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文檔簡介
高等院校本科數(shù)學課程——空間解析幾何大學數(shù)學(一)第十講平面曲線的方程
空間曲面的方程空間曲線的方程腳本編寫:教案制作:一、平面曲線與方程:(1)滿足方程的(x,y)必是曲線上某一點的坐標;(2)曲線上任何一點的坐標(x,y)滿足這個方程;則這個方程稱為這條曲線的方程,這條曲線稱為方程的圖形。曲線的方程常表示為:F(x,y)=0或y=f(x)yxoxy=2第一節(jié)平面曲線的方程定義:當平面上取定了標架之后,如果一個方程與一條曲線有著關(guān)系:例1、求平面上圓心在原點,半徑為2的圓的方程。向量式方程|OM|=2解:x2+y2=4普通方程1、向量函數(shù)
當動點按某種規(guī)律運動時,與它對應(yīng)的向徑也隨著時間t的不同而改變(模長與方向的改變),這樣的向徑稱為變向量,記為r。yxoxy=2如果變數(shù)t(atb)的每一個值對應(yīng)于變矢r的一個完全的值(模長與方向),則稱r是變數(shù)t的向量函數(shù),記為r=r(t)(atb).2、向量函數(shù)的分量表示
設(shè)平面上取定的標架為{O;e1,e2},則向量函數(shù)可表示為r(t)=x(t)e1+y(t)e2
(atb).(1)其中x(t),y(t)是r(t)的分量,它們分別是變數(shù)t的函數(shù)。yxOr(t)P(x(t),y(t))3、向量式參數(shù)方程若取(atb)的一切可能值,由的終點總在一條曲線上;反之,在這條曲線上的任意點,總對應(yīng)著以它為終點的向徑,而這徑矢可由t的某一值t0(at0b)通過(1)完全確定,則稱表達式(1)為曲線的向量式參數(shù)方程,其中t為參數(shù)。表示的向徑r(t)r(t)=x(t)e1+y(t)e2
(atb).(1)yxOr(t)ABP(x(t),y(t))4、坐標式參數(shù)方程曲線的參數(shù)方程又??梢詫懗上铝行问剑悍Q為曲線的坐標式參數(shù)方程。yxOr(t)r(a)r(b)ABP(x(t),y(t))一、定義:若空間中的曲面S與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系:(1)S上任一點的坐標滿足方程F(x,y,z)=0;(2)不在S上點的坐標都不滿足方程F(x,y,z)=0;那末,方程F(x,y,z)=0叫做曲面S的方程,而曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.F(x,y,z)=0
Sxyzo第二節(jié)空間曲面的方程2x+3y4z19=0.◆在空間解析幾何中,曲面被看成空間點的幾何軌跡.(xx0)2+(yy0)2+(zz0)2=R2
稱此方程為球面的標準方程.特別:當球心在原點O(0,0,0)時,球面方程:x2+y2+z2
=R2
例3、求三維空間中球心為M0(x0,y0,z0),半徑為R的球面的方程.
解:對于球面上任一點M(x,y,z),都有|M
M0|2=R2.即
M0
M
RF(x,y,z)=0上半球面解:原方程可改寫為(x1)2+(y+2)2+z2=5故:原方程表示球心在M0(1,2,0),半徑為的球面.例5:方程x2+y2+z2
2x+4y=0表示怎樣的曲面?面F(x,y,z)=0:例6方程的圖形是怎樣的?根據(jù)題意有圖形上不封頂,下封底.解以上幾例表明研究空間曲面有兩個基本問題:(2)已知曲面方程,研究曲面形狀.(1)求曲面方程.二、曲面的參數(shù)方程1、雙參數(shù)向量函數(shù)在兩個變數(shù)u,v的變動區(qū)域內(nèi)定義的函數(shù)r=r(u,v)或r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2)稱為雙參數(shù)向量函數(shù),其中x(u,v),y(u,v),z(u,v)是變向量r(u,v)的分量,它們都是變數(shù)u,v的函數(shù)。當u,v取遍變動區(qū)域的一切值時,向徑OM=r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
的終點M(x(u,v),y(u,v),z(u,v))所畫的軌跡一般為一張曲面。Mozxy
S2、曲面的向量式參數(shù)方程定義:若取u,v(aub,cvd)的一切可能值,由(2)表示的徑矢r(u,v)的終點M總在一個曲面上,反之,在這個曲面上的任意點M總對應(yīng)著以它為終點的向徑,而這徑矢可由u,v的值(aub,cvd)通過(2)完全決定,則稱(2)式為曲面的向量式參數(shù)方程,其中u,v為參數(shù)。3、曲面的坐標式參數(shù)方程因為徑矢r(u,v)的分量為{x(u,v),y(u,v)z(u,v)},所以曲面的參數(shù)方程也常寫成表達式(3)稱為曲面的坐標式參數(shù)方程。
r(u,v)=x(u,v)e1+y(u,v)e2+z(u,v)e3
(2)例5求空間中球心在原點,半徑為r的球面的參數(shù)方程。
M
rxyzPQθ解:設(shè)M(x,y,z)是球面上任一點,M在xOy坐標面上的射影為P,而P在x軸上的射影為Q,又設(shè)在坐標面上的有向角(i,OP)=,與Oz軸的交角MOZ=θ,則r=OM=OQ+QP+PM且PM=(rcosθ)k所以r=(rsinθcos)i
+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)此即為中心在原點,半徑為r的球面的向量式參數(shù)方程。QP=(|OP|sin)j=(rsinθsin)jOQ=(|OP|cos)i=(rsinθcos)i球心在原點,半徑為r的球面的坐標式參數(shù)方程為(4),(5)中的θ,為參數(shù),其取值范圍分別是0θ與-<。r=(rsinθcos)i
+(rsinθsin)j+(rcosθ)k(4)
M
rxyzPQθ
M
ρxyzPQθ
M
rxyzPQθ0θ與-<。xyzxyzORxyzOO例7求以z軸為對稱軸,半徑為R的圓柱面的參數(shù)方程。解:如圖,有PxyzooMQrr=OM=OQ+QP+PM而OQ=(Rcos)i,QP(Rsin)j,PM=uk所以r=(Rcos)i+(Rsin)j
+uk(6)此即為圓柱面的向量式參數(shù)方程。其坐標式參數(shù)方程為(6),(7)式中的,u為參數(shù),其取值范圍是-<,-<u<+xyzxyzxyz柱面坐標系的三組坐標面OOO空間曲線的一般方程曲線上的點都滿足方程,不在曲線上的點不能同時滿足兩個方程.設(shè)空間曲線C為空間兩曲面的交線,則空間曲線C特點:2.1空間曲線的一般方程第二章軌跡與方程(空間曲線)的一般方程為
例1方程
表示什么樣的曲線?
例1方程表示什么樣的曲線?解交線如圖:消去變量z后得:稱為曲線C關(guān)于xOy的投影柱面.設(shè)空間曲線C的一般方程:三、空間曲線在坐標面上的投影稱為曲線C在xOy面上的投影曲線.投影柱面與xOy面的交線:如圖:投影曲線的研究過程.空間曲線投影曲線投影柱面類似地:可定義空間曲線在其他坐標面上的投影.面上的投影曲線:面上的投影曲線:空間曲線在面上的投影曲線例4
求曲線在坐標面上的投影.解(1)消去變量z后得在xOy面上的投影為所以在xOz面上的投影為線段.(3)同理在yOz面上的投影也為線段.(2
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