構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式專題講座

構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽文豐制作引言求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容，兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列可以根據(jù)公式直接求解，還有些特殊數(shù)列可用累加法、累乘法等來直接求解，但有些數(shù)列卻不能直接求解，它們往往要轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列和其他數(shù)列后再運(yùn)用各自的通項(xiàng)公式求解，從而體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的運(yùn)用，此時(shí)可用構(gòu)造法求解。構(gòu)造法的定義所謂構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題中通過對(duì)條件和結(jié)論的充分剖析，有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一些適當(dāng)?shù)妮o助模型，以促成命題的轉(zhuǎn)換，產(chǎn)生新的解題方法。下面就構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的分類和解題方法分別進(jìn)行論述。基本思路：可用待定系數(shù)法,設(shè)

,與已知式子相比較得

,從而數(shù)列成等比數(shù)列,易得

.類型1形如

的遞推式類型1形如

的遞推式例1、已知數(shù)列

滿足，求數(shù)列

的通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?得且.

所以.從而得.類型1形如

的遞推式練習(xí)3、已知數(shù)列

的前

項(xiàng)和為

，且

求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型1形如

的遞推式類型2形如

的遞推式解法：只需構(gòu)造數(shù)列，消去帶來的差異．一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以，得：引入輔助數(shù)列（其中），得：再用待定系數(shù)法解決。例2、已知數(shù)列中，，求解：在兩邊乘以得：令，則,解之得：所以類型2形如

的遞推式例3、類型2形如

的遞推式已知數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式.由得：于是所以.上式兩邊同乘以得：由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，所以練習(xí)1、數(shù)列

滿足

，則

解：

構(gòu)成了一個(gè)以

首項(xiàng)

，公差為3的等差數(shù)列，

解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令

，與已知遞推式比較，解出

,從而轉(zhuǎn)化為

是公比為p的等比數(shù)列。類型3形如

的遞推式例4:設(shè)數(shù)列：，求.解：設(shè)，將代入遞推式，得…（１）則,又，故代入（１）得說明：（1）若

為

的二次式，則可設(shè)

;(2)本題也可由

,（

）兩式相減得

轉(zhuǎn)化為

求之.練習(xí)1

數(shù)列前項(xiàng)和為,且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)2在數(shù)列｛an｝中，a1=1，an+1=4an+3n+1，求數(shù)列｛an｝通項(xiàng)。a1=1求數(shù)列｛an｝通項(xiàng)。類型四：已知

（利用取倒數(shù)法，構(gòu)造等差數(shù)列）。例5：數(shù)列中，若，，則解：

又是首項(xiàng)為公差3的等差數(shù)列。例6數(shù)列中，，求解：是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列類型4補(bǔ)充形如

的遞推式.基本思路：一般的,設(shè)是遞推關(guān)系的特征方程的兩個(gè)根.(1)當(dāng)時(shí),可令,則為等比數(shù)列;(2)當(dāng)時(shí),可令,則為等差數(shù)列。.例7在數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由于的特征方程的兩根為,所以,兩式相除得,.則數(shù)列為等比數(shù)列.因?yàn)?所以,所以,所以.例8．已知數(shù)列滿足：對(duì)于都有若求解：作特征方程變形得令則∴對(duì)于∴類型5形如

的遞推式定理

設(shè)，且是的不動(dòng)點(diǎn)，數(shù)列滿足遞推關(guān)系，，則有；若，則是公比為的等比數(shù)列。例9（2010北京東城區(qū)二模試題）已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．解：依題，記，令，求出不動(dòng)點(diǎn)；由定理