第五章 恒定磁場

電磁場與電磁波電子信息工程系高飛第五章恒定磁場

主要內(nèi)容磁感應強度，場方程，邊界條件。

1.磁感應強度、磁通及磁場線

已知磁場表現(xiàn)為對于運動電荷有力的作用，因此，可以根據(jù)運動電荷或電流元受到的作用力，或者根據(jù)小電流環(huán)在磁場中受到的力矩描述磁場的強弱。

實驗發(fā)現(xiàn)，運動電荷在磁場中受到的作用力不僅與電荷量及運動速度的大小成正比，而且還與電荷的運動方向有關。電荷沿某一方向運動時受力最大，而垂直此方向運動時受力為零。我們定義，受力為零的方向為零線方向，如圖所示。設最大作用力為Fm

，沿偏離零線方向

角度運動時，受力為。作用力F的大小與電荷量q

及速度大小v的乘積成正比。我們定義一個矢量B

，令其大小為，其方向為零線方向，那么矢量B與電荷量q

，運動速度v以及作用力F的關系為

矢量B稱為磁感應強度，單位為T（特斯拉）。

值得注意的是，運動電荷受到的磁場力始終與電荷的運動方向垂直，因此，磁場力無法改變運動電荷速度的大小，只能改變其運動方向，磁場與運動電荷之間沒有能量交換。

FBv零線方向

根據(jù)上述磁感應強度B

的定義，可以導出電流元在磁場中受到的力以及小電流環(huán)在磁場中受到的力矩。

電流元是一小段載流導線，以矢量元dl的大小表示電流元的長度，其方向表示電流I

的方向，如左下圖示。FBIdl若電流元的電流為I，則那么，由前式求得電流元在磁感應強度為B的磁場中受到的力此式表明，當電流元的電流方向與磁感應強度B

平行時，受力為零；當電流元的方向與B

垂直時，受力最大。電流元在磁場中的受力方向始終垂直于電流的流動方向。

小電流環(huán)受到的力矩。設小電流環(huán)為四根長度為l

的電流元圍成的平面方框，電流方向如左下圖示。

cdbaFFBS

(a)如果觀察距離遠大于小電流環(huán)的尺寸，這種小電流環(huán)又稱為磁偶極子。式中為電流環(huán)的面積。由于小環(huán)面積很小，在小環(huán)的平面內(nèi)可以認為磁場是均勻的。那么當磁感應強度B

與電流環(huán)所在平面平行時，如圖(a)所示，則ab及cd兩條邊不受力，ad及bc兩條邊受力方向相反，因此，使電流環(huán)受到一個力矩

T，其大小為FdcbaFFFBS

(b)dcbaFFBBnBtFFS

(c)當電流環(huán)的平面與B垂直時，如圖(b)所示，各邊受力方向指向外側，相互抵消，電流環(huán)受到的力矩為零。

當B

與電流環(huán)平面的法線方向夾角為

時，如圖(c)所示，則B

可分解為Bn

及Bt兩個分量，其中Bn

垂直于小環(huán)平面,Bt

平行于小環(huán)平面，因此，小環(huán)受到的力矩大小為

若定義有向面S的方向與電流方向構成右旋關系，則上式可寫成矢量形式

可以證明，此式適用于任何形狀的小電流環(huán)。通常，乘積IS稱為小電流環(huán)的磁矩，以m

表示，即

則前式又可寫為此式表明，當電流環(huán)的磁矩方向與磁感應強度B的方向平行時，受到的力矩為零；當兩者垂直時，受到的力矩最大。

磁感應強度也可用一系列有向曲線來表示。曲線上某點的切線方向為磁感應強度矢量的方向，這些曲線稱為磁場線（磁力線）

。磁場線的矢量方程為

磁場線也不可相交。與電場線一樣，若以磁場線構成磁場管，且規(guī)定相鄰磁場管中的磁通相等，則磁場線的疏密程度也可表示磁場的強弱，磁場線密表示磁感應強度強。磁感應強度B

通過某一表面S

的通量稱為磁通，以

表示，即磁通的單位為Wb（韋伯）。

2.真空中的恒定磁場方程式真空中恒定磁場的磁感應強度B滿足下列兩個方程左式稱為安培環(huán)路定律，式中0

為真空磁導率，(H/m)，I

為閉合曲線包圍的電流。

安培環(huán)路定律表明，真空中恒定磁場的磁感應強度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于曲線包圍的電流與真空磁導率的乘積。由此可見，與電流線一樣，磁場線也是處處閉合的，沒有起點與終點，這種特性稱為磁通連續(xù)性原理。右式表明，真空中恒定磁場通過任一閉合面的磁通為零。

由斯托克斯定理獲知再考慮到電流強度I與電流密度J

的關系那么，根據(jù)安培環(huán)路定律求得由于上式對于任何表面都成立，因此，被積函數(shù)應為零，從而求得此式表明，真空中某點恒定磁場的磁感應強度的旋度等于該點的電流密度與真空磁導率的乘積。

另外，由高斯定理獲知那么，根據(jù)磁通連續(xù)性原理求得由于此式處處成立，因此被積函數(shù)應為零，即此式表明，真空中恒定磁場的磁感應強度的散度處處為零。綜上所述，求得真空中恒定磁場方程的微分形式為可見，真空中恒定磁場是有旋無散的。

根據(jù)亥姆霍茲定理，磁感應強度B應為式中考慮到真空中恒定磁場方程，得那么可見，某點磁感應強度B等于該點矢量函數(shù)A的旋度，該矢量函數(shù)A

稱為矢量磁位。

若已知電流分布，利用上式可以先求出任一點的矢量磁位，即可計算該點的磁感應強度。此式稱為畢奧–沙伐定律。電流分類：電流可以分布在體積中，也可分布在表面上或細導線中。面分布的電流稱為表面電流，表面電流密度Js的單位為

A/m。細導線中電流稱為線電流，線電流無密度可言。經(jīng)過演算，還可直接建立電流與磁感應強度的關系為各種電流之間的關系為那么，可以導出面電流和線電流產(chǎn)生的矢量磁位及磁感應強度分別為對于某些恒定磁場，根據(jù)安培環(huán)路定律計算磁感應強度將十分簡便。為此，必須找到一條封閉曲線，曲線上各點的磁感應強度大小相等，且方向與曲線的切線方向一致，上式的矢量積分變?yōu)闃肆糠e分，且B可以由積分號移出，那么即可求出B

值。至此，我們獲得了真空中恒定磁場方程的積分形式和微分形式。已知電流分布，根據(jù)矢量磁位和磁感應強度公式，即可計算恒定磁場。對于某些分布特殊的恒定磁場利用安培環(huán)路定律計算恒定磁場更為簡便。例1

計算無限長的，電流為I

的線電流產(chǎn)生的磁感應強度。rozyxdlIr′r-r′e解取圓柱坐標系，如圖示。令z

軸沿電流方向。的方向為B

的方向。那么，由圖可見，這個叉積方向為圓柱坐標中的e方向。因此，磁感應強度B

的方向為e

方向，即此式表明，磁場線是以z

軸為圓心的一系列的同心圓。顯然，此時磁場分布以z

軸對稱，且與

無關。又因線電流為無限長，因此，場量一定與變量

z

無關，所以，以線電流為圓心的磁場線上各點磁感應強度相等。因此，沿半徑為r的磁場線上磁感應強度的環(huán)量為

根據(jù)安培環(huán)路定律，求得磁感應強度的大小為此式也適用于具有一定截面，電流為I

的無限長的圓柱導線外的恒定磁場。IB例2

計算半徑為a

，電流為I的小電流環(huán)產(chǎn)生的磁感應強度。rzyxar'r-r'e''xyOar'''e'-exeye'解取球坐標系，令坐標原點位于電流環(huán)的中心，且電流環(huán)的平面位于xy

平面內(nèi)，如圖示。由于結構對稱，場量一定與

無關。為了計算方便起見，令所求的場點位于xz

平面，即

=0平面內(nèi)。經(jīng)過一系列演算，求得式中為小電流環(huán)的面積?？紤]到小電流環(huán)的磁矩，上式可表示為根據(jù)，求得可見，小電流環(huán)產(chǎn)生的矢量磁位A與距離r

的平方成反比，磁感應強度B與距離r

的立方成反比。而且，兩者均與場點所處的方位有關。

此式適用于磁矩為m，位于坐標原點的任何取向的磁偶極子。mrA(r)xzy3.矢量磁位與標量磁位已知矢量磁位A

與磁感應強度B

的關系為

矢量磁位與電位不同，它沒有任何物理意義，僅是一個計算輔助量。已知，那么求得可見，矢量磁位A滿足矢量泊松方程。當電流分布未知時，必須利用邊界條件求解恒定電磁場的方程。為此，需要導出矢量磁位應該滿足的微分方程。前述矢量磁位的積分表達式可以認為是該方程的特解——自由空間中的解。在無源區(qū)中，J

=0，則上式變?yōu)橄率鍪噶坷绽狗匠?/p>

已知在直角坐標系中，泊松方程及拉普拉斯方程均可分解為三個坐標分量的標量方程。因此，前述的格林函數(shù)法以及分離變量法均可用于求解矢量磁位A的各個直角坐標分量所滿足的標量泊松方程及拉普拉斯方程。此外，鏡像法也可適用于求解恒定磁場的邊值問題。已知磁通表達式為，那么

再利用斯托克斯定理，得由此可見，利用矢量磁位A

計算磁通十分簡便。

在無源區(qū)中，因J=0，得?？梢姡瑹o源區(qū)中磁感應強度B是無旋的。因此，無源區(qū)中磁感應強度

B

可以表示為一個標量場的梯度，令

式中標量m

稱為標量磁位。因，由上式得

可見，標量磁位滿足拉普拉斯方程。這樣，根據(jù)邊界條件，求解標量磁位滿足的拉普拉斯方程，可得標量磁位，然后即可求出磁感應強度。注意，標量磁位的應用僅限于無源區(qū)。4.媒質(zhì)磁化

電子圍繞原子核旋轉(zhuǎn)形成一個閉合的環(huán)形電流，這種環(huán)形電流相當于一個磁偶極子。電子及原子核本身自旋也相當于形成磁偶極子。媒質(zhì)合成場Ba+Bs磁化二次場Bs外加場Ba當外加磁場時，在磁場力的作用下，這些帶電粒子的運動方向發(fā)生變化，甚至產(chǎn)生新的電流，導致各個磁矩重新排列，宏觀的合成磁矩不再為零，這種現(xiàn)象稱為磁化。由于熱運動的結果，這些磁偶極子的排列方向雜亂無章，合成磁矩為零，對外不顯示磁性。與極化現(xiàn)象不同，磁化結果使媒質(zhì)中的合成磁場可能減弱或增強，而介質(zhì)極化總是導致合成電場減弱。

根據(jù)磁化過程，媒質(zhì)的磁性能分為抗磁性、順磁性、鐵磁性及亞鐵磁性等。

抗磁性。在正常情況下，原子中的合成磁矩為零。當外加磁場時，電子除了仍然自旋及軌道運動外，軌道還要圍繞外加磁場發(fā)生運動，這種運動方式稱為進動。電子進動產(chǎn)生的附加磁矩方向總是與外加磁場的方向相反，導致媒質(zhì)中合成磁場減弱。因此，這種磁性能稱為抗磁性，如銀、銅、鉍、鋅、鉛及汞等。Bt順磁性。在正常情況下，合成磁矩不為零。由于熱運動結果，宏觀的合成磁矩為零。在外加磁場的作用下，除了引起電子進動以外，磁偶極子的磁矩方向朝著外加磁場方向轉(zhuǎn)動。因此，合成磁場增強，這種磁性能稱為順磁性。如鋁、錫、鎂、鎢、鉑及鈀等。鐵磁性。內(nèi)部存在“磁疇”，每個“磁疇”中磁矩方向相同，但是各個“磁疇”的磁矩方向雜亂無章，對外不顯示磁性。在外磁場作用下，各個“磁疇”方向趨向一致，且疇界面積還會擴大，因而產(chǎn)生很強的磁性。例如鐵、鈷、鎳等。這種鐵磁性媒質(zhì)的磁性能還具有非線性，且存在磁滯及剩磁現(xiàn)象。亞鐵磁性。是一種金屬氧化物，磁化現(xiàn)象比鐵磁媒質(zhì)稍弱一些，但剩磁小，且電導率很低，這類媒質(zhì)稱為亞鐵磁媒質(zhì)。例如鐵氧體等。由于其電導率很低，高頻電磁波可以進入內(nèi)部，產(chǎn)生一些可貴的特性，使得鐵氧體在微波器件中獲得廣泛的應用。磁化結果產(chǎn)生了磁矩。為了衡量磁化程度，我們定義單位體積中磁矩的矢量和稱為磁化強度，以M表示，即式中為中第i個磁偶極子具有的磁矩。為物理無限小體積。

磁化后，媒質(zhì)中形成新的電流，這種電流稱為磁化電流。形成磁化電流的電子仍然被束縛在原子或分子周圍，所以磁化電流又稱為束縛電流。磁化電流密度以J'

表示。利用矢量磁位與磁矩的關系，可以導出矢量磁位與磁化強度M

的關系為xPzyrdV'OV'r'r-r'S'第一項為體分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，第二項為面分布的磁化電流產(chǎn)生的矢量磁位，因此兩種磁化電流密度與磁化強度的關系為

例

已知半徑為a，長度為l的圓柱形磁性材料，沿軸線方向獲得均勻磁化。若磁化強度為M，試求位于圓柱軸線上距離遠大于圓柱半徑P點處由磁化電流產(chǎn)生的磁感應強度。xyzlP(0,0,z)0a解取圓柱坐標系，令z軸與圓柱軸線一致，如圖示。由于是均勻磁化，磁化強度與坐標無關，因此，，即體分布的磁化電流密度為零。又知表面磁化電流密度式中en

為表面的外法線方向上單位矢。因，所以表面磁化電流密度僅存在于圓柱側壁，上下端面的磁化電流密度為零。因此xyzlP(0,0,z)zdz'0a顯然，這種表面磁化電流在側壁上形成環(huán)形電流。位于z處寬度為dz

的環(huán)形電流為(

dz)

，那么該環(huán)形電流在軸線上z

處(z>>a)產(chǎn)生的磁感應強度dB

為

那么側壁上全部磁化電流在軸線上z處產(chǎn)生的合成磁感應強度為5.媒質(zhì)中的恒定磁場方程式

磁化媒質(zhì)內(nèi)部的磁場相當于傳導電流I

及磁化電流I

在真空中產(chǎn)生的合成磁場。這樣，磁化媒質(zhì)中磁感應強度B沿任一閉合曲線的環(huán)量為考慮到，求得令則式中H

稱為磁場強度，其單位是A/m。上式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律。它表明媒質(zhì)中的磁場強度沿任一閉合曲線的環(huán)量等于閉合曲線包圍的傳導電流。利用斯托克斯定理，由上式求得該式稱為媒質(zhì)中安培環(huán)路定律的微分形式。它表明媒質(zhì)中某點磁場強度的旋度等于該點傳導電流密度。磁化電流并不影響磁場線處處閉合的特性，媒質(zhì)中磁感應強度通過任一閉合面的通量仍為零，因而磁感應強度的散度仍然處處為零，即磁場強度僅與傳導電流有關，簡化了媒質(zhì)中磁場強度的計算，正如使用電通密度可以簡化介質(zhì)中靜電場的計算一樣。

對于大多數(shù)媒質(zhì)，磁化強度M

與磁場強度

H

成正比，即式中比例常數(shù)m

稱為磁化率。磁化率可以是正或負實數(shù)。

考慮到，則由上式求得令則式中稱為磁導率。相對磁導率r

定義為但是，無論抗磁性或者順磁性媒質(zhì)，其磁化現(xiàn)象均很微弱，因此，可以認為它們的相對磁導率基本上等于1。鐵磁性媒質(zhì)的磁化現(xiàn)象非常顯著，其磁導率可以達到很高的數(shù)值。抗磁性媒質(zhì)磁化后使磁場減弱，因此順磁性媒質(zhì)磁化后使磁場增強，因此媒質(zhì)媒質(zhì)媒質(zhì)金0.9996鋁1.000021

鎳

250銀0.9998鎂1.000012

鐵4000銅0.9999鈦1.000180磁性合金105與介質(zhì)的電性能一樣，媒質(zhì)的磁性能也有均勻與非均勻，線性與非線性、各向同性與各向異性等特點。若媒質(zhì)的磁導率不隨空間變化，則稱為磁性能均勻媒質(zhì)，反之，則稱為磁性能非均勻媒質(zhì)。若磁導率與外加磁場強度的大小及方向均無關，磁感應強度與磁場強度成正比，則稱為磁性能各向同性的線性媒質(zhì)。磁性能各向異性的媒質(zhì)，其磁導率具有9個分量，B

與H的關系為對于磁性能均勻、線性、各向同性的媒質(zhì)，由于磁導率與空間坐標無關，因此得

又知，由亥姆霍茲定理得

它所滿足的微分方程式為可以認為，上式是下式的特解，即自由空間的解。上述結果表明，對于均勻、線性、各向同性媒質(zhì)，只要真空磁導率0

換為媒質(zhì)磁導率，各個方程即可適用。6.恒定磁場的邊界條件

推導過程與靜電場的情況完全類似。結果如下：

12B2H1B1H2en(1)當邊界上不存在表面電流時，磁場強度的切向分量是連續(xù)的，即

對于各向同性的線性媒質(zhì)，上式又可表示為(2)磁感應強度的法向分量是連續(xù)的，即

對于各向同性的線性媒質(zhì)，由上式求得由上可見，邊界兩側磁場強度及磁感應強度的大小及方向均要發(fā)生變化。這種不連續(xù)性是由于邊界上存在的表面磁化電流引起的?？紤]到回路方向與回路界定的有向面方向形成右旋關系，上式又可寫成矢量形式12enet邊界上磁感應強度的切向分量與磁化電流的關系為得磁導率為無限大的媒質(zhì)稱為理想導磁體。在理想導磁體中不可能存在磁場強度，否則，由式可見，將需要無限大的磁感應強度。產(chǎn)生無限大的磁感應強度需要無限大的電流，因而需要無限大的能量，顯然這是不可能的。例1

在具有氣隙的環(huán)形磁芯上緊密繞制N

匝線圈，如圖示。當線圈中的恒定電流為I時，若忽略散逸在線圈外的漏磁通，試求磁芯及氣隙中的磁感應強度及磁場強度。

邊界上磁場強度的切向分量是連續(xù)的，因此，在理想導磁體表面上不可能存在磁場強度的切向分量，即磁場強度必須垂直于理想導磁體表面。H解忽略漏磁通，磁感應強度的方向沿環(huán)形圓周。由邊界條件知，氣隙中磁感應強度Bg等于磁芯中的磁感應強度Bf

，即圍繞半徑為r0的圓周，利用媒質(zhì)中的安培環(huán)路定律，且考慮到r0>>