《立體幾何初步》單元檢測卷

《立體幾何初步》單元檢測卷一、選擇題(本大題共14小題，每小題4分，共56分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.以下命題中正確的是（）A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的半徑為圓錐底面圓的半徑2.已知一個(gè)正三棱錐的高為3，如圖是其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖，其中O′B′=O′C′=1，則此三棱錐的體積為（）A．3 B．33 C．34 3.《五曹算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實(shí)用算術(shù)書其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約為（）A．斛 B．斛 C．斛 D．斛4.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()(60+4)πB.(60+8)πC.(56+8)πD.(56+4)π5．如圖，球面上有、、三點(diǎn)，，，球心到平面的距離為，則球體的體積是（）A． B． C． D．6.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別為線段PC，PB上一點(diǎn)，若PM∶MC＝3∶1，且AN∥平面BDM，則PN∶NB＝()A．4∶1B．3∶1C．3∶2 D．2∶17．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B在平面β內(nèi)，則在平面β內(nèi)且過點(diǎn)B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線8.設(shè)m，n是兩條不同的直線α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：（1）若m⊥α，n∥α，那么m⊥n；（2）若m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；（3）若α∥β，m?α，那么m∥β；（4）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β，其中正確命題的序號是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）9.設(shè)直三棱柱的體積為，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．10.由正方體的性質(zhì)得，，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：平面8.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取線段AB=4,AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,則CD的長度為() B. 11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq\r(5)，則異面直線BD與AC所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°12．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°13如圖,在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°⊥PB14.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點(diǎn),則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）15．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有___________．（填上所有正確答案的序號）16.如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關(guān)系是.

一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是．18．平面α∥平面β，A，C∈α，點(diǎn)B，D∈β，直線AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，則CD=___________．．18.在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，則點(diǎn)P到對角線BD的距離為三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)20．(12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′－BC′D的體積．21．(12分)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.22．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB．（1）求證：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD，求四棱錐P﹣ABCD的體積；（12分）如圖（），中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著邊折起，如圖（）所示．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，求證，并求三棱錐外接球的直徑．24(12分)如圖,三棱柱ABC-A1B1C1的底面ABC是等腰直角三角形,AB=AC=1,側(cè)棱AA1⊥底面ABC,且AA1=2,E是BC的中點(diǎn).(1)求異面直線AE與A1C所成角的余弦值;(2)求直線A1C與平面BCC1B1所成角的正切值.25.(14分)如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD為菱形,E為CD的中點(diǎn).(1)求證:BD⊥平面PAC;(2)若∠ABC=60°,求證:平面PAB⊥平面PAE;(3)棱PB上是否存在點(diǎn)F,使得CF∥平面PAE?說明理由.答案與解析《第八章立體幾何初步》單元檢測(時(shí)間:120分鐘滿分:150分)一、選擇題(本大題共14小題，每小題4分，共56分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1．以下命題中正確的是（）A．以直角三角形的一直角邊為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)C．有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫做棱錐D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個(gè)扇形的半徑為圓錐底面圓的半徑A解析：對于A，由圓錐的定義可知A正確；對于B，若旋轉(zhuǎn)軸不是直角梯形的直腰，則旋轉(zhuǎn)體不是圓臺(tái)，故B錯(cuò)誤；對于C，若其余各面三角形沒有公共頂點(diǎn)，則幾何體不是棱錐，故C錯(cuò)誤；對于D，圓錐的側(cè)面展開圖的半徑是圓錐的母線，故D錯(cuò)誤．2.已知一個(gè)正三棱錐的高為3，如圖是其底面用斜二測畫法所畫出的水平放置的直觀圖，其中O′B′=O′C′=1，則此三棱錐的體積為（）A．3 B．33 C．34 A【解析】由直觀圖可知：正三棱錐的底面是邊長為2的正三角形，∴底面面積為12×2×2×323.《五曹算經(jīng)》是我國南北朝時(shí)期數(shù)學(xué)家甄鸞為各級政府的行政人員編撰的一部實(shí)用算術(shù)書其第四卷第九題如下：“今有平地聚粟，下周三丈，高四尺，問粟幾何？”其意思為“場院內(nèi)有圓錐形稻谷堆，底面周長3丈，高4尺，那么這堆稻谷有多少斛？”已知1丈等于10尺，1斛稻谷的體積約為立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的稻谷約為（）A．斛 B．斛 C．斛 D．斛【答案】C【解析】設(shè)圓錐形稻谷堆的底面半徑為r尺，則底面周長為l=2πr=30尺，解得r=15π尺，又高為h=4尺，所以圓錐的體積為V=13πr2h=13?π?(154.如圖,在四邊形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,CD=22,AD=2,則四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積為()A.(60+42)π B.(60+82)πC.(56+82)π D.(56+42)πA解析：四邊形ABCD繞AD所在直線旋轉(zhuǎn)一周所成的幾何體,如圖.S表面=S圓臺(tái)下底面+S圓臺(tái)側(cè)面+S圓錐側(cè)面=π+π(r1+r2)l2+πr1l1=π×52+π×(2+5)×5+π×2×2=(60+4)π.故選A.5．如圖，球面上有、、三點(diǎn)，，，球心到平面的距離為，則球體的體積是（）A． B． C． D．B解析：∵是小圓的直徑，所以過球心作小圓的垂線，垂足是的中點(diǎn)．，，，∴，即球半徑為，所以球體的體積是．6.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，M，N分別為線段PC，PB上一點(diǎn)，若PM∶MC＝3∶1，且AN∥平面BDM，則PN∶NB＝()A．4∶1 B．3∶1C．3∶2 D．2∶17．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B在平面β內(nèi)，則在平面β內(nèi)且過點(diǎn)B的所有直線中()A．不一定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在無數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線A解析：當(dāng)直線a?平面β，且點(diǎn)B在直線a上時(shí)，在平面β內(nèi)且過點(diǎn)B的所有直線中不存在與a平行的直線．故選A.8.設(shè)m，n是兩條不同的直線α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：（1）若m⊥α，n∥α，那么m⊥n；（2）若m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；（3）若α∥β，m?α，那么m∥β；（4）若α⊥γ，β⊥γ，則α∥β，其中正確命題的序號是（）A．（1）（2） B．（2）（3） C．（1）（3） D．（2）（4）【答案】C【解析】對于（1）如果m⊥α，n∥α，根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)可知m⊥n，所以（1）正確；對于（2）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，根據(jù)線面垂直與線面平行性質(zhì)可知α與β可以垂直，也可以平行，還可以相交，所以（2）錯(cuò)誤；對于（3）如果α∥β，m?α，根據(jù)直線與平面平行的判定可知m∥β，所以（3）正確；對于（4）設(shè)平面α，β，γ是位于正方體經(jīng)過同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面，則有α⊥γ且β⊥γ，但是α⊥β，推不出α∥β，故（4）不正確．故選C．9.設(shè)直三棱柱的體積為，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且，則三棱錐的體積為（）A． B． C． D．C解析：設(shè)到的距離為，∵直三棱柱的體積為，點(diǎn)、分別在側(cè)棱、上，且，∴，三棱錐的體積為．10.由正方體的性質(zhì)得，，所以結(jié)合線面平行的判定定理可得：平面8.已知:平面α⊥平面β,α∩β=l,在l上取線段AB=4,AC,BD分別在平面α和平面β內(nèi),且AC⊥AB,DB⊥AB,AC=3,BD=12,則CD的長度為() B. A解析：如圖,連接AD.∵α⊥β,∴AC⊥β,DB⊥α.在Rt△ABD中,=4在Rt△CAD中,CD==13.11.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D為A1B1的中點(diǎn)，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2eq\r(5)，則異面直線BD與AC所成的角為()A．30°B．45°C．60°D．90°C解析：如圖，取B1C1的中點(diǎn)E，連接BE，DE，則AC∥A1C1∥DE，則∠BDE即為異面直線BD與AC所成的角(或其補(bǔ)角)．由條件可知BD＝DE＝EB＝eq\r(5)，所以∠BDE＝60°，故選C.12．在等腰Rt△ABC中，AB＝BC＝1，M為AC的中點(diǎn)，沿BM把它折成二面角，折后A與C的距離為1，則二面角C－BM－A的大小為()A．30°B．60°C．90°D．120°C解析：如圖所示，由AB＝BC＝1，∠A′BC＝90°，得A′C＝eq\r(2).∵M(jìn)為A′C的中點(diǎn)，∴MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，且CM⊥BM，AM⊥BM，∴∠CMA為二面角C－BM－A的平面角．∵AC＝1，MC＝AM＝eq\f(\r(2),2)，∴∠CMA＝90°.13如圖,在棱長均相等的四棱錐P-ABCD中,O為底面正方形的中心,M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()∥平面OMNB.平面PCD∥平面OMNC.直線PD與直線MN所成角的大小為90°⊥PBC解析：連接BD,顯然O為BD的中點(diǎn),又N為PB的中點(diǎn),所以PD∥ON,由線面平行的判定定理可得,PD∥平面OMN,A正確;由M,N分別為側(cè)棱PA,PB的中點(diǎn),所以MN∥AB,又底面為正方形,所以AB∥CD,所以MN∥CD,由線面平行的判定定理可得,CD∥平面OMN,又由選項(xiàng)A得PD∥平面OMN,由面面平行的判定定理可得,平面PCD∥平面OMN,B正確;因?yàn)镸N∥CD,所以∠PDC為直線PD與直線MN所成的角,又因?yàn)樗欣忾L都相等,所以∠PDC=60°,故直線PD與直線MN所成角的大小為60°,C錯(cuò)誤;因?yàn)榈酌鏋檎叫?所以AB2+AD2=BD2,又所有棱長都相等,所以PB2+PD2=BD2,故PB⊥PD,又PD∥ON,所以O(shè)N⊥PB,D正確.故選ABD.14.正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,E,F,G分別為BC,CC1,BB1的中點(diǎn),則()A.直線D1D與直線AF垂直B.直線A1G與平面AEF平行C.平面AEF截正方體所得的截面面積為D.點(diǎn)C與點(diǎn)G到平面AEF的距離相等B解析：∵AD1∥EF,∴平面AEF即平面AEFD1,故A錯(cuò)誤.∵A1G∥D1F,A1G?AEFD1,∴A1G∥平面AEFD1,故B正確.平面AEF截正方體所得截面為等腰梯形AEFD1,易知梯形面積為,故C不正確.點(diǎn)G到平面AEFM的距離即點(diǎn)A1到面AD1F的距離,顯然D錯(cuò)誤.故選B.二、填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分，把正確答案填在題中橫線上）15．在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有___________．（填上所有正確答案的序號）（2）、（4）【解析】如題干圖（1）中，直線GH∥MN；圖（2）中，G、H、N三點(diǎn)共面，但M?面GHN，因此直線GH與MN異面；圖（3）中，連接MG，GM∥HN，因此，GH與MN共面；圖（4）中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH與MN異面．所以圖（2）、（4）中GH與MN異面．故答案為：（2）、（4）．16.如圖,已知平面α∩平面β=l,EA⊥α,垂足為A,EB⊥β,垂足為B,直線a?β,a⊥AB,則直線a與直線l的位置關(guān)系是.

平行解析：∵EA⊥α,平面α∩平面β=l,即l?α,∴l(xiāng)⊥EA.同理l⊥EB.又EA∩EB=E,∴l(xiāng)⊥平面EAB.∵EB⊥β,a?平面β,∴EB⊥a.又a⊥AB,EB∩AB=B,∴a⊥平面EAB,∴a∥l.一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面展開圖是半圓，則圓錐的側(cè)面積是．解析：由題意知側(cè)面展開圖即為圓錐的側(cè)面，設(shè)側(cè)面展開圖的半徑為，弧長為，因?yàn)閭?cè)面展開圖是半圓，所以，解得，所以半圓的面積．18．平面α∥平面β，A，C∈α，點(diǎn)B，D∈β，直線AB，CD相交于P，已知AP=8，BP=9，CP=16，則CD=___________．．【答案】2或34【解析】∵平面α∥β，A，C∈α，B，D∈β，直線AB與CD交于點(diǎn)P，∴AB，CD共面，且AC∥BD，①若點(diǎn)P在平面α，B的外部，∴，∵AP=8，BP=9，CP=16，∴，解得PD=18，∴CD=PD﹣PC=18﹣16=2．②點(diǎn)P在平面α，B的之間，則，即，解得PD=18，則CD=CP+PD=18+16=34，故答案為：2或34．19．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，則點(diǎn)P到對角線BD的距離為eq\f(13,5).解析：如圖，過點(diǎn)A作AE⊥BD于E，連接PE.∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，∴PA⊥BD，∴BD⊥平面PAE，∴BD⊥PE.∵AE＝eq\f(AB·AD,BD)＝eq\f(12,5)，PA＝1，∴PE＝eq\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(12,5)))2)＝eq\f(13,5).三、解答題(本大題共6個(gè)大題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)20．(12分)如圖，正方體ABCD－A′B′C′D′的棱長為a，連接A′C′，A′D，A′B，BD，BC′，C′D，得到一個(gè)三棱錐．求：(1)三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值；(2)三棱錐A′－BC′D的體積．解析：(1)∵ABCD－A′B′C′D′是正方體，∴A′B＝A′C′＝A′D＝BC′＝BD＝C′D＝eq\r(2)a，∴三棱錐A′－BC′D的表面積為4×eq\f(1,2)×eq\r(2)a×eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)a＝2eq\r(3)a2.而正方體的表面積為6a2，故三棱錐A′－BC′D的表面積與正方體表面積的比值為eq\f(2\r(3)a2,6a2)＝eq\f(\r(3),3).(2)三棱錐A′－ABD，C′－BCD，D－A′D′C′，B－A′B′C′是完全一樣的．故V三棱錐A′－BC′D＝V正方體－4V三棱錐A′－ABD＝a3－4×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)a2×a＝eq\f(a3,3).21．(12分)如圖，四邊形ABCD與四邊形ADEF都為平行四邊形，M，N，G分別是AB，AD，EF的中點(diǎn)．求證：(1)BE∥平面DMF；(2)平面BDE∥平面MNG.證明：(1)設(shè)DF與GN交于點(diǎn)O，連接AE，則AE必過點(diǎn)O，且O為AE的中點(diǎn)，連接MO，則MO為△ABE的中位線，所以BE∥MO.因?yàn)锽E?平面DMF，MO?平面DMF，所以BE∥平面DMF.(2)因?yàn)镹，G分別為AD，EF的中點(diǎn)，四邊形ADEF為平行四邊形，所以DE∥GN.因?yàn)镈E?平面MNG，GN?平面MNG，所以DE∥平面MNG.因?yàn)镸為AB的中點(diǎn)，N為AD的中點(diǎn)，所以MN為△ABD的中位線，所以BD∥MN.因?yàn)锽D?平面MNG，MN?平面MNG，所以BD∥平面MNG.因?yàn)镈E∩BD＝D，BD，DE?平面BDE，所以平面BDE∥平面MNG.22．（12分）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，BC∥AD，點(diǎn)E在線段AD上，且CE∥AB．（1）求證：CE⊥平面PAD；（2）若PA=AB=1，AD=3，CD，求四棱錐P﹣ABCD的體積；【解析】（1）∵PA⊥底面ABCD，CE?平面ABCD，∴PA⊥CE，∵AB⊥AD，CE∥AB，∴CE⊥AD，又PA∩AD=A，PA?平面PAD，AD?平面PAD，∴CE⊥平面PAD．（2）∵AB⊥AD，BC∥AD，CE∥AB，∴四邊形ABCE是矩形，∴CE=AB=1，CE⊥DE，又CD，∴DE=1，∴AE=AD﹣DE=2，即BC=2，∴VP﹣ABCD=S梯形ABCD?PA=（2+3）×1×1=．23．（12分）如圖（），中，，，為中點(diǎn)，現(xiàn)將沿著邊折起，如圖（）所示．（1）求證：平面平面；（2）若平面平面，求證，并求三棱錐外接球的直徑．解．（1）證明：由圖（）知，，，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面．?）因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，所以，即、、兩兩垂直，而易知，所以該三棱錐