n 維時(shí)不變系統(tǒng)的方程為

n維時(shí)不變系統(tǒng)的方程為系統(tǒng)(7-10)的穩(wěn)定性完全可由特征方程式(7-11)的根及其相應(yīng)的模式來(lái)決定。(7-10)五、時(shí)不變線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)11.運(yùn)動(dòng)模式及其收斂、發(fā)散、有界的條件例題A-1

(7-10)式中A陣的特征值稱為模態(tài)，ni重特征值對(duì)應(yīng)的運(yùn)動(dòng)形式可能有et,tet,…,,均稱為系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)模式。但這些模式并非全部都出現(xiàn)，究竟出現(xiàn)多少項(xiàng)取決于的幾何結(jié)構(gòu)。例如下面不同的若當(dāng)形結(jié)構(gòu)對(duì)應(yīng)有不同的運(yùn)動(dòng)模式：2盡管三者均具有相同的特征值且代數(shù)重?cái)?shù)相等，但卻有不同的幾何重?cái)?shù)：他們分別為3、2、1。3注：1)

代數(shù)重?cái)?shù)ni：特征式中僅有的因子幾何重?cái)?shù)：

i對(duì)應(yīng)的線性無(wú)關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)，即屬于i的若當(dāng)塊的塊數(shù)。幾何重?cái)?shù)可以如下求出：例：若i為6階系統(tǒng)的三重根，且由計(jì)算得到則表明i有三個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。4以下幾種提法是等價(jià)的（參看矩陣論）：對(duì)特征值i(a)i是最小多項(xiàng)式的單根;(b)i的初等因子都是一次的；(c)對(duì)應(yīng)的Ji

是對(duì)角形；(d)對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊的個(gè)數(shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)；(e)幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù).5由以上討論可以得出的結(jié)論是：Re

<0，對(duì)應(yīng)的所有運(yùn)動(dòng)模式收斂，即隨著時(shí)間趨于無(wú)窮而趨于零。Re

>0,對(duì)應(yīng)的所有運(yùn)動(dòng)模式發(fā)散，即隨著時(shí)間趨于無(wú)窮而趨于無(wú)窮，并且是按指數(shù)規(guī)律發(fā)散.。Re

=0,分兩種情況：若對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊全是一階子塊，這時(shí)的代數(shù)重?cái)?shù)與幾何重?cái)?shù)一致，不會(huì)發(fā)生發(fā)散現(xiàn)象，運(yùn)動(dòng)模式也不收斂，運(yùn)動(dòng)模式是有界的；6當(dāng)?shù)膸缀沃財(cái)?shù)小于代數(shù)重?cái)?shù)，對(duì)應(yīng)的若當(dāng)塊一定有二階或二階以上的出現(xiàn)，這時(shí)運(yùn)動(dòng)模式發(fā)散，但發(fā)散是按時(shí)間的冪函數(shù)的規(guī)律。因此當(dāng)零實(shí)部重根出現(xiàn)時(shí),一定要研究它的幾何重?cái)?shù)后，才可對(duì)運(yùn)動(dòng)模式的形態(tài)作出結(jié)論。只要將例題A-1中的特征值換為零，就可證實(shí)以上結(jié)論：78定理7-4：系統(tǒng)dx/dt=Ax的穩(wěn)定性有以下充分必要條件(李氏)穩(wěn)定：

det(sIA)實(shí)部為零的根對(duì)應(yīng)的初等因子是一次(或?qū)?yīng)的若當(dāng)塊為一階子塊，或是最小多項(xiàng)式的單根。幾何重?cái)?shù)等于代數(shù)重?cái)?shù)。)，且其余根均具負(fù)實(shí)部。漸近穩(wěn)定：

det(sIA)的所有根均具負(fù)實(shí)部。不穩(wěn)定：

det(sIA)有正實(shí)部的根或?qū)嵅繛榱愕母鶎?duì)應(yīng)的初等因子不是一次。證明：根據(jù)定理7-2，我們只要討論其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)就可以了。2.穩(wěn)定性判據(jù)9將eAt寫(xiě)成PeJt

P1，這里顯然，只要討論eJt的有界性和收斂性即可，而這等價(jià)于討論eJt

的每個(gè)元素的有界性和收斂性。10（李氏）穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)特征多項(xiàng)式實(shí)部為零的根對(duì)應(yīng)的初等因子是一次，且其余根均具負(fù)實(shí)部。漸近穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)特征多項(xiàng)式的所有根均具負(fù)實(shí)部。不穩(wěn)定當(dāng)且僅當(dāng)特征多項(xiàng)式有正實(shí)部的根或?qū)嵅繛榱愕母鶎?duì)應(yīng)的初等因子不是一次。證完。11漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定指數(shù)漸近穩(wěn)定討論：根據(jù)定理7-2，（1）對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定一致穩(wěn)定這是因?yàn)槿魟tN必與t0無(wú)關(guān)(參見(jiàn)定理7-2）。因此，時(shí)不變系統(tǒng)按指數(shù)漸近穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、一致漸近穩(wěn)定顯然也是等價(jià)的，即（2）總可以將寫(xiě)成12指數(shù)漸近穩(wěn)定穩(wěn)定漸近穩(wěn)定一致漸近穩(wěn)定一致穩(wěn)定線性定常定常這是為什么對(duì)于時(shí)不變系統(tǒng)，通常只說(shuō)“系統(tǒng)漸近穩(wěn)定”的原因。13例題

系統(tǒng)方程如下式中a為實(shí)常數(shù)，寫(xiě)出x=0李氏穩(wěn)定時(shí)a的取值條件。解

系統(tǒng)的特征方程式為14所以李氏穩(wěn)定。三根在左半平面；有正根；有一根為7/4,另兩根為j,+j勞斯表：15a=0時(shí)，勞斯表為：此時(shí)可用(s+3)乘特征方程，得到然后再用勞斯判據(jù)進(jìn)行判別。16§7-2

線性時(shí)不變系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析

或用復(fù)數(shù)域表示系統(tǒng)方程為(A-2)17可見(jiàn)x(t),y(t)由四部分組成。穩(wěn)定性問(wèn)題是A的特征值問(wèn)題，但以四項(xiàng)形式出現(xiàn)，與B、C陣密切相關(guān)，這說(shuō)明對(duì)系統(tǒng)采用狀態(tài)空間描述時(shí),帶來(lái)了新的穩(wěn)定性概念，這些穩(wěn)定性概念又和系統(tǒng)可控性、可觀測(cè)性密切相關(guān)。18等價(jià)變換對(duì)穩(wěn)定性的影響：如果對(duì)動(dòng)態(tài)方程(A-1)一、有界輸入、有界狀態(tài)（BIBS）穩(wěn)定本節(jié)研究：進(jìn)行等價(jià)變換,不會(huì)改變運(yùn)動(dòng)模式的性質(zhì)，因而也不會(huì)改變(A-2)式中四項(xiàng)的有界性，即等價(jià)變換不改變穩(wěn)定性。19定義若x(0)=0,及在任意有界輸入u(t)作用下，均有x(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1)BIBS穩(wěn)定。

若對(duì)任意的x(0),及在任意有界輸入u(t)作用下,均有x(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1)BIBS全穩(wěn)定。定理7-6

系統(tǒng)(A-1)BIBS穩(wěn)定系統(tǒng)(A-1)全體可控模式收斂；系統(tǒng)(A-1)BIBS

全穩(wěn)定系統(tǒng)(A-1)全體可控模式收斂、全體不可控模式不發(fā)散。20定理7-6可以用可控性分解來(lái)說(shuō)明。不妨假定，(A-1)式中的矩陣A、B具有可控性分解形式。這時(shí)有當(dāng)x(0)=0時(shí)，x(t)的表達(dá)式中只有第二項(xiàng)，這項(xiàng)與不可控模式無(wú)關(guān)，而21這里K是u(t)的界，上式若有界當(dāng)且僅當(dāng)A1的特征值均具負(fù)實(shí)部（因可控，輸入可激勵(lì)所有模式，p.49)。當(dāng)考慮全穩(wěn)定時(shí),A的所有模式均要計(jì)及，故需加上有界的條件，而這個(gè)條件就是A4李氏穩(wěn)定的條件。

從復(fù)數(shù)域上的判別：從表達(dá)式(A-3)可知，BIBS穩(wěn)定的條件就是:(sIA)1B

的極點(diǎn)均具負(fù)實(shí)部。這是因?yàn)椴豢煽啬B(tài)均已消去，故只要對(duì)可控模態(tài)提出要求即可。李氏穩(wěn)定條件加上了BIBS穩(wěn)定條件就是BIBS全穩(wěn)定的條件。22二、有界輸入、有界輸出（BIBO）穩(wěn)定本節(jié)研究(A-2)式中的第三、四項(xiàng)：定義

若x(0)=0,及在任意有界輸入u(t)作用下，均有y(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1)BIBO穩(wěn)定(第4項(xiàng)）。若對(duì)任意的x(0),及在任意有界輸入u(t)作用下,均有y(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1)BIBO全穩(wěn)定(第3、4項(xiàng)）。

23定理7-7:

系統(tǒng)(A-1)BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)(A-1)全體可控可觀模式收斂;系統(tǒng)(A-1)BIBO

全穩(wěn)定系統(tǒng)(A-1)全體可控可觀模式收斂、全體可觀不可控模式不發(fā)散。證明：1）從y(s)=C(sIA)1Bu(s)即可看出。因?yàn)榇藭r(shí)不可控、不可觀的模態(tài)均被消去，故必須全體可控、可觀模態(tài)具負(fù)實(shí)部。這也可以從標(biāo)準(zhǔn)分解(p.73)看出。事實(shí)上，若假定系統(tǒng)已有標(biāo)準(zhǔn)分解形式，則易于驗(yàn)證：24于是系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定就等價(jià)于A11的所有特征值均具負(fù)實(shí)部（相應(yīng)的模式收斂）。從復(fù)數(shù)域上判別：

BIBO穩(wěn)定研究的極點(diǎn)是否具有負(fù)實(shí)部，這正是經(jīng)典控制理論中研究的穩(wěn)定性。判別G(s)的極點(diǎn)是否全在左半平面，可用勞斯或霍爾維茲判據(jù)。25只要證明全體可觀不可控模式必須不發(fā)散就可以了，而這對(duì)應(yīng)于零輸入響應(yīng)（第3項(xiàng)）?？紤]可觀測(cè)性分解。不妨假定(A-1)式中的矩陣A、C已具有可觀性分解形式。這時(shí)有26定理A-2、A-3明顯地表明BIBS穩(wěn)定、BIBO穩(wěn)定與系統(tǒng)可控性、可觀性密切相關(guān)。如前所述，可控可觀的模式必須收斂，顯然，要使BIBO全穩(wěn)定，全體可觀不可控模式必須不發(fā)散。

證完。27例：考慮系統(tǒng)討論其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全穩(wěn)定。解：系統(tǒng)是不可控但可觀測(cè)的，可控模態(tài)是1。根據(jù)定理7-6，系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定，但非全穩(wěn)定。又系統(tǒng)可控、可觀的模態(tài)是1，故系統(tǒng)BIBO穩(wěn)定。但不可控、可觀的模態(tài)是1，故系統(tǒng)也非BIBO全穩(wěn)定。28定義

若對(duì)任意的x(0)及在任意有界輸入u(t)作用下,均有x(t)、y(t)有界,則稱系統(tǒng)(A-1)

總體穩(wěn)定。一個(gè)用狀態(tài)方程描述的系統(tǒng)，要能夠正常工作，總體穩(wěn)定是先決條件。總體穩(wěn)定包含了BIBO全穩(wěn)定和BIBS全穩(wěn)定；而B(niǎo)IBS全穩(wěn)定蘊(yùn)涵BIBO

全穩(wěn)定，于是我們有

總體穩(wěn)定的充分必要條件是BIBS全穩(wěn)定。三、總體穩(wěn)定(T穩(wěn)定)

29(6-1)(定理7-8）若（Ａ，Ｃ）可觀，則有

BIBO穩(wěn)定

BIBS穩(wěn)定(6-2)（定理7-9）若（Ａ，B）可控，則有

BIBS穩(wěn)定

Rei(A)<0(6-3)（定理7-10）若（Ａ，B，Ｃ）可觀、可控，則有

BIBO穩(wěn)定

Rei(A)<0容易驗(yàn)證以下命題(講義中定理7-8~7-12）成立：四、穩(wěn)定性之間的關(guān)系

30(6-4)（定理7-11）

BIBS全穩(wěn)定

BIBS穩(wěn)定,A

李氏穩(wěn)定(6-5)（定理7-12）若（Ａ，Ｃ）可觀，則有

BIBO全穩(wěn)定

BIBO穩(wěn)定,A李氏穩(wěn)定

命題(6-1)-(6-5)分別證明如下：

命題(6-1)：若（Ａ，Ｃ）可觀，則有

BIBO穩(wěn)定

BIBS穩(wěn)定31證明：“”顯然。下面證“”：事實(shí)上，假定系統(tǒng)已具有可控性分解：則(A,C)可觀意味子系統(tǒng)(A1,B1,C1)是可控可觀測(cè)的。根據(jù)定理3-8（p.101）：(A1,B1,C1)可控、可觀測(cè)的充分必要條件對(duì)應(yīng)的傳函陣G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式與A1的特征多項(xiàng)式相等。此時(shí)，BIBO穩(wěn)定與G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式的根均具負(fù)實(shí)部等價(jià)，從而，與A1的所有模態(tài)(可控模態(tài)!)

均具負(fù)實(shí)部等價(jià)，這恰恰是BIBS穩(wěn)定的充要條件（定理7-6）。證完。32命題(6-2)：若（Ａ,B）可控，則有

BIBS穩(wěn)定

Rei(A)<0證明：只需要證BIBS穩(wěn)定

Re

i(A)<0即可。事實(shí)上，根據(jù)定理A-2，系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定等價(jià)于所有可控模態(tài)所對(duì)應(yīng)的模式收斂，即可控模態(tài)（特征值）具負(fù)實(shí)部。因?yàn)椋ǎ?B）可控，故A陣的所有模態(tài)（特征值）均為可控模態(tài)，此時(shí)系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定必等價(jià)于其所有特征值均具負(fù)實(shí)部，從而，所有的模式均收斂。

證完。33命題(6-3)：若（Ａ,B,Ｃ）可觀、可控，則有

BIBO穩(wěn)定

Rei(A)<0證明：命題(6-4)：

BIBS全穩(wěn)定

BIBS穩(wěn)定,A

李氏穩(wěn)定證明：這就是定理7-6之(2)。因A的模態(tài)及對(duì)應(yīng)的模式只有可控和不可控兩種，均包含在(2)中了。34命題(6-5)：若（Ａ,Ｃ）可觀，則有

BIBO全穩(wěn)定

BIBO穩(wěn)定、A李氏穩(wěn)定證明：充分性顯然。必要性：因(A,C)可觀測(cè)，則所有的模式均可出現(xiàn)在中(習(xí)題2-14）。由于x0的任意性，這要求A李氏穩(wěn)定。

證完。推論：若（A,C）可觀，則BIBO全穩(wěn)定與BIBS全穩(wěn)定等價(jià)。證明：由命題(6-5)，此時(shí)

BIBO全穩(wěn)定等價(jià)于BIBO穩(wěn)定、A李氏穩(wěn)定；而命題（6-1）表明系統(tǒng)還是BIBS穩(wěn)定的。故由命題(6-4)知結(jié)論真。證完。35BIBS全穩(wěn)定BIBO全穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定+

A穩(wěn)定BIBO全穩(wěn)定可觀(6-1)可觀(6-5)BIBS穩(wěn)定+

A穩(wěn)定BIBS全穩(wěn)定(6-4)可觀(6-1,5，推論)(6-1)若（Ａ、Ｃ）可觀，則有

BIBO穩(wěn)定BIBS穩(wěn)定(6-5)若（Ａ、Ｃ）可觀，則有

BIBO全穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定,A李氏穩(wěn)定

若（Ａ、Ｃ）可觀，則有BIBO全穩(wěn)定BIBS全穩(wěn)定

36定理7-13

若（Ａ，B，Ｃ）可觀、可控，以下事實(shí)等價(jià)

1.BIBO

穩(wěn)定;2.BIBS

穩(wěn)定;3.A漸近穩(wěn)定;4.A的所有特征值具負(fù)實(shí)部;5.傳遞函陣極點(diǎn)具負(fù)實(shí)部;6.總體穩(wěn)定

注：定理中的5用到了第三章中的定理3-8：(A,B,C)可控、可觀測(cè)的充分必要條件是G(s)的極點(diǎn)多項(xiàng)式與A的特征多項(xiàng)式相等。37若系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程描述可控且可觀測(cè)，則稱系統(tǒng)可由傳遞函數(shù)陣完全表征。因此，定理7-13說(shuō)明，此時(shí)，系統(tǒng)的總體穩(wěn)定性僅由傳遞函數(shù)就可以確定而不需考慮系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程描述。從工程應(yīng)用的角度，由于系統(tǒng)參數(shù)的不確定性，總要求系統(tǒng)矩陣A是漸近穩(wěn)定的。一般將李氏穩(wěn)定稱為臨界穩(wěn)定。38定理7-13總體穩(wěn)定

傳函陣極點(diǎn)負(fù)實(shí)部A特征值負(fù)實(shí)部A漸近穩(wěn)定BIBS穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定可觀可控可觀可控6-16-2(6-3)若（Ａ、B、Ｃ）可觀、可控，則有BIBO穩(wěn)定Rei(A)<0

39總體穩(wěn)定

傳函陣極點(diǎn)負(fù)實(shí)部A特征值負(fù)實(shí)部A漸近穩(wěn)定BIBS穩(wěn)定BIBO穩(wěn)定可觀可控可觀可控A穩(wěn)定40時(shí)不變系統(tǒng)判斷各種意義下的穩(wěn)定性，一般要求出A的特征值，再對(duì)這些特征值的可控、可觀性近行研究，再根據(jù)定理作判斷。因?yàn)橄到y(tǒng)的可控性、可觀性與傳函陣零、極點(diǎn)對(duì)消（或約去模態(tài)）有聯(lián)系，因此可以不去判別各特征值的可控、可觀性，直接計(jì)算：BIBS

穩(wěn)定：(sIA)1B(所有極點(diǎn)在左半面）

BIBS

全穩(wěn)定：(sIA)1(不發(fā)散)+BIBS

穩(wěn)定BIBO

穩(wěn)定：

C(sIA)1B(所有極點(diǎn)在左半面）BIBO

全穩(wěn)定：

C(sIA)1(不發(fā)散)+BIBO

穩(wěn)定由計(jì)算的結(jié)果判別。41例：考慮系統(tǒng)討論其BIBS、BIBO及BIBS、BIBO全穩(wěn)定。解：可以從復(fù)數(shù)域（傳遞函數(shù)）的角度來(lái)討論：BIBS:42BIBO:BIBS全穩(wěn)定：否BIBO全穩(wěn)定：否43例題

多變量系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示，其中K1，和K2都是非零常數(shù),v1，v2是輸入量，y1，y2是輸出量。試給出系統(tǒng)總體穩(wěn)定時(shí)參數(shù)K1，K2應(yīng)滿足的條件（只要給出不等式，不要求解出不等式）。v1

x1y1v2u2x2K2_y2u1__K144解根據(jù)圖中所給出的關(guān)系，列出方程組如下v1

x1y1v2u2x2K2_y2u1__K145消去中間變量u1、u2，經(jīng)整理后不難得到下列系統(tǒng)的狀態(tài)方程與輸出方程：B、C

矩陣的秩均為2，系統(tǒng)可控、可觀測(cè)，故根據(jù)定理7-13，總體穩(wěn)定等價(jià)于漸近穩(wěn)定。于是46上面的多項(xiàng)式的根均在左半面的充要條件為47例題

系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程如下其中a1、a2和b均為實(shí)常數(shù)，試分別給出滿足下列條件時(shí)，a1、a2和b的取值范圍1.

李亞普諾夫意義下穩(wěn)定；2.

有界輸入、有界輸出(BIBO)穩(wěn)定。481李氏穩(wěn)定：

1)特征值一個(gè)為0，兩個(gè)有負(fù)實(shí)部；

2),特征值兩個(gè)為0，一個(gè)有負(fù)實(shí)部。經(jīng)驗(yàn)算，零特征值幾何重?cái)?shù)與代數(shù)重?cái)?shù)相同，初等因子為一次；3)一個(gè)零特征值，一對(duì)共軛零實(shí)部特征值。解：特征多項(xiàng)式為4)a1=0,a2=0，系統(tǒng)不穩(wěn)定。492BIBO穩(wěn)定：

此外，在a1、a2的任何其它取值的情形下都不會(huì)BIBO穩(wěn)定。

50例：考慮動(dòng)態(tài)方程：討論當(dāng)常數(shù)a、b為何值時(shí)有1.關(guān)于零解李氏穩(wěn)定；2.系統(tǒng)BIBS穩(wěn)定；3.系統(tǒng)