屬一般較軟的原因之一。顯然，要提高金屬的強(qiáng)度和硬度，似乎可以通過消除位錯(cuò)的辦法來實(shí)現(xiàn)。但事實(shí)上位錯(cuò)是很難消除的。相反，要提高金屬的強(qiáng)度和硬度，通常采用增加位錯(cuò)的辦法來實(shí)現(xiàn)。金屬淬火就是增加位錯(cuò)的有效辦法。將金屬加熱到一定高溫，原子振動(dòng)的幅度比常溫時(shí)的幅度大得多，原子脫離正常格點(diǎn)的幾率比常溫時(shí)大得多，晶體中產(chǎn)生大量的空位、填隙缺陷。這些點(diǎn)缺陷容易形成位錯(cuò)。也就是說，在高溫時(shí)，晶體內(nèi)的位錯(cuò)缺陷比常溫時(shí)多得多。高溫的晶體在適宜的液體

30、中急冷，高溫時(shí)新產(chǎn)生的位錯(cuò)來不及恢復(fù)和消退，大部分被存留下來。數(shù)目眾多的位錯(cuò)相互交織在一起，某一方向的位錯(cuò)的滑移，會(huì)受到其他方向位錯(cuò)的牽制，使位錯(cuò)滑移的阻力大大增加，使得金屬變硬。3在位錯(cuò)滑移時(shí)，刃位錯(cuò)上原子受的力和螺位錯(cuò)上原子受的力各有什么特點(diǎn)？解答 在位錯(cuò)滑移時(shí)，刃位錯(cuò)上原子受力的方向就是位錯(cuò)滑移的方向。但螺位錯(cuò)滑移時(shí)，螺位錯(cuò)上原子受力的方向與位錯(cuò)滑移的方向相垂直。 4離子晶體中正負(fù)離子空位數(shù)目、填隙原子數(shù)目都相等，在外電場(chǎng)作用下，它們對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)完全相同嗎？解答 在正負(fù)離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等情況下，離子晶體的熱缺陷對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)只取決于它們的遷移率 。設(shè)正離子空位附近的離子和填隙

31、離子的振動(dòng)頻率分別為 和 ，正離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢(shì)壘高度分別為和 ，負(fù)離子空位附近的離子和填隙離子的振動(dòng)頻率分別為和 ，負(fù)離子空位附近的離子和填隙離子跳過的勢(shì)壘高度分別為 和 ，則有 ，。由空位附近的離子跳到空位上的幾率，比填隙離子跳到相鄰間隙位置上的幾率大得多，可以推斷出空位附近的離子跳過的勢(shì)壘高度，比填隙離子跳過的勢(shì)壘高度要低，即< , < 。 <, < ，另外，由于 和的離子半徑不同，質(zhì)量不同，所以一般 ， .也就是說，一般。因此，即使離子晶體中正負(fù)離子空位數(shù)目、填隙離子數(shù)目都相等，在外電場(chǎng)作用下，它們對(duì)導(dǎo)電的貢獻(xiàn)一般也不會(huì)相同。5 晶體結(jié)構(gòu)對(duì)缺陷

32、擴(kuò)散有何影響？解答 擴(kuò)散是自然界中普遍存在的現(xiàn)象，它的本質(zhì)是離子作無規(guī)則的布郎運(yùn)動(dòng)。通過擴(kuò)散可實(shí)現(xiàn)質(zhì)量的輸運(yùn)。晶體中缺陷的擴(kuò)散現(xiàn)象與氣體分子的擴(kuò)散相似，不同之處是缺陷在晶體中運(yùn)動(dòng)要受到晶格周期性的限制，要克服勢(shì)壘的阻擋，對(duì)于簡(jiǎn)單晶格，缺陷每跳一步的間距等于跳躍方向上的周期。6 一個(gè)空位花費(fèi)多長時(shí)間才被復(fù)合掉？解答 對(duì)于借助于空位進(jìn)行擴(kuò)散的正常晶格上的原子，只有它相鄰的一個(gè)原子成為空位時(shí)，它才擴(kuò)散一步，所需等待的時(shí)間是 。但它相鄰的一個(gè)原子成為空位的幾率是，所以它等待到這相鄰原子成為空位，并跳到此空位上所花費(fèi)的時(shí)間 。7 自擴(kuò)散系數(shù)的大小與哪些因素有關(guān)？解答 填隙原子機(jī)構(gòu)的自擴(kuò)散系數(shù)與空位機(jī)構(gòu)自

33、擴(kuò)散系數(shù)可統(tǒng)一寫成 可以看出，自擴(kuò)散系數(shù)與原子的振動(dòng)頻率 ，晶體結(jié)構(gòu)（晶格常數(shù)），激活能（）三因素有關(guān)。8 替位式雜質(zhì)原子擴(kuò)散系數(shù)比晶體缺陷自擴(kuò)散系數(shù)大的原因是什么？解答 占據(jù)正常晶格位置的替位式雜質(zhì)原子，它的原子半徑和電荷量都或多或少與母體原子半徑和電荷量不同。這種不同就會(huì)引起雜質(zhì)原子附近的晶格發(fā)生畸變，使得畸變區(qū)出現(xiàn)空位的幾率大大增加，進(jìn)而使得雜質(zhì)原子跳向空位的等待時(shí)間大為減少，加大了雜質(zhì)原子的擴(kuò)散速度。9 你認(rèn)為自擴(kuò)散系數(shù)的理論值比實(shí)驗(yàn)值小很多的主要原因是什么？解答 目前固體物理教科書對(duì)自擴(kuò)散的分析，是基于點(diǎn)缺陷的模型，這一模型過于簡(jiǎn)單，與晶體缺陷的實(shí)際情況可能有較大差異，實(shí)際晶體中，不

34、僅存在點(diǎn)缺陷，還存在線缺陷和面缺陷，這些尺度更大的缺陷可能對(duì)擴(kuò)散起重要影響。也許沒有考慮線缺陷和面缺陷對(duì)擴(kuò)散系數(shù)的貢獻(xiàn)是理論值比實(shí)驗(yàn)值小很多的主要原因。10離子晶體的導(dǎo)電機(jī)構(gòu)有幾種？解答 離子晶體導(dǎo)電是離子晶體中的熱缺陷在外電場(chǎng)中的定向漂移引起的，離子晶體中有4種缺陷：填隙離子， 填隙離子，空位，空位。也就是說，離子晶體的導(dǎo)電機(jī)構(gòu)有4種?？瘴坏臄U(kuò)散實(shí)際是空位附近離子跳到空位位置，原來離子的位置變成空位。離子晶體中，空位附近都是負(fù)離子，空位附近都是正離子。由此可知，空位的移動(dòng)實(shí)際是負(fù)離子的移動(dòng)，空位的移動(dòng)實(shí)際是正離子的移動(dòng)。因此，在外電場(chǎng)的作用下，填隙離子和空位的漂移方向與外電場(chǎng)方向一致，而填隙

35、離子和空位的漂移方向與外電場(chǎng)方向相反。11假設(shè)把一個(gè)na原子從na晶體中移到表面上所需的能量為1ev，計(jì)算室溫時(shí)肖脫基缺陷的相對(duì)濃度.解答 對(duì)于肖特基缺陷，在單原子晶體中空位數(shù)為 式中為原子數(shù)，為將一個(gè)原子由晶體內(nèi)的格點(diǎn)移到表面所需的能量。取室溫時(shí)，得室溫時(shí)肖脫基缺陷的相對(duì)濃度 12在離子晶體中，由于電中性的要求，肖脫基缺陷都成對(duì)地產(chǎn)生，令n代表正負(fù)離子空位的對(duì)數(shù)，e是形成一對(duì)肖脫基缺陷所需要的能量，n為整個(gè)離子晶體中正負(fù)離子對(duì)的數(shù)目，證明：。解答 由個(gè)正離子中取出個(gè)正離子形成個(gè)空位的可能方式數(shù)為 同樣，由個(gè)負(fù)離子中取出個(gè)負(fù)離子形成個(gè)空位的可能方式數(shù)也為 因此，在晶體中形成n對(duì)正、負(fù)離子空位的

36、可能方式數(shù)為 與無空位時(shí)相比，晶體熵的增量為 1n1n若不考慮空位的出現(xiàn)對(duì)離子振動(dòng)的影響，晶體的自由能 1n,其中 是只與晶體體積有關(guān)的自由能。利用平衡條件 及斯特林公式 1nn!=n1nn-nn1nn得 n1nn -（n-）1n（n-）-1n=1n由此得 由于 ，因此得 13試求有肖脫基缺陷后，上題中的體積的相對(duì)變化v/v。v為無缺陷時(shí)的晶體體積。解答 肖脫基缺陷是晶體內(nèi)部的原子跑到晶體表面上，而使原來的位置變成空位。也就是說，肖脫基缺陷將引起晶體體積的增大。設(shè)每個(gè)離子占據(jù)體積為 ，則當(dāng)出現(xiàn)對(duì)正、負(fù)離子空位時(shí)，所增加的體積為 .而晶體原體積為 由以上兩式及上題中的結(jié)果 得 第五章 晶格振動(dòng)習(xí)

37、題和答案 1什么叫簡(jiǎn)正振動(dòng)模式？簡(jiǎn)正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是否是一回事？ 解答 為了使問題既簡(jiǎn)化又能抓住主要矛盾，在分析討論晶格振動(dòng)時(shí)，將原子間互作用力的泰勒級(jí)數(shù)中的非線性項(xiàng)忽略掉的近似稱為間諧近似。在間諧近似下，由個(gè)原子構(gòu)成的晶體的晶格振動(dòng)，可等效成3個(gè)獨(dú)立的諧振子的振動(dòng)。每個(gè)諧振子的振動(dòng)模式稱為間正振動(dòng)模式，它對(duì)應(yīng)著所有的原子都以該模式的頻率做振動(dòng)，它是晶格振動(dòng)模式中最簡(jiǎn)單最基本的振動(dòng)方式。原子的振動(dòng)，或者說格波振動(dòng)通常是這3個(gè)簡(jiǎn)正振動(dòng)模式的線性迭加。簡(jiǎn)正振動(dòng)數(shù)目、格波數(shù)目或格波振動(dòng)模式數(shù)目是一回事，這個(gè)數(shù)目等于晶體中所有原子的自由度數(shù)之和，即等3。2長光學(xué)支格波與長聲學(xué)支格

38、波本質(zhì)上有何差別？解答 長光學(xué)支格波的特征是每個(gè)原胞內(nèi)的不同原子做相對(duì)振動(dòng)，振動(dòng)頻略較高，它包含了晶格振動(dòng)頻率最高的振動(dòng)模式。長聲學(xué)支格波的特征原胞內(nèi)的不同原子沒有相對(duì)位移，原胞做整體運(yùn)動(dòng)，振動(dòng)頻率較低，它包含了晶格振動(dòng)頻率最低的振動(dòng)模式，波速是一常數(shù)。任何晶體都存在聲學(xué)支格波，但簡(jiǎn)單晶格（非復(fù)式格子）晶體不存在光學(xué)支格波。3 溫度一定，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目多呢，還是聲學(xué)波的聲子數(shù)目多？ 解答 頻率為的格波的（平均）聲子數(shù)為 因?yàn)楣鈱W(xué)波的頻率比聲學(xué)波的頻率高，（）大于（），所以在溫度一定情況下，一個(gè)光學(xué)波的聲子數(shù)目少于一個(gè)聲學(xué)波的聲子數(shù)目。4 對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式，溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多呢，還是溫度低時(shí)的聲子數(shù)目多呢？解答 設(shè)溫度 ，由于（）大于（），所以對(duì)同一個(gè)振動(dòng)模式，溫度高時(shí)的聲子數(shù)目多于溫度低時(shí)的聲子數(shù)目。5 高溫時(shí)，頻率為的格波的聲子數(shù)目與溫度有何關(guān)系？解答 溫度很高