什么是正弦穩(wěn)態(tài)電路

一、什么是正弦穩(wěn)態(tài)電路動(dòng)態(tài)電路在正弦激勵(lì)下的完全響應(yīng)由固有響應(yīng)和強(qiáng)制響應(yīng)組成的。在正弦激勵(lì)下，動(dòng)態(tài)電路的固有響應(yīng)是隨時(shí)間的增長(zhǎng)而衰減的，經(jīng)過一段時(shí)間后，固有響應(yīng)將趨于零。這時(shí)電路的完全響應(yīng)則由強(qiáng)制響應(yīng)，也即穩(wěn)態(tài)響應(yīng)決定。在正弦激勵(lì)下，處于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)階段的電路稱為正弦穩(wěn)態(tài)電路。第6章正弦穩(wěn)態(tài)電路分析二、研究正弦穩(wěn)態(tài)電路的意義正弦電壓和電流產(chǎn)生容易，與非電量轉(zhuǎn)換方便，在實(shí)用電路中使用廣泛。復(fù)雜信號(hào)皆可分解為若干不同頻率正弦信號(hào)之和，因此可利用疊加定理將正弦穩(wěn)態(tài)分析推廣到非正弦信號(hào)激勵(lì)下的電路響應(yīng)。三、正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析方法采用相量分析法，引入相量的概念以后，在電阻電路中應(yīng)用的公式、定理均可以運(yùn)用于正弦穩(wěn)態(tài)電路。6-1正弦量6-2正弦量的相量表示法6-3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型6-4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法6-5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率本章的主要內(nèi)容6-1正弦量6-1-1正弦量的三要素

正弦電壓的瞬時(shí)值可表示為：正弦量的振幅正弦量的角頻率，表示其隨時(shí)間變化的快慢正弦量的初相位，表示其起始值的大小可以為正為負(fù)，為正時(shí)，最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)時(shí)刻之前為負(fù)時(shí)，最大值發(fā)生在計(jì)時(shí)時(shí)刻之后規(guī)定的取值范圍為：6-1-2正弦量的相位差

在同一正弦穩(wěn)態(tài)電路中，任意電量都是同頻的正弦量，因此各正弦量的區(qū)別在于振幅和初相不同。為了衡量各正弦電壓和電流間變化進(jìn)程之間的差別，即兩個(gè)同頻正弦量之間的相位關(guān)系，引入“相位差”的概念。相位差定義為：設(shè)兩個(gè)同頻正弦量為：同頻正弦量的相位差等于它們的初相之差，是一個(gè)與時(shí)間無關(guān)的常數(shù)比較兩正弦量的相位差時(shí)應(yīng)注意：（1）兩正弦量必須是同類型的函數(shù)（2）兩正弦量必須具有相同的頻率（3）初相位要小于π例：6-1-3正弦量的有效值

在工程上，常將周期量在一個(gè)周期內(nèi)產(chǎn)生的平均效應(yīng)換算為在效應(yīng)上與之相等的直流量，以衡量和比較周期量的效應(yīng)，這一直流量就稱為周期量的有效值，用相對(duì)應(yīng)的大寫字母表示。當(dāng)周期電流信號(hào)流過電阻時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，電阻所消耗的電能量為直流電流流過電阻時(shí)，在一個(gè)周期內(nèi)，該電阻消耗的能量為如果上述兩種情況下，電阻R消耗的能量相同，即則將電流I定義為周期電流信號(hào)的有效值。當(dāng)周期電流為正弦電流時(shí)代入上式，可得正弦電流的有效值I為正弦電流也可表示為同理可得正弦電壓u（t）的有效值為有效值在工程中應(yīng)用十分廣泛。大部分使用于50HZ的交流電表測(cè)讀的都是有效值。交流電機(jī)和電器銘牌上所標(biāo)注的額定電壓或電流都是指有效值。通常所說的民用交流電的電壓220V，指的就是電壓的有效值。6-2正弦量的相量表示法正弦穩(wěn)態(tài)電路中，電路中各支路的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)是與激勵(lì)同頻率的正弦量。激勵(lì)的頻率通常是已知的，因此要求響應(yīng)，只要確定它們的振幅和初相這兩個(gè)量就行了正弦量為什么要用相量表示？相量表示法就是用復(fù)數(shù)來表示正弦量的振幅和初相，將描述正弦電路的微分方程變換為復(fù)數(shù)代數(shù)方程，而這些方程在形式上又與直流電路的方程相類似，從而大大簡(jiǎn)化了正弦穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的分析與計(jì)算。6-2-1復(fù)數(shù)

一．復(fù)數(shù)的概念一個(gè)復(fù)數(shù)A有四種數(shù)學(xué)表達(dá)形式：直角坐標(biāo)形式：三角形式：指數(shù)形式：極坐標(biāo)形式：復(fù)數(shù)在復(fù)平面上用矢量表示baO二．復(fù)數(shù)運(yùn)算規(guī)則復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算三、復(fù)數(shù)運(yùn)算定理定理1若為a實(shí)數(shù)，A(t)為任意實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)。則有定理2若A(t)和B(t)為任意實(shí)變量的復(fù)值函數(shù)。則有定理3若A為復(fù)數(shù),其極坐標(biāo)形式為。則有定理4若A、B為復(fù)常數(shù),若在所有的時(shí)刻都滿足則

6-2-2正弦量的相量表示法正弦電壓復(fù)指數(shù)函數(shù)比較上兩式可得有效值相量振幅相量?jī)上嗔恐g的關(guān)系引入相量后，正弦電壓又可表示為

引入旋轉(zhuǎn)相量后，上式對(duì)應(yīng)的幾何意義是一個(gè)正弦量在任何時(shí)刻的瞬時(shí)值，等于對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)相量同一時(shí)刻在實(shí)軸上的投影，如圖所示。稱為旋轉(zhuǎn)相量注意：（1）正弦量與相量?jī)H為對(duì)應(yīng)關(guān)系，并非相等關(guān)系，（2）正弦量的時(shí)間函數(shù)表達(dá)式稱為正弦量的時(shí)域表示，相量表示形式稱為正弦量的相量表示或頻域表示。試寫出它們對(duì)應(yīng)的相量并作出相量圖。[例6-1]正弦電壓和電流分別為解：對(duì)應(yīng)相量的為對(duì)應(yīng)相量的為相量圖為[例6-3]已知正弦電壓相量為，頻率，試寫出對(duì)應(yīng)正弦量的時(shí)域表示形式。解：正弦波對(duì)應(yīng)角頻率對(duì)應(yīng)正弦相量的極坐標(biāo)形式為：對(duì)應(yīng)時(shí)域表示形式為：6-3正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型6-3-1基爾霍夫定律的相量形式基爾霍夫電流定律在時(shí)域內(nèi)可表示為若

為正弦波，則有KCL的相量式同理，可得KVL的相量形式為[例6-4]如圖所示，電路節(jié)點(diǎn)上試求，并作出各電流相量的相量圖。解：由的時(shí)域形式，得：由KCL的相量形式，得：相量圖如圖所示由相量表示，得其瞬態(tài)表示：6-3-2R、L、C元件伏安關(guān)系的相量形式一．電阻元件因?yàn)樗杂蓺W姆定律的相量形式電阻元件的相量模型為：+－二．電容元件電容元件的時(shí)域伏安關(guān)系：電容元件伏安關(guān)系的相量形式電容元件的相量模型為：+－電容的容抗電容的容納由可得三．電感元件電感元件的時(shí)域伏安關(guān)系：由上式可得電感元件伏安關(guān)系的相量形式和相量模型+－電感的感抗和感納[例6-6]電路如圖示，已知R=15Ω，C=83.3μF,L=30mH,求電流I.＋－u(t)RCLiRiCiLi解：利用KCL相量關(guān)系，有：對(duì)應(yīng)的相量圖為

[例6-7]如圖所示電路，電流表示數(shù)分別為A1讀數(shù)10A、A2讀數(shù)10A，試求A的讀數(shù)。A1ARA2Ci1i2i解法1：假定R與C兩端的電壓為則對(duì)R支路，有由A1讀數(shù)為10A，故對(duì)C支路，有由A2讀數(shù)為10A，故由KCL的相量形式，有故A的讀數(shù)為解法2：用相量圖求解因R與C并聯(lián)，兩者端電壓相等，故以電壓作為參考相量A1ARA2Ci1i2i10A10A6-3-3阻抗與導(dǎo)納阻抗與導(dǎo)納的定義N＋－由以上定義可得，電阻、電感、電容的阻抗分別為對(duì)一般無源網(wǎng)絡(luò)有阻抗的電阻分量阻抗的電抗分量阻抗的模阻抗角當(dāng)X>0時(shí),θZ>0,網(wǎng)絡(luò)呈感性當(dāng)X<0時(shí),θZ<0,網(wǎng)絡(luò)呈容性當(dāng)X=0時(shí),θZ=0,網(wǎng)絡(luò)呈電阻性即無源網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)電阻和電抗串聯(lián)同理,一個(gè)無源網(wǎng)絡(luò)的導(dǎo)納可表示為電導(dǎo)分量電納分量即無源網(wǎng)絡(luò)可等效為一個(gè)電導(dǎo)和電納并聯(lián)綜上所述，正弦穩(wěn)態(tài)的無源二端網(wǎng)絡(luò)，可等效為電阻和電抗的串聯(lián)電路，也可等效為電導(dǎo)和電納的并聯(lián)電路。對(duì)于同一個(gè)二端網(wǎng)絡(luò)，兩者之間有如下關(guān)系：[例6-8]如圖所示二端網(wǎng)絡(luò)，試求該二端網(wǎng)絡(luò)的輸入阻抗并分析電路性質(zhì)。－＋R－＋Z＋－LC＋－解：由二端網(wǎng)絡(luò)輸入阻抗的定義有：由于電抗X是角頻率的函數(shù),因此，在不同頻率下，電路會(huì)呈現(xiàn)出不同性質(zhì)：當(dāng)時(shí),電路可等效為一個(gè)阻值為R的純電阻當(dāng)時(shí),電路可等效為一個(gè)R和L組成的串聯(lián)電路

當(dāng)時(shí),電路可等效為一個(gè)R和C組成的串聯(lián)電路

6-3-4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型將電路中各元件分別用其阻抗（或?qū)Ъ{）表示,將電路各支路電壓，電流都用對(duì)應(yīng)相量形式表示，參考方向仍與原電路相同。＋－uS(t)＋－uL＋－uR＋－uCLRCi(t)(a)電路時(shí)域模型＋－＋－＋－＋－(b)相量模型6-4正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量分析法電阻電路的KCL，KVL和伏安關(guān)系為：正弦穩(wěn)態(tài)電路的KCL、KVL和伏安關(guān)系的相量形式為：因?yàn)閮烧咴谛问缴贤耆嗤?，電阻電路的各個(gè)定律、定理和和分析方法可完全推廣到正弦穩(wěn)態(tài)電路的相量模型中。應(yīng)用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的步驟為：（1）將時(shí)域模型轉(zhuǎn)換為相量模型；（2）利用與分析電阻電路相同的方法，列出對(duì)應(yīng)復(fù)代數(shù)方程；（3）求解對(duì)應(yīng)響應(yīng)的相量；（4）將響應(yīng)的相量變換為正弦量。[例6-12]電路如圖所示。已知試用網(wǎng)孔分析法求＋－us(t)i13Ω＋－2i1i2＋－+－解：（1）畫相量模型

V

（2）設(shè)網(wǎng)孔電流為，列網(wǎng)孔方程＋－+－（3）求解方程（4）求瞬時(shí)值解：（1）對(duì)應(yīng)相量模型如下圖所示。[例6-13]電路如圖示。已知，試求is2(t)is1(t)u2(t)u1(t)5Ω10Ω（2）對(duì)如圖所示相量模型進(jìn)行等效變換（3）將電流源替換為電壓流回路電流＋＋－－

＋＋－－

對(duì)應(yīng)的瞬時(shí)值為[例6-14]正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖所示。已知試求其戴維南等效電路。

解：（1）對(duì)應(yīng)相量模型如圖（b）所示，其中＋－uS(t)i1＋－2Ω1F2Fi1i＋－u(a)＋－＋－2Ω＋－(b)（2）求開路電壓＋－＋－2Ω＋－(b)（3）求等效電阻Z0＋－2Ω＋－ab＋－2Ω＋－ab由上式可得等效阻抗＋－Z0用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路時(shí)，線性電阻電路的各種分析方法和電路定理均可推廣使用，差別僅在于所用電路模型為相量模型，電路方程均為相量形式。6-5正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率本節(jié)首先討論正弦穩(wěn)態(tài)電路中二端網(wǎng)絡(luò)的功率，并引入有功功率，無功功率等概念，然后討論正弦穩(wěn)態(tài)電路中的最大功率傳輸問題。6-5-1二端網(wǎng)絡(luò)的功率N＋－設(shè)無源二端網(wǎng)絡(luò)N,其端口電壓u和電流i為關(guān)聯(lián)參考方向，且則網(wǎng)絡(luò)N吸收的瞬時(shí)功率令，則有由上式可知：網(wǎng)絡(luò)N吸收的瞬時(shí)功率由恒定分量和正弦分量?jī)刹糠纸M成，其中正弦分量的頻率是電壓或電流頻率的兩倍。的波形如圖所示由于電壓和電流不一定同相，造成時(shí)正時(shí)負(fù)。但由于網(wǎng)絡(luò)N存在電阻元件，網(wǎng)絡(luò)N總體上是耗能的，所以大于零的部分大于小于零的部分。一、平均功率P(有功功率)二、功率因數(shù)λ因?yàn)?所以P恒大于等于0，所以有功功率P代表二端網(wǎng)絡(luò)N實(shí)際消耗的功率，它就是瞬時(shí)功率的恒定分量。它不僅與電壓和電流的有效值乘積有關(guān)，且與它們的相位差有關(guān)。當(dāng)<0時(shí)(電流超前電壓)，在λ后注明“超前”；當(dāng)>0時(shí)(電流滯后電壓)，在λ后注明“滯后”。三、視在功率S把二端網(wǎng)絡(luò)端口處電壓和電流有效值的乘積稱為視在功率。為了與平均功率相區(qū)別，視在功率的單位用伏安（VA）

引入了視在功率的概念，功率因數(shù)又可表示為是阻抗角,也稱為功率因數(shù)角視在功率不等于負(fù)載實(shí)際獲得的功率，但它可以表示電氣設(shè)備的容量。任何電器設(shè)備出廠時(shí)，都規(guī)定了額定電壓和額定電流。因而視在功率也有一個(gè)額定值。對(duì)于電阻性電器設(shè)備，例如燈泡、電烙鐵等，功率因數(shù)等于1，視在功率和平均功率在數(shù)值上相等，因此額定功率以平均功率的形式給出對(duì)于發(fā)電機(jī)、變壓器這類電器設(shè)備，它們的輸出功率與負(fù)載性質(zhì)有關(guān)，只能給出額定的視在功率。在視在功率一定的條件下，只有提高功率因數(shù)，才能充分發(fā)揮電氣設(shè)備的潛力。四、功率因數(shù)的提高如果負(fù)載呈感性，此時(shí)可在負(fù)載兩端并聯(lián)一個(gè)容量合適的電容

如果負(fù)載呈容性，此時(shí)可在負(fù)載兩端并聯(lián)一個(gè)合適的電感

五、無功功率Q無功功率的單位用乏（Var，無功伏安）P，Q和S構(gòu)成一個(gè)如圖所示的直角三角形，稱為功率三角形。六、不同性質(zhì)二端網(wǎng)絡(luò)的功率1.純電阻二端網(wǎng)絡(luò)若二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電阻R時(shí),瞬時(shí)功率平均功率有功功率說明電阻一直在從外電路吸收能量而沒有能量的交換。2.純電感二端網(wǎng)絡(luò)瞬時(shí)功率平均功率無功功率若二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電感L時(shí),p正負(fù)交替變化，說明有能量的來回交換3.純電容二端網(wǎng)絡(luò)若二端網(wǎng)絡(luò)等效為純電容C時(shí),瞬時(shí)功率平均功率無功功率p正負(fù)交替變化，說明有能量的來回交換有功功率P/W無功功率Q/var視在功率功率因數(shù)S/VAcosφ電阻(R)UI0

UI1電感(L)0

UI

UI0電容(C)0

-UI

UI0功率名稱元件名稱R、L、C元件的各種功率4.一般二端網(wǎng)絡(luò)一般的無源二端網(wǎng)絡(luò)，可等效為一個(gè)電阻R和一個(gè)電抗X的串聯(lián)有功功率無功功率二端網(wǎng)絡(luò)吸收的有功功率等于其等效阻抗中電阻分量吸收的有功功率。[例6-16]正弦穩(wěn)態(tài)電路如圖示，已知試求u（t）提供的平均功率。＋－u(t)i1i23Ω4Ω2H＋－3Ω4Ω解法一：＋－3Ω4Ω解：電路相量模型如圖所示。等效阻抗Z為Zu（t）提供的平均功率為＋－3Ω4Ω解法二：解：用網(wǎng)孔分析法求解

解得

因?yàn)殡娫刺峁┑钠骄β实扔诰W(wǎng)絡(luò)內(nèi)部電阻消耗的平均功率的總和,所以有6-5-2最大功率傳輸條件＋－＋－Z0ZL11’N含源二端網(wǎng)絡(luò)N可用戴維南等效,如圖所示,設(shè)則負(fù)載電流故負(fù)載吸收的平均功率為上式中，為變量，而其它參數(shù)均為常量。由于變量只出現(xiàn)在分母中，因此當(dāng)時(shí)分母最小，功率最大，此時(shí)上式中，為變量，令得綜上所述