指數(shù)函數(shù)及其質(zhì)課時指數(shù)函數(shù)及其質(zhì)

1.理解指數(shù)函數(shù)的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數(shù)函數(shù)的圖象，探索并理解指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點．2．在解決簡單實際問題的過程中，體會指數(shù)函數(shù)是一類重要的函數(shù)模型.1.指數(shù)函數(shù)的定義函數(shù)

叫做指數(shù)函數(shù)，其中x是自變量．y＝ax(a>0，且a≠1)2．指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)a>10<a<1圖象性質(zhì)定義域值域過定點過點

，即x＝

時，y＝

.單調(diào)性是R上的

.是R上的

.R(0，＋∞)(0,1)01增函數(shù)減函數(shù)提醒：必須嚴格符合y＝ax這種形式，才是指數(shù)函數(shù)．

2．指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)中底數(shù)a對函數(shù)圖象的影響設(shè)a>b>1>c>d>0，則y＝ax，y＝bx，y＝cx，y＝dx的圖象如右圖所示，從圖中可以看出：在y軸右側(cè)，圖象從上到下相應(yīng)的底數(shù)由大變小，在y軸左側(cè)，圖象從下到上相應(yīng)的底數(shù)由大變小，即無論在y軸的左側(cè)還是右側(cè)，底數(shù)按逆時針方向變大．或者說在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)的圖象，底數(shù)大的在上邊，也可以說底數(shù)越大越靠近y軸．指數(shù)函數(shù)是形式化的概念，形如y＝ax(a>0，且a≠1)的函數(shù)被稱為指數(shù)函數(shù)，這里x是自變量，要判斷一個函數(shù)是否是指數(shù)函數(shù)，需抓住三點：①底數(shù)大于零且不等于1；②冪指數(shù)有單一的自變量x；③系數(shù)為1，且沒有其他的項．例1若函數(shù)y＝(4－3a)x為指數(shù)函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍．[分析]應(yīng)緊扣指數(shù)函數(shù)的定義．[答案]125

當指數(shù)函數(shù)底數(shù)大于1時，圖象上升，且當?shù)讛?shù)越大，圖象向上越靠近于y軸，當?shù)讛?shù)大于0小于1時，圖象下降，底數(shù)越小，圖象向下越靠近于x軸．簡稱x>0時，底大圖象高．例2如圖是指數(shù)函數(shù)：①y＝ax(a>0，且a≠1)，②y＝bx(b>0，且b≠1)，③y＝cx(c>0，且c≠1)，④y＝dx(d>0，且d≠1)的圖象，則a，b，c，d與1的大小關(guān)系為()A．a(chǎn)<b<1<c<d B．b<a<1<d<cC．1<a<b<c<d D．a(chǎn)<b<1<d<c[分析]可根據(jù)圖象的變化特征結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性初步確定與1的大小，再根據(jù)指數(shù)的性質(zhì)判定具體的大小關(guān)系．也可令x取特值，觀察特殊點的高低來確定．[解法一]在①②中底數(shù)小于1且大于零，在y軸右側(cè)，底數(shù)越小，圖象向下越靠近x軸，故有b<a，在③④中底數(shù)大于1，在y軸右邊，底數(shù)越大圖象向上越靠近y軸，故有d<c.[解法二]設(shè)直線x＝1與①、②、③、④的圖象分別交于點A，B，C，D，則其坐標依次為(1，a)，(1，b)，(1，c)，(1，d)，由圖象觀察可得c>d>1>a>b.[答案]B(2010·廈門高一檢測)函數(shù)y＝ax＋2＋1(a>0且a≠1)的圖象過定點P，則點P的坐標是________．[解析]當x＋2＝0，即x＝－2時，y＝a－2＋2＋1＝2，∴P(－2,2)．[答案](－2,2)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)的定義域是R，其值域是(0，＋∞)．關(guān)于指數(shù)型函數(shù)y＝af(x)＋b的定義域可結(jié)合求函數(shù)定義域的方法，通過解不等式或不等式組來解決；求其值域可采用換元法，既要考慮指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，還應(yīng)注意指數(shù)函數(shù)的值域是(0，＋∞)．(2)令2x＝t，則t>0，∴y＝4x＋2x＋1＋1＝(2x)2＋2·2x＋1＝t2＋2t＋1＝(