各學(xué)科重難點(diǎn)筆記全-2016年高中數(shù)學(xué)

1.B)CU CUB;CU( B)CU CUBxAB)CU CUB;CU( B)CU CUBCU(BBA B BRA

ABCUBCU

CUBcard( B)cardAcardBcard( card( C)cardAcardBcardCcard( card( B)card C)card C)集合{a,a ,a}的子集個(gè)數(shù)共有2n個(gè)真子集有2n–1個(gè)非空子集有 個(gè)；非空的真子集有2n–2一般式f(xax2bxc(a0頂點(diǎn)式f(xa(xh)2k(a0零點(diǎn)式f(xa(xx1)(xx2)(a0Nf(xMNf(x)M[f(x)M][f(x)N]|f(x)MN|M

f(x)NMf f(x) Mf(x)0在(k1k2f(k1f(k2)0不等價(jià),前者是后者的一個(gè)必要而不是充分條件.ax2bxc0(a0有且只有一個(gè)實(shí)根在

內(nèi),f(k1f

0f(k1)0

k12

f

0k12

k2f(x)ax2bxc(a0在閉區(qū)間pqx

a>0x

f(x)minf

),f(x)maxmaxf(p),f(q)bbx

p,q，f

max

f(p),f(q)，f

min

f(p),f(q)當(dāng)a<0

x

pq，則f

minfp),f(q)，若x

pq，則f

maxf(p),f(q)，f

minf(p),f(q)f(mf(n0f(x0在區(qū)間(mnf(xx2pxq，p24q 方程f(x)0在區(qū)間(m,)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或 f(m)f(n)f(x)0(mnf(mf(n0p24q0 m f(m) f(n)

af(n)0af(m)0 p24q 方程f(x)0在區(qū)間(,n)內(nèi)有根的充要條件為f(m)0或

在給定區(qū)間(,)的子區(qū)L（形如,不同）上含參數(shù)的二次不等式f(xt)0t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(xt)min0(xL).(,)的子區(qū)間上含參數(shù)的二次不等式f(xt)0t為參數(shù))恒成立的充要條件是f(xt)man0(xL).a

af(x)ax4bx2c0恒成立的充要條件是b0或 ｐｑ非ｐ或ｐ且真真假真真真假假真假假真真真假假假真假假

c

b24ac是nnxxpp且x，x，pp或逆命題若ｑ則原命題若ｐ則逆命題若ｑ則原命題若ｐ則互互互否為互互互否為為 若非ｐ則非若非ｐ則非pqpq必要條件：若qppqpqqppqx1x2a,bx1x2(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是增函數(shù)

x1(xx)f(x)f(x)0

f(x1)f(x2)0

f(x)在a,b上是減函數(shù)

x1yf(x在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，如果f(x)0，則f(x)為增函數(shù)；如果f(x0f(xf(xg(x都是減函數(shù),則在公共定義域內(nèi),f(xg(x函數(shù);如果函數(shù)yf(uug(x)在其對應(yīng)的定義域上都是減函數(shù),則復(fù)合函數(shù)yf[g(x奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;反過來，如果一個(gè)函數(shù)yy

f(xf(xa)

f(xay

f(xaf(xa)y

f(xa)f(x)(xR),f(xa)

f(bx恒成立,則函數(shù)f(x)xab;y2

f(xay

f(b

a的圖象關(guān)于直線x 2若f(x)f(xa)y

f(x)2

,0)對稱;若f(x)f(xa,y

f(x為周期為2a 多項(xiàng)式函數(shù)P(x)axn xn1

P(x是奇函數(shù)P(x的偶次項(xiàng)(即奇數(shù)項(xiàng))的系數(shù)全為零.P(x是偶函數(shù)P(x的奇次項(xiàng)(即偶數(shù)項(xiàng))yy

f(xf(xxa

f(ax)f(af(2ax)f(x)ay

f(x)的圖象關(guān)于直線x 對稱2

f(amx)f(bf(abmx)f(mx)yf(xyf(xx0y軸)yf(mxayf(bmxxaby

f(xy

f1xy=xy

f(x的圖象右移a、上移by

f(xabf(xy)0的圖象右移a、上移bf(xayb)0的f(a)bf1(b)a若函數(shù)y

f(kxb存在反函數(shù),則其反函數(shù)為y1f1xbkyf1kxb,yf1kxby1f(xbkf(xcxf(xyf(xfy),f(1cf(xaxf(xyf(xfy),f(1a0f(x)logaxf(xyf(xfy),f(a1(a0a1冪函數(shù)f(xxf(xyf(xfy),f1f(xcosx,g(x)sinxf(xyf(xfyg(x)gyf(0)1,

1幾個(gè)函數(shù)方程的周期(約定f(x)f(xaf(xf(x)f(xa)0f(xaf(xaf(x)f(x)f212

f1f

(f(x)0)(f(x)0)f(xaf(x0,1f(x(3)f(x)1

f(x

f(x)0f(x

f

x)

f(x1)f(x2

f(a1f(xf(x10|x

|2a，則 1f(x)f(x

f(x(5)f(x)f(xa)f(x2a)f(x3a)f(xf(xf(xaf(x2af(x3af(x4af(x的周期(6)f(xaf(xf(xaf(xT=6a.m(1)a

n

n1m(2)a

m（a0,m,n1a1

n1(na)nann

ann

|a|a,a0aa,aarasars(a0,r,sQ)(ar)sars(a0,r,sQ)(ab)rarbr(a0,b0,rQ)alogNbabN(a0,a1,N0)a

Nlogm

a0a1m0m

N0m logma推論loga

bnn

ba0a1mn0m1n1N0若a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，loga(MN)logaMlogaNMlogaNlogaMlogaNlogaMnnlogaM(nR)f(x)logm(ax2bxc)(a0)b24ac.若f(x)的定義域?yàn)镽a0，且0f(xR,則a00.對于a0的情形,需要a0b0x0x1,則函數(shù)ylog ab時(shí),在(01和1ylog(bx (2)ab時(shí),在(01和1ylog(bx 推論:nm1p0a0a1logmp(np)logmnlogmlognlog2mn 如果原來產(chǎn)值的基礎(chǔ)數(shù)為Npx的總產(chǎn)值y，有yN(1p)xan數(shù)列的同項(xiàng)公式與前n項(xiàng)ana

n

(數(shù)列{a}n

aa s

,n

aa(n1)ddn

d(nN*) 其前n項(xiàng)和公式sn(a1an)nan(n1) 1dn2(a d)n1 aaqn1a1qn(nN*) 其前n項(xiàng)的和公式a(1qn ,q1sn 1na,q 或 1 等比差數(shù)列anan1qanda1b(q0b(n1)d,qnabqn(db)qn1n

,q q其前n項(xiàng)和公式nbn(n1)d,(q (b

1

n,(q 1 q 1ab(1每次還款x(1b)n1元 a元,n次還清,每期利率為b（1）若x )，則sinxxtanx2若x )，則1sinxcosx 22

2

1，tan

，tancot1 sin(

(1)2)

(n (1)

(n(n為偶數(shù)

(1)2co)

(n

(1)

sin()sincoscossincos()coscostan()tantan

sinsin.tantansin(sin()sin2sin2(a2basina2b定,tan asin2sincos

sin()所在象限由點(diǎn)(ab)的象限決cos2cos2sin22cos2112sin2tan2 1tan2.sin33sin

4sin

)

)cos34cos33cos4coscos()cos( 3tantan3 tan3 tantan(13tan2

)

)ω＞0)的周期T

；函數(shù)ytan(x)，xk ,kZ(A,ω,為常數(shù)，且2≠0，ω＞0)的周期T 2Rsin sin sina2b2c22bccosA;b2c2a22cacosB;c2a2b22abcosC.1S ah1bh1ch（h、h、ha、b、c1

S

absinC bcsinA

casinB(3)

(|OA||OB|)2(OAOB)22在△ABCABCCA A 2C22(AB) sinxaxk(1)karcsina(kZ,|a|1).cosxax2karccosa(kZ,|a|1).tanxaxkarctana(kZ,aR).特別地sinsink(1)k(kZ).coscos2k(kZ).tantank(kZ).sinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZsinxa(|a|1)x(2karcsina,2karcsina),kZcosxa(|a|1)x(2karccosa,2karccosa),kZcosxa(|a|1)x(2karccosa,2k2arccosa),kZtanxa(aR)x(karctana,k

),kZ2tanxa(aR)x(k

,karctana),kZ2設(shè)λ、μ結(jié)合律a·b=b·a（交換律a·b=a（(3)（a+b·c=a·c+b·c.e1、e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實(shí)數(shù)λ1、λ2a=λ1e1+λ2e2．不共線的向量e1、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2)，且b0，則ab(b0)x1y2x2y10ab的數(shù)量積(或內(nèi)積a·ba·ba的長度|a|ba的方向上的投影|b|cosθA(x1y1，B(x2y2ABOBOAx2x1y2y1a=(xyR，則a=(xya=(x1y1),b=(x2y2a·b=(x1x2y1y2x1x1x2y1x2y2 x2 cos

(a=(x,y),b=(x,y)

dA,B=|AB AB(x(xx)2(yy

(A(x,y)，B(x,y)

a=(x1y1,b=(x2y2b0A||b

x1y2x2y10ab(a0)a·b=0x1x2y1y20.x 1 y

11OPtOP(11OPtOP(1t)OP（t1

1△ABCA(x1,y1)B(x2,y2)、C(x3,y3),則△ABC標(biāo)是Gx1x2x3,y1y2y3 OP'OP'OPPP'y'y

yy'k注:FP(x，y)FPx',yPP'的坐標(biāo)為(hk).P(xya=(hkPxh,ykyf(x的圖象C按向量a=(hk)平移后得到圖象C',則C'yf(xhk圖象Ca=(hk平移后得到圖象C,若Cyyf(xhk

f(x,則C'曲線C

f(xy0按向量a=(hk)平移后得到圖象C'C'的方程為f(xh,yk)0m=(xya=(hkm=(xy設(shè)OABCABC所對邊長分別為abc OABC的外心OAOBOCOABCOAOBOC0OABCOAOBOBOCOCOABCaOAbOBcOC0OABC的A的旁心aOAbOBcOC.a,bRa2b22ab(a＝babRab (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取2a3b3c33abc(a0,b0,c(a2b2)(c2d2)(acbd)2,a,b,c,dababab.xyp若積xy是定值p，則當(dāng)xy時(shí)和xy有最小值 pxysxyxy1s24推廣已知xyR，則有(xy)2xy)2xy是定值,則當(dāng)|xy||xy|最大；當(dāng)|xy||xy|最小.若和|xy|是定值,則當(dāng)|xy|

|xy|當(dāng)|xy|

|xy|73.一元二次不等式ax2bxc0(或0)(a0b24ac0aax2bxcaax2bxc異號(hào)，則其解集在兩x1xx2(xx1)(xx2)0(x1x2)xx1,或xx2xx1)(xx20(x1x2.a>0xax2a2axaxax2a2xaxa.

f(x)fg(x)gfg(x)f(x)f(x)ff

.f(x)

g(x)g(x)f(x)f(x)fg(x)g(x)ff(x)

或g(x)0.a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x) f(x)當(dāng)0a1af(x)ag(x)

f(x)g(x)f(x)logaf(x)

g(x)g(x)f(x)ky2y1（P(xyP(xyx

yy1k(x

(直線lP1(x1y1，且斜率為k斜截式y(tǒng)kxb(bly

y

xx1(

yP(xyP(xy

(x

y x

(4)截距（5）一般

xy1a、ba、b0 AxByC0(A、B若l1yk1xb1l2yk2x①l1||l2k1k2,b1b2②l1l2k1k2若l1A1xB1yC10l2:A2xB2yC20,A1、A2、B1、B2都不為零 ①l||lA1B1C1 ②l1l2A1A2B1B20tan|k2k1|1k2(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tan|A1B2A2B1|(l1:A1xB1yC10,l2:A2xB2yC20,A1A2B1B20直線lll1l2的夾角是 l1到l2的角公tan

k2k11(l1:yk1xb1，l2:yk2xb2,k1k2tanA1B2A2B1直線lll1l2的角是 P0(x0y0yy0k(xx0(x

),其中k是待定的系數(shù);

的直線系方程為A(xx0Byy0)0,ABl1A1xB1yC10l2A2xB2yC20的交點(diǎn)的直線系方程為A1xB1yC1A2xB2yC20(除l2)，其中λ是待定的系數(shù)．平行直線系方程：直線ykxb中當(dāng)斜率k一定而b時(shí)，表示平行直線AxByCBxAy0,λ

(A≠0，B≠0)垂直的直線系方程A2 d|Ax0By0C|(P(xy,直線lAxByA2 AxByC0或0設(shè)直線lAxByC0AxByC0或0B0BAxByClBAxBy異號(hào)時(shí)，表示直線l的下方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在上,異號(hào)在下B0AAxByClAAxBy異號(hào)時(shí)，表示直線l的左方的區(qū)域.簡言之,同號(hào)在右,異號(hào)在左A1xB1yC1A2xB2yC2)0或0，A1xB1yC1A2xB2yC20或0所表示的平面區(qū)域是：A1xB1yC1A2xB2yC2)0A1xB1yC1A2xB2yC20

(xa)2(yb)2r2x2y2DxEyF0(D2E24Fxarybrsin圓的直徑式方程A(x1,y1B(x2,y2

(xx1)(xx2yy1yy2)0(圓的直徑的端點(diǎn)是A(x1,y1B(x2,y2(xx1)(xx2)(yy1)(yy2)[(xx1)(y1y2)(yy1)(x1x2)]xx1)(xx2yy1yy2(axbyc0axbyc0AB的方程,λlAxByC0Cx2y2DxEyF0的交點(diǎn)的圓系方程x2y2DxEyFAxByC)0,λ是待定的系數(shù)．過圓Cx2y2DxEyF0與圓Cx2y2DxEyF0 點(diǎn)的圓系方程是x2y2DxEyF(x2y2DxEy P(xy與圓(xa)2yb)2r2的位置關(guān)系有 (ax)2(ax)2(by00drP在圓外drP在圓上drP在圓內(nèi)AxByC0與圓(xa)2yb)2r2A2BAaBbdr0;dr0;dA2BAaBb其中d O1，O2r1，r2O1O2r1r2dr1r22條公切dr1

0dr1

無公切線已知圓x2y2DxEyF0①若已知切點(diǎn)(x0,y0xxyyD(x0x)E(y0y)F0 (xy)圓外時(shí),

xxyyD(x0x)Ey0y)F0表示過兩個(gè)切點(diǎn)

有兩條切線，注意不要漏掉平行于y軸的切線kykxbbx2y2r2P(xyxxyyr2 1k②斜率為k的圓的切線方程為ykx1k

xa橢

1(ab0的參數(shù)方程是ybsin

1(a 1(ab

e(x

ac)，

e(ax)2c2

（1）點(diǎn)P(x0,y0)在橢 1(ab0)的內(nèi)部001

（2）點(diǎn)P(x0,y0)在橢 1(ab0)的外部001

x y(1)橢

1(ab0上一點(diǎn)P(x0y0處的切線方程是00

過橢 x0xy0y

1(ab0P(x0,y0 （3）

1(ab

AxByC

A2a2B2b2c2x2y2 雙曲線

0

|e(x

c)|，

|c

x)|

點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲 1(a0,b0)的內(nèi)部001

點(diǎn)P(x0,y0)在雙曲 1(a0,b0)的外部001 x y (1）若雙曲線方程 a

1漸近線方程

0

y xa

x y若漸近線方程為y xa

0雙曲線可設(shè) a

xa

y

12a2

yb2

（0，焦點(diǎn)在0y

x y(1)雙曲

1(a0,b0P(x0y0處的切線方程是001.

（2）過雙曲 x0xy0y

1(a0,b0P(x0y0 （3）

xy21(a0,b 2 2

與直線AxByC

A2a2B2b2c2y22pxp拋物線y22px(p0)焦半徑CFx p CDx12x22x1x2py拋物線y22px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P(2

P(2pt22pt)

P(xyy22pxy

bxca(xb

4ac （ 4ac

4ac )（2）焦點(diǎn)的坐標(biāo)為(

4acb2 （3）準(zhǔn)線方程是 4acb2y P(x0y0在拋物線y22pxp0)的內(nèi)部y22pxp0P(x0y0在拋物線y22pxp0)的外部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的內(nèi)部y22pxp0 P(xy在拋物線y22pxp0的外部y22pxp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的內(nèi)部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的外部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0)的內(nèi)部x22pyp0 P(xy在拋物線x22pyp0的外部x22pyp0 (1)拋物線y22px上一點(diǎn)P(xy處的切線方程是yyp(xx （2）y0yp(xx0)

y22

外一點(diǎn)P(x0y0)y22pxp0)AxByC0pB22ACf1(x,y)0f2(x,y)0f1(x,yf2(x,y)0為參數(shù)yx yx共焦點(diǎn)的有心圓錐曲線系方 1,其中kmax{a2,b2}.a2 b2(xx)2(yy kmin{a2b2(xx)2(yy

AB AB

|xx

|yy

1co1cot2(1k2)(x(1k2)(xx 1tan2ykxA(x1,y1B(x2,y2)F(xy)ABk為直線的斜率

yax

bxc00,F(x,y)0P(x0,y0F(2x0-x2y0y)0F(xy0AxByC02A(AxBy 2B(AxByF(x

A2

,y

A2

)0Ax2BxyCy2DxEyF000x0yxy0xyx0xxy0yy00

xxx2

yyy2 AxxBx0yxy0CyyDx0xEy0yF0 轉(zhuǎn)化為線面垂直a、b(b≠0，a∥b存在實(shí)數(shù)λAB||CDAB、DAB、CD不共線ABtCDAB、CDpa、bxypaxby推論空間一點(diǎn)PMABxy,使MPxMAyMB，Ox,y，使OPOMxMAyMB.對空間任一點(diǎn)O和不共線的三點(diǎn)A、B、C，滿足OPxOAyOBADxAByAC時(shí)，若O平面ABC，則P、A、B、C四點(diǎn)共面；若ADxAByACA、BC、DADABACOD1xy)OAxOByOC（Oy，zp＝xa＋yb＋zc．推論設(shè)O、A、B、CP，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)峹，y，z，使OPxOAyOBzOC.已知向量AB=a和軸l，e是l上與l同方向的單位向量A點(diǎn)在l上的射影A點(diǎn)在l上的射影B，A'B'|AB|cos〈a，ea＝(a1a2a3，b＝(b1b2b3a＋b＝(a1b1,a2b2,a3b3)a－b＝(a1b1,a2b2,a3b3)λa＝(a1,a2,a3

A(x1y1z1，B(x2y2z2

(x2x1,y2y1,z2z1)ax1y1z1bx2y2z2 r

x1aPbab(b0)yy z ab

rb0

x1x2y1y2z1z20a2a2 b2a2a2 b2b2 cos〈a，b〉 推論(ababab)2a2a2a2b2b2b21 2 3 ABCD中,ACBD所成的角為|(AB2CD2)(BC2DA2)cos

2ACrcos|r|ab

a,b

|x1x2y1y2z1z2= r |a||b x2y2z2 x2y2z 2rABABarc

|AB||m

(m為平面的法向量ABCAB的平面成的角,ACBC成的角分別是1、2A、BABCsin2sin2(sin2Asin2B)sin2 特別地,當(dāng)ACB

sin2sin2sin2 ABCAB的平面成的角,ACBC與平面成的角分別是、A'、BABO的兩個(gè)內(nèi)角 tan2tan2(sin2A'sin2B')tan2 特別地,當(dāng)AOB

sin2sin2sin2 m|m||nm|m||n（mn為平面marc

|m||n

或arc

的法向量AC2，AOAC．則coscos1cos2.若夾在平面角為的二面角間的線段與二面角的兩個(gè)半平面所成的角是1,2,與面角的棱所成的角是θ，則有sin2sin2sin2

sin2

cos|12|

2(當(dāng)且僅當(dāng)y1z1，By1z1，B(x2,y2z2 ABAB (xx)2(yy)2(zz dA,B=點(diǎn)Q到直線l距

.h1|a(|a||bh1|a(|a||b|)2(aPQd|CDn|lln，C、D分別是ll上任一點(diǎn)，d|n 1 1l1l2間的距離B到平面的距 |AB d （n為平面的法向量，AB是經(jīng)過面的一條斜線，A |nh2h2m2 2mncosh2m2n22mncosEA',AFdh2m2n22mndh2m2n22mn(a、bθ，AAh.a、bE、FA'EmAFnEFd).(abc)2a2b2c22ab2bc2caabc2|a||b|cosa,b2|b||c|cosb,c2|c||a|cosc, 長度為l的線段在三條兩兩互相垂直的直線上的射影長分別為l1、l2、l3，夾角分別為1、2、3,則有l(wèi)2l2l2l2cos2

cos2

cos2

1sin2

sin2

sin2

2

S'SS (SS，它們所在平面所成銳二面角的為已知斜棱柱的側(cè)棱長是l,S斜棱柱和V斜棱,它的直截面的周長和面積分別是c1S1,則Sc1l②V斜棱柱S1l.歐拉定理(歐拉公式VFE2(VEE=各面多邊形邊數(shù)和的一半.n的多邊形，則面數(shù)1EE

nF21若每個(gè)頂點(diǎn)引出的棱數(shù)為mVEE其體積V4R3,3S4R2(1)球與長方體的組合體

mV2正方體的內(nèi)切球的直徑是正方體的棱長,正方體的棱切球的直徑是正方體的面對角線長,正方體的外接球的直徑是正方體的體對角線長.(3)a的正四面體的內(nèi)切球的半徑為6a,外接球的半徑為6a 1V柱體3Sh（S是柱體的底面積、h是柱體的高mn1V3Sh（S是錐體的底面積、hmn1Nm1m2mmnNm1m2Am=n(n1)(nm1)

n！nm∈N*，且mnn注:規(guī)定0! (1）Am(nm

(nn（2）Amn

AnA

;AmnAm ;nAnAn1An AmAmmAm (6)1!22!33! nnn1)!1.mmC=n

n(n1)(nm=

n∈N*mN，且mnAm 12 AmCm=Cnm Cm+Cm1=Cm n注:規(guī)定C01n（1）Cmnm1Cm1nn（2）Cmn

n

Cmn1CmCmnCm1 nnCr=2nnrCrCr

Cr1

r

C0C1C2CrCn2n C1C3C5C0C2C42n1 C12C23C3nCnn2n1 CrC0Cr1C1C0rCrCr m

(C0)2(C1)2(C2)2(Cn)2Cn 以下各條的是從n個(gè)元素中取m個(gè)元素的排列①某（特）元必在某位有Am1種；②某（特）元不在某位有AmAm1（補(bǔ)集思想

Am1（著眼位置）

Am1（著眼元素）種

k(kmnAkAmk種k②浮動(dòng)緊貼n個(gè)元素的全排列把k個(gè)元排在一起的排法有Ank1Ak種.注：此類問常 法

nk1k、h個(gè)（kh1，把它們合在一起來作全排列，kAhAk種hmnAnnm1時(shí)，無解；當(dāng)nm1Ann

種排法mn （1）(平均分組有歸屬問題)將相異的m、n個(gè)物件等分給m個(gè)人，各得nN

Cn

Cn

Cn(mn)! m

m

（2）(平均分組無歸屬問題)m·nm堆，其CnCn ...Cn

N m m n

（3）(非平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nmm個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1n2nm件，且n1n2nmm12 其分配方法數(shù)共有NCnCn 12

p

n!n!..n1 （4）(非完全平均分組有歸屬問題)將相異的P(P=n1+n2++nm個(gè)物體分給m個(gè)人，物件必須被分完，分別得到n1n2nm件，且n1，n2nmma、Cn1Cn2...Cnm

b、c、…個(gè)相等，則其分配方法數(shù)有N

（5）(非平均分組無歸屬問題)P(P=n1+n2++nm)n1n2nmm堆，且n1n2nmmN

（6）(非完全平均分組無歸屬問題)P(P=n1+n2++nm)相等，則其分配方法數(shù)有 （7）(限定分組有歸屬問題)p（pn1+n2++nm）個(gè)物體分給甲、乙、m個(gè)人，物體必須被分完，如果指定甲得n1n2件，丙得n3件，…時(shí)，n1n2nmm個(gè)數(shù)是否全相異或不全相異其分配方法數(shù)恒有NCn1

...Cnm

p

n!n!...n1 貝努利裝錯(cuò)箋問題:nnf(n)n![111

1]推廣:nn個(gè)位置,其中至少有m f(n,m)n!C1(n1)!C2(n2)!C3(n3)!C4 m(1)mCm(nmm m m m((m] C1C2C3C4m m m m((m] Ap 不定方程x1+x2++xnm的解的個(gè)方程x+x+

m（nmN）的正整數(shù)解有Cn1個(gè)

方程x+x+

m（nmN）

Cn1個(gè)

x+x++xm（nmN）滿足條

k(kN,2in1 個(gè)個(gè)m1(n2)(kx+x++xm（nmN）滿足條

k(kN,2in1 的正整數(shù)解有

C2

1)n2 個(gè)

(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbn nn

mmP(A) n互斥事件A，B分別發(fā)生的概率的n個(gè)互斥事件分別發(fā)生的概率的和165.A，BP(A·B)=166.n個(gè)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概P(A1·A2·…·An)=P(A1)·P(A2)·…·n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中某事件恰好發(fā)生k次的概 P(k)CkPk(1P)nk 離散型 量的分布列的兩個(gè)性 )（2）P1P2（1）E(ab)aE()b（2）若～B(npEnp若P(k)g(k,p)qk1pE1px p2nnDxE2pxE2p (1)Daba2D(2）若～B(npDnp(1p若P(k)g(k,p)qk1pDqDE2E2.175.正態(tài)分布密度函1x1fx

,x,，式中的實(shí)數(shù)μ，（>0）是參數(shù)，分別示的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差fx

1e2,x, 1N(,2xFxx Px1x0x2Pxx2Pxx1Fx2Fx1x2x1

n xxn

y nb i1 nn2yabxn2

nnxix

ay xixyiynn(xnn(xx (yy22ii

xixyiy nx ny|r|≤1，且|r|1，相關(guān)程度越大；|r|0，相關(guān)程度越小. limqn

q

ank nk1 lim k 0 t nbntbnt t S

a11qn

a1（S無窮等比數(shù)列a

|q|1)的和

1

1 limf(x)a

f(x)

f(x)a函數(shù)的性定（1）g(x)f(x)h(x)（2）limg(x)alimh(x)a（常數(shù)limf(xa

x的情況仍然成立（1）lim10，liman0（|a|1n （2）limxx，lim11 xx0 0sin

11x

e xxlimf(x)alimg(xb (1)limfxgxab limfxgxab

fx

ab0xx0g limanalimbnb，則 limanbnablimanbnablimn

abblimcanlimclimanca(c是常數(shù)

f(x)x0處的導(dǎo)數(shù)（或變化率或微商f(x)

limy

f(x0x)f(x0)0

x0

s(t)limslims(tt)s(t)t0 av(t)limvlimv(tt)v(t)t0 f(x在(a,bf(x)ydy

limy

f(xx)f.

x0

yf(xx0函數(shù)y

f(xx0處的導(dǎo)數(shù)是曲線y

f(x)P(x0,f(x0))處的切線的斜率f(x0)yy0

f(x0)(xx0)C0（Cn(x)'nxn1(nQ)n(sinx)cosx(cosx)sinx(lnx)1；(logax)1loge

x(ex)ex

(ax)axlna（1）(uv)'u'v'（2）(uv)'u'vuv'u（3）(

u'v

(v0) x設(shè)函數(shù)u(xx處有導(dǎo)數(shù)u'(xyx

f(uxU導(dǎo)數(shù)y'fuyf((xxy'y'u'uxf'((x))f'(u)'(x)x常用的近似計(jì)算公式（當(dāng)

充小時(shí)

1 x111

1 xn1n11(2)(1x)1x(R)ex1xln(1x)xtanxx（x為弧度arctanxx（x為弧度

1

1xf(x0是極大（?。┲档姆椒ó?dāng)函數(shù)f(x)x0處連續(xù)時(shí)，x0f(x0f(x0f(x0x0f(x0f(x0f(x0是極小值.abicdiac,bd.（a,b,c,dRzabi的模（或絕對值a2|z|=|abia2(abi)(cdi)(ac)(bd)i(abi)(cdi)(ac)(bd)i(abi)(cdi)(acbd)(bcad)iac bc(abi)(cdi) c2dz1z2z3C，有z1z2z2z1.結(jié)合律(z1z2z3z1z2z3

c2d

i(cdi0)(xx)2(yy z1z2(xx)2(yy d|zz

（zxyi，

xyi 202.向量的垂

zz1abiz2cdi對應(yīng)的向量分別是OZ1OZ2zOZOZz

的實(shí)部為零

z2|zz|2|z|2|z

1|zz|2|z|2|z|2|z

||zz|acbd0z

(λ 203.實(shí)系數(shù)一元二次方程的

實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0

4ac0x1,2

b2;b24ac0xxb x

(b24ac0)bb (b2高中數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)1.空 集合的子集 3.4.你會(huì)用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法（互為逆否關(guān)系題是等價(jià)命題（B（定義域、對應(yīng)法則、值域義域 （一一對應(yīng)函數(shù)y＝x（取值、作差、判正負(fù)值是 A. B. C. D.∴a函數(shù)，T（由圖象記性質(zhì) （注意底數(shù)的限定（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法αkA.正值或負(fù) B.負(fù) C.非負(fù) D.正（移項(xiàng)通分，分子分母因式分解，x1用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿，偶切（按不等號(hào)方向放縮0的二次函數(shù)（1）［練習(xí)［練習(xí)［練習(xí)n（1）［練習(xí)［練習(xí)你知道儲(chǔ)蓄、問題嗎pr，n若（向銀行借款）p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期（如一年）nr（按復(fù)利，那么每期應(yīng)還x元，滿足排列：從n個(gè)不同元素中，任取m（m≤n）n個(gè)不同元素中任取m（m≤n）個(gè)元素并組成一組，叫做從n1，2，3，4 A. B. C. D.最值：n為偶數(shù)時(shí)，n＋1表示AAB的和（并互斥事件（互不相容事件ABA、B對立事件（互逆事件（1）ApnA104件次品，6252323次（1件，∴n＝1032252件次品。（1（3）（4）抽樣方法主要有：簡單隨機(jī)抽樣（）它的特征是從總體中逐個(gè)抽??；系統(tǒng)抽樣，常用于總體個(gè)數(shù)較多時(shí)，它的主要特征是均衡成若分，每部分只取一個(gè)；分層抽樣，主要特征是分層按比例抽樣，主要用于總體中有明顯差異，它們的共同特征是每個(gè)被抽到的概率相等，體現(xiàn)了抽樣的客觀性和性。如：從10名與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽，如果按分層隨機(jī)抽樣，則組 ［練習(xí)※. 三垂線定理（及逆定理異面直線所成的角直線與平面所成的角∴∠AOB）［練習(xí)如圖，OA為α的斜線OB為其在α影，OC為α內(nèi)過O點(diǎn)任一直線ABCD—A1B1C1D1BD1＝8，BD1B1BCC1所成30°。BD1ABCDBD1ADPCD所成的銳二面角的大小。（∵AB∥DC，PPABPCDPF∥ABPFPCD點(diǎn)C到面AB1C1的距離 點(diǎn)B到面ACB1的距離 直線A1D1到面AB1C1的距離 面AB1C與面A1DC1的距離 點(diǎn)B到直線A1C1的距離 S正棱錐

1C·h（C——底面周長，h為斜高2 1底面積× R2d2R2d2

4R2

4 R：r＝3：1。

積為

C.C.3（1）l直線的傾斜角0，，ktany2y1

xx2x1

2P1x1，y1，P2x2，y2是l上兩點(diǎn)，直線l的方向向量a點(diǎn)斜式：yy0kxx0（k存在A2Ax0By0A2Ax0By0

到直線l：AxByC0的距dl1到l2的到角公式tank21k1kk21k1kA1B2A2B1l

k21k1kACAC 1 21k1k2l1∥l2（反之不一定成立A1A2B1B20lC的位置關(guān)系？聯(lián)立方程組關(guān)于x（或y）的一元二次方程0相交；0相切；0相第二定義：e c2與雙曲2a

y20△≥0（求交點(diǎn)，弦長，中點(diǎn)，斜率，對稱存在性問題都在△≥0C：F（x，y）＝0M（a，b）A（x，y）為曲CA'（x'，y'）AM的對稱點(diǎn)。yr圓x2y2r2的參數(shù)方程為xrcosyr a

1的參數(shù)方程為xacos（為參數(shù)yy高中數(shù)學(xué)知識(shí)易錯(cuò)點(diǎn)梳研究集合必須注意集合元素的特征即三性(確定,互異,無序);已知集合B={0,｜x｜,y},且A=B,則研究集合,首先必須弄清代表元素,才能理解集合的意義。已知集合M={y｜y=x2M∩NM=（x,y｜y=x2∈R}M∩N的區(qū)別集合A、B，AB時(shí)，你是否注意到“”情況：A或B；求集合AB時(shí)是否忘記a2x22a2x10xR恒aa＝22n2n 10每人至少會(huì)唱歌和跳舞個(gè)唱歌和一個(gè)跳舞,問有多少種不同的選法？兩集合之間的關(guān)系。M

xx

xxk

k(CUA)∩(CUB)=CU(A∪B)(CUA)∪(CUB)=CU(A∩B)；ABBBA8、可以判斷真語句叫做命題p、qpqPP真真真真真假假真假真假真假假假假 為 否 為 否qp 否 10f：A→BAB11、函數(shù)的幾個(gè)重要性質(zhì)y

fx對于一切xR，都有fax

faxf（2a-x）=f（xy

fxxay

fx與函數(shù)y

fxx0yy

fxyfxy0fx與函數(shù)yfx的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱y

fx在區(qū)間0,上是遞增函數(shù)，則y

fx在區(qū)間,0上也y

fx在區(qū)間0,上是遞增函數(shù)，則y

fx在區(qū)間,0上是y

fxa(a0y

fx的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單y

fxa(a0y

fx的圖象沿x軸向右ay

fx+a(a0y

fx助圖象沿y軸向上平移a單位y

fx+a(a0y

fxya12、求一個(gè)函數(shù)的解析式和一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)時(shí)，你標(biāo)注了該函數(shù)的定義域了嗎13、求函數(shù)的定義域的常見類型記住了嗎？函數(shù)

x(4x)的定義域 f(x)的定義域是[0,1f(log05xf的定義域是abba0,求函數(shù)F(xf(xf(x的定義14y=asin2x+2cosx-a-2(a∈R)的最小mm的表達(dá)15、函數(shù)與其反函數(shù)之間的一個(gè)有用的結(jié)論：設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳,值域?yàn)镃,①若a∈A,則a=f-1[f(a)]; 若b∈C,則b=f[f-1(b)];②若p∈C,求f-1(p)就是令p=f(x),求x.(x∈A)即f1abfba.互為反函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直y=x對稱16y

fx在區(qū)間aa上單調(diào)遞增y

f1x也單調(diào)遞增；但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)，此函數(shù)17條件了嗎？在公共定義域內(nèi):兩個(gè)奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個(gè)偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一18、根據(jù)定義證明函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，規(guī)范格式是什么？(a19yxax

a0的單調(diào)區(qū)間嗎？（該函數(shù)在

a和

a,單調(diào)遞增；在

a,0和

a上單調(diào)遞減）這可是一個(gè)應(yīng)用廣泛的函數(shù) 大于零且不等于1）字母底數(shù)還需討論呀.21

blogcb, bnlogbc log c22 你還記得對數(shù)恒等式嗎？（alogabb23 “實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2bxc0有實(shí)數(shù)解”轉(zhuǎn)化為“b24ac0你是否注意到必須a0a=0b24ac024 三角公式記住了嗎？兩角和與差的公式 ；二倍角式

萬能公

正切半角公式 26 在三角中，你知道1等于什么嗎？（1sin2xcos2xsec2xtan2 tan

cotx4

2

cos0這些統(tǒng)稱為1的代換)常數(shù)“1”（27 在三角的恒等變形中，要特別注意角的各種變換．（(),()

等22 22 28、你還記得三角化簡題的要求是什么嗎？項(xiàng)數(shù)最少、函數(shù)種類最少、分母不含三角29、你還記得三角化簡的通性通法嗎？（切割化弦、降冪公式、用三角公式轉(zhuǎn)化出現(xiàn)特殊角.異角化同角，異名化同名，高次化低次）；你還記得降冪公式嗎？30、你還記得某些特殊角的三角函數(shù)值嗎？（sin15cos75

6 2,sin75cos154

6 2,sin184

5）4131 你還記得在弧度制下弧長公式和扇形面積公式嗎？(lr,S扇形

lr232 輔助角公式：asinxbcosxbb的符號(hào)確定，tanba

sinx(其中角所在的象限由a2確定)在求最值、化簡時(shí)a2 對稱軸，取最值時(shí)的x值的集合嗎？（別忘了kZ）y=Asin(xk ,若x=x0為此函數(shù)的對稱軸則x0是使y取到最值的點(diǎn)反之亦然使y取到最值的x的集合為——————————，當(dāng)0A0—————，減區(qū)間為—————；當(dāng)0時(shí)要利用誘導(dǎo)公式將變?yōu)榇笥诹愫笤儆梦妩c(diǎn)作圖法：令x依次為02

,,2

求出xy，依點(diǎn)x,y作34

h,k平移公式（1）如果點(diǎn)P（x，y）x'xy'y

平移至P′（xy′，則 ,k曲線f（x，y）=0沿向量

平移后的方程為f（x-h，y-35 有關(guān)斜三角形的幾個(gè)結(jié)論：(1)正弦定理: 余弦定理:(3)面積公 ①異面直線所成的角、直線與平面所成的角、向量的夾角的取值范圍依次是0, 2,[0,2],[0,]②直線的傾斜角、l1到l2的角、l1與l2的夾角的取值范圍依次是[000,2③反正弦、反余弦、反正切函數(shù)的取值范圍分別是[237 同向不等式能相減，相除嗎

,],[0,],(

,)238 39 分式不等式fxaa0的一般解題思路是什么？（移項(xiàng)通分，分子分母g因式，x的系數(shù)變?yōu)檎担娲┡蓟?解指對不等式應(yīng)該注意什么問題？（指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,對數(shù)的真數(shù)41 含有兩個(gè)絕對值的不等式如何去絕對值？(一般是根據(jù)定義分類討論ab42 利用重要不等式ab

ab

22a，bR（a，baba＋b43

aba2a2b2

2ab,ab

(a,bR

(當(dāng)且僅當(dāng)abca、b、cRa2b2c2abbcca（當(dāng)且僅當(dāng)abc時(shí)，取等號(hào)44 在解含有參數(shù)的不等式時(shí)，怎樣進(jìn)行討論？（特別是指數(shù)和對數(shù)的底0a1a1） ” 47 等差數(shù)列中的重要性質(zhì)（1）若mnpq，則amanapaq（2）數(shù)列{a2n1},{a2n},{kanb}仍成等差數(shù)列；Sn,S2nSnS3nS2n仍成等差數(shù) a+3d2在等差數(shù)列中,求Sn的最大(小)值,,(負(fù))值或0,而它后面各項(xiàng)皆取負(fù)(正)值,則從第一項(xiàng)起到該項(xiàng)的各項(xiàng)的和為最大(小).即:當(dāng)a1>0,d<0,解不等式組an≥0an+1≤0可得Sn達(dá)最大值時(shí)的n的值;當(dāng)a1<0,d>0,解不等式組an≤0an+1≥0可得Sn達(dá)最小值時(shí)的n的值;（5．若an,bn列,Sn,Tn分別為an,bn的前namS2m1。.（6）a}aan an}an0logaan}48 等比數(shù)列中的重要性質(zhì)（1）若mnpq，則amanapaq（2）SkS2kSkS3kS2k49 你是否注意到在應(yīng)用等比數(shù)列求前n項(xiàng)和時(shí)需要分類討論（q1時(shí)，Snna1q1

a(1qn ）150 等比數(shù)列的一個(gè)求和公式：設(shè)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，公比為q, S 等差數(shù)列的一個(gè)性質(zhì)：設(shè)Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，an為等差數(shù)列的充要條件nSan2n

（a,b） 你知道怎樣的數(shù)列求和時(shí)要用“錯(cuò)位相減”法嗎？（若cnanbn，其中an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，求cn的前n項(xiàng)的和）53 用anSnSn1求數(shù)列的通項(xiàng)公式時(shí)，你注意到a1S1了嗎54 你還記得裂項(xiàng)求和嗎？（

n(n

1n

n55 56、 解排列組合問題的規(guī)律是相問題法不鄰題插空法多排問題單排法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；有序分配問題法；選取問題先排后排法；至多至少問題間接法，還記得什么時(shí)候用隔法？57 排列數(shù)公式是：組合數(shù)公式是：排列數(shù)與組合數(shù)的關(guān)系是：Pmm！Cm 組合數(shù)性質(zhì)Cm

Cm+Cm1=

Cr=

nrnCr

r

(ab)nC0anC1an1bC2an2b2CranrbrCnbn rnrn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式：Tr1C b(rn 60 61 62 你記住三垂線定理及其逆定理了嗎 64 你還記得簡單多面體的歐拉公式嗎？(V+F-E=2，其中V為頂點(diǎn)數(shù)，E是棱數(shù)，F(xiàn)面數(shù))，棱的兩種算法，你還記得嗎？(①多面體每面為n邊形，則

2每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)有m條棱，則 265 設(shè)直線方程時(shí)，一般可設(shè)直線的斜率為k，你是否注意到直線垂直于x軸時(shí)，斜k（例如：一