2023年高考理科數(shù)學(xué)試卷及答案(湖南卷)(Word版)

2023年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)〔理工農(nóng)醫(yī)類〕一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)為哪一項(xiàng)符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=i·〔1+i〕〔i為虛數(shù)單位〕在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.某學(xué)校有男、女學(xué)生各500名，為了解男、女學(xué)生在學(xué)習(xí)興趣與業(yè)余愛(ài)好方面是否存在顯著差異，擬從全體學(xué)生中抽取100名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，那么宜采用的抽樣方法是()A.抽簽法B.隨機(jī)數(shù)法C.系統(tǒng)抽樣法D.分層抽樣法3.在銳角中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a，b。假設(shè)，那么角A等于()A.B.C.D.4.假設(shè)變量x，y滿足約束條件那么的最大值是()A.B.０C.D.5.函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為()A.3B.2C.1D.06.a，b是單位同量，a·b=0。假設(shè)向量c滿足，那么的取值范圍是()A.[,]B.[,]C.[1,]D.[1,]7.棱長(zhǎng)為1的正方體的俯視圖是一個(gè)面積為1的正方形，那么該正方體的正視圖的面積不可能等于()A.1B.C.D.8.在等腰直角三角形ABC中，AB=AC=4，點(diǎn)P是邊AB上異于A，B的一點(diǎn)，光線從點(diǎn)P出發(fā)，經(jīng)BC，CA反射后又回到點(diǎn)P〔如圖1〕。假設(shè)光線QR經(jīng)過(guò)的重心，那么AP等于()A.2B.1C.D.二、填空題：本大題共8小題，考生作答7小題，每題5分，共35分。〔一〕選做題〔請(qǐng)考生在第9，10，11三題中任選兩題作答，如果全做，那么按前兩題記分〕9.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，假設(shè)直線l：(t為參數(shù))過(guò)橢圓C：(為參數(shù))的右頂點(diǎn)，那么常數(shù)a的值為.10.R，a+2b+3c=6，那么的最小值為.11.如圖2，在半徑為的⊙O中，弦AB，CD相交于點(diǎn)P，PA=PB=2，PD=1，那么圓心O到弦CD的距離為.(二)必做題〔12～16題〕12.假設(shè)，那么常數(shù)T的值為.13.執(zhí)行如圖3所示的程序框圖，如果輸入a=1，b=2，那么輸出的a的值為.14.設(shè)，是雙曲線C：〔a>0，b>0〕的兩個(gè)焦點(diǎn)，P是C上一點(diǎn)。假設(shè)，且的最小內(nèi)角為30°，那么C的離心率為.15.設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，那么〔1〕=；〔2〕=。16.設(shè)函數(shù)，其中c>a>0，c>b>0。〔1〕記集合M={〔〕|不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)，且a=b}，那么〔〕M所對(duì)應(yīng)的f〔x〕的零點(diǎn)的取值集合為；〔2〕假設(shè)是的三條邊長(zhǎng)，那么以下結(jié)論正確的是?！矊懗鏊姓_結(jié)論的序號(hào)〕①，f〔x〕>0；②，使不能構(gòu)成一個(gè)三角形的三條邊長(zhǎng)；③假設(shè)為鈍角三角形，那么(1,2)，使f〔x〕=0。三、解答題：本大題共6小題，共75分。解容許寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.〔本小題總分值12分〕函數(shù)f〔x〕=sin〔〕+cos〔〕，g〔x〕=2sin2?！并瘛臣僭O(shè)α是第一象限角，且f〔α〕=，求g〔α〕的值；〔Ⅱ〕求使f〔x〕≥g〔x〕成立的x的取值集合。18.〔本小題總分值12分〕某人在如圖4所示的直角邊長(zhǎng)為4米的三角形地塊的每個(gè)格點(diǎn)〔指縱、橫直線的交叉點(diǎn)以及三角形的頂點(diǎn)〕處都種了一株相同品種的作物。根據(jù)歷年的種植經(jīng)驗(yàn)，一株該種作物的年收獲量Y〔單位：kg〕與它的“相近〞作物株數(shù)X之間的關(guān)系如下表所示：X1234Y51484542這里，兩株作物“相近〞是指它們之間的直線距離不超過(guò)1米。〔Ⅰ〕從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，求它們恰好“相近〞的概率；〔Ⅱ〕從所種作物中隨機(jī)選取一株，求它的年收獲量的分布列與數(shù)學(xué)期望。19.〔本小題總分值12分〕如圖5，在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中，，∠BAD=90°，，BC=1，AD=AA1=3。〔Ⅰ〕證明：；〔Ⅱ〕求直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值。20.〔本小題總分值13分〕在平面直角坐標(biāo)系xOy中，將從點(diǎn)M出發(fā)沿縱、橫方向到達(dá)點(diǎn)N的任一路徑稱為M到N的一條“L路徑〞。如圖6所示的路徑MM1M2M3N與路徑MN1N都是M到N的“L路徑〞。某地有三個(gè)新建的居民區(qū)，分別位于平面xOy內(nèi)三點(diǎn)A〔3，20〕，B〔-10，0〕，C〔14，0〕處，現(xiàn)方案在x軸上方區(qū)域〔包含x軸〕內(nèi)的某一點(diǎn)P處修建一個(gè)文化中心?！并瘛硨懗鳇c(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑〞長(zhǎng)度最小值的表達(dá)式〔不要求證明〕；〔Ⅱ〕假設(shè)以原點(diǎn)O為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)部是保護(hù)區(qū)，“L路徑〞不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)。請(qǐng)確定點(diǎn)P的位置，使其到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑〞長(zhǎng)度之和最小。21.〔本小題總分值13分〕過(guò)拋物線E：〔p>0〕的焦點(diǎn)F作斜率分別為k1，k2的兩條不同直線l1，l2，且。l1與E相交于點(diǎn)A，B；l2與E相交于點(diǎn)C，D。以AB，CD為直徑的圓M，圓N〔M，N為圓心〕的公共弦所在直線記為l。〔Ⅰ〕假設(shè)k1>0，k2>0，證明：；〔Ⅱ〕假設(shè)點(diǎn)M到直線l的距離的最小值為，求拋物線E的方程。22.〔本小題總分值13分〕a>0，函數(shù)f〔x〕=。〔Ⅰ〕記f〔x〕在區(qū)間[0，4]上的最大值為g〔a〕，求g〔a〕的表達(dá)式；〔Ⅱ〕是否存在a，使函數(shù)y=f〔x〕在區(qū)間〔0，4〕內(nèi)的圖象上存在兩點(diǎn)，在該兩點(diǎn)處的切線互相垂直？假設(shè)存在，求a的取值范圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。2023年高考理科數(shù)學(xué)〔湖南卷〕參考答案一、1—5：BDDCB6—8：ACD二、9、310、1211、12、313、914、15、〔1〕〔2〕16、〔1〕{x|0＜x≤1}〔2〕①②③三、17、解：f〔x〕=sin〔〕+cos〔〕==，g〔x〕=2sin2=?！并瘛秤蒮〔α〕=得sinα=，又α是第一象限角，所以cosα>0，從而g〔α〕====。〔Ⅱ〕f〔x〕≥g〔x〕等價(jià)于≥，即≥1，于是sin〔〕≥。從而≤≤，，即≤≤，。故使f〔x〕≥g〔x〕成立的x的取值集合為{|≤≤，}。18、解：〔Ⅰ〕所種作物總株數(shù)N=1+2+3+4+5=15，其中三角形地塊內(nèi)部的作物株數(shù)為3，邊界上的作物株數(shù)為12，從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株的不同結(jié)果有=36種，選取的兩株作物恰好“相近〞的不同結(jié)果有3+3+2=8種。故從三角形地塊的內(nèi)部和邊界上分別隨機(jī)選取一株作物，它們恰好“相近〞的概率為?！并颉诚惹髲乃N作物中隨機(jī)選取的一株作物的年收獲量Y的分布列。因?yàn)镻〔Y=51〕=P〔X=1〕，P〔Y=48〕=P〔X=2〕，P〔Y=45〕=P〔X=3〕，P〔Y=42〕=P〔X=4〕，所以只需求出P〔X=k〕〔k=1，2，3，4〕即可。記nk為其“相近〞作物恰有k株的作物侏數(shù)〔k=1，2，3，4〕，那么n1=2，n2=4，n3=6，n4=3由P〔X=k〕=得P〔X=1〕=，P〔X=2〕=，P〔X=3〕==，P〔X=4〕==。故所求的分布列為Y51484542P所求的數(shù)學(xué)期望為E〔Y〕=51×+48×+45×+42×==46。19、解法1：〔Ⅰ〕如圖1，因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以。又，所以平面BB1D。而平面BB1D，所以?！并颉骋?yàn)?，所以直線B1C1與平面ACD1所成的角等于直線AD與平面ACD1所成的角〔記為〕。如圖1，邊結(jié)A1D。因?yàn)槔庵鵄BCD—A1B1C1D1是直棱柱，且∠B1A1D1=∠BAD=90°，所以平面ADD1A1，從而。又AD=AA1=3，所以四邊形ADD1A1是正方形，于是。故平面A1B1D，于是。由〔Ⅰ〕知，，所以平面ACD1，故∠ADB1=。在直角梯形ABCD中，因?yàn)?，所以∠BAC=∠ADB。從而Rt～Rt，故，即。連結(jié)AB1，易知是直角三角形，且=21，即B1D=。在Rt中，，即cos()=，從而。即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為。解法2：〔Ⅰ〕易知，AB，AD，AA1兩兩垂直。如圖2，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB=t，那么相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)為：A〔0，0，0〕，B〔t，0，0〕，B1〔t，0，3〕，C〔t，1，0〕，C1〔t，1，3〕，D〔0，3，0〕，D1〔0，3，3〕。從而=〔-t，3，-3〕，=〔t，1，0〕，=〔-t，3，0〕。因?yàn)?，所以。解得或〔舍去〕。于?〔，3，-3〕，=〔，1，0〕。因?yàn)椋?，即?！并颉秤伞并瘛持?〔0，3，3〕，=〔，1，0〕，=〔0，1，0〕。設(shè)n=〔x，y，z〕是平面ACD1的一個(gè)法向量，那么即令，那么n=〔1，，〕。設(shè)直線B1C1與平面ACD1所成角為，那么。即直線B1C1與平面ACD1所成角的正弦值為。20、解：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔x，y〕。〔Ⅰ〕點(diǎn)P到居民區(qū)A的“L路徑〞長(zhǎng)度最小值為|x-3|+|y-20|，R，[0，+∞〕?！并颉秤深}意知，點(diǎn)P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑〞長(zhǎng)度之和的最小值為點(diǎn)P分別到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑〞長(zhǎng)度最小值之和〔記為d〕的最小值。①當(dāng)y≥1時(shí)，d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+2|y|+|y-20|。因?yàn)閐1〔x〕=|x+10|+|x-14|+|x-3|≥|x+10|+|x-14|；〔*〕當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，不等式〔*〕中的等號(hào)成立。又因?yàn)閨x+10|+|x-14|≥24，〔**〕當(dāng)且僅當(dāng)[-10，14]時(shí)，不等式〔**〕中的等號(hào)成立。所以d1〔x〕≥24，當(dāng)且僅當(dāng)x=3時(shí)，等號(hào)成立。d2〔y〕=2y+|y-20|≥21，當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)，等號(hào)成立。故點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔3，1〕時(shí)，P到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑〞長(zhǎng)度之和最小，且最小值為45。②當(dāng)0≤y≤1時(shí)，由于“L路徑〞不能進(jìn)入保護(hù)區(qū)，所以d=|x+10|+|x-14|+|x-3|+1+|1-y|+|y|+|y-20|。此時(shí)，d1〔x〕=|x+10|+|x-14|+|x-3|d2〔y〕=1+|1-y|+|y|+|y-20|=22-y≥21。由①知，d1〔x〕≥24，故d1〔x〕+d2〔y〕≥45，當(dāng)且僅當(dāng)x=3，y=1時(shí)等號(hào)成立。綜上所述，在點(diǎn)P〔3，1〕處修建文化中心，可使該文化中心到三個(gè)居民區(qū)的“L路徑〞長(zhǎng)度之和最小。21、解：〔Ⅰ〕由題意，拋物線E的焦點(diǎn)為F〔0，〕，直線l1的方程為。由，得。設(shè)A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為〔x1，y1〕，〔x2，y2〕那么x1，x2是上述方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根。從而x1+x2=2pk1，y1+y2=k1(x1+x2)+p=2pk12+p。所以點(diǎn)M的坐標(biāo)為〔pk1，pk12+〕，=〔pk1，pk12〕。同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為〔pk2，pk22+〕，=〔pk2，pk22〕。于是·=p2〔k1k2+k12k22〕。由題設(shè)，k1+k2=2，k1>0，k2>0，k1≠k2，所以0<k1k2<()2=1。故·<p2〔1+12〕=2p2?！并颉秤蓲佄锞€的定義得，，所以，從而圓M的半徑。故圓M的方程為，化簡(jiǎn)得。同理可得圓N的方程為。于是圓M，圓N的公共弦所在直線l的方程為。又，，那么l的方程為。因?yàn)閜>0，所以點(diǎn)M到直線l的距離。故當(dāng)時(shí)，d取最小值。由題設(shè)，，解得。故所求的拋物線E的方程為。22、解：〔Ⅰ〕當(dāng)0≤x≤a時(shí)，；當(dāng)x>a時(shí)，。因此，當(dāng)〔0，a〕時(shí)，，在〔0，a〕上單調(diào)遞減；當(dāng)〔a，+∞〕時(shí)，，在〔a，+∞〕上單調(diào)遞增。①假設(shè)a≥4，那么在〔0，4〕上單調(diào)遞減，。②假設(shè)0<a<4，那么在〔0，a〕上單調(diào)遞減，在〔a，4〕上單調(diào)遞增。所以，而，故當(dāng)0＜a≤1時(shí)，；當(dāng)1＜a＜4時(shí)，。綜上所述，〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕知，當(dāng)a