2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二年級上冊學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江蘇省泰州市高二上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．經(jīng)過兩點，的直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】直接由斜率公式計算可得.【詳解】解：經(jīng)過兩點，的直線的斜率.故選：C2．直線與圓的位置關(guān)系是（

）A．相離 B．相交 C．相切 D．不確定【答案】B【分析】直線與圓的位置關(guān)系的判斷，第一步求出圓的圓心及半徑，第二步求出圓心到直線的距離，距離大于半徑相離，等于半徑相切，小于半徑相交.【詳解】圓的圓心坐標(biāo)為半徑為4，圓心到直線的距離，所以相交.故選：B.3．已知橢圓的兩個焦點的坐標(biāo)分別是和，且橢圓經(jīng)過點，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)橢圓的焦點可求，根據(jù)經(jīng)過點，可得，進(jìn)而可求解，即可得橢圓方程.【詳解】因為焦點坐標(biāo)為和，所以.橢圓經(jīng)過點，且焦點在x軸上，所以，所以，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選:A.4．已知橢圓上一點到橢圓一個焦點的距離是7，則點到另一個焦點的距離為（

）A．5 B．3 C．2 D．7【答案】B【分析】根據(jù)橢圓方程求出的值，再根據(jù)橢圓的定義計算可得.【詳解】解：由知長半軸長，，點到另一個焦點的距離為.故選：B.5．若方程表示圓，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可計算求解.【詳解】解：方程可變形為，因為方程表示圓，則，所以.故選：D.6．直線與圓相切，則的值是（

）A． B．2 C． D．【答案】A【分析】利用圓心到直線的距離等于半徑求出.【詳解】解：根據(jù)題意，得圓的圓心為，半徑為，由直線與圓相切，得圓心到直線的距離，即，故.故選：A.7．已知橢圓（）的一條弦所在的直線方程是，弦的中點坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】橢圓的中點弦問題，點差法構(gòu)造弦中點坐標(biāo)與的關(guān)系，計算離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，弦的中點坐標(biāo)是，則，，直線的斜率.由，得，，，故橢圓的離心率.故選：B.8．國家體育場“鳥巢”的鋼結(jié)構(gòu)鳥瞰圖如圖1所示，內(nèi)外兩圈的鋼骨架是離心率相同的橢圓；某校體育館的鋼結(jié)構(gòu)與“鳥巢”相同，其平面圖如圖2所示，若由外層橢圓長軸一端點和短軸一端點分別向內(nèi)層橢圓引切線，，且兩切線斜率之積等于，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)內(nèi)層橢圓方程為，則外層橢圓方程為（），分別列出過和的切線方程，聯(lián)立切線和內(nèi)層橢圓，由分別轉(zhuǎn)化出的表達(dá)式，結(jié)合可求與關(guān)系式，齊次化可求離心率.【詳解】解：設(shè)內(nèi)層橢圓方程為（），因為內(nèi)、外層橢圓離心率相同，所以外層橢圓方程可設(shè)成（），設(shè)切線方程為，與聯(lián)立得，，由，則，設(shè)切線方程為，同理可求得，所以，，所以，因此.故選：C.二、多選題9．已知圓：與圓：有四條公切線，則實數(shù)的取值可能是（

）A． B．1 C． D．3【答案】ACD【分析】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意可得兩圓相離，利用圓心距大于半徑之和求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】解：由圓和的方程可知，圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，因為兩圓有四條公切線，所以兩圓外離，兩圓圓心距，則，解得或，即，所以實數(shù)的取值可以是，，，不能是.故選：ACD.10．若直線不能構(gòu)成三角形，則的取值為（

）A． B． C． D．【答案】ABD【分析】分，過與的交點三種情況討論即可.【詳解】因為直線不能構(gòu)成三角形，所以存在，過與的交點三種情況，當(dāng)時，有，解得；當(dāng)時，有，解得；當(dāng)過與的交點，則聯(lián)立，解得，代入，得，解得；綜上：或或.故選：ABD.11．已知橢圓：，，分別為它的左右焦點，，分別為它的左右頂點，點是橢圓上的一個動點，下列結(jié)論中正確的有（

）A．存在使得B．的最小值為C．，則的面積為D．直線與直線斜率乘積為定值【答案】BC【分析】由橢圓方程得，，，利用向量的數(shù)量積得最大張角的余弦符號，可判斷張角的大小，對焦點三角形使用余弦定理可得的最值，利用三角形公式可求得焦點三角形面積，設(shè)橢圓上一點，通過坐標(biāo)運算可以得到的值.【詳解】設(shè)橢圓短軸上下頂點分別為，，由題知橢圓：中，，，，所以，，，，，，對于A選項，由于，，，所以的最大角為銳角，故不存在使得，A錯誤；對于B選項，記，，則，由余弦定理：，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，B正確；對于C選項，由于，由焦點三角形面積公式得到，C正確；對于D選項，設(shè)（），，則，，，于是，D錯誤.故選：BC.12．已知圓：，直線：，點在直線上運動，直線，分別與圓相切于點.則下列說法正確的是（

）A．四邊形的面積的最小值為B．最小時，弦長為C．最小時，弦所在直線方程為D．直線過定點【答案】AD【分析】利用和等面積法判斷AB；設(shè)，，，利用兩條切線方程聯(lián)立得到直線關(guān)于的方程，求出最小時點坐標(biāo)代入即可判斷C；由含參直線方程過定點的求法計算D即可.【詳解】由圓的方程知：圓心，半徑，對于AB，四邊形的面積，則當(dāng)最小時，四邊形的面積最小，點到直線的距離，所以，此時，A正確；又，所以此時，B錯誤；對于C，設(shè)，，，則過作圓的切線，切線方程為：，過作圓的切線，切線方程為：，又為兩切線交點，所以，則兩點坐標(biāo)滿足方程：，即方程為：；當(dāng)最小時，，所以直線方程為：，由得，即，所以方程為：，即，C錯誤對于D，由C知：方程為：；又，即，所以方程可整理為：，由得，所以過定點，D正確.故選：AD三、填空題13．兩圓與的公共弦所在直線的方程為______.【答案】【分析】兩圓方程相減即可得到公共弦方程.【詳解】解：圓，即，圓心為，半徑，圓，即，圓心為，半徑，所以，則，即兩圓相交，所以兩圓方程相減得，即兩圓公共弦所在直線的方程為.故答案為：.14．已知過點的直線與以點，為端點的線段相交，則直線的斜率的取值范圍為______.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)斜率公式求出，，再結(jié)合圖形求出直線的斜率的取值范圍.【詳解】解：設(shè)，，，可得，，要使得直線與以點，為端點的線段相交，則直線的斜率或，所以直線的斜率的取值范圍為.故答案為：.15．點在圓：上，，，則最小時，______.【答案】4【分析】數(shù)形結(jié)合，易得當(dāng)直線與圓相切時最小，求得此時.【詳解】如圖所示，由題意圓：的圓心，半徑，當(dāng)直線與圓相切時，即為切點時，最小，此時與軸平行，，.故答案為：4.16．如圖，焦點在x軸上的橢圓1（a＞0）的左、右焦點分別為F1、F2，P是橢圓上位于第一象限內(nèi)的一點，且直線F2P與y軸的正半軸交于A點，△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，若|F1Q|＝4，則該橢圓的離心率為_____．【答案】##【分析】由△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，根據(jù)切線長定理，可得，再結(jié)合，求得，得，再由求出，從而可求出離心率【詳解】設(shè)△APF1的內(nèi)切圓在上的切點分別為，因為由△APF1的內(nèi)切圓在邊PF1上的切點為Q，所以由切線長定理得，因為，所以，所以，所以，所以,所以，得，因為，所以，所以橢圓的離心率為，故答案為：四、解答題17．已知直線：和直線：，求分別滿足下列條件的，的值.(1)直線過點，且直線和垂直；(2)若直線和平行，且直線在軸上的截距為.【答案】(1)，(2)，【分析】（1）由兩條直線垂直得，再利用直線過點，列出方程求解a，b；（2）由兩條直線平行得a，b滿足，再利用縱截距為-3解出a，b.【詳解】（1）由于直線和垂直，故，又直線過點，故，聯(lián)立兩式，解得，.故有，.（2）由于直線和平行，故，直線在軸上的截距為，則，聯(lián)立解得，.故有，.18．已知橢圓的離心率為，右焦點為.斜率為1的直線與橢圓交于兩點，以為底邊作等腰三角形，頂點為.(1)求橢圓的方程；(2)求直線的方程.【答案】(1)(2)【分析】（1）依題可知，，，根據(jù)的關(guān)系求出，即可寫出橢圓的方程；（2）先設(shè)出直線，聯(lián)立可得出中點的坐標(biāo)，再根據(jù)為等腰三角形知，解得中點坐標(biāo)，即可寫出直線方程．【詳解】（1）由已知得，而，解得，所以，故橢圓的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，由得設(shè)、的坐標(biāo)分別為，，中點為，則，，因為是等腰的底邊，所以．所以的斜率為，解得，即，所以直線的方程為，即．19．已知圓過點，，且圓心在直線：上.(1)若從點發(fā)出的光線經(jīng)過直線反射，反射光線恰好平分圓的圓周，求反射光線所在直線的一般式方程；(2)若點在直線上運動，求的最小值.【答案】(1)(2)32【分析】（1）求出直線的垂直平分線方程，與直線的方程聯(lián)立可求圓心的坐標(biāo)，求出點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)，根據(jù)反射光線必經(jīng)過點和點，由兩點式方程可求解；（2）設(shè)點，則，利用兩點間的距離公式及二次函數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】（1）圓過點，，故，的中點為，直線的方程為，即，所以直線的垂直平分線為，即.因為圓心在直線：：上，且經(jīng)過圓心，由，得，即圓的圓心.設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，，解得，，則，則反射光線必經(jīng)過點和點，所以直線的方程為，即.（2）設(shè)點，則.又，當(dāng)時，的最小值為32.20．已知圓內(nèi)有一點，AB為過點P且傾斜角為的弦．(1)當(dāng)時，求弦AB的長；(2)當(dāng)弦AB被點P平分時，求直線AB的方程；(3)求過點P的弦的中點的軌跡．【答案】(1)(2)(3)以為圓心，為半徑的圓．【分析】（1）根據(jù)點到直線的距離公式以及勾股定理即可求解弦長，（2）根據(jù)直線垂直斜率乘積為，即可得直線的斜率，進(jìn)而根據(jù)點斜式即可求方程，（3）根據(jù)向量垂直，利用坐標(biāo)運算即可求解軌跡方程，進(jìn)而可通過軌跡方程得軌跡.【詳解】（1）當(dāng)時，則，此時直線方程為：，故圓心到直線的距離，又，所以，（2）弦AB被點P平分時，則,,所以直線方程為：，（3）設(shè)中點為，則，由于,所以，即，故點是以為圓心，為半徑的圓．21．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，點在橢圓C上．(1)求橢圓C的方程；(2)設(shè)橢圓C的左、右頂點分別為A，B，點P，Q為橢圓上異于A，B的兩動點，記直線的斜率為，直線的斜率為，已知．求證：直線恒過x軸上一定點.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意列方程組求解；（2）設(shè)直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由題意列方程通過韋達(dá)定理化簡求解，注意分類討論直線的斜率是否為0.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓C的方程為．（2）依題意，點，設(shè)，因為若直線的斜率為0，則點P，Q關(guān)于y軸對稱，必有，不合題意．所以直線斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓C聯(lián)立，整理得：，所以，且因為點是橢圓上一點，即，則，所以，即因為，所以，此時，故直線：恒過x軸上一定點．22．如圖，圓.(1)若圓與軸相切，求圓的方程；(2)當(dāng)時，圓與軸相交于兩點（點在點的左側(cè)）.問：是否存在圓，使得過點的任一條直線與該圓的交點，都有？若存在，求出圓方程，若不存在，請說明理由.【答案】(1)或(2)存在，【分析】（1）根據(jù)題意可得代入則關(guān)于的二次方程判別式為0求解即可；（2）代入可求解，，再假