高中數(shù)學(xué)幾何證明題

1、已知四邊形ABCD是空間四邊形，E,F,G,H分別是邊AB,BC,CD,DA的中點(diǎn)（1）求證：EFGH是平行四邊形（2）若BD=23，AC=2，EG=2。求異面直線AC、BD所成的角和EG、BD所成的角。AEHBDFGC證明：在ABD中，∵E,H分別是AB,AD的中點(diǎn)∴EH//BD,EH1BD2同理，F(xiàn)G//BD,FG1BD∴EH//FG,EHFG∴四邊形EFGH是平行四邊形。2(2)90°30°考點(diǎn)：證平行（利用三角形中位線），異面直線所成的角2、如圖，已知空間四邊形ABCD中，BCAC,ADBD，E是AB的中點(diǎn)。求證：（1）AB平面CDE;（2）平面CDE平面ABC。ABCACCEABE證明：（1）BEAEADBDBC同理，DEABAEBE又∵CEDEE∴AB平面CDED（2）由（1）有AB平面CDE又∵AB平面ABC，∴平面CDE平面ABC考點(diǎn)：線面垂直，面面垂直的判斷3、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn)，A1D1求證：A1C//平面BDE。證明：連接AC交BD于O，連接EO，∵E為AA1的中點(diǎn)，O為AC的中點(diǎn)∴EO為三角形AAC的中位線∴EO//AC11又EO在平面BDE內(nèi)，AC在平面BDE外1∴AC//平面BDE。1考點(diǎn)：線面平行的判斷4、已知ABC中ACB90o,SA面ABC,ADSC,求證：AD面SBC．證明：∵ACB90°BCAC又SA面ABCSABCBC面SACBCAD又SCAD,SCBCCAD面SBC考點(diǎn)：線面垂直的判斷5、已知正方體ABCDA1B1C1D1，O是底ABCD對角線的交點(diǎn).求證：(１)1∥面AB1D1；(2)AC1面AB1D1．CO證明：（1）連接A1C1，設(shè)A1C1B1D1O1，連接AO1∵ABCDA1B1C1D1是正方體A1ACC1是平行四邊形A1C1∥AC且A1C1AC又11AO且O1C1AOO1,O分別是A1C1,AC的中點(diǎn)，∴OC∥AOC1O1是平行四邊形C1O∥AO1,AO1面AB1D1，C1O1面AB1D1∴CO∥面AB1D1（2）QCC1面A1B1C1D1CC1B1D!又∵A1C1B1D1，B1D1面AC11C即AC1B1D1同理可證A1CAD1，又D1B1AD1D1AC1面AB1D1考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用平行四邊形），線面垂直的判斷6、正方體ABCDA'B'C'D'中，求證：（1）AC平面B'D'DB；（2）BD'平面ACB'.考點(diǎn)：線面垂直的判斷7、正方體ABCD—A1B1C1D1中．(1)求證：平面A1BD∥平面B1D1C；1DC1(2)若E、F分別是AA1，CC1的中點(diǎn)，求證：平面EB1D1∥平面FBD．B1A1證明：(1)由B1B∥DD1，得四邊形BB1D1D是平行四邊形，∴B1D1∥BD，F(xiàn)又BD平面B1D1C，B1D1平面B1D1C，EDGC∴∥平面11．BDBDCA同理1∥平面11．BADBDC而A1D∩BD＝D，∴平面A1BD∥平面B1CD．由BD∥B1D1，得BD∥平面EB1D1．取BB1中點(diǎn)G，∴AE∥B1G．從而得B1E∥AG，同理GF∥AD．∴AG∥DF．∴B1E∥DF．∴DF∥平面EB1D1．∴平面EB1D1∥平面FBD．考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用平行四邊形）8、如圖P是ABC所在平面外一點(diǎn)，PAPB,CB平面PAB，M是PC的中點(diǎn)，N是AB上的點(diǎn)，AN3NB90o，AB（1）求證：MNAB；（2）當(dāng)APB2BC4時(shí)，求MN的長。證明：（1）取PA的中點(diǎn)Q，連接MQ,NQ，∵M(jìn)是PB的中點(diǎn)，∴MQ//BC，∵CB平面PAB，∴MQ平面PAB∴QN是MN在平面PAB內(nèi)的射影，取AB的中點(diǎn)D，連接PD，∵PAPB,∴PDAB，又AN3NB，∴BNNDMNAB∴QN//PD，∴QNAB，由三垂線定理得（2）∵APB90o，PAPB,∴PD1AB2，∴QN1，∵M(jìn)Q平面PAB.∴MQNQ，且2MQ1BC1，∴MN22考點(diǎn)：三垂線定理10、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E、F、G分別是AB、AD、C1D1的中點(diǎn).求證：平面D1EF∥平面BDG.證明：∵E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，EF∥BD又EF平面BDG，BD平面BDGEF∥平面BDG∵D1GEB四邊形D1GBE為平行四邊形，D1E∥GB又D1E平面BDG，GB平面BDGD1E∥平面BDGEFD1EE，平面D1EF∥平面BDG考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用三角形中位線）11、如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E是AA1的中點(diǎn).1）求證：A1C//平面BDE；2）求證：平面A1AC平面BDE.證明：（1）設(shè)ACBDO，∵E、O分別是AA1、AC的中點(diǎn)，A1C∥EO又AC平面BDE，EO平面BDE，AC∥平面BDE11（2）∵AA1平面ABCD，BD平面ABCD，AA1BD又BDAC，ACAA1A，BD平面A1AC，BD平面BDE，平面BDE平面A1AC考點(diǎn)：線面平行的判斷（利用三角形中位線），面面垂直的判斷12、已知ABCD是矩形，PA平面ABCD，AB2，PAAD4，E為BC的中點(diǎn)．（1）求證：DE平面PAE；（2）求直線DP與平面PAE所成的角．證明：在ADE中，AD2AE2DE2，AEDE∵PA平面ABCD，DE平面ABCD，PADE又PAAEA，DE平面PAE（2）DPE為DP與平面PAE所成的角在RtPAD，PD42，在RtDCE中，DE22在RtDEP中，PD2DE，DPE300考點(diǎn)：線面垂直的判斷,構(gòu)造直角三角形13、如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是DAB600且邊長為a的菱形，側(cè)面PAD是等邊三角形，且平面PAD垂直于底面ABCD．（1）若G為AD的中點(diǎn)，求證：BG平面PAD；（2）求證：ADPB；（3）求二面角ABCP的大?。C明：（1）ABD為等邊三角形且G為AD的中點(diǎn)，BGAD又平面PAD平面ABCD，BG平面PAD（2）PAD是等邊三角形且G為AD的中點(diǎn)，ADPG且ADBG，PGBGG，AD平面PBG，PB平面PBG，ADPB（3）由ADPB，AD∥BC，BCPB又BGAD，AD∥BC，BGBCPBG為二面角ABCP的平面角在RtPBG中，PGBG，PBG450考點(diǎn)：線面垂直的判斷,構(gòu)造直角三角形,面面垂直的性質(zhì)定理，二面角的求法（定義法）14、如圖1,在正方體ABCDA1B1C1D1中，M為CC1的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：AO1平面MBD．證明：連接MO，A1M，∵DB⊥A1A，DB⊥AC，A1AACA，∴DB⊥平面A1ACC1，而AO1平面A1ACC1∴DB⊥A1O．設(shè)正方體棱長為a，則A1O23a2，MO23a2．2924在Rt△ACM中，A1Ma2．∵A1O2MO2A1M2，∴AOOM．1141OM∩DB=O，∴A1O⊥平面MBD．考點(diǎn)：線面垂直的判斷，運(yùn)用勾股定理追求線線垂直15、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．證明：取AB的中點(diǎn)Ｆ，連接CF，DF．∵ACBC，∴CFAB．∵ADBD，∴DFAB．又CFIDFF，∴AB平面CDF．∵CD平面CDFCDAB．，∴又CDBE，BEABB，∴CD平面ABECDAH．，∵AHCD，AHBE，CDBEE，AH平面BCD．考點(diǎn)：線面垂直的判斷16、證明：在正方體ABCD－A1B1C1D1中，A1C⊥平面BC1D證明：連接ACBD⊥AC∴AC為A1C在平面AC上的射影考點(diǎn)：線面垂直的判斷，三垂線定理17、如圖，過S引三條長度相等但不共面的線段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求證：平面ABC⊥平面BSC．證明∵SB=SA=SC，∠ASB=∠ASC=6