第四章 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)章末復(fù)習(xí)檢測(cè)卷（含答案）

第四章指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)章末復(fù)習(xí)檢測(cè)卷（時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分）一、單選擇(本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）若n∈N，a∈R，給出下列式子：①4?42nA．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)根式的意義逐個(gè)分析判斷即可【詳解】根據(jù)根指數(shù)是偶數(shù)時(shí)，被開(kāi)方數(shù)為非負(fù)數(shù)，可知②無(wú)意義；當(dāng)a<0時(shí)，a5<0，此時(shí)④無(wú)意義．因?yàn)?42n2．（2022·遼寧·黑山縣黑山中學(xué)高一階段練習(xí)）1.5－3.1，23.1，2－3.1的大小關(guān)系是（

）A．23.1＜2－3.1＜1.5－3.1B．1.5－3.1＜23.1＜2－3.1C．1.5－3.1＜2－3.1＜23.1D．2－3.1＜1.5－3.1＜23.1【答案】D【解析】由1.5－3.1=(23)【詳解】1.5－3.1=(23)3.1，2－3.1＝(12)3.1，又冪函數(shù)y＝x3.1在(0，＋∞)上是增函數(shù)，且3．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝log3x(A．－18 B．18C．－8【答案】D【解析】先求出f127=?3【詳解】f127=4．（2020·全國(guó)·高一單元測(cè)試）函數(shù)y=A．?∞,18 C．0,18 【答案】C【解析】解不等式組log1【詳解】要使函數(shù)y=log12x?3有意義，應(yīng)滿(mǎn)足log15．（2022·四川·遂寧中學(xué)高一開(kāi)學(xué)考試）設(shè)fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，且在0,+∞A．fB．fC．fD．f【答案】A【分析】利用冪指對(duì)函數(shù)的單調(diào)性可以判定log2【詳解】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得log2由冪函數(shù)y=x2且35>25>0又∵fx在0,+∞單調(diào)遞增，∴f又∵fx是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，∴f?log6．（2020·寧夏·隆德縣中學(xué)）函數(shù)f(A． B． C． D．【答案】D【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將函數(shù)f(x)【詳解】f(x)=2?log2【點(diǎn)睛】本題考查用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則化簡(jiǎn)函數(shù)解析式，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉函數(shù)的圖像，屬于基礎(chǔ)題.7．（2022·河南·新鄉(xiāng)市第一中學(xué)高一期末）已知函數(shù)fx=lnx2?lnx0<xA．e,e2 B．1,e2 【答案】A【分析】畫(huà)出函數(shù)fx=lnx【詳解】由題意，函數(shù)fx設(shè)a<b<c，則lna當(dāng)x>e時(shí)，y=2?lnx遞減，且與x軸交于點(diǎn)(e所以a·b·【點(diǎn)睛】本題主要考查了分段函數(shù)的解析式與圖象，對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中畫(huà)出函數(shù)的圖象，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中檔試題.8．（2021·寧夏育才中學(xué)高一期中）若函數(shù)fx=ax,x≥1A．4,8 B．4,8 C．1,8 D．1,8【答案】A【分析】根據(jù)解析式及滿(mǎn)足的不等式fx1?fx2x1?【詳解】函數(shù)fx=ax,x≥14?a2x+2,x<1滿(mǎn)足對(duì)任意的實(shí)數(shù)x1【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍，在滿(mǎn)足各段函數(shù)單調(diào)性的情況下，還需滿(mǎn)足整個(gè)定義域內(nèi)的單調(diào)性，屬于中檔題.二多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的．全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分)9．（2022·甘肅蘭州·高一期末）已知實(shí)數(shù)a,b滿(mǎn)足等式12A．a(chǎn)>b>0 B．a(chǎn)<b<0 C．0<a<b D．a(chǎn)=b【答案】ABD【解析】畫(huà)出函數(shù)y=12x和【詳解】函數(shù)y=12若a,b均為正數(shù)，則a>b>0；若a,b為負(fù)數(shù)，則a<b<0；若a=b=0，則12故選：ABD10．（2022·吉林·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)f(A．f(x)在區(qū)間(1,2)上單調(diào)遞增 B．yC．若x1≠x2,f【答案】ABD【分析】作出函數(shù)f(【詳解】根據(jù)圖象變換作出函數(shù)f(x)的圖象（f再作出其關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)的圖象，然后向右平移2個(gè)單位，最后把x軸下方的部分關(guān)于x軸翻折上去即可得），如圖，由圖象知f(x)在(1,2)是單調(diào)遞增，A正確，函數(shù)圖象關(guān)于直線x=2對(duì)稱(chēng)，B正確；f(x1)=f(x2)=11．已知f(x)=lnxA．f(m)≤0 B．C．m∈(?∞,?1] D．【答案】AD【分析】若f(m)>0，將f(m)代入上支函數(shù)，可得f(f(m))=ln[f(m)]?2【詳解】由2f(f若f(m)>0，則ln[f(∴l(xiāng)nx?2≤x?3，∴方程無(wú)解；若f(m)≤0，2f(故只需解f(m)≤0即可，當(dāng)m≤0時(shí)，由當(dāng)m>0時(shí)，由f(m)=lnm?2≤0，解得0<m【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)合函數(shù)求解析式、函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用及分段函數(shù)的應(yīng)用，難點(diǎn)在于根據(jù)題意得到不同的f(12．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=ln(x+1),xA．a(chǎn)取任意實(shí)數(shù)時(shí)，方程最多有4個(gè)根 B．當(dāng)?1?5C．當(dāng)a=?1?52時(shí)，方程有3個(gè)根【答案】ACD【分析】先化簡(jiǎn)方程為f(x)=1或f(x)=a【詳解】關(guān)于x的方程f2即[f(x)?1][f(x)?a]=0，解得當(dāng)x<0時(shí)，f對(duì)稱(chēng)軸為x=a，判別式（1）當(dāng)a?0時(shí)，函數(shù)f由圖象可知，方程f(x)=1有1個(gè)根，當(dāng)a當(dāng)0?a?1時(shí)，方程f(x)=a有1個(gè)根，故當(dāng)（2）當(dāng)a=?1時(shí)，函數(shù)f當(dāng)?1<a<0時(shí)，函數(shù)由兩個(gè)圖象可知，?1?a<0時(shí)，方程f(故已知方程有2個(gè)根；（3）當(dāng)a<?1時(shí)，函數(shù)f方程f(x)=1有2個(gè)根，下面討論最小值1?a2與a的關(guān)系，由1?a2<a，解得a故已知方程有4個(gè)根；當(dāng)a=?1?52時(shí)，1?a當(dāng)?1?52<a<?1時(shí)，1?故已知方程有2個(gè)根．綜上可知，a取任意值時(shí)，方程最多有4個(gè)根，故選項(xiàng)A正確；當(dāng)?1?52<a<1時(shí)，方程有2個(gè)根，當(dāng)a=1時(shí)，方程有1個(gè)根，當(dāng)a>1當(dāng)a??5<?1?52時(shí)，方程有4個(gè)根，故選項(xiàng)【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決函數(shù)零點(diǎn)或方程根的問(wèn)題，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函數(shù)的零點(diǎn)）；（2）圖象法（直接畫(huà)出函數(shù)的圖象分析得解）；（3）方程+圖象法（令函數(shù)為零，再重新構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，數(shù)形結(jié)合分析得解）．三.填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)13．（2020·全國(guó)·高一單元測(cè)試）若f(x)＝3x【答案】(－2，－1]【解析】分別根據(jù)分段函數(shù)的兩段定義域求對(duì)應(yīng)函數(shù)的值域，再求并集.【詳解】當(dāng)x∈(－∞，1]時(shí)，x－1≤0，0<3x－1≤1，－2<f(x)≤－1；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1－x<0，0<31－x<1，－2<f(x)<－1，所以f(x)的值域?yàn)?－2，－1]．故答案為：(－2，－1]14．設(shè)函數(shù)f(x)＝|x2－2ax＋b|，給出下列命題：①f(x)必是偶函數(shù)；②當(dāng)f(0)＝f(2)時(shí)，f(x)的圖象必關(guān)于直線x＝1對(duì)稱(chēng)；③若a2－b≤0，則f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)；④f(x)有最大值|a2－b|.其中正確命題的序號(hào)是________．【答案】③【解析】①，f(－x)＝|x2＋2ax＋b|，當(dāng)a≠0時(shí)，f(－x)≠f(x)，所以f(x)不一定是偶函數(shù)，故①錯(cuò)誤；②，當(dāng)取函數(shù)為f(x)＝|x2－4x＋2|時(shí)，有f(0)＝f(2)，但函數(shù)關(guān)于x＝2對(duì)稱(chēng)，故②錯(cuò)誤；③，由題意知，Δ＝(－2a)2－4b＝4(a2－b)≤0，所以x2－2ax＋b≥0，所以f(x)＝x2－2ax＋b，對(duì)稱(chēng)軸為x＝a，所以f(x)在區(qū)間[a，＋∞)上是增函數(shù)，故③正確；④，f(x)＝|(x－a)2－(a2－b)|，當(dāng)a2－b>0時(shí)，即Δ>0，函數(shù)與y軸有交點(diǎn)，此時(shí)最小值是0，故④錯(cuò)誤．15．（2021·全國(guó)·高一單元測(cè)試）下列說(shuō)法中，正確的是____．①任取a＞0，均有3a＞2a，②當(dāng)a＞0，且a≠1，有a3＞a2，③y＝(3)－x是增函數(shù)，④在同一坐標(biāo)系中，y＝2x與y＝2－x的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)．【答案】①④【解析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性可判定；?。?，1）之間的a的值，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性否定；利用指數(shù)冪運(yùn)算轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，可否定；根據(jù)f(x)和f(-x)的圖象關(guān)系可判定.【詳解】∵冪函數(shù)y＝xa，當(dāng)a＞0時(shí)，在(0，＋∞)上是增函數(shù)，∵3＞2，∴3a＞2a，故①正確；當(dāng)a＝0.1時(shí)，0.13＜0.12，故②錯(cuò)；函數(shù)y＝3?x=33x【點(diǎn)睛】本題考查冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，冪函數(shù)y=xa當(dāng)a>0時(shí)在(0，+∞)上是增函數(shù)，當(dāng)a<0時(shí)(0，+∞)上是減函數(shù)；指數(shù)函數(shù)y=ax在a>1時(shí)在(?∞，+∞)上單調(diào)遞增，當(dāng)0<a<1時(shí)在(?∞，+∞)上單調(diào)遞減.f(x)與16．如果函數(shù)y=a2x+2ax-1(a>0，且a≠1)在區(qū)間[-1，1]上的最大值是14，則a的值為_(kāi)_______.【答案】3或1【分析】令ax=t，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和一元二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．【詳解】令ax=t，則y=a2x+2ax-1=t2+2t-1=(t+1)2-2.當(dāng)a>1時(shí)，因?yàn)閤∈[-1，1]，所以t∈1a,a，又函數(shù)y=(t+1)2-2在1a,a上單調(diào)遞增，所以ymax=(a+1)2-2=14，解得a=3(負(fù)值舍去).當(dāng)0<a<1時(shí)，因?yàn)閤∈[-1，1]，所以t∈a，1a，又函數(shù)y=(t+1)2-2在【點(diǎn)睛】本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.四.解答題(本大題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟)17．（2020·湖北武漢·高一期末）已知函數(shù)f(（1）若f(x)的值域?yàn)?,+∞（2）巳a≤12，是否存在這樣的實(shí)數(shù)a，使函數(shù)y=f【答案】（1）a=1；（2）存在，a【解析】（1）根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，由函數(shù)fx的值域?yàn)?,+∞，列出a（2）函數(shù)y=f(x)?log2x4在區(qū)間1,2內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)?【詳解】（1）由題意，函數(shù)f(x)=可得a>0Δ=（2）由y=令y=0，可得ax令g(x)=ax2?2函數(shù)y=f(等價(jià)于兩個(gè)函數(shù)g(x)與?①當(dāng)a=0時(shí)，g(x)=?2x+3在而g1=1,g所以函數(shù)g(x)與?②當(dāng)a<0時(shí)，gx圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱(chēng)軸為x=1a<0，g(x)在1,2上遞減，?(x)=log2x在1,2③當(dāng)a>0時(shí)，g(x)圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為x=1a≥2，g(x)在1,2上遞減，?(x)=log2x在1,2上遞增，g(x【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，其中解答中熟記一元二次函數(shù)的性質(zhì)，把函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求解是解答的關(guān)鍵，著重考查轉(zhuǎn)化思想，以及推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.18．（12分）已知函數(shù)（且）在區(qū)間上的最大值與最小值之和為，記．（1）求的值；（2）證明：；（3）求的值．【答案】（1）；（2）證明見(jiàn)解析；（3）．【解析】（1）函數(shù)（且）在上的最大值與最小值之和為，∴，得或（舍去）．（2）由（1）知，∴．（3）由（2）知，，，，∴．19．（2020·上?！げ軛疃懈咭浑A段練習(xí)）已知函數(shù)g(x)對(duì)一切實(shí)數(shù)x,y∈R，都有g(shù)（1）求g(0)（2）求f(（3）若關(guān)于x的方程f2【答案】（1）g(0)=1；（2）f(x【分析】（1）在g(x+（2）在g(x+y)?g(（3）令t=|2x?1|≠0,結(jié)合函數(shù)t=|2x?1|的圖象將關(guān)于x的方程【詳解】（1）在g(令x=1,y=0，得g(1)?g（2）在g(x+y)?g(y)=（3）令t=|2x?1|≠0，則方程f2x?1+2k2因?yàn)榉匠蘤2x?1+2k2x?1?3k=0有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由函數(shù)t=|則?(0)=2k+1>0?(1)=?綜上所述：實(shí)數(shù)k的取值范圍是(0,+∞).【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.20．（2021·全國(guó)·高一專(zhuān)題練習(xí)）某公司制定了一個(gè)激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案：當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)不超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，按銷(xiāo)售利潤(rùn)的10%進(jìn)行獎(jiǎng)勵(lì)；當(dāng)銷(xiāo)售利潤(rùn)超過(guò)15萬(wàn)元時(shí)，若超過(guò)部分為A萬(wàn)元，則超出部分按2log（1）寫(xiě)出該公司激勵(lì)銷(xiāo)售人員的獎(jiǎng)勵(lì)方案的函數(shù)表達(dá)式；（2）如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，那么他的銷(xiāo)售利潤(rùn)是多少萬(wàn)元？【答案】（1）y=【分析】（1）根據(jù)題意可得分段函數(shù)的表達(dá)式；（2）如果業(yè)務(wù)員老張獲得5.5萬(wàn)元的獎(jiǎng)金，可得x>15，從而得到方程1.5+2【詳解】解：(1)由題意，得y(2)∵當(dāng)x∈(0,15)時(shí)，0.1x≤1.5∴1.5+2log5(【點(diǎn)睛】本題考查分段函數(shù)模型的實(shí)際應(yīng)用，考查函數(shù)與方程思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力.21．（2021·江蘇常州·高一階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝log212（1）若函數(shù)f(x)是R上的奇函數(shù)，求a的值；（2）若函數(shù)f(x)的定義域是一切實(shí)數(shù)，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0，1]上的最大值與最小值的差不小于2，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）a＝0；（2）a≥0；