微積分.第六節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性

1在觀察自然與社會(huì)現(xiàn)象時(shí),所觀察到的許多變量都是“連續(xù)不斷”變化的,如物體的運(yùn)動(dòng)、氣溫的升降、人和生物的生長、物價(jià)的漲跌等.這種現(xiàn)象在數(shù)學(xué)中體現(xiàn)為函數(shù)的連續(xù)性,連續(xù)性的實(shí)質(zhì)在于,自變量的微小變化引起因變量的微小變化.與連續(xù)性相反的現(xiàn)象是“間斷”,如斷裂、爆炸、惡性通貨膨脹、由自然災(zāi)害或戰(zhàn)爭引起的人與生物的大量死亡等.間斷的實(shí)質(zhì)在于自變量的微小變化將導(dǎo)致因變量的劇烈變化.當(dāng)然,這里所謂“微小”與“劇烈”變化的確切含義尚需說明,這得借助極限的概念.第六節(jié)函數(shù)的連續(xù)性2一、連續(xù)與間斷的概念定義12

設(shè)函數(shù))(xfy=在點(diǎn)

0x的某一鄰域內(nèi)有定義，(1)如果

34連續(xù)與間斷具有明顯的幾何解釋：若f(x)連續(xù),則函數(shù)y=f(x)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線；若x0是f(x)的間斷點(diǎn),則曲線y=f(x)在點(diǎn)(x0,f(x0))處發(fā)生斷裂函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)共有三個(gè)間斷點(diǎn)：x1、x2、x3.在這三個(gè)點(diǎn)附近f(x)的圖形形態(tài)各異,但其共同點(diǎn)是曲線y=f(x)在三個(gè)點(diǎn)處出現(xiàn)“斷裂”5定理定義136例2-28解x=0處7例2-28解x=1處8例證9例解1011函數(shù)間斷點(diǎn)的類型定義14(1)左右極限都存在的間斷點(diǎn),稱第一類間斷點(diǎn)：

10

可去間斷點(diǎn)20

跳躍間斷點(diǎn)12(2)左右極限至少有一個(gè)不存在的間斷點(diǎn),稱第二類間斷點(diǎn)。

10

無窮間斷點(diǎn)20

非無窮第二類間斷點(diǎn)13例如14例如15例如，例2-28中解x=1處16例如17例如18小結(jié)第一類間斷點(diǎn):可去、跳躍第二類間斷點(diǎn):無窮、非無窮間斷點(diǎn)分類(見下圖)19可去間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)非無窮第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyxoyxoyx20二、連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理12例如,連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算法則三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).21定理13復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換22定理14

嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).例如,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).反函數(shù)的連續(xù)性234、初等函數(shù)的連續(xù)性三角函數(shù)及反三角函數(shù)在它們的定義域內(nèi)是連續(xù)的.★★★★均在其定義域內(nèi)連續(xù).24所有基本初等函數(shù)在其定義域內(nèi)都是連續(xù)的.一切初等函數(shù)在其有定義的區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的.25利用函數(shù)的連續(xù)性可以計(jì)算一些極限.

初等函數(shù)求極限的方法：代入法.例2-29解26例2-29解27例2-29解28例2-30(1)解極限運(yùn)算與函數(shù)運(yùn)算可以交換29例2-30(2)解30例2-30(3)解31常用等價(jià)無窮小:32例2-31解33例2-31解34定義15設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上有定義.若存在x0∈I,使對(duì)I內(nèi)一切x,恒有四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)35定理15在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間一定能取得最大值和最小值.最值定理四、閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)推論10閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定是有界函數(shù)36注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)