自動(dòng)控制理論

第八章

非線性控制系統(tǒng)分析主講：徐進(jìn)學(xué)博士教授

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8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.2常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響8.3相平面法8.4描述函數(shù)法OUTLINE?什么是線性？?滿足線性疊加原理的系統(tǒng)稱線性系統(tǒng)。?例如：?若是方程的解，有?也是方程（1）的解,則方程為線性系統(tǒng)，例如：?否則為非線性系統(tǒng)。8.1非線性控制系統(tǒng)概述8.1.1研究非線性系統(tǒng)的方法實(shí)際的控制系統(tǒng)：①線性；②非線性。局限性：不能成為通用方法。用相平面法雖然能夠獲得系統(tǒng)的全部特征，如穩(wěn)定性、過渡過程等，但大于三階的系統(tǒng)無法應(yīng)用。李亞普諾夫法則僅限于分析系統(tǒng)的絕對(duì)穩(wěn)定性問題，而且要求非線性元件的特性滿足一定條件?，F(xiàn)有成果：如頻率域的波波夫判據(jù)，廣義圓判據(jù)，輸入輸出穩(wěn)定性理論等。目前處于發(fā)展階段，遠(yuǎn)非完善。分析非線性系統(tǒng)的主要方法有：⑴描述函數(shù)法;⑵相平面法;⑶李雅普諾夫法線性系統(tǒng)通常是非線性系統(tǒng)在一定范圍的近似。

2.系統(tǒng)的穩(wěn)定性和輸出響應(yīng)不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)（與線性系統(tǒng)相同），還與系統(tǒng)的初始條件及輸入信號(hào)的形式和大小有關(guān)。8.1.2非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)1.不能應(yīng)用疊加原理

3.當(dāng)輸入量為正弦函數(shù)時(shí)，輸出的穩(wěn)態(tài)分量則往往是包含有高次諧波分量的非正弦函數(shù)。而且還可能發(fā)生一些線性系統(tǒng)不會(huì)遇到的現(xiàn)象：

①跳躍諧振：輸入的連續(xù)變化，輸出的幅值和相位在某點(diǎn)發(fā)生突變。

③倍頻振蕩或分頻振蕩：輸出的頻率可能是輸入頻率的整數(shù)倍或反之）。

②頻率捕捉：在一定的條件下，自振蕩頻率可能會(huì)被外加信號(hào)的頻率所改變。

4.在無外加作用的情況下，可能會(huì)產(chǎn)生具有一定頻率和振幅的穩(wěn)定的等幅振蕩，稱為自激振蕩或極限環(huán)（可觀察到)。（線性系統(tǒng)只有在臨界穩(wěn)定的情況下，才產(chǎn)生極限環(huán)，且不穩(wěn)定，不能觀察到。）8.2常見非線性特性及其對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響

在一個(gè)控制系統(tǒng)中,包含有一個(gè)以上的非線性元件，就構(gòu)成了非線性系統(tǒng)。控制系統(tǒng)中的典型非線性特性有：來源：放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。8.2.1飽和特性對(duì)系統(tǒng)的影響：

(1)在大信號(hào)作用下，等效傳遞系數(shù)下降跟蹤誤差，響應(yīng)時(shí)間，穩(wěn)態(tài)誤差。(2)可能使振蕩減弱。(3)可利用飽和特性來保護(hù)系統(tǒng)或元件的安全運(yùn)行。圖8-1飽和特性xya-a斜率k0飽和非線性的輸入輸出關(guān)系及數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：(8-1)8.2.2死區(qū)（不靈敏區(qū)）特性圖8-2死區(qū)特性△-△0斜率kxy死區(qū)非線性的輸入輸出關(guān)系及數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：(8-2)特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)。對(duì)系統(tǒng)的影響：（1）使系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差（尤其是測(cè)量元件）。（2）可能會(huì)提高系統(tǒng)的抗干擾能力或減少振蕩性。來源：各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力等。8.2.3間隙（滯環(huán)）特性圖8-3滯環(huán)特性0yxh-h斜率k其輸入輸出關(guān)系及數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：(8-3)特征：元件開始運(yùn)動(dòng) 輸入信號(hào)<h時(shí)，無輸出信號(hào)； 當(dāng)輸入信號(hào)>h以后，輸出隨輸入線性變化。元件反向運(yùn)動(dòng) 保持在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化瞬間的輸出值； 輸入反向變化>2h，輸出隨輸入線性變化。造成的影響：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動(dòng)特性變壞自持振蕩。所以應(yīng)盡量避免或減小。來源：傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的間隙：①齒輪傳動(dòng)中的齒隙；②液壓傳動(dòng)中的油隙。8.2.4繼電特性(8-4)圖8-4繼電特性0-MMyx其輸入輸出關(guān)系及數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：來源：繼電器是繼電特性的典型元件。造成的影響:(1）改善系統(tǒng)性能，簡(jiǎn)化系統(tǒng)結(jié)構(gòu)。（2）可能會(huì)產(chǎn)生自激振蕩，使系統(tǒng)不穩(wěn)定或穩(wěn)態(tài)誤差增大。其他繼電特性還有：

在非線性系統(tǒng)中，一些更復(fù)雜的非線性特性，其中有些可看成是上述典型特性的不同組合。0yx-MM-hh圖8-5滯環(huán)+繼電0yx-MM-△△圖8-6死區(qū)+繼電0yx-MM-△△圖8-7死區(qū)+滯環(huán)+繼電8.3相平面法相平面法是一種求解一、二階常微分方程的圖解法,即二維狀態(tài)空間法。這種方法的實(shí)質(zhì)是將系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程形象地轉(zhuǎn)化為相平面上一個(gè)點(diǎn)的移動(dòng),通過研究這個(gè)點(diǎn)移動(dòng)的軌跡,就能獲得系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)規(guī)律的全部信息.相平面法可以用來分析一、二階線性或非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性、平衡位置、時(shí)間響應(yīng)、穩(wěn)態(tài)精度以及初始條件和參數(shù)對(duì)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的影響.式中,

是的線性或非線性函數(shù).(8-8)設(shè)二階系統(tǒng)的常微分方程如下：8.3.1相平面法的基本概念

由微分方程的理論可知，只要

是解析的，那么在給定的初始條件下，方程的解是唯一的。這個(gè)唯一的解可以寫成時(shí)間解的形式——x(t),也可以寫成以t為參變量的形式，用來表示。tx(t)圖8-8方程的解x3.相平面圖：相平面及其上的相軌跡族組成的圖形稱為系統(tǒng)的相平面圖。它表示系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過程。2.相平面:

平面稱為相平面。對(duì)于一個(gè)系統(tǒng)，初始條件不同時(shí)，其方程的解也不同。因而針對(duì)不同的初始條件，可以繪出不同的相軌跡。若以各種可能的狀態(tài)作為初始條件，則可得到一組相軌跡族。1.相軌跡：如果我們?nèi)

和作為平面的直角坐標(biāo)，則系統(tǒng)在每一時(shí)刻的均相應(yīng)于平面上的一點(diǎn)。當(dāng)t變化時(shí)，這一點(diǎn)在

平面上將繪出一條相應(yīng)的軌跡-----相軌跡。它描述系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)過程。二階系統(tǒng)微分方程：兩個(gè)獨(dú)立變量： 位置量 速度量 構(gòu)成相平面 為相變量。給定初始條件相變量 在相平面上的運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)軌跡稱為相軌跡。

相平面分析方法:

由于相平面圖表示了系統(tǒng)在各種初始條件下的運(yùn)動(dòng)過程，因而，只要繪出了系統(tǒng)的相平面圖，就可以用它來分析：3）穩(wěn)態(tài)誤差。下面舉二個(gè)例子進(jìn)行說明：1）系統(tǒng)的穩(wěn)定性；2）瞬態(tài)響應(yīng)性能；例8-1.設(shè)系統(tǒng)的微分方程為：

圖中的箭頭表示系統(tǒng)的狀態(tài)沿相軌跡的移動(dòng)方向。

其相平面圖如右圖所示（繪制方法在下節(jié)介紹）1x0p

圖8-9例8-1的相平面圖DABCE18

（1）在各種初始條件下（任意一條相軌跡），系統(tǒng)都趨向原點(diǎn)（0,0）,說明原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡點(diǎn)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的。由圖可知：

可將其狀態(tài)轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為時(shí)間響應(yīng)曲線x(t)來驗(yàn)證如圖8-10所示

（2）如果初始條件為：x(0)=1，。則相應(yīng)的相軌跡為ABCDE0。系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)為阻尼振蕩形式，最大超調(diào)量為p，穩(wěn)態(tài)誤差為零。

10x(t)tABCDE圖8-10例8-1的時(shí)間響應(yīng)曲線

相軌跡如圖.系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方向如箭頭所示。可見，系統(tǒng)的響應(yīng)與初始條件有關(guān),其相軌跡可分為三個(gè)區(qū)域：初始條件：tx(t)01-1例8-2.非線性方程：x-11dx/dt0圖8-11例8-2的相平面圖(3)x(0)<-1:不穩(wěn)定不穩(wěn)定(2)x(0)>1:(1)-1<x(0)<1

時(shí)原點(diǎn)。系統(tǒng)是穩(wěn)定的。響應(yīng)為單調(diào)衰減，且無穩(wěn)態(tài)誤差。如圖8-12所示.圖8-12例8-2的響應(yīng)曲線相平面法的適用范圍:(2)除要求為解析函數(shù)外，別無其它條件(1)因?yàn)橄嗥矫媸嵌S的，∴只適用于一階和二階系統(tǒng)；一、相軌跡的共同特性1.相軌跡的對(duì)稱性設(shè)二階系統(tǒng)的方程為：(8-9)改寫為：(8-10)兩邊除以可得：----相軌跡的斜率方程(8-11)相軌跡的對(duì)稱性可以從對(duì)稱點(diǎn)上相軌跡的斜率來判斷。8.3.2相軌跡的繪制方法即是的偶函數(shù)----相軌跡對(duì)稱于x軸的條件。(8-12)1）若相軌跡對(duì)稱于x軸。則在所有的對(duì)稱點(diǎn)和上，相軌跡的斜率應(yīng)大小相等，符號(hào)相反。即：x0圖8-13

相軌跡對(duì)稱于x軸

2)若相軌跡對(duì)稱于軸，則：0(8-13)圖8-14

相軌跡對(duì)稱于軸即是的奇函數(shù)----相軌跡對(duì)稱于軸的條件。

3）若相軌跡對(duì)稱于原點(diǎn)，其條件是：對(duì)稱點(diǎn)上的斜率應(yīng)大小相等，符號(hào)相同。圖8-15

相軌跡對(duì)稱于原點(diǎn)(8-14)x02.相平面上的奇點(diǎn)

這樣的點(diǎn)稱為普通點(diǎn)。通過普通點(diǎn)的相軌跡只有一條。（即相軌跡曲線不會(huì)在普通點(diǎn)相交）

若相平面中的某點(diǎn)，同時(shí)滿足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率,為不定值，這類特殊點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。通過奇點(diǎn)的相軌跡不止一條，它是相軌跡曲線的交點(diǎn)。

由相軌跡的斜率方程可知,相平面上的點(diǎn)只要不同時(shí)滿足,則該點(diǎn)相軌跡的斜率是唯一確定的。

二階線性系統(tǒng)：奇點(diǎn)是唯一的，位于原點(diǎn)。二階非線性系統(tǒng)：奇點(diǎn)可能不止一個(gè)。3.x軸上相軌跡的斜率4.系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向

由于在x

軸上,,因此除的點(diǎn)（即奇點(diǎn)）外，相軌跡的斜率為:。即除奇點(diǎn)外，相軌跡與x軸垂直相交。

在相平面的上半平面,,即x(t)增大?！嘞到y(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡向右運(yùn)動(dòng)。

在相平面的下半平面,,即x(t)減小.∴系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。0圖8-16系統(tǒng)狀態(tài)沿相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向例：

二階系統(tǒng)作出該系統(tǒng)的相平面圖。解：因?yàn)? 斜率方程初值（0,10）和（0,-10）。

二、解析法作圖方程不顯含時(shí)，采用一次積分法得相軌跡方程作圖方程為因?yàn)榇敕匠虄蛇呉淮畏e分，得相軌跡方程例：

二階系統(tǒng)為 作相平面圖。

解方程不顯含，由解析法有一次積分相軌跡方程為橢圓方程三、繪制相平面圖的圖解法當(dāng)用解析法求解微分方程比較困難，甚至不可能時(shí)，可采用圖解法繪制相平面圖。它有：下面介紹等傾線法:

原理：任一曲線都可以用一系列足夠短的折線來近似，如果我們能用簡(jiǎn)便的方法求得相平面中任意一點(diǎn)相軌跡的斜率，就能畫出通過該點(diǎn)相軌跡的切線，并用它來近似該點(diǎn)及其附近的相軌跡曲線。如果點(diǎn)取得足夠密，就能用一系列的切線來近似相軌跡曲線了。（2）園弧近似法(略)（1）等傾線法

等傾線法作圖步驟：1）首先畫出等傾線----確立相平面中相軌跡斜率的分布；等傾線：在相平面中，相軌跡斜率相等的點(diǎn)的連線,即等傾線應(yīng)滿足方程：由前述可知，相軌跡的斜率方程為：

(8-15)則等傾線方程為：(8-16)2）從初始條件開始，用連續(xù)的切線段來近畫出相軌跡曲線。(8-17)(8-18)注意：兩等傾線之間用其平均值來表示相軌跡。若給定系統(tǒng)參數(shù)：=0.5,=1.取不同的值，求得等傾線如圖8-17所示：若給定初始條件為A,則可作出相軌跡為ABCDE.....圖8-17等傾線和相軌跡可見，等傾線為過原點(diǎn)、斜率為的直線。=-1.4=-1.6=-2=-3=1=2ABCDEx0=-1=∞=0則等傾線為：(8-19)注意：

1）等傾線法在作圖過程中會(huì)產(chǎn)生積累誤差。一般來說,等傾線越密，則近似程度越好。但等傾線過密，繪圖條數(shù)增多，致使積累誤差加大。所以，一般間隔5°～10°畫一條等傾線較合適。

2）為減少作圖誤差，可事先在等傾線上畫好表示切線方向的平行短線，然后從初始狀態(tài)開始逐步仔細(xì)地將它們聯(lián)成光滑的相軌跡曲線。

3）一般，線性系統(tǒng)的等傾線是直線。因此用等傾線法比較方便。非線性系統(tǒng)的等傾線則有可能是曲線,甚至是比較復(fù)雜的圖形-----不適用于等傾線法。由前述可知，奇點(diǎn)是相平面中斜率不確定的點(diǎn)，即有多條相軌跡以不同的斜率通過或逼近該點(diǎn)。

所以奇點(diǎn)是平衡點(diǎn)。奇點(diǎn)及臨近的相軌跡反映了系統(tǒng)的穩(wěn)定性問題。一、奇點(diǎn)8.3.3奇點(diǎn)與極限環(huán)二、線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)與相軌跡

由線性理論可知，系統(tǒng)的特征根不同，則其穩(wěn)定性及瞬態(tài)響應(yīng)性能不同。在相平面中則表現(xiàn)為相軌跡的形狀和奇點(diǎn)性質(zhì)不同。

二階線性系統(tǒng)的方程為：(8-20)可見，原點(diǎn)為奇點(diǎn)或穩(wěn)定點(diǎn)。奇點(diǎn)鄰域的運(yùn)動(dòng)性質(zhì)由于在奇點(diǎn)上，相軌跡的斜率不定，所以可以引出無窮條相軌跡。相軌跡在奇點(diǎn)鄰域的運(yùn)動(dòng)可以分為

1.趨向于奇點(diǎn)

2.遠(yuǎn)離奇點(diǎn)

3.包圍奇點(diǎn)

二階系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的微分方程：當(dāng)b>0，可表為特征根相軌跡微分方程則等傾線方程為(k為等傾線的斜率)當(dāng)可得滿足k=α的兩條特殊等傾線，其斜率為令具有兩個(gè)互異負(fù)實(shí)根，相軌跡趨于原點(diǎn)，該奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。具有兩個(gè)正實(shí)根，相軌跡遠(yuǎn)離原點(diǎn)，該奇點(diǎn)為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。

具有一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根，相軌跡振蕩趨于原點(diǎn)，該奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。

具有一對(duì)正實(shí)部的共軛復(fù)根，相軌跡振蕩遠(yuǎn)離原點(diǎn)，為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。具有一對(duì)純虛根，相軌跡為同心圓，該奇點(diǎn)為中心點(diǎn)。b<0,系統(tǒng)特征根一正一負(fù)，相軌跡先趨向于——然后遠(yuǎn)離原點(diǎn)，稱為鞍點(diǎn)。j0j0j0節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)λ1j0λ2j0λ2λ1j0λ1λ2根與相軌跡三、非線性系統(tǒng)的奇點(diǎn)

再用線性方程來討論相軌跡的形狀和奇點(diǎn)的性質(zhì)。設(shè)：奇點(diǎn)為，線性化為即：

設(shè)非線性系統(tǒng)的方程為：(8-21)則線性化后的方程為：(8-22)只要是解析的，總可以將方程在奇點(diǎn)附近線性化。例8-3非線性系統(tǒng)的方程如下：試畫出系統(tǒng)的相平面圖。解：式中

由求得系統(tǒng)的奇點(diǎn)為：在奇點(diǎn)（0,0）附近，線性化方程為：即：式中阻尼比：，則奇點(diǎn)(0,0)為穩(wěn)定焦點(diǎn)。在奇點(diǎn)（-2,0）附近，令y=x+2，則方程變?yōu)椋?/p>

在這一點(diǎn)附近，方程線性化為：可知，奇點(diǎn)（-2,0）為鞍點(diǎn)。

由以上兩種奇點(diǎn)類型的相平面圖結(jié)合起來，可以畫出系統(tǒng)相平面圖的大致形狀,如下圖所示。0-2圖8-24例8-3非線性系統(tǒng)的相平面圖四、極限環(huán)

極限環(huán)對(duì)應(yīng)于非線性系統(tǒng)特有的自振蕩現(xiàn)象,它描述了自振蕩的振幅和頻率.所謂孤立的封閉軌跡,是指它臨近的相軌跡都不是封閉的.它們或是趨向于極限環(huán),或是遠(yuǎn)離極限環(huán).在相平面圖中,極限環(huán)是孤立的封閉軌跡.將相平面劃分為具有不同運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)的多個(gè)區(qū)域的特殊相軌跡，稱為奇線。非線性系統(tǒng)的極限環(huán)情況比較復(fù)雜，不同的系統(tǒng)會(huì)有不同形式的極限環(huán)。

1.穩(wěn)定極限環(huán)特點(diǎn):極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷向極限環(huán),自振蕩是穩(wěn)定的.環(huán)內(nèi):不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散環(huán)外:穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂圖8-25穩(wěn)定極限環(huán)0x(t)t0

如果系統(tǒng)具有這種極限環(huán)，且極限環(huán)不超過允許的范圍，則可以認(rèn)為系統(tǒng)是穩(wěn)定的。設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量減少極限環(huán)的大小,以滿足準(zhǔn)確度的要求。2.不穩(wěn)定極限環(huán)特點(diǎn):極限環(huán)內(nèi)外的相軌跡都卷離極限環(huán)環(huán)內(nèi):穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡收斂環(huán)外:不穩(wěn)定區(qū)域,相軌跡發(fā)散這種系統(tǒng)是小范圍穩(wěn)定,大范圍不穩(wěn)定.設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)盡量增大穩(wěn)定區(qū)域(即增大極限環(huán)).圖8-26不穩(wěn)定極限環(huán)0x(t)t03.半穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi),環(huán)外都不穩(wěn)定.

具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)是不會(huì)產(chǎn)生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是發(fā)散的。a)圖8-27半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t0

環(huán)內(nèi),環(huán)外都是穩(wěn)定的.

具有這種極限環(huán)的系統(tǒng)也不會(huì)產(chǎn)生自振蕩的,系統(tǒng)的狀態(tài)最終是趨向于環(huán)內(nèi)的穩(wěn)定奇點(diǎn)。.b)圖8-28半穩(wěn)定的極限環(huán)0x(t)t0注意：

在非線性系統(tǒng)中，可能沒有極限環(huán)，也可能具有一個(gè)或幾個(gè)極限環(huán)。在進(jìn)行一般系統(tǒng)設(shè)計(jì)時(shí)，應(yīng)盡量避免產(chǎn)生極限環(huán)。如不可能避免時(shí)，應(yīng)盡量縮小穩(wěn)定的極限環(huán)，或加大不穩(wěn)定的極限環(huán)。

振蕩器是具有穩(wěn)定極限環(huán)的非線性系統(tǒng)的典型例子。例：

VanderPol方程的極限環(huán)Simulation相平面圖分析

1、作出系統(tǒng)的相平面圖。對(duì)于具有間斷特性的非線性系統(tǒng)，一般表示為數(shù)學(xué)上的分區(qū)作用，因此，在相平面上的相軌跡也是分區(qū)作出的。

2、分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性。由分區(qū)穿越的各段構(gòu)成的相軌跡，最終是收斂還是發(fā)散。

3、分析系統(tǒng)是否具有極限環(huán)。

4、可以參考線性系統(tǒng)的性能指標(biāo)來考慮該非線性系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時(shí)間與超調(diào)量等。系統(tǒng)如圖其中T,K為正實(shí)數(shù).由圖寫出系統(tǒng)的微分方程：（在相平面分析法中，一般皆分析誤差函數(shù)）以c=r-e代入，即可寫出以誤差e為變量的二階微分方程：初始狀態(tài)為靜止,即:R(s)E(s)C(s)+-圖8-29線性系統(tǒng)(8-23)8.3.4線性系統(tǒng)的相平面分析1.階躍響應(yīng)性能分析(8-24)圖8-30階躍輸入tr(t)R0（1）一對(duì)負(fù)實(shí)部的共軛復(fù)根奇點(diǎn)為穩(wěn)定焦點(diǎn)，相軌跡及時(shí)間解如下：圖8-31欠阻尼時(shí)的相軌跡及時(shí)間解0(R,0)p0e(t)tRp(2)兩個(gè)不等的負(fù)實(shí)根響應(yīng)性能：(a),(b)與前同;(c)響應(yīng)是單調(diào)衰減的。

圖8-32過阻尼時(shí)的相軌跡及時(shí)間解(R,0)00e(t)tR2.斜坡響應(yīng)性能分析圖8-33斜坡輸入r(t)t0Rv(8-25)

分析后可知，相軌跡與階躍輸入時(shí)相同，只是向右移動(dòng)了一段距離。與階躍響應(yīng)的差異：（1）奇點(diǎn)位置，初始狀態(tài)不同;

（2）穩(wěn)態(tài)誤差為.圖8-34斜坡輸入時(shí)的相軌跡V/K0(R,v)a).欠阻尼V/K0(R,v)b).過阻尼3.脈沖響應(yīng)性能分析下面求初始條件：r(t)t0圖8-35脈沖輸入相軌跡如下：結(jié)論：圖8-36脈沖輸入時(shí)的相軌跡0-K/T0-K/Ta).欠阻尼b).過阻尼

對(duì)于分段線性的非線性系統(tǒng)來說，相平面分析法的步驟為：（1）用n條分界線（開關(guān)線，轉(zhuǎn)換線）將相平面分成n個(gè)線性區(qū)域；（2）分別寫出各個(gè)線性區(qū)域的微分方程；（3）求出各線性區(qū)的奇點(diǎn)位置并畫出相平面圖；（4）將各相鄰區(qū)的相軌跡聯(lián)成連續(xù)曲線------非線性系統(tǒng)的相軌跡。8.3.5非線性系統(tǒng)的相平面分析關(guān)于奇點(diǎn)：（2）當(dāng)奇點(diǎn)位于本線性區(qū)域之內(nèi)------實(shí)奇點(diǎn)；當(dāng)奇點(diǎn)位于本線性區(qū)域之外------虛奇點(diǎn)；該區(qū)域的相軌跡永遠(yuǎn)不能到達(dá)此點(diǎn)；下面分析幾種具有典型非線性特性的控制系統(tǒng)：（3）二階非線性系統(tǒng)只可能有一個(gè)實(shí)奇點(diǎn)。（1）每個(gè)線性區(qū)有一個(gè)奇點(diǎn)；1.具有非線性增益的系統(tǒng)采用非線性增益的優(yōu)點(diǎn)：使系統(tǒng)的響應(yīng)速度較快，而超調(diào)和振蕩都比較小。r(t)e(t)m(t)c(t)+-圖8-37具有非線性增益的系統(tǒng)(8-26)me01ke0-e0k<1圖8-38非線性增益(8-27)0e0-e0ⅠⅡⅡ圖8-39相平面的分區(qū)

為了改善系統(tǒng)的性能，一般選用較大的K值和適當(dāng)?shù)膋值，使得：當(dāng)時(shí)，為滿足快速性要求，應(yīng)使系統(tǒng)為欠阻尼,即:

當(dāng)時(shí)，為減小超調(diào)，應(yīng)使系統(tǒng)為臨界阻尼以致過阻尼,即:

(8-28)(8-29)(1)階躍響應(yīng)分析圖8-40Ⅰ區(qū)的相軌跡e0-e0ⅠⅡⅡ0

再將兩個(gè)區(qū)的相軌跡聯(lián)成連續(xù)曲線，當(dāng)輸入信號(hào)幅值R較大時(shí)，相軌跡曲線為e0-e0ⅠⅡⅡ0圖8-41Ⅱ區(qū)的相軌跡;,,10振蕩超調(diào)皆減小相軌跡為時(shí)OBBRˉ穩(wěn)態(tài)時(shí)，系統(tǒng)皆不存在穩(wěn)態(tài)誤差。由上可知，響應(yīng)特性與階躍輸入的幅值有關(guān)。相軌跡及響應(yīng)曲線如下圖所示：e0-e0ⅠⅡⅡ0(R,0)圖8-42具有非線性增益的系統(tǒng)在階躍輸入下的相軌跡及響應(yīng)曲線0e(t)t（2）斜坡響應(yīng)分析e0-e0ⅡⅡ0Ⅰ圖8-43Ⅰ區(qū)的相軌跡輸入信號(hào)：注意：奇點(diǎn)的具體位置與輸入信號(hào)幅值有關(guān)，它可以用圖解法求得。圖8-44Ⅱ區(qū)的相軌跡e0-e0ⅠⅡⅡ0作法：在非線性特性圖中，作水平線：該直線與m=ke相交點(diǎn)的e值即為的e值。該直線與m=e相交點(diǎn)的e值即為的e值。

圖8-45求奇點(diǎn)的圖解法0mee0-e0k1下面分幾種情況來討論：e0-e0ⅠⅡⅡ00mee0-e0k1圖8-46較小時(shí)的奇點(diǎn)位置及相軌跡圖A(R,v)B0mee0-e0k1圖8-47增大時(shí)的奇點(diǎn)位置及相軌跡圖e0-e0ⅠⅡⅡ0A(R,v)BCD結(jié)論：非線性系統(tǒng)的響應(yīng)特性與輸入信號(hào)的大小有關(guān)。圖8-48較大時(shí)的奇點(diǎn)位置及相軌跡圖m0ee0-e0k1e0-e0ⅠⅡⅡ0A(R,v)BCD2.繼電型控制系統(tǒng)（1）理想繼電特性系統(tǒng)如下圖所示：r(t)e(t)y(t)c(t)+--MM圖8-49繼電型控制系統(tǒng)非線性特性為：(8-30)系統(tǒng)初始為靜止?fàn)顟B(tài)：系統(tǒng)的微分方程為：對(duì)于階躍輸入信號(hào)：

注意：上兩個(gè)方程都不是前述的典型二階系統(tǒng)的方程。因此，我們有必要先分析一下相軌跡的形狀。

無論在哪個(gè)區(qū)，由于可見相軌跡對(duì)稱于原點(diǎn)。因此只畫一個(gè)區(qū)的相軌跡即可。0圖8-50相平面的分區(qū)

由上式看出，等傾線為平行于e軸的直線族。所以相軌跡應(yīng)為一組平行移動(dòng)的曲線。圖8-51等傾線0

再由方程:可知，系統(tǒng)無奇點(diǎn)也可以認(rèn)為奇點(diǎn)在無窮遠(yuǎn)。當(dāng)相軌跡趨于無窮遠(yuǎn)奇點(diǎn)時(shí)，必存在一條漸近線。它既是一條等傾線，也是一條相軌跡。

漸近線的求法：使等傾線的斜率與相軌跡的斜率相等。代入等傾線方程:由初始條件：畫出一條相軌跡如圖，它收斂于原點(diǎn)?？梢?

系統(tǒng)為阻尼振蕩;;

系統(tǒng)穩(wěn)定。0圖8-52相軌跡圖(R,0)(2)具有滯環(huán)的繼電特性圖8-53具有滯環(huán)的繼電特性em0M-M+△-△相軌跡的形狀與前同，如下圖所示.可見,相軌跡形成穩(wěn)定的極限環(huán)。圖8-54相軌跡圖0(R,0)(3)具有死區(qū)的繼電特性圖8-55具有死區(qū)的繼電特性em0-MM+△-△可見相軌跡是一族平行的直線。圖8-56相軌跡圖0(R,0)小結(jié)：1)相平面分析法是二階系統(tǒng)的圖解分析法?？煞治鱿到y(tǒng)的穩(wěn)定性，響應(yīng)性能，穩(wěn)態(tài)誤差。2)當(dāng)時(shí)，相軌跡趨向于奇點(diǎn)(奇線)無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(漸近線)極限環(huán)3)相平面分析法可用來綜合系統(tǒng)，以達(dá)到滿意的效果。4)其原理可擴(kuò)展到高階系統(tǒng)，但不能用圖解法。例8-4

非線性系統(tǒng)如下圖所示。設(shè)系統(tǒng)開始處于靜止?fàn)顟B(tài)，試用相平面分析法分析系統(tǒng)對(duì)階躍輸入：及斜坡輸入：的響應(yīng)性能。系統(tǒng)參數(shù)：K=4T=1圖8-57具有飽和的非線性系統(tǒng)remc+--0.2-系統(tǒng)方程為：代入?yún)?shù)：一.對(duì)階躍輸入的響應(yīng)飽和特性：解：在給定初始條件(R,0)下的一條相軌跡如圖中的紅線所示。0--0.8(R,0)圖8-58階躍輸入時(shí)的相軌跡系統(tǒng)的相軌跡如圖所示：二.對(duì)斜坡輸入的響應(yīng)根據(jù)的大小，分三種情況來討論：0120.40.2-0.2-2-112-1-20.3PⅠA(-2,1.2)BCDE圖8-59斜坡輸入時(shí)的相軌跡(1)設(shè)初始條件為：

A（-2，0.4）(相當(dāng)于r(t)=0.4t-2)其對(duì)應(yīng)的相軌跡為：ABCDEPⅠ.圖8-60斜坡輸入時(shí)的相軌跡(2)00.2-0.2-2-2-1-112120.1PⅠ-0.41.2A(-2,0.4)BCDE圖8-61斜坡輸入時(shí)的相軌跡(3)00.2-0.2-2-2-1-11212PⅠ1.6A(-2,0.8)BCDE8.4描述函數(shù)法描述函數(shù)法的基本思想是:在一定的假設(shè)條件下,將非線性環(huán)節(jié)在正弦信號(hào)作用下的輸出用一次諧波分量來近似,并導(dǎo)出非線性環(huán)節(jié)的等效近似頻率特性,即描述函數(shù).這時(shí)的非線性系統(tǒng)就等效為一個(gè)線性系統(tǒng),并可引用線性系統(tǒng)理論中的頻率法對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行頻域分析.y(t)ωty(t)ωty(t)ωtωty(t)非線性系統(tǒng)的描述函數(shù)分析法是：1）頻率特性法的推廣；2）是一種等效近似的方法；3）主要用來分析非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性。它是由一個(gè)非線性元件及一個(gè)線性部分相串聯(lián)組成的單回路系統(tǒng)。典型非線性系統(tǒng)如下圖所示：線性部分G(s)reyc+-非線性元件N圖8-62典型非線性系統(tǒng)8.4.1描述函數(shù)的基本概念9293一般情況下,非線性元件的輸出信號(hào)y(t)是非正弦函數(shù),它包括恒定分量

y0及各次諧波分量y1(t)

,y2(t)…….從而，在y(t)的作用下，線性部分的穩(wěn)態(tài)輸出c(t)中也包含有相應(yīng)的分量:c0,c1(t),c2(t)…….,其中各次諧波分量的大小取決于：

1）非線性特性是對(duì)稱的則y(t)中的恒定分量為：y0=0(即c0=0)2）系統(tǒng)的線性部分具有良好的低通濾波性能。假設(shè)：假定非線性元件的輸入信號(hào)為正弦函數(shù),即:（2）線性部分的頻率特性G(j);（1）y(t)中相應(yīng)分量的大??；(8-31)

通常，y(t)中的高次諧波幅值本來就不大，又經(jīng)過線性部分的低通濾波。因此，在系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出c(t)中，恒定分量c0=0,高次諧波分量幅值遠(yuǎn)小于一次諧波分量的幅值。略去這些較小分量，得到：因此，在研究系統(tǒng)時(shí)，我們可以等效地用一次諧波分量來代替非線性元件在正弦輸入信號(hào)作用下的實(shí)際輸出，即相當(dāng)于將非線性元件近似為等效的線性元件。這種情況就相當(dāng)于非線性元件的輸出y(t)中只有一次諧波分量y1(t)在起作用，即：(8-32)(8-33)為此，定義：非線性元件輸出量的一次諧波分量與輸入正弦量的復(fù)數(shù)比為非線性元件的描述函數(shù)，記為：

一般情況下，N是一個(gè)復(fù)數(shù)量。如果非線性特性是單值的，則描述函數(shù)

N是一個(gè)實(shí)數(shù)。

式中：Y1-----輸出一次諧波分量的幅值；A------輸入正弦量的幅值；------輸出一次諧波分量與輸入量的相位差。(8-34)8.4.2典型非線性特性的描述函數(shù)當(dāng)非線性元件的輸入信號(hào)為：e(t)=Asint

時(shí)，其輸出信號(hào)y(t)一般為非正弦周期信號(hào)，將其展開為富氏級(jí)數(shù)：(8-35)(8-36)為了求非線性元件的描述函數(shù)，必須先求出輸出量的一次諧波分量。若非線性特性是對(duì)稱的，即y(t)是對(duì)稱的，則A0=0輸出的一次諧波分量為：(8-37)(8-38)(8-39)(8-40)(8-41)由定義可知，非線性元件的描述函數(shù)為：顯然，當(dāng)

不為零時(shí)，N便是一個(gè)復(fù)數(shù)量。其中:(8-42)(8-43)(8-44)(8-45)(8-46)下面舉例介紹幾種非線性特性的描述函數(shù)：-M0Myea)y1(t)=Y1sinty(t)0tee(t)=AsintytM0b)圖8-63繼電非線性的輸入輸出波形其輸入輸出波形如下圖所示:1.繼電型非線性:輸出是奇函數(shù)A1=0由于非線性特性是對(duì)稱的A0=012.7N010M/A圖8-64N對(duì)M/A的函數(shù)關(guān)系曲線(8-47)

2.具有滯環(huán)的繼電非線性由圖可以看其輸出仍為方波.ye-MM0h-ha)t1MAe(t)=Asinty1(t)=Y1sinty(t)etth00yb)圖8-65具有滯環(huán)的繼電非線性的輸入輸出波形其輸入輸出波形如下圖所示:與理想繼電特性的輸出波形相比較，其區(qū)別僅在于輸出的一次諧波落后相角:h/A01.00.51.27圖8-66hN/M對(duì)

h/A的函數(shù)關(guān)系曲線即輸出一次諧波的相角為:可見是N一個(gè)復(fù)數(shù)量.此時(shí)的只是的函數(shù),如圖8-66所示.因此其描述函數(shù)為:(8-48)上式也可以改寫為:(8-49)3.死區(qū)非線性當(dāng)輸入信號(hào)為:

e(t)=Asint

時(shí)，其輸出波形如圖所示：斜率K0ye△-△a)e(t)=Asintt1/-t1y(t)K(A-)y1(t)=Y1sinteyttA00△b)圖8-67死區(qū)非線性的輸入輸出波形

(N/K)對(duì)(/A)的函數(shù)關(guān)系曲線如圖所示。因?yàn)檫@時(shí)輸入信號(hào)的幅值小于死區(qū)，所以輸出為零,即N=0。由圖可知，當(dāng)(/A)>1時(shí)，N/K=0。1.0N/K01.0/A圖8-68N/K對(duì)/A的函數(shù)關(guān)系曲線因此，死區(qū)非線性的描述函數(shù)為：(8-50)(8-51)死區(qū)非線性的描述函數(shù)又可以寫為：其輸入輸出波形如下圖所示：4.飽和非線性eya-a斜率k0a)00aAe(t)=Asinty1(t)=Y1sinty(t)/-t1t1etytb)圖8-69飽和非線性的輸入輸出波形(8-52)a/AN/k1.01.00圖8-70N/k對(duì)a/A的函數(shù)關(guān)系曲線對(duì)的函數(shù)關(guān)系曲線如圖8-70所示：由圖可知,當(dāng)時(shí)，描述函數(shù)的值為1，說明輸出與輸入成正比例，不存在飽和現(xiàn)象。

其他一些常用非線性特性的描述函數(shù)示于下表：（3）死區(qū)非線性與飽和非線性的N存在如下關(guān)系：當(dāng)=

，且K相同時(shí)，N死區(qū)=K-N飽和。（4）若非線性特性為其他幾個(gè)非線性的組合時(shí)，則其描述函數(shù)亦為其他幾個(gè)描述函數(shù)的線性組合，即描述函數(shù)可應(yīng)用疊加原理。如：非線性Z=x+y，其中x=fx(e)

Nx

;y=f(e)Ny，

則Nz=Nx+Ny因此，由表所給出的結(jié)果，還可以推出一些更復(fù)雜的非線性特性的N。（1）若非線性為單值函數(shù)，則，N為實(shí)數(shù)；（2）若非線性為多值函數(shù)，則，N為復(fù)數(shù)；由表可知:典型的非線性系統(tǒng)如下圖所示：圖8-71典型非線性系統(tǒng)如果滿足前述的二個(gè)條件,即:1）非線性特性是對(duì)稱的;2）線性部分具有良好的低通濾波性能.那么系統(tǒng)中的非線性元件就可以等效地用描述函數(shù)來近似描述,它相當(dāng)于一個(gè)實(shí)變量或復(fù)變量的增益.線性部分G(s)+-非線性元件Nr(t)e(t)y(t)c(t)8.4.3描述函數(shù)分析法由此,閉環(huán)系統(tǒng)的頻率特性為:可見,它與線性系統(tǒng)的特征方程類似.因此,可以利用頻率法的某些方法和結(jié)論,來分析:非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性;自振蕩的穩(wěn)定性;確定振蕩的振幅和頻率.但是,描述函數(shù)僅僅是在正弦輸入作用下對(duì)非線性系統(tǒng)的描述,因此,它不適于分析系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)性能.(8-53)特征方程為:(8-54)一、穩(wěn)定性分析特征方程:(8-55)可以改寫為(8-56)它與線性系統(tǒng)的特征方程相比較:只是在非線性系統(tǒng)中,N是非線性元件輸入幅值A(chǔ)的函數(shù),當(dāng)A值的范圍為時(shí),對(duì)應(yīng)的則為一條曲線.故在非線性系統(tǒng)中,“臨界點(diǎn)”為曲線.因此,可以根據(jù)線性部分的頻率特性曲線和“臨界點(diǎn)”軌跡的相對(duì)位置,借助頻率法的某些結(jié)論和方法,來判斷非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性.相當(dāng)于線性系統(tǒng)的臨界點(diǎn)(-1,j0).假設(shè)線性部分是最小相位的，則穩(wěn)定性判據(jù)是：

1）如果–1/N

曲線沒有被G(j)曲線所包圍，如圖，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的。在穩(wěn)定狀態(tài)下，系統(tǒng)沒有自振蕩。G(j)通常是用圖解法在復(fù)平面上畫出G(j)曲線和–1/N曲線。ReIm0-1/N∞←A圖8-72穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。當(dāng)受到任何擾動(dòng)時(shí)，系統(tǒng)輸出將逐漸增大?！蕖鸄-1/NG(j)→∞

2）如果–1/N曲線被G(j)

曲線包圍，如圖，ReIm0圖8-73不穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)

3)如果-1/N曲線和G(j)曲線相交,如圖.則系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài),可能會(huì)出現(xiàn)自振蕩即極限環(huán).這種振蕩不是正弦的,但可以用正弦振蕩來近似.ReImBPCQED-1/N∞←A0←AG(j)圖8-74臨界穩(wěn)定的非線性系統(tǒng)振蕩的振幅等于交點(diǎn)處-1/N曲線上相應(yīng)的A值;振蕩的頻率等于交點(diǎn)處G(j)曲線上相應(yīng)的值.119120二、自振蕩或極限環(huán)的穩(wěn)定性極限環(huán)的穩(wěn)定性可由-1/N曲線上,A增大時(shí),工作點(diǎn)沿軌跡的移動(dòng)方向來判斷.當(dāng)幅值A(chǔ)增大時(shí)，工作點(diǎn)沿–1/N軌跡向G(j)曲線所包圍的區(qū)域內(nèi)移動(dòng)時(shí)，則該點(diǎn)的自振蕩是不穩(wěn)定的。如圖8-74中的交點(diǎn)P,若擾動(dòng)使振幅略有增加，則工作點(diǎn)沿-1/N移到B點(diǎn)。而B點(diǎn)被G(j)曲線所包圍，系統(tǒng)不穩(wěn)定，振幅將繼續(xù)增大，工作點(diǎn)將進(jìn)一步偏離P點(diǎn)。反之亦然。因此，P點(diǎn)的極限環(huán)是不穩(wěn)定的，或者說，P點(diǎn)是不穩(wěn)定的工作點(diǎn)。如果幅值A(chǔ)增大時(shí)，工作點(diǎn)沿–1/N軌跡向G(j)曲線所包圍的區(qū)域外移動(dòng)時(shí)，則該點(diǎn)的自振蕩是穩(wěn)定的。如圖8-74中的交點(diǎn)