變量平穩(wěn)性檢驗 計量經(jīng)濟學(xué) EVIEWS建模課件

變量平穩(wěn)性檢驗變量的平穩(wěn)性決定了各期數(shù)據(jù)分布的一致性，所以在平穩(wěn)時序中可以廣泛的使用大數(shù)定律和中心極限定理。但是在非平穩(wěn)時序中，由于各時期的分布是不同的，使得傳統(tǒng)的估計、檢驗等方法不再有效了。為此需要我們判斷時序的平穩(wěn)性問題并做如下研究：一、非平穩(wěn)統(tǒng)計量的分布模擬二、非平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征三、時序非平穩(wěn)性檢驗四、單位根檢驗的程序操作一、對非平穩(wěn)序列統(tǒng)計量分布的試驗觀察㈠純隨機過程的分布實例設(shè)：ut

、vt

IN(0,1)；ut

、vt

I(0)。用隨機函數(shù)每次分別生成T=150的相互獨立的{ut}和{vt}，并計算相關(guān)系數(shù)ruv。重復(fù)該實驗1萬次，從而得到ruv的分布。見下圖所示：

設(shè)：Xt=Xt-1+ut；

Yt=Yt-1+vt；X0=Y0=0；ut

、vt

IN(0,1)；ut

、vt

I(0)；則Xt

、Yt

I(1)。利用{ut}和{vt}，每次生成T=150的隨機游走過程{Xt}和{Yt}，并計算rXY。重復(fù)該實驗1萬次，得到rXY的分布并非正態(tài)：

㈡一階單整過程的分布實例續(xù)前例并設(shè)：pt=pt-1+Xt,p0=0,pt

I(2)；qt=qt-1+Yt,

q0=0,

qt

I(2)。利用{Xt}和{Yt}，每次生成T=150的二階單整過程{pt}和{qt}，并計算rpq。重復(fù)該實驗一萬次，從而得到rpq的分布圖如下：㈢二階單整過程的分布實例通過上述三個圖的觀察，可知在變量非平穩(wěn)時，r已不服從正態(tài)分布。而r的實際分布是服從倒U或U字型分布，這將在Ho:r=0的假設(shè)檢驗時，增加了拒絕的概率。即不相關(guān)的變量認(rèn)為是相關(guān)的。比較三種試驗與t分布有：⑴三條試驗分布曲線疊加示意圖⑵t(98)分布和虛假回歸條件下的t分布圖㈣非平穩(wěn)產(chǎn)生的問題二、非平穩(wěn)過程的統(tǒng)計特征㈠單整過程的統(tǒng)計特征利用AR(1)過程比較平穩(wěn)與非平穩(wěn)時序的特點：⒈隨機游走過程的特點隨機游走過程：Xt=Xt-1+ut其中：X0=0，ut

IN(0，u2)。特點有：⑴具有永久記憶性。即：Xt=Xt-2+ut-1+ut=…=∑1→tui⑵條件期望值Et(Xt＋s)＝Xt＋E(∑1→sut＋i)＝Xt；⑶隨T的增加，方差變?yōu)闊o窮大。即：Var(Xt)=∑1→tVar(ui)=tu2；且與時間有關(guān)：∵Var(Xt-s)＝Var(u1+u2+…+ut-s)＝(t-s)σu2；即：Var(Xt)≠Var(Xt-s)，∴X非平穩(wěn)。⑷自相關(guān)函數(shù)ACF隨時間的延長而趨于1。求XT

和XT-k的自相關(guān)系數(shù)ACFk有：Cov(XT,XT-k)=E(XTXT-k)=E(∑1→Tui∑1→T-kui)=E(∑1→T-kui2)=(T-k)u2ACFk====可見當(dāng)T→∞和k=0時，ACF→1。⒉平穩(wěn)的AR⑴過程的特點對于AR(1)過程Yt=ρYt-1+vt；vt

IN(0,v2),ρ<1，Y0=0。有如下特點：⑴只有有限記憶性。即：Yt=vt+ρvt-1+ρ2vt-2=…=∑0→t-1ρjvt-i⑵方差為有限值。即：Var(Yt)=E(∑0→t-1ρjvt-i)2=v2/(1-ρ2)⑶ACF隨時間的延長而趨于零。因為AR(1)過程的自相關(guān)函數(shù)公式是ACFk=ρk，且平穩(wěn)的AR⑴中，ρ＜1，所以有隨著k的增加ρk→0。隨機游走過程平穩(wěn)的一階自回歸過程方差tu2(無限的)u2/(1-ρ12)(有限的)自相關(guān)系數(shù)ACk=

1,

k,T

ACk=ρ1k穿越零均值點的期望時間無限的有限的記憶性永久的暫時的通過上述對比分析，非平穩(wěn)的單整隨機游走過程與平穩(wěn)的一階自回歸過程有明顯的差異?，F(xiàn)總結(jié)如下表所示：隨機游走過程和平穩(wěn)的一階自回歸過程統(tǒng)計特征比較㈡維納過程與單整過程的關(guān)系⒈標(biāo)準(zhǔn)維納過程的定義標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程一般用W(i)表示，可看作是在[0,1]區(qū)間內(nèi)連續(xù)的隨機游走過程，需滿足以下條件：

⑴對于每個i0，有E[W(i)]=0。

⑵對于每個i0，W(i)都是正態(tài)分布的并且是非退化的。即：W(t)－W(s)～N(0，t-s)

⑶W(i)具有獨立的增量。

⑷P{V(0)=0}=1。⑸i

0，i[0,1]。由標(biāo)準(zhǔn)維納過程可以定義一般的維納過程，即常稱為布朗運動(Brownianmotion)過程。令：B(t)=σW(t)其中σ＞0；B(t)稱為方差為σ2的維納過程。這樣對于任意的0≤s＜t≤1，有：B(t)－B(s)～N[0，σ2(t－s)]特別地，若令s＝0，t＝1，就有：B(1)～N(0,σ2)維納過程B(t)和標(biāo)準(zhǔn)納過程W(t)是對正態(tài)分布和標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的推廣，它們具有連續(xù)函數(shù)和正態(tài)分布的良好性質(zhì)，許多有關(guān)單位根過程的極限分布可以表示成維納過程的泛函。⒉一般維納過程⒊隨機游走向維納過程的轉(zhuǎn)化隨機游走是一個非平穩(wěn)隨機過程，它可由平穩(wěn)的純隨機過程{ut}IN(0,1)來構(gòu)造，其易變換為一個Wiener過程：定義：XT=∑ut,

X0=0,ut

IN(0,1)；由此可知：XT=XT-1+uT是一個隨機游走過程，其轉(zhuǎn)換為Wiener過程的條件如下：⑴期望值滿足維納過程的條件⑴，即該過程的E(XT)=E(∑ut)=0；⑵分布為正態(tài)滿足維納過程的條件⑵，當(dāng)i=j時，E(uiuj)=1,當(dāng)ij時,E(uiuj)=0，所以該過程的方差為：Var(XT)=E(XT

2)=E[()2]==T⑶因XT是一個I(1)過程，即在Xt–Xt-1=ut中，由ut的隨機性決定該過程就是一個獨立的增量過程，這又滿足條件維納過程的條件⑶。⑷據(jù)定義X0=0是確定的，有P{X0=0}=1。這就滿足維納過程的條件⑷。⑸只要將其時間區(qū)間[0,T]映射到固定區(qū)間[0,1]上,即把區(qū)間[0,1]分成T個小區(qū)間，分點為0,1/T,2/T,…1。滿足Wiener過程的條件⑸?？梢婋S機游走過程Vt很容易轉(zhuǎn)化為了維納過程W(i)。經(jīng)標(biāo)準(zhǔn)化后的可定義為：VT(i)=,i[0,1]其中[Ti]表示Ti的整數(shù)部分。比如T=1000,i=0.0204,則[Ti]=[20.4]=20。VT(i)在以i為起點的區(qū)間內(nèi)是一個常數(shù)，VT(i)是在泛函空間D[0,1]內(nèi)定義的一個右連續(xù)的隨機變量。隨著T的增大,VT(i)在區(qū)間[0,1]內(nèi)越來越密集。因為[0,1]是固定的,所以VT(i)變化的頻度加大。當(dāng)T→∞時，有：W(i),i[0,1]其中

表示依概率弱收斂于。因定義ut

IN(0,1)，W(i)表示泛函空間D[0,1]中的標(biāo)準(zhǔn)維納過程,而W(i)稱作方差為

2的維納過程。㈢泛函中心極限定理簡介設(shè)Xt是一列獨立同分布的隨機變量，對于所有t＝1,2,…，有E(X)=0，σ2＜∞；i為閉區(qū)間［0,1］的任意實數(shù)。給定樣本X1,X2,…,XT，取前[Ti]部分樣本做統(tǒng)計量：XT(r)＝T-1那么，當(dāng)T→∞時，有：T1/2XT(r)＝T-1/2σW(i)＝B(i)這就是多斯科(Donsker)定理，即泛函中心極限定理。根據(jù)連續(xù)映射定理，若f(·)是泛函空間D[0,1]中的一連續(xù)函數(shù)，則當(dāng)T→∞時,f(VT(i))f(W(i))。一般漸進理論與適用于非平穩(wěn)過程的上述漸進理論的區(qū)別是對于前者樣本矩收斂于一個常數(shù)，而對于后者標(biāo)準(zhǔn)化的樣本矩收斂于一個隨機變量。在推導(dǎo)非平穩(wěn)隨機過程的樣本統(tǒng)計量的極限分布過程中，泛函中心極限定理代替了傳統(tǒng)的中心極限定理。林德貝格-勒維中心極限定理是泛函中心定理的一個特例。即令i=1有：T1/2XT(1)＝T-1/2σW(1)~N(0,σ2)三、時序變量的非平穩(wěn)性檢驗ARMA過程是平穩(wěn)的理論，而現(xiàn)實的時序多為非平穩(wěn)，所以我們要對其進行平穩(wěn)性的檢驗，以達到如下目的:首先，它是單一時序ARMA判斷的依據(jù)。非平穩(wěn)時序肯定包含單積成份，即系統(tǒng)中的每一個單位根都要求進行一次差分才能平穩(wěn)；第二，因數(shù)據(jù)的平穩(wěn)性是回歸分析的基本假設(shè)，所以在現(xiàn)實的回歸模型中應(yīng)避免直接使用非平穩(wěn)變量，協(xié)整分析中的單位根檢驗就是為此所進行的。㈠DF分布DF分布是統(tǒng)計學(xué)家迪克(Dicky)和富勒(Fully)在1979年《美國統(tǒng)計學(xué)會月刊》第74卷中的“具有單位根的自相關(guān)時間序列估計量分布”一文中提出的。文中論證了單位根過程的T統(tǒng)計量不再具有t分布特征，并建議以服從DF分布的τ(讀tau)統(tǒng)計量來替代T檢驗中的t統(tǒng)計量。用于檢驗序列是否含有單位根以及單整的階數(shù)。其檢驗的基本形式是AR⑴過程，具體分析如下：⒈

AR⑴過程估計量的分布在AR⑴過程中，回歸系數(shù)也是自相關(guān)系數(shù)，其OLS估計量：因已知Y0=0，所以：即有：

……(A式)b估計的一致性在(A式)的子項和母項的各項中都分別除以T，則可以證明分母服從Wiener過程的函數(shù)為：

子項也服從Wiener過程的函數(shù)，即：(W(1)2–1)則(A式)為一致性的估計量的證明為：PlimT(b-1)=Fuller(1976)用蒙特卡羅模擬方法得到T(b-1)和DF統(tǒng)計量的百分位數(shù)表。當(dāng)=-1時DF的分布是=1時的DF分布的鏡像，所以了解=1條件下DF的分布即可。對于經(jīng)濟問題，很少出現(xiàn)=-1的情形。所以我們使用蒙特卡羅模擬方法，以=1為條件，取樣本容量T=200，模擬10000次得到的估計值b，T(b-1)和DF的分布情況，如下圖所示：DF的蒙特卡羅試驗如圖所示，b、T(b-1)的分布都不是正態(tài)的，其峰值較零都小于1.6倍左右；⒊DF統(tǒng)計量的分布特點T(b-1)是檢驗單位根的一個常用統(tǒng)計量，即DF統(tǒng)計量。有三個結(jié)論如下：⑴由上式知b在Yt

平穩(wěn)時，以速度T接近真值=1，所以稱之為=1的超一致估計量。⑵T(b-1)的極限是標(biāo)準(zhǔn)維納過程的函數(shù)。它不服從正態(tài)分布，也不服從t分布。W(1)2

2(1)，盡管上式分子的期望為零，但其分布是不對稱的。P{(W(1)2–1)<0}=P{W(1)2<1}=0.68這表明，盡管=1，對于給定的樣本，b的值將有0.68的概率小于1。⑶因為T(b-1)不服從t分布，所以假設(shè)檢驗時不能查t臨界值表。而應(yīng)該使用另一個統(tǒng)計量DF，DF統(tǒng)計量的表達式與通常意義的t統(tǒng)計量完全相同。由于此分布無法解析求解，一般都是用模擬計算進行研究。㈡AR(p)過程檢驗統(tǒng)計量的分布在AR(p)模型中，隨機誤差項非白噪聲條件下，檢驗統(tǒng)計量的分布特征如下：因為AR(p)過程Yt=ρ1Yt-1+ρ2Yt-2+…+ρpYt-p+ut,當(dāng)Yt中含有單位根時，可以通過如下模型研究=1條件下，檢驗用統(tǒng)計量DF的分布特征。Yt=Yt-1++ut其中：β＝∑i=1→pρ；j=1,2,…,p–1；i＝j(luò)+1,j+2,…p；ρj為自回歸系數(shù)。為什么可以通過上式進行研究呢？解釋如下：AR(p)過程可以用回歸算子表示為：

ρ(B)Yt=ut

若Yt

中含有一個單位根，上式可以表達為：ρ(B)’(1–B)Yt=ρ(B)Yt=ut

其中ρ(B)’表示從p階自回歸算子ρ(B)中分離出因子(1–B)后所得的p–1階自回歸算子?？梢妼τ赮t

，上式是一個p–1階的自回歸模型。下面以AR(4)過程為例，驗證上述關(guān)系。因為：Yt=ρ1Yt-1+ρ2Yt-2+ρ3Yt-3+ρ4Yt-4+ut在AR(4)式的右側(cè)同時加減若干相同項構(gòu)成差分，然后合并同類項，有：Yt＝ρ1Yt-1+ρ2Yt-1+ρ3Yt-1+ρ4Yt-1-ρ2Yt-1+ρ2Yt-2－ρ3Yt-1+ρ3Yt-2－ρ4Yt-1+ρ4Yt-2－ρ3Yt-2+ρ3Yt-3－ρ4Yt-2+ρ4Yt-3－ρ4Yt-3+ρ4Yt-4+ut

＝(ρ1+ρ2+ρ3+ρ4)Yt-1–(ρ2+ρ3+ρ4)

Yt-1(ρ3＋ρ4)Yt-2+ut＝βYt-1－＋ut經(jīng)實驗觀察，當(dāng)模型AR(p)中含有位移項

和趨勢項t時，對應(yīng)

的DF統(tǒng)計量的分布與AR⑴

中DF統(tǒng)計量的分布相同。㈢其它分布的DF統(tǒng)計量現(xiàn)在進一步放寬對Yt的限制，即考慮AR(1)過程中允許隨機項ut是一個ARMA(p,q)過程，甚至參數(shù)p,q的值也可未知。則可以根據(jù)平穩(wěn)模型的可逆性，將其劃為AR(p)過程，即用下式研究

和DF的分布：Yt=bYt-1+∑r△Yt-i＋vt若=1，上式是一個差分的AR(k)過程。加入Yt滯后項的目的是捕捉AR(1)中誤差項ut中的自相關(guān)(ut的自相關(guān)項對于AR⑴模型來說是移動平均項，所以Yt

滯后項的加入可以捕捉之。)。因為可逆的移動平均過程可以轉(zhuǎn)化為一個無限階的自回歸過程，所以對ut而言的移動平均項vt,t=1,…,q完全可以通過增加ut

的滯后項而吸收。進而被足夠的Yt-i項所吸收。從而使vt近似為一個白噪聲過程。Said-DickeY(1984)證明了上式中

的DF統(tǒng)計量的分布與(A式)中

的DF統(tǒng)計量的分布類似。當(dāng)上式中加入位移項和趨勢項t時，的DF分布分別與(A式)中的DF分布類似。Eviews所提供的單位根檢驗，是在序列的View中選擇UnitRootTest的操作。界面如下：四、單位根檢驗的系統(tǒng)操作滯后期最大值用戶自定義自動配置檢驗方法對如下數(shù)據(jù)進行單位根檢驗在檢驗方程中包括⑴檢驗方法的選擇缺省狀態(tài)是ADF檢驗，其他方法菜單如下：ADFDFPPKPSSERSNP(2)檢驗對象的選擇：當(dāng)前序列(Level)；還是其一次差分序列(1stdifference)；二次差分序列(2nddifference)；缺省狀態(tài)是當(dāng)前序列。(3)檢驗式中應(yīng)包括的附加項。有三種選擇，Intercept

(位移項)；TrendandIntercept

(趨勢項和位移項＝漂移項)None(無附加項)。缺省狀態(tài)是加位移項。(4)檢驗式中滯后期的選擇①自動配置原則和最大滯后期的選擇。如下圖：②用戶自己設(shè)置的，可直接定義滯后期。自動配置黙認(rèn)為斯瓦茨準(zhǔn)則赤池信息準(zhǔn)則斯瓦茨信息準(zhǔn)則寒楠-奎寧準(zhǔn)則修正的赤池準(zhǔn)則修正的斯瓦茨準(zhǔn)則修正的寒奎準(zhǔn)則㈠DF檢驗方法⒈檢驗方程的選擇該檢驗適合于AR⑴過程，對于時間序列Yt可用如下自回歸模型檢驗單位根。Yt=Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(A式)Yt=+Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(B式)Yt=+t+Yt-1+ut,Y0=0,ut

IN(0,

2)(C式)其中

稱作位移項(漂移項)，t稱為趨勢項。⒉DF檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)H0：=1，(即Yt存在單位根是非平穩(wěn)的)H1：<1，(Yt是平穩(wěn)的)

從被擇假設(shè)上看，DF檢驗是左單端檢驗。因為當(dāng)≥1時，是較強的非平穩(wěn)；而當(dāng)<1時，則意味著Yt是平穩(wěn)的。這樣，在檢驗中如果否定了原假設(shè)，即為接受<1；而在拒絕了=1的同時，也自然就應(yīng)該拒絕>1。⒊DF檢驗的統(tǒng)計量在零假設(shè)成立條件下，需要使用DF統(tǒng)計量進行單位根檢驗，它的計算方法與t統(tǒng)計量相同，即：其中：；因為在非平穩(wěn)時序中的T統(tǒng)計量不再符合t分布，所以檢驗時不能使用t分布表中的臨界值。⒋檢驗的臨界值及判斷標(biāo)準(zhǔn)查DF檢驗用表，以相應(yīng)百分位數(shù)作為臨界值，有:DF>臨界值，則接受H0，Yt

非平穩(wěn)DF<臨界值，則拒絕H0，Yt是平穩(wěn)的在DF檢驗用表有三類數(shù)據(jù)，a、b、c，分別對應(yīng)著三類方程式A、B、C。⒌DF檢驗的常用形式*在原三種形式模型的兩側(cè)同減Yt-1，得：Yt=(-1)Yt-1+ut

(A式)Yt=μ

+

(-1)Yt-1+ut

(B式)Yt=μ

+

αt

+

(-1)Yt-1+ut

(C式)令=-1，代入上述各式，則有用于單位根檢驗的零假設(shè)和備擇假設(shè)是：H0：=0，(Yt非平穩(wěn))H1：<0，(Yt平穩(wěn))這種變化并不影響DF統(tǒng)計量的值，所以檢驗規(guī)則仍然是:

若DF>臨界值，則Yt是非平穩(wěn)的；

若DF<臨界值，則Yt是平穩(wěn)的。如為了說明以上兩種單位根檢驗方法的DF值相同，我們用同一組數(shù)據(jù)Yt得到的兩個回歸結(jié)果如下(括號內(nèi)給出的是標(biāo)準(zhǔn)差)，YFt=0.1474Yt-1(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93YFt=-0.8526Yt-1+ut(0.1427)s.e.=0.87,DW=1.93在零假設(shè)是=1時，統(tǒng)計量的計算方法是：DF=(0.1474-1)÷0.1427=-5.97在零假設(shè)是=0時，統(tǒng)計量的計算方法是：DF=-0.8526÷0.1427＝－5.97兩種方法的結(jié)果相同。因為-5.97<-1.95(臨界值)，所以拒絕H0，認(rèn)為Yt

是平穩(wěn)的。EViews軟件的DF檢驗結(jié)果如下：①在兩種方式中Yt和Yt-1的下標(biāo)分別為t和t-1，計算時不要用錯?、谠趯嶋H檢驗中，若H0不能被拒絕，說明Yt是非平穩(wěn)序列(起碼為一階非平穩(wěn)序列)。接下來應(yīng)該繼續(xù)檢驗Yt的平穩(wěn)性。即

2Yt=

Yt-1+ut直至結(jié)論為平穩(wěn)為止。從而獲知Yt為幾階單整序列。③當(dāng)模型AR(1)中含有位移項

和趨勢項t時，檢驗用臨界值應(yīng)分別從DF臨界值表的b,c部分查找。④AR⑴中的殘差序列不能存在自相關(guān)。否則說明Yt不是一個AR(1)過程，則不能使用DF檢驗。即以上方法只適用于AR(1)過程的單位根檢驗。DF檢驗的注意事項由于DF檢驗時對序列Yt是否包含有位移項

和趨勢項t是未知的；所以Perron(1988)提出了一個檢驗策略，程序如下：第一步，針對C式，使用DF統(tǒng)計量檢驗H0:ρ=0；如果拒絕原假設(shè)，即ρ≠0時過程是平穩(wěn)，檢驗結(jié)束；如果不能否定原假設(shè)，即ρ=0時過程是非平穩(wěn)的；而趨勢是否起作用的檢驗需要進行第二步檢驗。第二步，針對C式，檢驗H0:α=0；不能否定原假設(shè)時，說明趨勢項多余，需要進行第三步檢驗；如果否定原假設(shè)，即α≠0時，則需采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值表，檢驗H0:ρ=0。如果拒絕原假設(shè)，即ρ≠0時過程是平穩(wěn)；否則ρ=0說明過程是非平穩(wěn)，檢驗結(jié)束。⒍DF檢驗的策略第三步，針對B式，使用DF統(tǒng)計量檢驗H0:ρ=0；如果拒絕原假設(shè)，即ρ≠0時過程是平穩(wěn)，檢驗結(jié)束；如果不能否定原假設(shè)，即ρ=0時過程是非平穩(wěn)的；而常數(shù)項是否起作用的檢驗需要進入到第四步檢驗。第四步，針對B式，檢驗H0:μ=0；不能否定原假設(shè)時，說明漂移項多余，需要進行第五步檢驗；如果否定原假設(shè)，即μ≠0時，則需采用標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布臨界值表，檢驗H0:ρ=0。如果拒絕原假設(shè)，即ρ≠0時過程是平穩(wěn)；否則ρ=0說明過程是非平穩(wěn)，檢驗結(jié)束。第五步，針對A式，使用DF統(tǒng)計量檢驗H0:ρ=0；如果不能否定ρ=0，說明過程非平穩(wěn)；如果否定了原假設(shè)，即ρ≠0時過程是平穩(wěn)，檢驗結(jié)束。⒈ADF的檢驗式與假設(shè)形式當(dāng)時序的三種基本形式A、B、C式的滯后期不只一階存在時，應(yīng)采用如下AR(p)形式檢驗單位根：Yt=μ＋αt＋βYt-1+∑r△Yt-i+vt因為上式中增加了Y的滯后期和Y的差分的滯后等項，所以稱為增項(或增廣)的DF檢驗，簡記為ADF檢驗。該檢驗的原假設(shè)與DF檢驗相同，即Yt是非平穩(wěn)的或具有單位根的：H0：=0=β-1㈡ADF檢驗⒈ADF的檢驗式與假設(shè)形式⒉ADF檢驗的滯后階數(shù)的確定因為被檢驗序列的各類滯后階數(shù)，即ARIMA(p,d,q)中的p、d、q是未知的，所以要確定序列生成過程的階數(shù)，需注意如下兩點：⑴Said和Dickey(1984)證明了任一的ARIMA(p,1,q)過程，都可以用一個ARIMA(n,1,0)過程來近似。所以有限的自回歸階數(shù)，就可以讓移動平均的階數(shù)為0。⑵對于自回歸的階數(shù)p采用如下原則：第一，p要盡量小，以保持更大的自由度；第二，p還要充分大，以消除vt內(nèi)的自相關(guān)?？捎傻拖蚋咧鹌谠囁?，直至誤差項不存在自相關(guān)時為止。1981年迪克和富勒又提出了三個F統(tǒng)計量F1、F2、F3，用于檢驗在DF和ADF檢驗回歸式中是否要加入位移和趨勢項。即：Fi=[(SSRr-SSRu)/r]÷[SSRu/(T-k)]其中：SSRr是受約束的殘差平方和；SSRu是無約束的殘差平方和；r是約束條件個數(shù)；T為樣本容量；k為無約束模型中的待估計參數(shù)的個數(shù)。在各種約束成立的原假設(shè)下，以Fi>Fα(DF)來否定原假設(shè)；其中Fα(DF)為迪克和富勒計算出的臨界值。⒊檢驗方程的A、B、C形式判斷各種約束情況如下：F1是用來檢查含有位移項的回歸式：△Yt=μ+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其約束為：μ=0；β=1；即r=2。F2是用來檢查含有位移項、趨勢項的回歸式：△Yt=μ+αt+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其約束為：μ=0；α=0；β=1；即r=3。F3是用來檢查含有趨勢項的回歸式：△Yt=αt+βYt-1+∑r△Yt-I+vt其約束為