第九章對(duì)策模型

第九章對(duì)策模型9.1對(duì)策現(xiàn)象及基本概念9.2矩陣對(duì)策模型9.3最優(yōu)純策略9.4混合策略對(duì)策背景9.1對(duì)策現(xiàn)象及基本概念

在社會(huì)生活中，人們會(huì)遇到各種具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)剐再|(zhì)得現(xiàn)象，如下棋、賽球等各種比賽，國(guó)家或集團(tuán)之間的戰(zhàn)爭(zhēng)，外交和貿(mào)易談判，人與自然災(zāi)害之間的斗爭(zhēng)等等。上面這些現(xiàn)象，都具有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)沟男再|(zhì)，至少包含有競(jìng)爭(zhēng)或?qū)沟某煞?，我們稱之為對(duì)策現(xiàn)象。在競(jìng)爭(zhēng)或?qū)惯^程中，各方都設(shè)法充分發(fā)揮自己的所長(zhǎng)，采取恰當(dāng)?shù)牟呗?，力?zhēng)取得對(duì)自己有利的結(jié)果。對(duì)策現(xiàn)象簡(jiǎn)單實(shí)例例1齊王與田忌賽馬戰(zhàn)國(guó)時(shí)，齊王有一天提出要與大臣田忌進(jìn)行賽馬，雙方約定：（1）各出三匹馬，上、中、下等馬各一匹；（2）每次比賽雙方各出一匹馬，共賽三次；（3）每匹馬只參加一次比賽；（4）每次比賽后，負(fù)者要付給勝者一千金。當(dāng)時(shí)同等級(jí)的馬，齊王的馬比田忌的馬要強(qiáng)。因此，似乎田忌肯定要輸了。但田忌的謀士孫臏出了一個(gè)好主意：用田忌的下馬對(duì)齊王的上馬，用中馬對(duì)齊王的下馬，用上馬對(duì)齊王的中馬，結(jié)果田忌二勝一負(fù)，贏得一千金。由此可見，在進(jìn)行對(duì)策時(shí)，參與者應(yīng)如何決策是值得認(rèn)真研究的！對(duì)策模型的基本概念局中人局中人是指那些在一場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)或抵抗（簡(jiǎn)稱為對(duì)策）中的參與者，他們?cè)谶@場(chǎng)競(jìng)爭(zhēng)的結(jié)果中都有利害關(guān)系，且都有決策權(quán)。策略稱局中人自始至終如何行動(dòng)的一個(gè)完整的可行方案為一種策略。如在例1中，田忌共有六個(gè)不同的可行方案：（上，中，下），（上，下，中），（中，上，下），（中，下，上），

(下，上，中），（下，中，上）。其中的（上，中，下）表示田忌在三次比賽中依次派出上、中、下等馬參賽。田忌的每個(gè)方案稱為他的一個(gè)策略，這六個(gè)策略的全體稱為田忌的策略集。同樣，另一個(gè)局中人齊王也有六個(gè)策略。在一局對(duì)局中，每個(gè)局中人從其策略集中各取出一個(gè)策略與對(duì)方對(duì)陣。雙方所選的這一組策略，合起來稱為一個(gè)局勢(shì)。如例1中，田忌取策略（下,上,中），齊王取策略（上,下,中），就構(gòu)成了一個(gè)局勢(shì)（（下,上,中），（上,下,中））。一般，若局中人A采取策略α，局中人B采取策略

β

，所形成的局勢(shì)記為（α，β

）。一局對(duì)策的得失由例1可見，若局勢(shì)已定，則這一局對(duì)策得結(jié)果就確定了。對(duì)每個(gè)局中人來說，結(jié)果不外乎勝或負(fù)，名次的前或后，財(cái)物的收入或付出等等，這些可統(tǒng)稱為得失。如例1中，田忌贏得一千金齊王失去一千金，即為這局對(duì)策得得失。

易見，一局對(duì)策結(jié)束時(shí)，每個(gè)局中人的得失，是全體局中人所取定的一組策略（即局勢(shì)）的函數(shù)，稱為該對(duì)策的支付函數(shù)或贏得函數(shù)。若在任一局勢(shì)中，全體局中人的得失相加的總和都為0，則稱該對(duì)策為零和對(duì)策，否則稱為非零和對(duì)策。對(duì)策的分類按不同的標(biāo)準(zhǔn)，可以將對(duì)策分為不同的類型。按局中人的數(shù)目多少來分，可分為二人對(duì)策和多人對(duì)策。按策略的數(shù)目是否有限來分，可分為有限對(duì)策和無限對(duì)策。按支付函數(shù)的特點(diǎn)來分，可分為零和對(duì)策與非零和對(duì)策。按局中人是否結(jié)盟來分，可分為結(jié)盟對(duì)策與不結(jié)盟對(duì)策。顯然，例1的對(duì)策是個(gè)二人有限零和對(duì)策。9.2矩陣對(duì)策模型問題分析上一節(jié)中，我們介紹了對(duì)策及有關(guān)對(duì)策的基本概念。本節(jié)我們要用數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)方法來描述對(duì)策，最終建立對(duì)策的數(shù)學(xué)模型，并稱之為對(duì)策模型。建模

設(shè)每天購(gòu)進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢0rp9.3隨機(jī)存貯策略問題以周為時(shí)間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當(dāng)周末庫存小于s時(shí)訂貨，使下周初的庫存達(dá)到S;否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購(gòu)進(jìn)費(fèi)，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小模型假設(shè)

每次訂貨費(fèi)c0,每件商品購(gòu)進(jìn)價(jià)c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3(c1<c3)

每周銷售量r隨機(jī)、連續(xù)，概率密度p(r)

周末庫存量x,訂貨量u,周初庫存量x+u

每周貯存量按x+u-r計(jì)建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標(biāo)函數(shù)——每周總費(fèi)用的平均值最小平均費(fèi)用

訂貨費(fèi)c0,購(gòu)進(jìn)價(jià)c1,貯存費(fèi)c2,缺貨費(fèi)c3,銷售量rs~訂貨點(diǎn)，S~訂貨值建模與求解1）設(shè)x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp2）對(duì)庫存x，確定訂貨點(diǎn)s若訂貨u,u+x=S,總費(fèi)用為

若不訂貨,u=0,總費(fèi)用為

訂貨點(diǎn)s是的最小正根建模與求解不訂貨最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達(dá)到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根s9.4軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長(zhǎng)度粗軋鋼材長(zhǎng)度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長(zhǎng)度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長(zhǎng)度小于規(guī)定整根報(bào)廢隨機(jī)因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長(zhǎng)度為l，粗軋后鋼材長(zhǎng)度的均方差為記粗軋時(shí)可以調(diào)整的均值為m，則粗軋得到的鋼材長(zhǎng)度為正態(tài)隨機(jī)變量，記作x~N(m,2)切掉多余部分的概率整根報(bào)廢的概率存在最佳的m使總的浪費(fèi)最小lP0p(概率密度)mxP′mPP′建模選擇合適的目標(biāo)函數(shù)切掉多余部分的浪費(fèi)整根報(bào)廢的浪費(fèi)總浪費(fèi)=+粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度粗軋N根成品材

PN根成品材長(zhǎng)度lPN總長(zhǎng)度mN共浪費(fèi)長(zhǎng)度mN-lPN選擇合適的目標(biāo)函數(shù)粗軋一根鋼材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度得到一根成品材平均浪費(fèi)長(zhǎng)度更合適的目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化模型：求m使J(m)最?。ㄒ阎猯,

）建模粗軋N根得成品材

PN根求解求z使J(z)最?。ㄒ阎?/p>

）求解例設(shè)l=2(米),=20(厘米)，求m使浪費(fèi)最小。=l/=10z*=-1.78*=-z*=11.78m*=*=2.36(米)求解1.2530.8760.6560.5160.4200.3550227.0-3.00.556.79-2.51.018.10-2.01.57.206-1.52.02.53.4771.680-1.0-0.5zzF(z)F(z)1.02.00-1.0-2.0105F(z)z9.5隨機(jī)人口模型背景

一個(gè)人的出生和死亡是隨機(jī)事件一個(gè)國(guó)家或地區(qū)平均生育率平均死亡率確定性模型一個(gè)家族或村落出生概率死亡概率隨機(jī)性模型對(duì)象X(t)~時(shí)刻t

的人口,隨機(jī)變量.Pn(t)~概率P(X(t)=n),n=0,1,2,…研究Pn(t)的變化規(guī)律；得到X(t)的期望和方差若X(t)=n,對(duì)t到t+t的出生和死亡概率作以下假設(shè)1)出生一人的概率與t成正比，記bnt;出生二人及二人以上的概率為o(t).2)死亡一人的概率與t成正比，記dnt;死亡二人及二人以上的概率為o(t).3)出生和死亡是相互獨(dú)立的隨機(jī)事件。

bn與n成正比，記bn=n,~出生概率；dn與n成正比，記dn=n，~死亡概率。進(jìn)一步假設(shè)模型假設(shè)建模為得到Pn(t)P(X(t)=n),的變化規(guī)律，考察Pn(t+t)=P(X(t+t)=n).事件X(t+t)=n的分解X(t)=n-1,t內(nèi)出生一人X(t)=n+1,t內(nèi)死亡一人X(t)=n,t內(nèi)沒有出生和死亡其它(出生或死亡二人，出生且死亡一人，……)概率Pn(t+t)Pn-1(t),bn-1t

Pn+1(t),dn+1t

Pn(t),1-bnt-dn

t

o(t)~一組遞推微分方程——求解的困難和不必要(t=0時(shí)已知人口為n0)轉(zhuǎn)而考察X(t)的期望和方差bn=n，dn=n