高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 三角函數(shù)與解三角形 第8講 解三角形應(yīng)用舉例配套課件 理

第8講解三角形應(yīng)用舉例考綱要求考點分布考情風(fēng)向標1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.2.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題2011年新課標第15題考查余弦定理和面積公式；2012年新課標第17題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、三角形面積公式；2013年新課標Ⅰ第10題以解三角形為背景，考查倍角公式及余弦定理；2014年新課標Ⅰ第16題以解三角形為背景，考查正弦定理；2015年新課標Ⅰ第17題以解三角形為背景，考查正弦定理、余弦定理、勾股定理、三角形面積公式；2017年新課標Ⅰ第11題、新課標Ⅱ第16題、新課標Ⅲ第15題考查正弦定理1.本節(jié)復(fù)習(xí)時，應(yīng)聯(lián)系生活實例，體會建模，掌握運用正弦定理、余弦定理解決實際問題的基本方法2.加強解三角形及解三角形的實際應(yīng)用，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模能力，這也是近幾年高考的熱點之一已知條件應(yīng)用定理一般解法

一邊和兩角(如a，B，C)正弦定理由A＋B＋C＝180°，求角A；由正弦定理求b與c.在有解時只有一解1.解三角形的常見類型及解法在三角形的6個元素中要已知三個(除三個角外)才能求解，常見類型及其解法如下表所示：已知條件應(yīng)用定理一般解法

兩邊和夾角(如a，b，C)余弦定理正弦定理由余弦定理求第三邊c；由正弦定理求出角A或B；再由A＋B＋C＝180°求另一角.在有解時只有一解三邊(a，b，c)余弦定理由余弦定理求角A，B；再由A＋B＋C＝180°求角C.在有解時只有一解兩邊和其中一 邊的對角

(如a，b，A)正弦定理余弦定理由正弦定理求角B；再由A＋B＋C＝180°，求角C；最后利用正弦定理或余弦定理求c.可有兩解、一解或無解(續(xù)表)2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型測量距離問題、高度問題、角度問題、計算面積問題、航海問題等.3.實際問題中的常用角(1)仰角和俯角：

與目標線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標視線的夾角，目標視線在水平視線上方的角叫做仰角，目標視線在水平視線下方的角叫做俯角[如圖3-8-1(1)].圖3-8-1(2)方向角：相對于某正方向的水平角，如南偏東30°，北偏西45°等.(3)方位角：指從正北方向順時針轉(zhuǎn)到目標方向線的水平角，如點B的方位角為α[如圖3-8-1(2)].(4)坡角：坡面與水平面所成的二面角的度數(shù).1.若點A在點B的北偏西30°，則點B在點A的()A.北偏西30°C.南偏東30°B.北偏西60°D.東偏南30°C解析：如圖D21，點B在點A的南偏東30°.

圖D21

2.江岸邊有一炮臺高30m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，且兩條船與炮臺底部連線成30°角，則兩條船相距()

解析：如圖D22，過炮臺頂點A作水平面的垂線，垂足為B.設(shè)A處測得船C，D的俯角分別為45°，30°，連接BC，BD.在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，則AB＝BC＝30m.在Rt△ABD

圖D22答案：D

3.如圖3-8-2，某河段的兩岸可視為平行，在河段的一岸邊選取兩點A，B，觀察對岸的點C，測得∠CAB＝75°，∠CBA)＝45°，且AB＝200m.則A，C兩點的距離為(

圖3-8-2A

4.一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°，另一燈塔在船的南偏西75°，則這艘船的速度是(

)A.5海里/時

解析：如圖D23，依題意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，故∠CAD＝∠CDA＝15°，從而CD＝CA＝10.在Rt△ABC中，時).圖D23答案：C考點測量問題考向1測量距離問題

例1：(2016年廣東廣州模擬)如圖

3-8-3，某測量人員為了測量長江北岸不能到達的兩點A，B之間的距離，在長江南岸找到一個點C，從點C可以觀察到點A，B；找到一個點D，從點D可以觀察到點A，C；找到一個點E，從點E可以觀察到點B，C.測量得到數(shù)據(jù)：∠ACD＝90°，∠ADC＝60°，∠ACB＝15°，∠BCE＝105°，∠CEB＝45°，DC＝CE＝1m.(1)求△CDE的面積；(2)求A，B之間的距離.圖3-8-3解：(1)在△CDE中，∠DCE＝360°－90°－15°－105°＝因為cos15°＝cos(60°－45°)＝cos60°cos45°＋sin60°sin45°連接AB，在△ABC中，由余弦定理AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos∠ACB，【規(guī)律方法】(1)利用示意圖把已知量和待求量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個解三角形的模型.(2)利用正弦、余弦定理解出所需要的邊和角，求得該數(shù)學(xué)模型的解.

【互動探究】

1.(2014年四川)如圖3-8-4，從氣球A上測得正前方的河流的兩岸B，C的俯角分別為75°，30°，此時氣球的高是60m，則河流的寬度BC＝()圖3-8-4答案：C

2.(2017年四川成都外國語學(xué)校統(tǒng)測)如圖3-8-5，A，B兩點都在河的對岸(不可到達)，為了測量A，B兩點間的距離，選取一條基線CD，A，B，C，D在同一平面內(nèi).測得CD＝200m，∠ADB＝∠ACB＝30°，∠CBD＝60°，則AB＝()D.數(shù)據(jù)不夠，無法計算圖3-8-5

解析：如題圖，∵∠ADB＝∠ACB＝30°，∠CBD＝60°，∴AC⊥BD.設(shè)AC∩BD＝O，則△AOD∽△BOC.設(shè)OA＝xm，答案：A考向2測量高度問題

例2：(1)(2015年湖北)如圖3-8-6，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到A處時測得公路北側(cè)一山頂D在西偏北30°的方向上，行駛600m后到達B處，測得此山頂在西偏北75°的方向上，仰角為30°，則此山的高度CD＝________m.

圖3-8-6

(2)(2014年新課標Ⅰ)如圖3-8-7，為測量山高MN，選擇點A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從點A測得點M的仰角為∠MAN＝60°，點C的仰角為∠CAB＝45°，以及∠MAC＝75°；從點C測得∠MCA＝60°.已知山高BC＝100m，則山高MN＝________m.圖3-8-7答案：150【規(guī)律方法】(1)測量高度時，要準確理解仰角、俯角的概念.(2)分清已知量和待求量，分析(畫出)示意圖，明確在哪個三角形內(nèi)運用正弦或余弦定理.【互動探究】3.在200m高的山頂上，測得山下一塔頂和塔底的俯角分別是30°，60°，則塔高為________m.解析：如圖D24，由已知可得∠BAC＝30°，∠CAD＝30°.圖D24∴∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠ADC＝120°.在△ACD中，由余弦定理，得AC2＝2CD2－2CD2·cos120°＝3CD2.答案：400 3考向3測量角度問題

例3：如圖

3-8-8，在一個坡度一定的山坡AC的山頂上有一高度為25m的建筑物CD.為了測量該山坡相對于水平地面的坡角θ，在山坡的A處測得∠DAC＝15°，沿山坡前進50m到達B處，又測得∠DBC＝45°.根據(jù)以上數(shù)據(jù)計算可得cosθ＝________.

圖3-8-8

【規(guī)律方法】關(guān)于角度的問題同樣需要在三角形中進行，同時要理解實際問題中常用角的概念：仰角和俯角、方向角、方位角、坡角等.【互動探究】B

4.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東10°C.南偏東10°B.北偏西10°D.南偏西10°難點突破⊙三角函數(shù)在解三角形中的應(yīng)用例題：(2014年新課標Ⅱ)四邊形ABCD的內(nèi)角A與C互補，AB＝1，BC＝3，CD＝DA＝2.(1)求角C和BD；(2)求四邊形ABCD的面積.解：(1)由題設(shè)及余弦定理，得BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcosC＝13－12cosC,①BD2＝AB2＋DA2－2AB·DAcosA＝5＋4cosC.②【互動探究】5.已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD