直線和拋物線的位置關(guān)系

關(guān)于直線和拋物線的位置關(guān)系第一頁，共六十四頁，2022年，8月28日一、直線和拋物線的位置關(guān)系方程組兩組解相交方程組沒有解相離方程組一組解相切若消元得到一次方程，直線和拋物線的對稱軸平行或重合,為相交關(guān)系.若消元得到二次方程,則思考：只有一個交點(diǎn)一定是相切嗎？xOy第二頁，共六十四頁，2022年，8月28日判斷直線與拋物線位置關(guān)系的操作程序把直線方程代入拋物線方程得到一元一次方程得到一元二次方程直線與拋物線的對稱軸平行或重合相交（一個交點(diǎn)）

計算判別式>0=0<0相交相切相離第三頁，共六十四頁，2022年，8月28日

例1求過定點(diǎn)P（0，1）且與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線的方程.由{

得{故直線x=0與拋物線只有一個交點(diǎn).解:(1)若直線斜率不存在,則過點(diǎn)P的直線方程是x=0.由方程組{

消去y得(2)若直線斜率存在,設(shè)為k,則過P點(diǎn)的直線方程是當(dāng)k=0時，x=,y=1.故直線y=1與拋物線只有一個交點(diǎn).y=kx+1,xyO當(dāng)k≠0時，若直線與拋物線只有一個公共點(diǎn)，則此時直線方程為綜上所述，所求直線方程是x=0或y=1或第四頁，共六十四頁，2022年，8月28日

練習(xí)：當(dāng)k為何值時,直線y=kx+1與拋物線(1)相交,(2)相切,(3)相離?解：由方程組{

消去y，并整理得當(dāng)K≠0時，該方程是一元二次方程,所以綜上所述，當(dāng)k<1時直線和拋物線相交且k=0時交于一點(diǎn);當(dāng)k=1時，直線和拋物線相切;當(dāng)k>1時直線和拋物線相離.當(dāng)k=0時，直線方程為y=1，與拋物線交于一點(diǎn)第五頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2：在拋物線上求一點(diǎn)，使它到直線2x-y-4=0的距離最小.

解：設(shè)P(x,y)為拋物線上任意一點(diǎn)，則P到直線2x-y-4=0的距離

此時y=1，所求點(diǎn)的坐標(biāo)為P(1,1).當(dāng)且僅當(dāng)x=1時，，第六頁，共六十四頁，2022年，8月28日

另解:觀察圖象可知,平移直線至與拋物線相切,則切點(diǎn)即為所求.聯(lián)立得

設(shè)切線方程為2x-y+C=0，由得C=-1又由（）得

x=1，∴y=1.故所求點(diǎn)的坐標(biāo)是（1，1）.點(diǎn)評：此處用到了數(shù)形結(jié)合的方法.2x-y-4=0xyOp第七頁，共六十四頁，2022年，8月28日1.過點(diǎn)(0,2)與拋物線只有一個公共點(diǎn)的直線有(

）（A）1條(B)2條(C)3條(D)無數(shù)多條C.P互動練習(xí)第八頁，共六十四頁，2022年，8月28日2.在拋物線y2=64x上求一點(diǎn)，使它到直線Ｌ：4x+3y+46=0的距離最短，并求此距離。分析：拋物線上到直線Ｌ距離最短的點(diǎn)，是和此直線平行的切線的切點(diǎn)。yxy2=64x4x+3y+46=0解：∵無實(shí)根∴直線與拋物線相離設(shè)與4x+3y+46=0平行且與y2=64x相切的直線方程為y=-4/3x+bL·P第九頁，共六十四頁，2022年，8月28日則由y=-4/3x+by2=64x消x化簡得y2+48y-48b=0△=482-4×(-48b)=0∴b=-12∴切線方程為：y=-4/3x-12

y=-4/3x-12y2=64x解方程組得x=9y=-24∴切點(diǎn)為P（9，-24）切點(diǎn)P到Ｌ的距離d=∴拋物線y2=64x到直線Ｌ：4x+3y+46=0有最短距離的點(diǎn)為P（9，-24），最短距離為2。第十頁，共六十四頁，2022年，8月28日3、斜率為1的直線L經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F,且與拋物線相交于A,B兩點(diǎn),求線段AB的長.y2=4x第十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日第十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日二、拋物線的焦點(diǎn)弦性質(zhì)例1.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θ(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.(6)焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。xOyABFθ第十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(1)|AB|=x1+x2+p(2)通徑長為2p第十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日AXyOFBlA1M1B1M過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(5)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切.第十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日XyFAOBA1B1過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(6)焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90o。123456第十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;證明：思路分析：韋達(dá)定理xOyABF第十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日xOyABF第十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日F過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(3)x1x2=p2/4;y1y2=-p2;法3：利用性質(zhì)焦點(diǎn)F對A、B在準(zhǔn)線上射影的張角為90°。第十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日代入拋物線得y2－２ｐmｙ－２ｐs＝０，練習(xí)(1).若直線過定點(diǎn)M(s,0)(s>0)與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),求證:x1x2=s2;y1y2=-2ps.證明：設(shè)AB的方程為ｘ=mｙ＋s（m∈Ｒ）(2).若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),且有x1x2=s2;y1y2=-2ps.求證：直線過定點(diǎn)(s,0)(s>0)證明：lyy2=2pxAMxB第二十頁，共六十四頁，2022年，8月28日若直線與拋物線y2=2px(p>0)交于A(x1,y1)、B(x2,y2),則直線過定點(diǎn)M(s,0)，(s>0)x1x2=s2;y1y2=-2ps.（1）M為焦點(diǎn)，即過（p/2，0）x1x2=p2/4;y1y2=-p2.（2）M過（p，0）x1x2=4p2;y1y2=-4p2.x1x2=p2;y1y2=-2p2.（3）M過（2p，0）（4）M過（3p，0）x1x2=9p2;y1y2=-6p2.（5）M過。。。。。。。拋物線對稱軸上的重要結(jié)論lyy2=2pxAMxB第二十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則(4)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=2p/sin2θxOyABFθ證明:思路分析|AB|=|AF|+|BF|=

思考：焦點(diǎn)弦何時最短？過焦點(diǎn)的所有弦中，通徑最短第二十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日xOyABF過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)的一條直線和拋物線相交,兩交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則第二十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(1)AO交準(zhǔn)線于C,則直線CB平行于拋線的對稱軸.xyFABCO第二十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日例2.過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的一條直線和拋物線相交于A(x1,y1)、B(x2,y2),(2)過B作BC⊥準(zhǔn)線l,垂足為C,則AC過原點(diǎn)O共線.(2001年高考題)xyFABCO第二十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的

兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

1.求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；

2.求證：直線AB過定點(diǎn)；

3.求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；

4.求△AOB面積的最小值；

5.求O在AB上的射影M軌跡方程.二、拋物線中的直角三角形問題第二十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(1)求A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之積和縱坐標(biāo)之積；[解答](1)設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，中點(diǎn)P(x0,y0)，∵OA⊥OB∴kOAkOB=-1，∴x1x2+y1y2=0∵y12=2px1，y22=2px2

∵y1≠0,y2≠0,∴y1y2=4p2∴x1x2=4p2.第二十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(2)求證：直線AB過定點(diǎn)；[解答](2)∵y12=2px1，y22=2px2∴(y1y2)(y1+y2)=2p(x1x2)∴AB過定點(diǎn)T(2p,0).第二十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日同理，以代k得B(2pk2,-2pk).例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，

(3)求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程；即y02=px0-2p2，∴中點(diǎn)M軌跡方程y2=px-2p2(3)設(shè)OA∶y=kx，代入y2=2px得:k0，第二十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日(4)當(dāng)且僅當(dāng)|y1|=|y2|=2p時，等號成立.例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(4)求△AOB面積的最小值；第三十頁，共六十四頁，2022年，8月28日(5)法一：設(shè)M(x3,y3),則例3.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.由(1)知，y1y2=-4p2，

整理得：x32+y32-2px3=0，∴點(diǎn)M軌跡方程為x2+y2-2px=0(去掉(0,0)).第三十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日∴M在以O(shè)T為直徑的圓上∴點(diǎn)M軌跡方程為(x-p)2+y2=p2,去掉(0,0).

評注：此類問題要充分利用(2)的結(jié)論.∴

∠OMT=90,又OT為定線段法二：∵

AB過定點(diǎn)T(2p,0).7.

A、B是拋物線y2=2px(p>0)上的兩點(diǎn)，且OA⊥OB，(5)求O在AB上的射影M軌跡方程.第三十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日小結(jié)：

在求軌跡方程問題中易于出錯是對軌跡方程純粹性及完備性的忽略。因此，在求出曲線方程之后而仔細(xì)檢查有無“不法分子”摻雜其中，應(yīng)將其剔除；另一方面又要注意有無“漏網(wǎng)之魚”“逍遙法外”，應(yīng)將其找回。第三十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日四、點(diǎn)與拋物線點(diǎn)P(x0,y0)與拋物線y2=2px(p>0)的位置關(guān)系及判斷方法.1.點(diǎn)在拋物線外2.點(diǎn)在拋物線上3.點(diǎn)在拋物線內(nèi)y02-2px0>0y02-2px0=0y02-2px0<0第三十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日解：.FM>

即4>

第三十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日.FM第三十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日第三十七頁，共六十四頁，2022年，8月28日第三十八頁，共六十四頁，2022年，8月28日l1l2【例題5】如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。BAMN分析：1.如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系。

2.能否判斷曲線段是何種類型曲線。

3.如何用方程表示曲線的一部分。第三十九頁，共六十四頁，2022年，8月28日如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2

，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。l1l2yxD解法一：3=DANACNRt中，由圖得，CBAMN曲線段C的方程為：即拋物線方程：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O(0,0)O，第四十頁，共六十四頁，2022年，8月28日如圖所示，直線L1與L2相交于M點(diǎn)L1⊥L2

，N∈L2,以A,B為端點(diǎn)的曲線段C上的任一點(diǎn)到L1的距離與到點(diǎn)N的距離相等，為銳角三角形，,建立適當(dāng)坐標(biāo)系,求曲線C的方程。l1l2yxDCBAMN解法二：曲線段C的方程為：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為O(0,0)O第四十一頁，共六十四頁，2022年，8月28日yxBAMNCD建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，原點(diǎn)為解法三：Q曲線段C的方程為：3=DANACNRt中，第四十二頁，共六十四頁，2022年，8月28日xyAPMN第四十三頁，共六十四頁，2022年，8月28日.F第四十四頁，共六十四頁，2022年，8月28日（1）直線l過拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)且與x軸垂直，若l被拋物線截得的線段長為6，則p=__________3xyOy2=2pxABl第四十五頁，共六十四頁，2022年，8月28日(2)已知拋物線方程=8x,則它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_______,準(zhǔn)線方程為________，若該拋物線上一點(diǎn)到y(tǒng)軸距離等于5，則它到拋物線的焦點(diǎn)的距離為___________，若該拋物線上一點(diǎn)M到焦點(diǎn)距離等于4,則M的坐標(biāo)為__________.(2,0)x=-27(2,4),(2,-4)MH(2,0):x=-2(2,0)pQH:x=-2第四十六頁，共六十四頁，2022年，8月28日（3）拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為y軸，焦點(diǎn)在

x+2y-12=0上，則它的方程為_________