各學科重難點筆記全-2016年高中數學

1.B)CU CUB;CU( B)CU CUBxAB)CU CUB;CU( B)CU CUBCU(BBA B BRA

ABCUBCU

CUBcard( B)cardAcardBcard( card( C)cardAcardBcardCcard( card( B)card C)card C)集合{a,a ,a}的子集個數共有2n個真子集有2n–1個非空子集有 個；非空的真子集有2n–2一般式f(xax2bxc(a0頂點式f(xa(xh)2k(a0零點式f(xa(xx1)(xx2)(a0Nf(xMNf(x)M[f(x)M][f(x)N]|f(x)MN|M

f(x)NMf f(x) Mf(x)0在(k1k2f(k1f(k2)0不等價,前者是后者的一個必要而不是充分條件.ax2bxc0(a0有且只有一個實根在

內,f(k1f

0f(k1)0

k12

f

0k12

k2f(x)ax2bxc(a0在閉區(qū)間pqx

a>0x

f(x)minf

),f(x)maxmaxf(p),f(q)bbx

p,q，f

max

f(p),f(q)，f

min

f(p),f(q)當a<0

x

pq，則f

minfp),f(q)，若x

pq，則f

maxf(p),f(q)，f

minf(p),f(q)f(mf(n0f(x0在區(qū)間(mnf(xx2pxq，p24q 方程f(x)0在區(qū)間(m,)內有根的充要條件為f(m)0或 f(m)f(n)f(x)0(mnf(mf(n0p24q0 m f(m) f(n)

af(n)0af(m)0 p24q 方程f(x)0在區(qū)間(,n)內有根的充要條件為f(m)0或

在給定區(qū)間(,)的子區(qū)L（形如,不同）上含參數的二次不等式f(xt)0t為參數)恒成立的充要條件是f(xt)min0(xL).(,)的子區(qū)間上含參數的二次不等式f(xt)0t為參數)恒成立的充要條件是f(xt)man0(xL).a

af(x)ax4bx2c0恒成立的充要條件是b0或 ｐｑ非ｐ或ｐ且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

c

b24ac是nnxxpp且x，x，pp或逆命題若ｑ則原命題若ｐ則逆命題若ｑ則原命題若ｐ則互互互否為互互互否為為 若非ｐ則非若非ｐ則非pqpq必要條件：若qppqpqqppqx1x2a,bx1x2(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是增函數

x1(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是減函數

x1yf(x在某個區(qū)間內可導，如果f(x)0，則f(x)為增函數；如果f(x0f(xf(xg(x都是減函數,則在公共定義域內,f(xg(x函數;如果函數yf(uug(x)在其對應的定義域上都是減函數,則復合函數yf[g(x奇函數的圖象關于原點對稱，偶函數的圖象關于y軸對稱;反過來，如果一個函數yy

f(xf(xa)

f(xay

f(xaf(xa)y

f(xa)f(x)(xR),f(xa)

f(bx恒成立,則函數f(x)xab;y2

f(xay

f(b

a的圖象關于直線x 2若f(x)f(xa)y

f(x)2

,0)對稱;若f(x)f(xa,y

f(x為周期為2a 多項式函數P(x)axn xn1

P(x是奇函數P(x的偶次項(即奇數項)的系數全為零.P(x是偶函數P(x的奇次項(即偶數項)yy

f(xf(xxa

f(ax)f(af(2ax)f(x)ay

f(x)的圖象關于直線x 對稱2

f(amx)f(bf(abmx)f(mx)yf(xyf(xx0y軸)yf(mxayf(bmxxaby

f(xy

f1xy=xy

f(x的圖象右移a、上移by

f(xabf(xy)0的圖象右移a、上移bf(xayb)0的f(a)bf1(b)a若函數y

f(kxb存在反函數,則其反函數為y1f1xbkyf1kxb,yf1kxby1f(xbkf(xcxf(xyf(xfy),f(1cf(xaxf(xyf(xfy),f(1a0f(x)logaxf(xyf(xfy),f(a1(a0a1冪函數f(xxf(xyf(xfy),f1f(xcosx,g(x)sinxf(xyf(xfyg(x)gyf(0)1,

1幾個函數方程的周期(約定f(x)f(xaf(xf(x)f(xa)0f(xaf(xaf(x)f(x)f212

f1f

(f(x)0)(f(x)0)f(xaf(x0,1f(x(3)f(x)1

f(x

f(x)0f(x

f

x)

f(x1)f(x2

f(a1f(xf(x10|x

|2a，則 1f(x)f(x

f(x(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(xf(xf(xaf(x2af(x3af(x4af(x的周期(6)f(xaf(xf(xaf(xT=6a.m(1)a

n

n1m(2)a

m（a0,m,n1a1

n1(na)nann

ann

|a|a,a0aa,aarasars(a0,r,sQ)(ar)sars(a0,r,sQ)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)alogNbabN(a0,a1,N0)a

Nlogm

a0a1m0m

N0m logma推論loga

bnn

ba0a1mn0m1n1N0若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，loga(MN)logaMlogaNMlogaNlogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)f(x)logm(ax2bxc)(a0)b24ac.若f(x)的定義域為Ra0，且0f(xR,則a00.對于a0的情形,需要a0b0x0x1,則函數ylog ab時,在(01和1ylog(bx (2)ab時,在(01和1ylog(bx 推論:nm1p0a0a1logmp(np)logmnlogmlognlog2mn 如果原來產值的基礎數為Npx的總產值y，有yN(1p)xan數列的同項公式與前n項ana

n

(數列{a}n

aa s

,n

aa(n1)ddn

d(nN*) 其前n項和公式sn(a1an)nan(n1) 1dn2(a d)n1 aaqn1a1qn(nN*) 其前n項的和公式a(1qn ,q1sn 1na,q 或 1 等比差數列anan1qanda1b(q0b(n1)d,qnabqn(db)qn1n

,q q其前n項和公式nbn(n1)d,(q (b

1

n,(q 1 q 1ab(1每次還款x(1b)n1元 a元,n次還清,每期利率為b（1）若x )，則sinxxtanx2若x )，則1sinxcosx 22

2

1，tan

，tancot1 sin(

(1)2)

(n (1)

(n(n為偶數

(1)2co)

(n

(1)

sin()sincoscossincos()coscostan()tantan

sinsin.tantansin(sin()sin2sin2(a2basina2b定,tan asin2sincos

sin()所在象限由點(ab)的象限決cos2cos2sin22cos2112sin2tan2 1tan2.sin33sin

4sin

)

)cos34cos33cos4coscos()cos( 3tantan3 tan3 tantan(13tan2

)

)ω＞0)的周期T

；函數ytan(x)，xk ,kZ(A,ω,為常數，且2≠0，ω＞0)的周期T 2Rsin sin sina2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.1S ah1bh1ch（h、h、ha、b、c1

S

absinC bcsinA

casinB(3)

(|OA||OB|)2(OAOB)22在△ABCABCCA A 2C22(AB) sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).特別地sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZsinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZcosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZcosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZtanxa(aR)x(karctana,k

),kZ2tanxa(aR)x(k

,karctana),kZ2設λ、μ結合律a·b=b·a（交換律a·b=a（(3)（a+b·c=a·c+b·c.e1、e2是同一平面內的兩個不共線向量，那么對于這一平面內的任一向量，有且只有一對實數λ1、λ2a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內所有向量的一組基底設a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10ab的數量積(或內積a·ba·ba的長度|a|ba的方向上的投影|b|cosθA(x1y1，B(x2y2ABOBOAx2x1y2y1a=(xyR，則a=(xya=(x1y1),b=(x2y2a·b=(x1x2y1y2x1x1x2y1x2y2 x2 cos

(a=(x,y),b=(x,y)

dA,B=|AB AB(x(xx)2(yy

(A(x,y)，B(x,y)

a=(x1y1,b=(x2y2b0A||b

x1y2x2y10ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.x 1 y

11OPtOP(11OPtOP(1t)OP（t1

1△ABCA(x1,y1)B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC標是Gx1x2x3,y1y2y3 OP'OP'OPPP'y'y

yy'k注:FP(x，y)FPx',yPP'的坐標為(hk).P(xya=(hkPxh,ykyf(x的圖象C按向量a=(hk)平移后得到圖象C',則C'yf(xhk圖象Ca=(hk平移后得到圖象C,若Cyyf(xhk

f(x,則C'曲線C

f(xy0按向量a=(hk)平移后得到圖象C'C'的方程為f(xh,yk)0m=(xya=(hkm=(xy設OABCABC所對邊長分別為abc OABC的外心OAOBOCOABCOAOBOC0OABCOAOBOBOCOCOABCaOAbOBcOC0OABC的A的旁心aOAbOBcOC.a,bRa2b22ab(a＝babRab (當且僅當a＝b時取2a3b3c33abc(a0,b0,c(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dababab.xyp若積xy是定值p，則當xy時和xy有最小值 pxysxyxy1s24推廣已知xyR，則有(xy)2xy)2xy是定值,則當|xy||xy|最大；當|xy||xy|最小.若和|xy|是定值,則當|xy|

|xy|當|xy|

|xy|73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0b24ac0aax2bxcaax2bxc異號，則其解集在兩x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)xx1,或xx2xx1)(xx20(x1x2.a>0xax2a2axaxax2a2xaxa.

f(x)fg(x)gfg(x)f(x)f(x)ff

.f(x)

g(x)g(x)f(x)f(x)fg(x)g(x)ff(x)

或g(x)0.a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x) f(x)當0a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x)f(x)ky2y1（P(xyP(xyx

yy1k(x

(直線lP1(x1y1，且斜率為k斜截式y(tǒng)kxb(bly

y

xx1(

yP(xyP(xy

(x

y x

(4)截距（5）一般

xy1a、ba、b0 AxByC0(A、B若l1yk1xb1l2yk2x①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k2若l1A1xB1yC10l2:A2xB2yC20,A1、A2、B1、B2都不為零 ①l||lA1B1C1 ②l1l2A1A2B1B20tan|k2k1|1k2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tan|A1B2A2B1|(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線lll1l2的夾角是 l1到l2的角公tan

k2k11(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tanA1B2A2B1直線lll1l2的角是 P0(x0y0yy0k(xx0(x

),其中k是待定的系數;

的直線系方程為A(xx0Byy0)0,ABl1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交點的直線系方程為A1xB1yC1A2xB2yC20(除l2)，其中λ是待定的系數．平行直線系方程：直線ykxb中當斜率k一定而b時，表示平行直線AxByCBxAy0,λ

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程A2 d|Ax0By0C|(P(xy,直線lAxByA2 AxByC0或0設直線lAxByC0AxByC0或0B0BAxByClBAxBy異號時，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號在上,異號在下B0AAxByClAAxBy異號時，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號在右,異號在左A1xB1yC1A2xB2yC2)0或0，A1xB1yC1A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)域是：A1xB1yC1A2xB2yC2)0A1xB1yC1A2xB2yC20

(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24Fxarybrsin圓的直徑式方程A(x1,y1B(x2,y2

(xx1)(xx2yy1yy2)0(圓的直徑的端點是A(x1,y1B(x2,y2(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]xx1)(xx2yy1yy2(axbyc0axbyc0AB的方程,λlAxByC0Cx2y2DxEyF0的交點的圓系方程x2y2DxEyFAxByC)0,λ是待定的系數．過圓Cx2y2DxEyF0與圓Cx2y2DxEyF0 點的圓系方程是x2y2DxEyF(x2y2DxEy P(xy與圓(xa)2yb)2r2的位置關系有 (ax)2(ax)2(by00drP在圓外drP在圓上drP在圓內AxByC0與圓(xa)2yb)2r2A2BAaBbdr0;dr0;dA2BAaBb其中d O1，O2r1，r2O1O2r1r2dr1r22條公切dr1

0dr1

無公切線已知圓x2y2DxEyF0①若已知切點(x0,y0xxyyD(x0x)E(y0y)F0 (xy)圓外時,

xxyyD(x0x)Ey0y)F0表示過兩個切點

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線kykxbbx2y2r2P(xyxxyyr2 1k②斜率為k的圓的切線方程為ykx1k

xa橢

1(ab0的參數方程是ybsin

1(a 1(ab

e(x

ac)，

e(ax)2c2

（1）點P(x0,y0)在橢 1(ab0)的內部001

（2）點P(x0,y0)在橢 1(ab0)的外部001

x y(1)橢

1(ab0上一點P(x0y0處的切線方程是00

過橢 x0xy0y

1(ab0P(x0,y0 （3）

1(ab

AxByC

A2a2B2b2c2x2y2 雙曲線

0

|e(x

c)|，

|c

x)|

點P(x0,y0)在雙曲 1(a0,b0)的內部001

點P(x0,y0)在雙曲 1(a0,b0)的外部001 x y (1）若雙曲線方程 a

1漸近線方程

0

y xa

x y若漸近線方程為y xa

0雙曲線可設 a

xa

y

12a2

yb2

（0，焦點在0y

x y(1)雙曲

1(a0,b0P(x0y0處的切線方程是001.

（2）過雙曲 x0xy0y

1(a0,b0P(x0y0 （3）

xy21(a0,b 2 2

與直線AxByC

A2a2B2b2c2y22pxp拋物線y22px(p0)焦半徑CFx p CDx12x22x1x2py拋物線y22px上的動點可設為P(2

P(2pt22pt)

P(xyy22pxy

bxca(xb

4ac （ 4ac

4ac )（2）焦點的坐標為(

4acb2 （3）準線方程是 4acb2y P(x0y0在拋物線y22pxp0)的內部y22pxp0P(x0y0在拋物線y22pxp0)的外部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的內部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的外部y22pxp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的內部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的外部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的內部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0的外部x22pyp0 (1)拋物線y22px上一點P(xy處的切線方程是yyp(xx （2）y0yp(xx0)

y22

外一點P(x0y0)y22pxp0)AxByC0pB22ACf1(x,y)0f2(x,y)0f1(x,yf2(x,y)0為參數yx yx共焦點的有心圓錐曲線系方 1,其中kmax{a2,b2}.a2 b2(xx)2(yy kmin{a2b2(xx)2(yy

AB AB

|xx

|yy

1co1cot2(1k2)(x(1k2)(xx 1tan2ykxA(x1,y1B(x2,y2)F(xy)ABk為直線的斜率

yax

bxc00,F(x,y)0P(x0,y0F(2x0-x2y0y)0F(xy0AxByC02A(AxBy 2B(AxByF(x

A2

,y

A2

)0Ax2BxyCy2DxEyF000x0yxy0xyx0xxy0yy00

xxx2

yyy2 AxxBx0yxy0CyyDx0xEy0yF0 轉化為線面垂直a、b(b≠0，a∥b存在實數λAB||CDAB、DAB、CD不共線ABtCDAB、CDpa、bxypaxby推論空間一點PMABxy,使MPxMAyMB，Ox,y，使OPOMxMAyMB.對空間任一點O和不共線的三點A、B、C，滿足OPxOAyOBADxAByAC時，若O平面ABC，則P、A、B、C四點共面；若ADxAByACA、BC、DADABACOD1xy)OAxOByOC（Oy，zp＝xa＋yb＋zc．推論設O、A、B、CP，都存在唯一的三個有序實x，y，z，使OPxOAyOBzOC.已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量A點在l上的射影A點在l上的射影B，A'B'|AB|cos〈a，ea＝(a1a2a3，b＝(b1b2b3a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)λa＝(a1,a2,a3

A(x1y1z1，B(x2y2z2

(x2x1,y2y1,z2z1)ax1y1z1bx2y2z2 r

x1aPbab(b0)yy z ab

rb0

x1x2y1y2z1z20a2a2 b2a2a2 b2b2 cos〈a，b〉 推論(ababab)2a2a2a2b2b2b21 2 3 ABCD中,ACBD所成的角為|(AB2CD2)(BC2DA2)cos

2ACrcos|r|ab

a,b

|x1x2y1y2z1z2= r |a||b x2y2z2 x2y2z 2rABABarc

|AB||m

(m為平面的法向量ABCAB的平面成的角,ACBC成的角分別是1、2A、BABCsin2sin2(sin2Asin2B)sin2 特別地,當ACB

sin2sin2sin2 ABCAB的平面成的角,ACBC與平面成的角分別是、A'、BABO的兩個內角 tan2tan2(sin2A'sin2B')tan2 特別地,當AOB

sin2sin2sin2 m|m||nm|m||n（mn為平面marc

|m||n

或arc

的法向量AC2，AOAC．則coscos1cos2.若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個半平面所成的角是1,2,與面角的棱所成的角是θ，則有sin2sin2sin2

sin2

cos|12|

2(當且僅當y1z1，By1z1，B(x2,y2z2 ABAB (xx)2(yy)2(zz dA,B=點Q到直線l距

.h1|a(|a||bh1|a(|a||b|)2(aPQd|CDn|lln，C、D分別是ll上任一點，d|n 1 1l1l2間的距離B到平面的距 |AB d （n為平面的法向量，AB是經過面的一條斜線，A |nh2h2m2 2mncosh2m2n22mncosEA',AFdh2m2n22mndh2m2n22mn(a、bθ，AAh.a、bE、FA'EmAFnEFd).(abc)2a2b2c22ab2bc2caabc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc, 長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有l(wèi)2l2l2l2cos2

cos2

cos2

1sin2

sin2

sin2

2

S'SS (SS，它們所在平面所成銳二面角的為已知斜棱柱的側棱長是l,S斜棱柱和V斜棱,它的直截面的周長和面積分別是c1S1,則Sc1l②V斜棱柱S1l.歐拉定理(歐拉公式VFE2(VEE=各面多邊形邊數和的一半.n的多邊形，則面數1EE

nF21若每個頂點引出的棱數為mVEE其體積V4R3,3S4R2(1)球與長方體的組合體

mV2正方體的內切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)a的正四面體的內切球的半徑為6a,外接球的半徑為6a 1V柱體3Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高mn1V3Sh（S是錐體的底面積、hmn1Nm1m2mmnNm1m2Am=n(n1)(nm1)

n！nm∈N*，且mnn注:規(guī)定0! (1）Am(nm

(nn（2）Amn

AnA

;AmnAm ;nAnAn1An AmAmmAm (6)1!22!33! nnn1)!1.mmC=n

n(n1)(nm=

n∈N*mN，且mnAm 12 AmCm=Cnm Cm+Cm1=Cm n注:規(guī)定C01n（1）Cmnm1Cm1nn（2）Cmn

n

Cmn1CmCmnCm1 nnCr=2nnrCrCr

Cr1

r

C0C1C2CrCn2n C1C3C5C0C2C42n1 C12C23C3nCnn2n1 CrC0Cr1C1C0rCrCr m

(C0)2(C1)2(C2)2(Cn)2Cn 以下各條的是從n個元素中取m個元素的排列①某（特）元必在某位有Am1種；②某（特）元不在某位有AmAm1（補集思想

Am1（著眼位置）

Am1（著眼元素）種

k(kmnAkAmk種k②浮動緊貼n個元素的全排列把k個元排在一起的排法有Ank1Ak種.注：此類問常 法

nk1k、h個（kh1，把它們合在一起來作全排列，kAhAk種hmnAnnm1時，無解；當nm1Ann

種排法mn （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個物件等分給m個人，各得nN

Cn

Cn

Cn(mn)! m

m

（2）(平均分組無歸屬問題)m·nm堆，其CnCn ...Cn

N m m n

（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nmm個人，物件必須被分完，分別得到n1n2nm件，且n1n2nmm12 其分配方法數共有NCnCn 12

p

n!n!..n1 （4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm個物體分給m個人，物件必須被分完，分別得到n1n2nm件，且n1，n2nmma、Cn1Cn2...Cnm

b、c、…個相等，則其分配方法數有N

（5）(非平均分組無歸屬問題)P(P=n1+n2++nm)n1n2nmm堆，且n1n2nmmN

（6）(非完全平均分組無歸屬問題)P(P=n1+n2++nm)相等，則其分配方法數有 （7）(限定分組有歸屬問題)p（pn1+n2++nm）個物體分給甲、乙、m個人，物體必須被分完，如果指定甲得n1n2件，丙得n3件，…時，n1n2nmm個數是否全相異或不全相異其分配方法數恒有NCn1

...Cnm

p

n!n!...n1 貝努利裝錯箋問題:nnf(n)n![111

1]推廣:nn個位置,其中至少有m f(n,m)n!C1(n1)!C2(n2)!C3(n3)!C4 m(1)mCm(nmm m m m((m] C1C2C3C4m m m m((m] Ap 不定方程x1+x2++xnm的解的個方程x+x+

m（nmN）的正整數解有Cn1個

方程x+x+

m（nmN）

Cn1個

x+x++xm（nmN）滿足條

k(kN,2in1 個個m1(n2)(kx+x++xm（nmN）滿足條

k(kN,2in1 的正整數解有

C2

1)n2 個

(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbn nn

mmP(A) n互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的n個互斥事件分別發(fā)生的概率的和165.A，BP(A·B)=166.n個獨立事件同時發(fā)生的概P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·n次獨立重復試驗中某事件恰好發(fā)生k次的概 P(k)CkPk(1P)nk 離散型 量的分布列的兩個性 )（2）P1P2（1）E(ab)aE()b（2）若～B(npEnp若P(k)g(k,p)qk1pE1px p2nnDxE2pxE2p (1)Daba2D(2）若～B(npDnp(1p若P(k)g(k,p)qk1pDqDE2E2.175.正態(tài)分布密度函1x1fx

,x,，式中的實數μ，（>0）是參數，分別示的平均數與標準差fx

1e2,x, 1N(,2xFxx Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1x2x1

n xxn

y nb i1 nn2yabxn2

nnxix

ay xixyiynn(xnn(xx (yy22ii

xixyiy nx ny|r|≤1，且|r|1，相關程度越大；|r|0，相關程度越小. limqn

q

ank nk1 lim k 0 t nbntbnt t S

a11qn

a1（S無窮等比數列a

|q|1)的和

1

1 limf(x)a

f(x)

f(x)a函數的性定（1）g(x)f(x)h(x)（2）limg(x)alimh(x)a（常數limf(xa

x的情況仍然成立（1）lim10，liman0（|a|1n （2）limxx，lim11 xx0 0sin

11x

e xxlimf(x)alimg(xb (1)limfxgxab limfxgxab

fx

ab0xx0g limanalimbnb，則 limanbnablimanbnablimn

abblimcanlimclimanca(c是常數

f(x)x0處的導數（或變化率或微商f(x)

limy

f(x0x)f(x0)0

x0

s(t)limslims(tt)s(t)t0 av(t)limvlimv(tt)v(t)t0 f(x在(a,bf(x)ydy

limy

f(xx)f.

x0

yf(xx0函數y

f(xx0處的導數是曲線y

f(x)P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)yy0

f(x0)(xx0)C0（Cn(x)'nxn1(nQ)n(sinx)cosx(cosx)sinx(lnx)1；(logax)1loge

x(ex)ex

(ax)axlna（1）(uv)'u'v'（2）(uv)'u'vuv'u（3）(

u'v

(v0) x設函數u(xx處有導數u'(xyx

f(uxU導數y'fuyf((xxy'y'u'uxf'((x))f'(u)'(x)x常用的近似計算公式（當

充小時

1 x111

1 xn1n11(2)(1x)1x(R)ex1xln(1x)xtanxx（x為弧度arctanxx（x為弧度

1

1xf(x0是極大（?。┲档姆椒ó敽瘮礷(x)x0處連續(xù)時，x0f(x0f(x0f(x0x0f(x0f(x0f(x0是極小值.abicdiac,bd.（a,b,c,dRzabi的模（或絕對值a2|z|=|abia2(abi)(cdi)(ac)(bd)i(abi)(cdi)(ac)(bd)i(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iac bc(abi)(cdi) c2dz1z2z3C，有z1z2z2z1.結合律(z1z2z3z1z2z3

c2d

i(cdi0)(xx)2(yy z1z2(xx)2(yy d|zz

（zxyi，

xyi 202.向量的垂

zz1abiz2cdi對應的向量分別是OZ1OZ2zOZOZz

的實部為零

z2|zz|2|z|2|z

1|zz|2|z|2|z|2|z

||zz|acbd0z

(λ 203.實系數一元二次方程的

實系數一元二次方程ax2bxc0

4ac0x1,2

b2;b24ac0xxb x

(b24ac0)bb (b2高中數學知識點1.空 集合的子集 3.4.你會用補集思想解決問題嗎？（排除法、間接法（互為逆否關系題是等價命題（B（定義域、對應法則、值域義域 （一一對應函數y＝x（取值、作差、判正負值是 A. B. C. D.∴a函數，T（由圖象記性質 （注意底數的限定（賦值法、結構變換法αkA.正值或負 B.負 C.非負 D.正（移項通分，分子分母因式分解，x1用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切（按不等號方向放縮0的二次函數（1）［練習［練習［練習n（1）［練習［練習你知道儲蓄、問題嗎pr，n若（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）nr（按復利，那么每期應還x元，滿足排列：從n個不同元素中，任取m（m≤n）n個不同元素中任取m（m≤n）個元素并組成一組，叫做從n1，2，3，4 A. B. C. D.最值：n為偶數時，n＋1表示AAB的和（并互斥事件（互不相容事件ABA、B對立事件（互逆事件（1）ApnA104件次品，6252323次（1件，∴n＝1032252件次品。（1（3）（4）抽樣方法主要有：簡單隨機抽樣（）它的特征是從總體中逐個抽取；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個數較多時，它的主要特征是均衡成若分，每部分只取一個；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個被抽到的概率相等，體現了抽樣的客觀性和性。如：從10名與5名男生中選6名學生參加比賽，如果按分層隨機抽樣，則組 ［練習※. 三垂線定理（及逆定理異面直線所成的角直線與平面所成的角∴∠AOB）［練習如圖，OA為α的斜線OB為其在α影，OC為α內過O點任一直線ABCD—A1B1C1D1BD1＝8，BD1B1BCC1所成30°。BD1ABCDBD1ADPCD所成的銳二面角的大小。（∵AB∥DC，PPABPCDPF∥ABPFPCD點C到面AB1C1的距離 點B到面ACB1的距離 直線A1D1到面AB1C1的距離 面AB1C與面A1DC1的距離 點B到直線A1C1的距離 S正棱錐

1C·h（C——底面周長，h為斜高2 1底面積× R2d2R2d2

4R2

4 R：r＝3：1。

積為

C.C.3（1）l直線的傾斜角0，，ktany2y1

xx2x1

2P1x1，y1，P2x2，y2是l上兩點，直線l的方向向量a點斜式：yy0kxx0（k存在A2Ax0By0A2Ax0By0

到直線l：AxByC0的距dl1到l2的到角公式tank21k1kk21k1kA1B2A2B1l

k21k1kACAC 1 21k1k2l1∥l2（反之不一定成立A1A2B1B20lC的位置關系？聯(lián)立方程組關于x（或y）的一元二次方程0相交；0相切；0相第二定義：e c2與雙曲2a

y20△≥0（求交點，弦長，中點，斜率，對稱存在性問題都在△≥0C：F（x，y）＝0M（a，b）A（x，y）為曲CA'（x'，y'）AM的對稱點。yr圓x2y2r2的參數方程為xrcosyr a

1的參數方程為xacos（為參數yy高中數學知識易錯點梳研究集合必須注意集合元素的特征即三性(確定,互異,無序);已知集合B={0,｜x｜,y},且A=B,則研究集合,首先必須弄清代表元素,才能理解集合的意義。已知集合M={y｜y=x2M∩NM=（x,y｜y=x2∈R}M∩N的區(qū)別集合A、B，AB時，你是否注意到“”情況：A或B；求集合AB時是否忘記a2x22a2x10xR恒aa＝22n2n 10每人至少會唱歌和跳舞個唱歌和一個跳舞,問有多少種不同的選法？兩集合之間的關系。M

xx

xxk

k(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)；ABBBA8、可以判斷真語句叫做命題p、qpqPP真真真真真假假真假真假真假假假假 為 否 為 否qp 否 10f：A→BAB11、函數的幾個重要性質y

fx對于一切xR，都有fax

faxf（2a-x）=f（xy

fxxay

fx與函數y

fxx0yy

fxyfxy0fx與函數yfx的圖象關于坐標原點對稱y

fx在區(qū)間0,上是遞增函數，則y

fx在區(qū)間,0上也y

fx在區(qū)間0,上是遞增函數，則y

fx在區(qū)間,0上是y

fxa(a0y

fx的圖象沿x軸向左平移a個單y

fxa(a0y

fx的圖象沿x軸向右ay

fx+a(a0y

fx助圖象沿y軸向上平移a單位y

fx+a(a0y

fxya12、求一個函數的解析式和一個函數的反函數時，你標注了該函數的定義域了嗎13、求函數的定義域的常見類型記住了嗎？函數

x(4x)的定義域 f(x)的定義域是[0,1f(log05xf的定義域是abba0,求函數F(xf(xf(x的定義14y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小mm的表達15、函數與其反函數之間的一個有用的結論：設函數y=f(x)的定義域為A,值域為C,①若a∈A,則a=f-1[f(a)]; 若b∈C,則b=f[f-1(b)];②若p∈C,求f-1(p)就是令p=f(x),求x.(x∈A)即f1abfba.互為反函數的兩個函數的圖象關于直y=x對稱16y

fx在區(qū)間aa上單調遞增y

f1x也單調遞增；但一個函數存在反函數，此函數17條件了嗎？在公共定義域內:兩個奇函數的乘積是偶函數;兩個偶函數的乘積是偶函數;一18、根據定義證明函數的單調性時，規(guī)范格式是什么？(a19yxax

a0的單調區(qū)間嗎？（該函數在

a和

a,單調遞增；在

a,0和

a上單調遞減）這可是一個應用廣泛的函數 大于零且不等于1）字母底數還需討論呀.21

blogcb, bnlogbc log c22 你還記得對數恒等式嗎？（alogabb23 “實系數一元二次方程ax2bxc0有實數解”轉化為“b24ac0你是否注意到必須a0a=0b24ac024 三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式 ；二倍角式

萬能公

正切半角公式 26 在三角中，你知道1等于什么嗎？（1sin2xcos2xsec2xtan2 tan

cotx4

2

cos0這些統(tǒng)稱為1的代換)常數“1”（27 在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換．（(),()

等22 22 28、你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項數最少、函數種類最少、分母不含三角29、你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉化出現特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）；你還記得降冪公式嗎？30、你還記得某些特殊角的三角函數值嗎？（sin15cos75

6 2,sin75cos154

6 2,sin184

5）4131 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？(lr,S扇形

lr232 輔助角公式：asinxbcosxbb的符號確定，tanba

sinx(其中角所在的象限由a2確定)在求最值、化簡時a2 對稱軸，取最值時的x值的集合嗎？（別忘了kZ）y=Asin(xk ,若x=x0為此函數的對稱軸則x0是使y取到最值的點反之亦然使y取到最值的x的集合為——————————，當0A0—————，減區(qū)間為—————；當0時要利用誘導公式將變?yōu)榇笥诹愫笤儆梦妩c作圖法：令x依次為02

,,2

求出xy，依點x,y作34

h,k平移公式（1）如果點P（x，y）x'xy'y

平移至P′（xy′，則 ,k曲線f（x，y）=0沿向量

平移后的方程為f（x-h，y-35 有關斜三角形的幾個結論：(1)正弦定理: 余弦定理:(3)面積公 ①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值范圍依次是0, 2,[0,2],[0,]②直線的傾斜角、l1到l2的角、l1與l2的夾角的取值范圍依次是[000,2③反正弦、反余弦、反正切函數的取值范圍分別是[237 同向不等式能相減，相除嗎

,],[0,],(

,)238 39 分式不等式fxaa0的一般解題思路是什么？（移項通分，分子分母g因式，x的系數變?yōu)檎?，奇穿偶?解指對不等式應該注意什么問題？（指數函數與對數函數的單調性,對數的真數41 含有兩個絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是根據定義分類討論ab42 利用重要不等式ab

ab

22a，bR（a，baba＋b43

aba2a2b2

2ab,ab

(a,bR

(當且僅當abca、b、cRa2b2c2abbcca（當且僅當abc時，取等號44 在解含有參數的不等式時，怎樣進行討論？（特別是指數和對數的底0a1a1） ” 47 等差數列中的重要性質（1）若mnpq，則amanapaq（2）數列{a2n1},{a2n},{kanb}仍成等差數列；Sn,S2nSnS3nS2n仍成等差數 a+3d2在等差數列中,求Sn的最大(小)值,,(負)值或0,而它后面各項皆取負(正)值,則從第一項起到該項的各項的和為最大(小).即:當a1>0,d<0,解不等式組an≥0an+1≤0可得Sn達最大值時的n的值;當a1<0,d>0,解不等式組an≤0an+1≥0可得Sn達最小值時的n的值;（5．若an,bn列,Sn,Tn分別為an,bn的前namS2m1。.（6）a}aan an}an0logaan}48 等比數列中的重要性質（1）若mnpq，則amanapaq（2）SkS2kSkS3kS2k49 你是否注意到在應用等比數列求前n項和時需要分類討論（q1時，Snna1q1

a(1qn ）150 等比數列的一個求和公式：設等比數列an的前n項和為Sn，公比為q, S 等差數列的一個性質：設Sn是數列an的前n項和，an為等差數列的充要條件nSan2n

（a,b） 你知道怎樣的數列求和時要用“錯位相減”法嗎？（若cnanbn，其中an是等差數列，bn是等比數列，求cn的前n項的和）53 用anSnSn1求數列的通項公式時，你注意到a1S1了嗎54 你還記得裂項求和嗎？（

n(n

1n

n55 56、 解排列組合問題的規(guī)律是相問題法不鄰題插空法多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法，還記得什么時候用隔法？57 排列數公式是：組合數公式是：排列數與組合數的關系是：Pmm！Cm 組合數性質Cm

Cm+Cm1=

Cr=

nrnCr

r

(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbn rnrn二項展開式的通項公式：Tr1C b(rn 60 61 62 你記住三垂線定理及其逆定理了嗎 64 你還記得簡單多面體的歐拉公式嗎？(V+F-E=2，其中V為頂點數，E是棱數，F面數)，棱的兩種算法，你還記得嗎？(①多面體每面為n邊形，則

2每個頂點出發(fā)有m條棱，則 265 設直線方程時，一般可設直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時，斜k（例如：一