分?jǐn)?shù)階偏微分方程rev

分?jǐn)?shù)階偏微分方程

及其

數(shù)值方法

郭柏靈北京應(yīng)用物理與計(jì)算數(shù)學(xué)研究所1§1引言

所謂非正常動力系統(tǒng)，它一般含有非高斯概率函數(shù)，已出現(xiàn)在物理、化學(xué)、工程、地質(zhì)、生物、經(jīng)濟(jì)、氣象、大氣等許多實(shí)問題中。均方遷移的平均為（1）這里為空間維數(shù),為的擴(kuò)散常數(shù)。當(dāng)時,為“正?！钡?，當(dāng)具有非正常擴(kuò)散指數(shù)，為亞擴(kuò)散的（色散的，慢的），當(dāng)時為超擴(kuò)散的（增高的，快的）。

2彈道極限為波動方程所描述，它的向前向后模型由Landau-Lifshiz于1984提出。發(fā)展為湍流運(yùn)動。一般研究亞彈道過程。以下列一表，表示正常布朗運(yùn)動(BM)，分形布朗運(yùn)動FBM等模型的情況PDFComments3PDFComments41生物系統(tǒng)在單個生物細(xì)胞中，微球的運(yùn)動轉(zhuǎn)變?yōu)槌瑪U(kuò)散狀態(tài)，如圖1、圖2、圖3。5672亞擴(kuò)散過程亞擴(kuò)散過程具有強(qiáng)記憶效應(yīng)，它不像Markov過程，這個系統(tǒng)的現(xiàn)在狀態(tài)依賴于整個歷史狀態(tài)。等待時間(2)且有2.1分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(3)為的Laplace變換。8類似的典型的小范圍跳躍長度的Fourier變換，可得(4)對的布朗運(yùn)動由(4)可得在亞擴(kuò)散情況，，具有形式。因(5)由Riemann-Lionville

分?jǐn)?shù)積分9由(4)可得于此初始條件代替函數(shù)，由偏微分利用Riemann-Lionville分?jǐn)?shù)階算子(7)(8)可得分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程(9)由于等價于(10)102.2分?jǐn)?shù)階Fokher-Plank方程分?jǐn)?shù)階Klein-Kramer方程其中Rayleigh流體方程(11)(12)分?jǐn)?shù)階Fohher-Plank方程為(13)其中11用分離變量求解(13)的解其中的方程如同Markov過程的結(jié)構(gòu)，(14)它的解由Mittag-Ceffler

函數(shù)所組成(15)2.3分形Ornstein-Uhlenbech

過程OU過程動力學(xué)方程12(16)用分離變量和Hermite多項(xiàng)式的定義，可得分?jǐn)?shù)階Fohker-Plank方程具有OU位勢的級數(shù)解為(17)如圖4所示13143超擴(kuò)散方程3.1Levyflights它為Marhov過程具有寬的跳躍長度，(18)如圖5所示15Levy分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散方程為(19)于此具driftv的LF方程為(20)Levy分?jǐn)?shù)階Fohher-planch方程為(21)Levy分?jǐn)?shù)階Klein-Kramers

方程為(22)16方程(20)在平方位勢,下的的圖形如圖6，(22)也稱量子Levy過程17指數(shù)分?jǐn)?shù)階方程(23)它趨于正則Boltzman

平衡態(tài)的PDF(概率密度函數(shù)).3.2次分?jǐn)?shù)階輸運(yùn)方程(24)(i)(25)18(ii)見圖7(26)19(iii)見圖8(27)20§2分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)有限區(qū)間的定義及其運(yùn)算

Riemann形式(28)Liouville形式(29)時，(28)為(30)稱之為Riemann-Liouville

分?jǐn)?shù)階積分。21Weyl

分?jǐn)?shù)階積分(31)分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義：設(shè)為大于的最小整數(shù)，令則的階分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為(32)例：則由(32),22因,則由(32)，(33)因再寫(33)為23于是有(34)定義1設(shè)在是片斷連續(xù),

在的任何有限子區(qū)間可積,

則對

稱(35)為具階Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分此類滿足定義1的函數(shù)類為C類。24定理1設(shè)是在上連續(xù),,則對一切(36)定理2設(shè)在上連續(xù)，,則

(i)如類，則

(ii)如在上連續(xù)，則對一切25定理3設(shè)為正整數(shù)，在上連續(xù)，,則

(i)如有

(ii)如在上連續(xù)，則對一切

其中26定理4設(shè)在上連續(xù)可導(dǎo)，為正整數(shù)，則對一切分?jǐn)?shù)階積分的Laplace變換設(shè)為類，則存在，27(37)其中分別為的L變換，如類，的分?jǐn)?shù)積分為階，即它是卷積積分，如為指數(shù)階，則28定理5(Leibniz公式)設(shè)在上連續(xù)，在點(diǎn)解析,則對為整函數(shù)(38)類函數(shù)(39)

(40)29(41)§3分?jǐn)?shù)階ODE的求解分?jǐn)?shù)階ODE(42)其中(43)稱(42)為具常數(shù)階的分?jǐn)?shù)階線性O(shè)DE30引入(44)則(45)(42)可改寫為(46)如有解其中為任意常數(shù)。31定理6設(shè)(47)為階分?jǐn)?shù)階ODE,令(48)為相應(yīng)的指數(shù)多項(xiàng)式，令(49)則如為最小整數(shù)，為(47)的個線性無關(guān)的解，32證明：其中為的線性組合，可證為(47)的解，利用可得也是解，再證的線性無關(guān)性，利用Green函數(shù)可得。33定理7設(shè)在上片斷連續(xù)，可積和具指數(shù)階在上，令令為分?jǐn)?shù)階Green函數(shù)，則(50)為(50)的唯一解。34§4具時間分?jǐn)?shù)階波動方程邊值問題的近似解考慮如下問題(51)具初邊界條件(52)其中為階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)，(53)35定義8函數(shù)屬于類，如果在上連續(xù)，定義9階Riemann-Liouville

積分算子如有36定義10的階Caputo分?jǐn)?shù)導(dǎo)數(shù)定義為其中對于有(54)37用作用于(51)兩邊，利用(54)可得(56)代入(55)得(55)令(56)(57)由此可得38(58)于是其中39(59)代入邊界條件可得(60)因此可得(61)40分解法的收斂性是可以保證的。于此可得初邊值問題(51)(52)的精確解為(62)數(shù)值結(jié)果：例1(63)41(64)其中為Mittag-Leffler函數(shù)(65)(66)42(68)例2(67)(70)43例3(71)44其中§5二維分?jǐn)?shù)階色散方程的有限差分方法

考慮二維分?jǐn)?shù)階擴(kuò)散(色散)方程(72)(73)(74)45作差分近似(75)令(76)46用隱式Euler近似(77)(77)可寫成(78)令47則(78)可寫成(79)可簡單用多數(shù)步法求解（79）。

(i)求解方向(固定)(80)(ii)求解方向(固定)(81)48對于非整數(shù)整數(shù),令(82)利用傅氏變換可證定理10設(shè)為整數(shù)，則對有(83)在上一致成立。49定理11