2022-2023學年北京市第五十七中學高一年級上冊學期12月月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市第五十七中學高一上學期12月月考數(shù)學試題一、單選題1．設，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】求得兩集合，再利用交集運算得解【詳解】故選：C【點睛】利用指數(shù)單調(diào)性求得集合,交集運算口訣“越交越少、公共部分”2．下列函數(shù)中，既是偶函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是．A． B． C． D．【答案】D【詳解】選項中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，故錯誤；選項中，函數(shù)是偶函數(shù)，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故正確．綜上選．3．已知函數(shù)，那么的值是（

）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】利用解析式直接計算即可.【詳解】由題意，，∴.故選：C.4．對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x在同一坐標系內(nèi)的圖象可能是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】①當0＜a＜1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為減函數(shù)，二次函數(shù)開口向下，且其對稱軸為x＝，故排除C與D；②當a＞1時，對數(shù)函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，二次函數(shù)開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤.【詳解】解：由對數(shù)函數(shù)y＝logax（a＞0且a≠1）與二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x可知，①當0＜a＜1時，此時a﹣1＜0，對數(shù)函數(shù)y＝logax為減函數(shù)，而二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x開口向下，且其對稱軸為x＝，故排除C與D；②當a＞1時，此時a﹣1＞0，對數(shù)函數(shù)y＝logax為增函數(shù)，而二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2﹣x開口向上，且其對稱軸為x＝，故B錯誤，而A符合題意．故選：A．5．已知函數(shù)，在下列區(qū)間中，包含零點的區(qū)間是A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，，所以由根的存在性定理可知：選C.【解析】本小題主要考查函數(shù)的零點知識，正確理解零點定義及根的存在性定理是解答好本類題目的關鍵.6．已知且，則“”是“”成立的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】，或．化簡即可判斷出結(jié)論．【詳解】解：由當時，得，推出，當時，得，推出，則是的充分條件，但當時不一定能推出（比如：，，這時無意義）則是的不必要條件，故選：A.【點睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎題．7．已知函數(shù)的最大值為，最小值為，則（

）A． B． C．5 D．10【答案】B【分析】構(gòu)造新函數(shù)，證明它是奇函數(shù)，然后利用奇函數(shù)的性質(zhì)求值．【詳解】設，則，∴，是奇函數(shù)，又，，∴，．故選：B．8．已知函數(shù)，若f(x)在R上是增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A．(，1] B．[，] C．(，+∞) D．[1，2]【答案】B【解析】根據(jù)函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，則每一段都為增函數(shù)，且左側(cè)的函數(shù)值不大于右側(cè)的函數(shù)值求解.【詳解】因為函數(shù)，f(x)在R上是增函數(shù)，所以，解得，故選：B9．函數(shù)在單調(diào)遞增，且關于對稱，若，則的的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由函數(shù)的對稱性可求出函數(shù)關于軸對稱，再由單調(diào)性將轉(zhuǎn)化成不等式求解即可.【詳解】解：因為的圖像關于直線對稱，所以的圖像關于軸對稱，則有，又在上單調(diào)遞增，所以由可得，解得，故選：D.10．重慶有一玻璃加工廠，當太陽通過該廠生產(chǎn)的某型防紫外線玻璃時，紫外線將被過濾為原來的，而太陽通過一塊普通的玻璃時，紫外線只會損失10％，設太陽光原來的紫外線為，通過x塊這樣的普通玻璃后紫外線為y，則，那么要達到該廠生產(chǎn)的防紫外線玻璃同樣的效果，至少通過這樣的普通玻璃塊數(shù)為（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】C【解析】由題意得，化簡得，兩邊同時取常用對數(shù)得，利用對數(shù)的運算性質(zhì)可得選項.【詳解】由題意得，化簡得，兩邊同時取常用對數(shù)得，因為，所以，則至少通過11塊玻璃.故選：C.二、填空題11．函數(shù)的零點個數(shù)是__________．【答案】2【分析】根據(jù)，分和時，令即可求解.【詳解】當時，由解得，當時，由解得，所以函數(shù)的零點個數(shù)是2個故答案為：2.12．函數(shù)的定義域是__________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)表達式,列出不等式組即可解得其定義域.【詳解】因為函數(shù),所以解得且，即函數(shù)的定義域為.故答案為：.13．已知，則的大小關系是___________________.(用“”連結(jié))【答案】【解析】利用特殊值即可比較大小.【詳解】解：，，，故.故答案為：.14．已知函數(shù)的圖象恒過定點，則定點的坐標為______.【答案】【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)圖象恒過，利用平移變換即可求解.【詳解】因為恒過點，將圖象向左平移個單位，再向下平移個單位，即可得的圖象，則點平移后得到點，所以恒過點，故答案為：【點睛】關鍵點點睛：本題的關鍵點是熟記指數(shù)函數(shù)的圖象恒過點，平移變換左加右減，上加下減即可求出平移后的定點.15．若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則實數(shù)a的取值范圍是：_____________.【答案】【解析】根據(jù)題意，有在R上恒成立，則，即可得解.【詳解】若函數(shù)f（x）=的定義域為R，則在R上恒成立，則，解得：，故答案為：.16．對任意正實數(shù)，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．【答案】【分析】采用常數(shù)分離法轉(zhuǎn)化為恒成立，只需求的最小值即可.【詳解】對任意正實數(shù)，不等式恒成立，即恒成立，因為，當且僅當即時取“＝”.所以故答案為：17．已知函數(shù)是定義域為的奇函數(shù)，且當時，，若函數(shù)有六個零點，分別記為，則的取值范圍是______________.【答案】【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知函數(shù)再定義域內(nèi)是基函數(shù),由圖象可知若函數(shù)有六個零點，,根據(jù)二次函數(shù)可知，，，即,最后整理可得,結(jié)合即可求出取值范圍.【詳解】解:因為函數(shù)為奇函數(shù)，根據(jù)解析式作出函數(shù)在上的圖象如圖：由圖可知，，且，即，所以是，因為，故，即，故，根據(jù)對勾函數(shù)在上單調(diào)減，在上單調(diào)增，故而在上單調(diào)減，則，故答案為：.【點睛】1.確定函數(shù)f(x)的零點所在區(qū)間的常用方法：①利用函數(shù)零點的存在性定理：首先看函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)必有零點．需要注意的是，滿足條件的零點可能不惟一；不滿足條件時也可能有零點．②數(shù)形結(jié)合法：通過畫函數(shù)圖象，觀察圖象在給定區(qū)間上是否有交點來判斷．2.函數(shù)圖象應用廣泛，是研究函數(shù)性質(zhì)不可或缺的工具．數(shù)形結(jié)合應以快、準為前提，充分利用“數(shù)”的嚴謹和“形”的直觀，互為補充，互相滲透，以開闊解題思路，提升解題效率．18．若函數(shù)滿足對于定義域內(nèi)的任意一個自變量，都有，則稱在上封閉．若定義域，則函數(shù)①；②；③；④，其中在D上封閉的是_______．（填序號）【答案】②③④【解析】求出各函數(shù)的值域可判斷，得出結(jié)論．【詳解】時，；；；．②③④滿足題意．故答案為：②③④三、解答題19．已知函數(shù).（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）解不等式.【答案】（1）見解析；（2）【解析】（1）利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）根據(jù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，得到，即可解出的集合.【詳解】解：（1）設任意的且，則，且，，，即，即，即對任意的，當時，都有，在區(qū)間上是增函數(shù)；（2）由（1）知：在區(qū)間上是增函數(shù)；又，，即，即，解得：，即的解集為：.【點睛】方法點睛：定義法判定函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性的一般步驟：1.取值：任取，，規(guī)定，2.作差：計算，3.定號：確定的正負，4.得出結(jié)論：根據(jù)同增異減得出結(jié)論.20．已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）函數(shù)的解析式；（2）若，求x的范圍；（3）求函數(shù)的值域.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】（1）先利用奇函數(shù)性質(zhì)知，求出參數(shù)，再驗證此時確實是奇函數(shù)；（2）直接代入函數(shù)解不等式得，再利用指數(shù)函數(shù)性質(zhì)解不等式即可.（3）對函數(shù)分離常數(shù)，再利用，逐步計算的范圍，即得值域.【詳解】解：（1）易見，的定義域為R，故在原點處有定義，又由是奇函數(shù)知，，即，故，此時，，對，有，故是奇函數(shù).故函數(shù)的解析式為；（2）由，得，解得，又，故，x的范圍為；（3），因為，，則，即，，故，所以函數(shù)的值域為.【點睛】方法點睛：已知函數(shù)奇偶性求參數(shù)常見方法：（1）直接利用定義使（或）恒成立，系數(shù)對應相等解得參數(shù)即可；（2）利用特殊值代入（或）計算參數(shù)，再將參數(shù)代入驗證函數(shù)是奇（或偶）函數(shù)即可.21．設計一幅宣傳畫，要求畫面面積為，面的上下各空白，左右各留空白，怎樣設計畫面的高與寬，才能使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是多少？【答案】畫面的高為，寬為時可使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是.【分析】設畫面的高為厘米，寬為厘米，根據(jù)題干條件得到，然后列出紙張的面積的表達式，再利用換元轉(zhuǎn)化成只含一個未知量的表達式，利用基本不等式即可求解.【詳解】設畫面的高為厘米，寬為厘米，因為畫面面積為，所以，所以，紙張的面積的表達式，所以，當且僅當，即，且時等號成立，所以畫面的高為，寬為時可使宣傳畫所用紙張的面積最小，最小面積是22．己知函數(shù)．(1)解不等式；(2)若函數(shù)，其中為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，解不等式．【答案】(1)(2)【分析】（1）先將不等式化簡為，再令，通過換元轉(zhuǎn)化成一元二次不等式即可求解.（2）先結(jié)合題干條件利用方程組法求出函數(shù)的解析式，并判斷其單調(diào)性，然后將不等式利用函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化為，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.【詳解】（1）因為，所以，所以可化為，即，令，可化為，即，解得，所以，解得，所以不等式的解集為.（2）因為為奇函數(shù)，所以，為偶函數(shù)，所以，又因為，所以，即，解得，對于，且，有，又因為，所以，，所以，即，所以為增函數(shù).又因為不等式可化為，且為奇函數(shù)，，所以，因為為增函數(shù)，所以，即，解得，所以不等式的解集為.23．已知函數(shù).（1）設，當時，求函數(shù)的定義域，判斷并證明函數(shù)的奇偶性；（2）是否存在實數(shù)，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，且最小值為1？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）見解析（2）不存在【分析】（1）先求得的表達式，根據(jù)對數(shù)真數(shù)大于零列不等式組，解不等式組求得的定義域.利用證得為奇函數(shù).（2）利用復合函數(shù)單調(diào)性同增異減求得的取值范圍，根據(jù)在區(qū)間上的最小值列式，由此判斷出不存在滿足要求的實數(shù).【詳解】（1）時，依題意，所以，解得.所以的定義域為.定義域關于原點對稱，且，所以為奇函數(shù).（2）不存在假設存在實數(shù)滿足條件，記，因，則在上單調(diào)遞增，使函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，由函數(shù)在上最小值為1，則有，不等式組無解，故不存在實數(shù)滿足題意.【點睛】本小題主要考查函數(shù)定義域的求法，考查函數(shù)單調(diào)性的證明，考查根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性和最值求參數(shù)，屬于基礎題.24．若函數(shù)f(x)滿足：對于s，t∈[0，+∞），都有f(s)≥0，f(t)≥0，且f(s)+f(t)≤f(s+t)，則稱函數(shù)f(x)為“T函數(shù)”．(I)試判斷函數(shù)f1(x)=x2與f2(x)=lg(x+1)是否是“T函數(shù)”，并說明理由；(Ⅱ)設f(x)為“T函數(shù)”，且存在x0∈[0，+∞)，使f(f(x0))=x0.求證：f(x0)=x0；(Ⅲ)試寫出一個“T函數(shù)”f(x)，滿足f(1)=1，且使集合{y|y=f(x)，0≤x≤1)中元素的個數(shù)最少．（只需寫出結(jié)論）【答案】（I