第四章氣體動(dòng)理論

熱學(xué)又分為宏觀理論與微觀理論。熱學(xué)的宏觀理論叫做熱力學(xué)，熱力學(xué)采用宏觀描述，以實(shí)驗(yàn)總結(jié)出來(lái)的熱力學(xué)基本定律為基礎(chǔ)，通過(guò)邏輯推理來(lái)研究宏觀物體熱現(xiàn)象的規(guī)律，具有普遍性和可靠性。熱學(xué)的微觀理論叫統(tǒng)計(jì)物理學(xué)，它從物質(zhì)的微觀結(jié)構(gòu)出發(fā)，依據(jù)每個(gè)粒子遵循的力學(xué)規(guī)律，用統(tǒng)計(jì)的方法探求系統(tǒng)的宏觀熱學(xué)規(guī)律。對(duì)宏觀熱現(xiàn)象和熱力學(xué)規(guī)律作出微觀解釋?zhuān)沂玖藷岈F(xiàn)象和熱力學(xué)規(guī)律的本質(zhì)。第四章氣體動(dòng)理論內(nèi)容物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)分子力分子勢(shì)能曲線平衡態(tài)理想氣體狀態(tài)方程氣體動(dòng)理論的壓強(qiáng)公式理想氣體的溫度公式

麥克斯韋速率分布律理想氣體的內(nèi)能分子的平均碰撞次數(shù)及平均自由程講課學(xué)時(shí)8

學(xué)時(shí)氣體的內(nèi)遷移現(xiàn)象

要求1.

理解壓強(qiáng)公式、溫度公式、能量均分原理和麥克斯韋速率分布律；2.

掌握理想氣體的內(nèi)能及內(nèi)能變化的計(jì)算；3.

了解分子碰撞的統(tǒng)計(jì)分布,了解氣體中的輸運(yùn)過(guò)程

。作業(yè)

:習(xí)題

4－5，4－7，4－9，4－15

。氣體動(dòng)理論

(kineticsofgasmolecules)的三個(gè)基本概念：1.

宏觀物體是由大量分子(或原子)所組成；2.

分子作永不停息的無(wú)規(guī)則的熱運(yùn)動(dòng)；3.

分子間有相互作用力。分子間有吸引力分子間有排斥力分子間的吸引力和排斥力稱(chēng)為分子力(molecularforce)

§4-1物質(zhì)的分子結(jié)構(gòu)分子力分子勢(shì)能曲線分子力曲線

r=

r0

時(shí)，分子力為零，r0

約為10-10m。r＞r0

，分子力表現(xiàn)為引力r

＜r0，分子力表現(xiàn)為斥力分子間的吸引力和排斥力稱(chēng)為分子力r0rOF斥力引力分子力

d

稱(chēng)為分子有效直徑

(effectivediameter)

分子勢(shì)能曲線實(shí)驗(yàn)表明:

d

的數(shù)量級(jí)為10-10mOrr0EpEkEkEpd一狀態(tài)量

(quantityofstate)用表示物體有關(guān)特性的物理量作為描述狀態(tài)的參量，稱(chēng)為狀態(tài)量用

V、

p

和

T

來(lái)表征氣體系統(tǒng)的參量1.體積

(volume)V氣體的體積是氣體分子所能達(dá)到的空間單位：立方米符號(hào)“m3

”宏觀量(macroscopicquantity

)

表征系統(tǒng)狀態(tài)和屬性的物理量微觀量(microscopicquantity

)

描述一個(gè)微觀粒子運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量

§4-2平衡態(tài)理想氣體狀態(tài)方程2.壓強(qiáng)

(pressure)p氣體的壓強(qiáng)是氣體作用在容器器壁單位面積上的正壓力單位：帕斯卡符號(hào)

“Pa”3.溫度

(temperature)T在宏觀上，溫度表示物體的冷熱程度，并規(guī)定較熱的物體有較高的溫度。溫度的高低反映物質(zhì)內(nèi)部分子運(yùn)動(dòng)劇烈程度的不同單位：熱力學(xué)溫標(biāo)

T

開(kāi)爾文符號(hào)“K”攝氏溫標(biāo)t

攝氏度符號(hào)“℃”二平衡態(tài)

(equilibriumstate)(狀態(tài)

)平衡態(tài)

:

是指在不受外界影響的條件下，一個(gè)系統(tǒng)的宏觀性質(zhì)不隨時(shí)間改變的狀態(tài)氣體處于平衡狀態(tài)的標(biāo)志就是狀態(tài)參量

(p、V、T

)各具有一定的量值氣體的平衡狀態(tài)應(yīng)稱(chēng)之為

熱動(dòng)平衡狀態(tài)準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程

(quasi-staticprocess)氣體從一狀態(tài)不斷地變化到另一狀態(tài)，其間所經(jīng)過(guò)的過(guò)渡方式稱(chēng)為狀態(tài)變化的過(guò)程。如果過(guò)程所經(jīng)歷的所有中間狀態(tài)都無(wú)限接近平衡態(tài)，這個(gè)過(guò)程就稱(chēng)為

準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程

，也稱(chēng)

平衡過(guò)程

理想氣體狀態(tài)方程

(equitionofstateofideal

gas)

克拉珀龍?zhí)岢觯簩?duì)于一定質(zhì)量氣體門(mén)捷列夫提出：對(duì)于

1mol

的一切氣體，恒量取相同的數(shù)據(jù)=B=RpV0

=RT摩爾氣體常量(molargasconstant)摩爾體積(molarvolume)

說(shuō)明：理想氣體是一種理想化的模型理想氣體狀態(tài)方程對(duì)于任意質(zhì)量

m

的氣體，有物質(zhì)的量(amountofsubstance)摩爾質(zhì)量(molarmass)理想氣體等溫線

(isotherm)是一條等軸雙曲線

p–V

圖上一個(gè)點(diǎn)表示平衡狀態(tài)pVOpVO一條曲線表示氣體的準(zhǔn)靜態(tài)過(guò)程T3

>

T2

>

T1理想氣體分子模型(microscopicmodelofidealgas)

（1）氣體分子可看作為大小可以不計(jì)的小球，它們的運(yùn)動(dòng)遵守牛頓運(yùn)動(dòng)定律；

氣體看作是自由地、無(wú)規(guī)則地

運(yùn)動(dòng)著的彈性球分子的集合理想氣體壓強(qiáng)公式

（2）每個(gè)分子可看作完全彈性小球，它們相撞或者與器壁相撞時(shí)，遵守能量守恒和動(dòng)量守恒；

（3）除碰撞的瞬間外，分子間的相互作用也略去不計(jì)。

§4-3理想氣體的壓強(qiáng)公式壓強(qiáng)是氣體對(duì)器壁作用的壓力，是大量氣體分子對(duì)器壁不斷碰撞的綜合結(jié)果

統(tǒng)計(jì)假設(shè)：分子數(shù)密度

p是宏觀量是微觀量是一個(gè)統(tǒng)計(jì)平均量

p

具有統(tǒng)計(jì)平均的意義(averagetranslationalkineticenergy)分子平均平動(dòng)動(dòng)能阿伏伽德羅常量(Avogadroconstant)

§4-4理想氣體的溫度公式

p=nkBT

和比較(Boltzmannconstant)或玻耳茲曼常量

T

是宏觀量是微觀量理想氣體的熱力學(xué)溫度是氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的量度溫度是大量氣體分子熱運(yùn)動(dòng)的集中表現(xiàn)，具有統(tǒng)計(jì)的意義，對(duì)于個(gè)別分子，說(shuō)它有溫度是沒(méi)有意義的。個(gè)別分子無(wú)壓強(qiáng)、溫度而言！兩種氣體有相同的溫度，T1=T2

分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等，如果

T1

＞

T2，那熱力學(xué)溫度零度是永遠(yuǎn)不可能達(dá)到的注意：討論：一自由度數(shù)自由度數(shù)：質(zhì)點(diǎn)剛體(degreeoffreedom)決定物體在空間的位置所需要的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。自由質(zhì)點(diǎn)有三個(gè)自由度自由剛體有六個(gè)自由度

§4-5理想氣體的內(nèi)能單原子3

個(gè)平動(dòng)自由度雙原子

(剛性

)3

個(gè)平動(dòng)自由度2

個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度(3)

(5)

氣體氣體三原子及以上3

個(gè)平動(dòng)自由度3

個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)自由度二能量均分定理

(equipartitiontheoremofenergy)(6)

結(jié)果表明:分子的平均平動(dòng)動(dòng)能

(3／2)kBT

是均勻地分配在

每一個(gè)平動(dòng)自由度上的上面的結(jié)論可以推廣到氣體分子的轉(zhuǎn)動(dòng)和振動(dòng)自由度，每一個(gè)可能自由度的平均動(dòng)能應(yīng)相等均為

(1／2)kBT

，這一能量分配所遵循的原理，稱(chēng)為

能量按自由度均分原理t:

平動(dòng)自由度，

r:轉(zhuǎn)動(dòng)自由度，s:

振動(dòng)自由度分子的平均總動(dòng)能為平均總能量

i=

t+r+2s

，分子的平均總能量(t+r+s)kB

T(t+r+2s)kB

T三理想氣體的內(nèi)能分子與分子間具有一定的勢(shì)能。氣體的總能量就是平均總能量和勢(shì)能之和，稱(chēng)為氣體的

內(nèi)能

理想氣體，忽略分子間的分子力，理想氣體的內(nèi)能就是分子各種運(yùn)動(dòng)能量的總和

1

mol

理想氣體的內(nèi)能(internalenergyofidealgas)理想氣體的內(nèi)能只是溫度的單值函數(shù)理想氣體的內(nèi)能變化：

T

改變

dT

，U改變

dU

T1→

T2

理想氣體的內(nèi)能的變化只與狀態(tài)有關(guān)，與過(guò)程無(wú)關(guān)，內(nèi)能是狀態(tài)量例1

質(zhì)量為

50.0g、溫度為

18.0℃的氦氣裝在容積為

10.0升的封閉容器內(nèi)，容器以

v

=

200m·s-1

的速率作勻速直線運(yùn)動(dòng)。若容器突然停止，定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能全部轉(zhuǎn)化為分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。試問(wèn)平衡后氦氣的溫度和壓強(qiáng)各增大多少？

解：

分析：本題是關(guān)于溫度公式與壓強(qiáng)公式的應(yīng)用。氣體分子定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能氣體分子增大的總平均動(dòng)能另解:定向運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能轉(zhuǎn)化為氣體的內(nèi)能的增量另解:

由理想氣體狀態(tài)方程求增大的壓強(qiáng)例2

求混合氣體的壓強(qiáng)。

解：設(shè)混合氣體的壓強(qiáng)為

p，各氣體的壓強(qiáng)分別為

p1、p2、p3、······平衡態(tài)下，各氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能相等混合氣體的分子數(shù)密度為混合氣體的壓強(qiáng)等于組成混合氣體的各個(gè)成分的分壓強(qiáng)之和，這就是

道耳頓分壓定律

(Daltonlawofpartialpressure)討論：下列說(shuō)法是否正確？（1）kBT／2代表溫度為

T

的平衡狀態(tài)下，分子在一個(gè)自由度上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能。（2）5RT／2代表溫度為

T

的平衡狀態(tài)下，一摩爾雙原子氣體分子的內(nèi)能。（3）N個(gè)理想氣體分子組成的分子束，都以解：

分析：熱運(yùn)動(dòng)統(tǒng)計(jì)概念理解。（1）錯(cuò)，必須說(shuō)

平均動(dòng)能。（2）錯(cuò)，內(nèi)能是宏觀量，不能說(shuō)氣體分子的內(nèi)能，說(shuō)

氣體的內(nèi)能。（3）錯(cuò)，因?yàn)閴簭?qiáng)公式是對(duì)分子熱運(yùn)動(dòng)才適用的，不適用于分子束的定向運(yùn)動(dòng)。

無(wú)論分子數(shù)

N大或小，都不能使用理想氣體壓強(qiáng)公式。當(dāng)分子數(shù)

N

小時(shí)，不能使用理想氣體壓強(qiáng)公式，當(dāng)

N

很大就可以使用它。垂直于器壁的速度

v

與器壁作彈性碰撞。一麥克斯韋速率分布律

(Maxwellspeeddistributionlaw)v1～v1+dv

之間有多少個(gè)分子

v2～v2+dv

之間有多少個(gè)分子

······等等1.分子比率在

v

～v

+dv

間的分子數(shù)為

dN

∝dv

，

與

v

也有關(guān)

dN

∝

dv

，dN／N速率分布

§4-6麥克斯韋速率分布律或

v

～

v+dv

間的分子在分子總數(shù)中所占得比率單位速率間隔中的比率速率分布函數(shù)(speeddistributionfunction)在速率

v

附近，單位速率間隔內(nèi)的分子在分子總數(shù)中所占比率分子比率

v

～

v+dv

間隔內(nèi)的分子數(shù)dN

=Nf

(v

)dv

v1～v2

間的分子比率

△N／Nv1～v2

間的分子數(shù)全體分子總是分布在

0～∞

速率間歸一化條件(normalizingcondition)

2.麥克斯韋速率分布律麥克斯韋應(yīng)用概率的概念導(dǎo)出:v

～

v

+dv

間的分子數(shù)

dN

在總分子數(shù)

N中所占比率

(Maxwellspeeddiatributionfunction)麥克斯韋速率分布函數(shù)麥克斯韋速率分布曲線

(Maxwellspeeddiatributionfunction)曲線下小窄條的面積就是分子比率曲線下的面積等于

1麥克斯韋速率分布函數(shù)有時(shí)也稱(chēng)為概率函數(shù)

f

(v

)dv

討論：曲線下的總面積恒等于

1

，T

較高的曲線變得較平坦二分子的三種速率1.最概然速率

(mostproballespeed)vp速率分布函數(shù)

f(v

)取極大值的速率物理意義：如果把整個(gè)速率范圍分成許多相等的小區(qū)間，則分布在

vp

所在的區(qū)間內(nèi)的分子比率最大指在

vp

附近單位速率區(qū)間內(nèi)分子出現(xiàn)的概率最大

2.平均速率

(meanspeed)大量分子的速率的算術(shù)平均值dN

個(gè)分子的速率和v

dN

=

vNf(v)dv所有分子的速率和速率算術(shù)平均值平均速率定義式

算術(shù)平均速率是研究大量分子運(yùn)動(dòng)的平均效應(yīng)，不考慮矢量性。反映了一定溫度下粒子平均移動(dòng)的快慢程度物理意義：3.方均根速率

(root－mena－squarespeed)速率平方的平均值再開(kāi)方速率平方和平均值速率平方平均值定義式物理意義：方均根速率反映了氣體分子平均平動(dòng)動(dòng)能的大小

例3

有

N

個(gè)質(zhì)量均為

m

的同種氣體分子，它們的速率分布如圖所示。（1）說(shuō)明曲線與橫坐標(biāo)所包圍的面積的含義；（2）由

N

和

v0

求a

值。

解：(1)先看曲線下小窄條面積N

f(v)d

vd

N

是

v

～v+dv

間的分子數(shù)曲線下的面積為=dN

vNf(v)aOv02v0dv=

N

曲線下的面積表示系統(tǒng)分子總數(shù)N

(2)∴重力場(chǎng)中粒子的分布mg(p+dp)△sp△szOzz+dz大氣薄層的質(zhì)量m=nm0△Sdzdp=-

nm0gdz

=-

pm0gdz/kBT△sp=

nkBTm=ρ△Sdzρ

=m

/V=Nm0

/Vp△S

=

(p+dp)△S

+

mg

dp

=-

pm0gdz/kBT恒溫氣壓公式一種高度計(jì)的原理

分子數(shù)密度隨著高度的增加而減小z=0

處單位體積內(nèi)的分子數(shù)重力勢(shì)能p=

nkBT玻耳茲曼分布律

(

Boltzmanndistributionlaw)狀態(tài)區(qū)間

dx

dy

dz

dvx

dvy

dvz

內(nèi)的分子數(shù)εp=0

處單位體積內(nèi)的分子數(shù)分子在重力場(chǎng)中的勢(shì)能玻耳茲曼能量分布律

分子處于能量較低狀態(tài)的概率要大位置區(qū)間

dx

dy

dz

內(nèi)的分子數(shù)體積元

dxdydz

中的分子數(shù)密度

玻耳茲曼分布律適用于任何物質(zhì)分子在任何保守力場(chǎng)中的分布，它是一條普遍的統(tǒng)計(jì)規(guī)律。氣體的壓力隨高度變化p=nkBT=z=0

處單位體積內(nèi)的分子數(shù)恒溫氣壓公式玻耳茲曼密度分布律在珠穆朗瑪峰峰頂，h=8848m，大氣壓強(qiáng)應(yīng)為0.33×1.013×105

Pa。實(shí)際上由于珠穆朗瑪峰峰頂溫度很低，該處大氣壓強(qiáng)要比這一計(jì)算值小。在高度不超過(guò)

2km

時(shí)才能給出比較符合實(shí)際的結(jié)果。實(shí)際上，大氣的狀況很復(fù)雜，其中的水蒸氣含量、太陽(yáng)輻射強(qiáng)度、氣流的走向等等因素都有較大的影響，大氣溫度也并不隨高度一直降低。在

10km

高空，溫度約為－50℃。再往高處去，溫度反而隨高度升高了?；鸺腿嗽煨l(wèi)星的探測(cè)發(fā)現(xiàn)，在400km

以上，溫度甚至可達(dá)

103K或更高?？諝獾拿芏入S高度的增加而減小，如高山缺氧應(yīng)用:低氧保鮮和低氧治病低氧技術(shù)可以用來(lái)保鮮水果

(如蘋(píng)果和梨

)低氧技術(shù)還可以用來(lái)治療某些疾病由可測(cè)高度一種高度計(jì)的原理地球周?chē)拇髿猓貏e是其下層，有很強(qiáng)的對(duì)流，實(shí)際對(duì)流上升緩慢，干燥空氣導(dǎo)熱性能很差，干燥大氣中沿垂直高度方向發(fā)生的過(guò)程，可以用準(zhǔn)靜態(tài)絕熱模型描述。干燥大氣的垂直溫度梯度高度

h

與壓強(qiáng)

p

的關(guān)系為

即每升高

100m，溫度降低

1K平均自由程自由路程的平均值稱(chēng)為平均自由程

(meanfreepath)

§4-7分子的平均碰撞次數(shù)及平均自由程碰撞頻率

(collisionfrequency)每個(gè)分子平均在單位時(shí)間內(nèi)與其它分子相碰的次數(shù)稱(chēng)為

碰撞頻率與的關(guān)系時(shí)間

t內(nèi)分子所通過(guò)的路程:分子的碰撞次數(shù):和的大小設(shè)想“跟蹤”一個(gè)分子，數(shù)一數(shù)這個(gè)分子在一段時(shí)間

t內(nèi)與多少個(gè)分子相碰設(shè)分子以平均相對(duì)速率運(yùn)動(dòng)，其它分子可認(rèn)為都禁止不動(dòng)。d：σ=πd2：(collisioncross-section)分子有效直徑碰撞截面

相應(yīng)的圓柱體的體積碰撞頻率圓柱體內(nèi)的總分子數(shù)與其它分子的碰撞次數(shù)分子走過(guò)的路程平均自由程

p=nkBT

，n=p／kBT

單位體積的分子數(shù)不變，平均自由程就不變

氣體的輸運(yùn)過(guò)程

(transportprocess)有三種

內(nèi)摩擦現(xiàn)象熱傳導(dǎo)現(xiàn)象擴(kuò)散現(xiàn)象

§4-8氣體的內(nèi)遷移現(xiàn)象一內(nèi)摩擦

(internalfriction)

現(xiàn)象(粘滯現(xiàn)象)氣體分層流動(dòng)時(shí)，層間有內(nèi)摩擦力存在“+”，

F

與

v

同向，作用于較慢的氣層上，使該氣層加速“－”，

F與

v

反向，作用于較快的氣層上，使該氣層減速粘滯系數(shù)速度梯度

用氣體動(dòng)理論可以證明粘滯系數(shù)為遵從統(tǒng)計(jì)規(guī)律，單位：Pa·sT↑，↑二熱傳導(dǎo)

(heatconduction)

現(xiàn)象如果氣體內(nèi)各部分的溫度不同，將有熱量從溫度較高處向溫度較低處傳遞，這一現(xiàn)象稱(chēng)為熱傳導(dǎo)現(xiàn)象

此式稱(chēng)為

傅里葉定律

(Fourierlaw)導(dǎo)熱系數(shù)溫度梯度單位時(shí)間傳遞的熱量

用氣體動(dòng)理論可以證明導(dǎo)熱系數(shù)為導(dǎo)熱系數(shù)也叫熱導(dǎo)率

(thermalconductivity)此式既適用于氣體，也適用于液體和固體單位:

“

W·