2022-2023學(xué)年湖南省岳陽教研聯(lián)盟高二年級上冊學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年湖南省岳陽教研聯(lián)盟高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則等于（

）A．R B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)補集與并集的計算求解即可.【詳解】由于，所以.故選：A2．函數(shù)在處切線的斜率為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出導(dǎo)函數(shù)在該點處的值即可求解.【詳解】因為函數(shù)，則，所以，也即函數(shù)在處切線的斜率，故選：.3．經(jīng)過向圓作切線，切線方程為（

）A．B．C．或D．或【答案】C【分析】根據(jù)切線的斜率是否存在進行分類討論，結(jié)合點到直線的距離公式求得正確答案.【詳解】（1）當切線的斜率不存在時，直線是圓的切線；（2）當切線斜率存在時，設(shè)切線方程為，由到切線距離為得，此時切線方程為即.故選：C4．平行六面體中，則它的對角線的長度為（

）A．4 B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)空間向量加減運算法則，可知，兩邊同時平方根據(jù)向量數(shù)量積可得對角線的長度.【詳解】由于，而所以，將等式兩邊同時平方得：，，所以，即對角線的長度為.故選：D.5．已知函數(shù)，以下說法錯誤的是（

）A．是奇函數(shù)B．在定義域上遞增C．的值域為D．沒有零點【答案】B【分析】A項：觀察定義域是否關(guān)于原點對稱，然后再驗證是否成立；B項：計算比較的值即可判定錯誤；C項：將函數(shù)的解析式分離常數(shù)得到，利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得取值范圍，進而根據(jù)奇函數(shù)的圖象的對稱性可得到函數(shù)值域；D項：分母不為零，分子大于零恒成立可得.【詳解】對于選項A：因為，即，所以定義域為關(guān)于原點對稱，又由于，所以是奇函數(shù)，故A正確；對于選項B：由于，所以不能說函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，故B不正確；對于選項C：，當從0（不包括0）增大到時，的值從0（不包括0）遞減到，值域為，故的值從增大到，取值范圍是，由奇函數(shù)圖象的對稱性可知，當時，的取值范圍是，所以的值域是，故C正確；對于選項D：恒成立，故沒有零點，故正確.綜上，錯誤的選項為B.故選：B6．等比數(shù)列前項和為.若，則數(shù)列前項和的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可知，，仍為等比數(shù)列，公比為，代入可得；將代入中，可得，即可得到等比數(shù)列的通項公式，進而得到數(shù)列的通項公式，再根據(jù)相鄰項異號求解即可.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，解得，又，解得，所以，則，即是首項為，公差為的等差數(shù)列，令，則，易知，所以，故當或6時，取最小值，最小值為，故選：7．中，，則等于（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】把用表示，把用表示，所以用表示，也用表示，然后多項式展開即可.【詳解】由，而，又由已知可得，所以.故選：C8．已知直線交拋物線于軸異側(cè)兩點，且，過O向作垂線，垂足為D，則點的軌跡方程為（

）A．B．C．D．或【答案】B【分析】設(shè)直線方程，代入拋物線消去x，由和韋達定理，解得，所以直線經(jīng)過定點，由可知在以為直徑的圓上，可求軌跡方程.【詳解】設(shè)直線，將它與拋物線方程聯(lián)立得：，則，設(shè)，則，所以，故或，當時，位于軸同側(cè)，故舍去，所以，所以直線經(jīng)過定點，由可知在以為直徑的圓（原點除外）上.故選：B二、多選題9．已知數(shù)列的前項和，以下說法正確的是（

）A．數(shù)列是等差數(shù)列B．當且僅當時，取最小值C．若，則D．若，則n的最小值為12【答案】BCD【分析】對于A，根據(jù)與之間的關(guān)系，求得數(shù)列的通項公式，可得答案；對于B，整理的解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案；對于C，由題意，建立方程，可得答案；對于D，由題意，建立不等式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可得答案.【詳解】當時，；當時，；則，，由，故A錯誤；，所以當且僅當時取最小值，故B正確；若，則，故，故C正確；令，由，則，即當時，，而當時，，所以若，則的最小值為12，故D正確.故選：BCD.10．已知雙曲線的焦點為，且到直線的距離為4，則以下說法正確的是（

）A．雙曲線的離心率為B．若在雙曲線上，且，則或1C．若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為D．若在雙曲線上，且，則的面積為【答案】AC【分析】由焦點到漸進線的距離為4可得，，可得離心率；即A正確；根據(jù)雙曲線定義即可求得判斷B；根據(jù)焦點弦公式可知的最小值為雙曲線的通徑可判斷C；根據(jù)雙曲線定義即勾股定理分別計算出的長，即可的面積從而判斷D.【詳解】由已知可得，到直線的距離為，所以，即離心率為，所以A正確；若在雙曲線右支，由焦半徑公式可知，所以只能在雙曲線左支，故，所以B錯誤；若過的直線交雙曲線右支于，則的最小值為雙曲線的通徑，即，故C選項正確；若在雙曲線上，且，設(shè)，不妨設(shè)，由雙曲線定理和勾股定理得：，所以，則的面積為；即D錯誤.故選：AC.11．七面體中，為正方形且邊長為都與平面垂直，且，則對這個多面體描述正確的是（

）A．當時，它有外接球，且其半徑為B．當時，它有外接球，且其半徑為C．當它有內(nèi)切球時，D．當它有內(nèi)切球時，【答案】ABD【分析】以為底面作長方體，計算，時外接球半徑，得到AB正確；設(shè)垂足為，根據(jù)相似得到，計算得到C假D真，得到答案.【詳解】以為底面作長方體，則這個長方體的外接球即為多面體的外接球，當時，外接球半徑為，當時外接球半徑為，故AB均為真命題；設(shè)分別為中點，若這個多面體有內(nèi)切球，則其球心必在上，且半徑為.設(shè)垂足為，則由，可得，可得，故C假D真.綜上，本題答案為ABD.故選：ABD12．已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是（

）A．它是偶函數(shù)B．它是周期為的周期函數(shù)C．它的值域為D．它在這個區(qū)間有且只有2個零點【答案】ACD【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可知，，即A正確；由周期函數(shù)得定義可知，與不一定相等，故B錯誤；將函數(shù)寫成分段函數(shù)的形式并畫出函數(shù)圖像可得C正確；結(jié)合C以及偶函數(shù)的性質(zhì)，可判斷D正確.【詳解】由于，所以它是偶函數(shù)，故A正確；由于，它們不相等，所以它不是周期為的周期函數(shù)，即B錯誤；現(xiàn)在來考察這個函數(shù)在內(nèi)的情況.當時，當時，分別畫出以上兩個函數(shù)圖象，并截取相關(guān)部分如圖：由此可知函數(shù)值域為，即選項C正確；又由于這個函數(shù)是偶函數(shù)，它在內(nèi)沒有零點，而在有2個零點，故正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：在求解含有絕對值的三角函數(shù)值域問題時，可以想盡一切辦法先把絕對值去掉，然后結(jié)合其他函數(shù)性質(zhì)進行求解即可.例如在判斷C選項時，首先可討論時的函數(shù)解析式，畫出圖形；當時圖像重復(fù)的圖像，而時，關(guān)于軸作出對稱圖像即可.三、填空題13．復(fù)數(shù)，則__________.【答案】3【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算和復(fù)數(shù)相等，即可求解.【詳解】，則，解得：.故答案為：3.14．已知的最小值為__________.【答案】##【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得正確答案.【詳解】設(shè)，任取，，其中，所以，所以在上遞增，最小值為.故答案為：15．已知是定義在上的奇函數(shù)，且恒成立.當時，則的值為__________.【答案】【分析】由可知的圖象關(guān)于對稱，又是定義在上的奇函數(shù)，故是周期的周期函數(shù)，即可解決.【詳解】由可知的圖象關(guān)于對稱，因為是定義在上的奇函數(shù)，所以是周期的周期函數(shù)，所以故答案為：16．線從出發(fā)，經(jīng)兩直線反射后，仍返回到點.則光線從P點出發(fā)回到P點所走的路程長度（即圖中周長）為_________.【答案】【分析】利用點關(guān)于直線的對稱點，結(jié)合兩點之間的距離公式即可求解.【詳解】顯然關(guān)于直線的對稱點，由反射光線性質(zhì)知，設(shè)關(guān)于直線的對稱點，則，則，故，由反射光線性質(zhì)知所以各邊即為光線所走的路線，其周長等于線段的長度，且.故答案為：四、解答題17．已知數(shù)列的前項和為，且滿足，(1)求數(shù)列的通項公式；(2)-若數(shù)列的前項和為，求證：【答案】(1)(2)證明見解析【分析】(1)由題意可得，利用累乘法即可得數(shù)列的通項公式；(2)利用裂項相消可得,即可證明.【詳解】（1）解：由已知，時，，與已知條件作差得：所以，所以,n=1成立（2）證明：因為，所以.得證.18．一塊土地形狀為四邊形，其中，(1)求這塊土地的面積；(2)若為中點，在CD邊上，且EF將這塊土地面積平分，求CF的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）將四邊形的面積轉(zhuǎn)化為，結(jié)合余弦定理來求得正確答案.（2）設(shè)，結(jié)合正弦定理、兩角和的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式等知識求得，利用三角形的面積列方程，由此求得的長.【詳解】（1）由已知得，，，所以，在三角形中，由余弦定理得，解得.所以這個四邊形的面積為：.（2）連接，由于，又將四邊形面積平分，故，設(shè)，則由正弦定理得，所以，所以，，設(shè)，則，解得，所以.19．已知直線交圓于兩點.(1)當時，求直線的斜率；(2)當?shù)拿娣e最大時，求直線的斜率.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用圓心到直線的距離列方程，由此求得的值.（2）求得的表達式并利用基本不等式求得最大值，由點到直線的距離公式求得.【詳解】（1）設(shè)圓心到直線的距離為（），圓的圓心為，半徑，直線，當時，三角形是等邊三角形，，于是（負根舍去）.（2），等號當且僅當時成立，當時，（負根舍去）.20．某校高二年級共有1000名學(xué)生，分為20個班，每班50人.為方便教學(xué)，將學(xué)生分為兩個層次，其中A層次4個班，共200人，B層次16個班，共800人.某次數(shù)學(xué)考試，A層次200名學(xué)生成績的頻率分布直方圖如圖所示.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計A層次200名學(xué)生的平均成績和方差；(2)若層次800名學(xué)生的平均成績?yōu)榉?，方差?試根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該校高二整個年級此次考試的平均分和方差【答案】(1)84，59(2)72，【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖結(jié)合平均數(shù)以及方差的計算方法，可得答案.（2）根據(jù)平均數(shù)的計算方法可求得該校高二整個年級此次考試的平均分；利用方差，展開計算，結(jié)合（1）的結(jié)果，可得答案.【詳解】（1）估計A層次200名學(xué)生的平均分為，估計方差為.（2）由題意得，設(shè)這1000名學(xué)生的成績?yōu)?，其中?00個數(shù)據(jù)為A層次學(xué)生成績.由于，，同理，所以，.21．四棱錐中，底面是菱形，交于，且底面(1)若分別為中點，求四面體的體積；(2)若二面角的余弦值為，求的長度.【答案】(1)(2)【分析】（1）等體積法轉(zhuǎn)化解決即可；（2）根據(jù)空間向量求二面角得到方法解決即可.【詳解】（1）由底面是菱形，交于，且底面，分別為中點，所以，（2）由題知，以為原點，以為非負軸建立空間直角坐標系.因為底面是菱形，交于，且，所以，設(shè)，所以，，設(shè)平面的法向量為，所以得，取，設(shè)平面的法向量為，所以得，取，所以，解得，所以.22．已知點在橢圓上，且橢圓的