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構(gòu)造法求數(shù)列通項(xiàng)公式專題講座高中數(shù)學(xué)教師歐陽文豐制作引言求數(shù)列的通項(xiàng)公式是數(shù)列的難點(diǎn)和重點(diǎn)內(nèi)容,兩類特殊數(shù)列等差數(shù)列和等比數(shù)列可以根據(jù)公式直接求解,還有些特殊數(shù)列可用累加法、累乘法等來直接求解,但有些數(shù)列卻不能直接求解,它們往往要轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列和其他數(shù)列后再運(yùn)用各自的通項(xiàng)公式求解,從而體現(xiàn)化歸思想在數(shù)列中的運(yùn)用,此時(shí)可用構(gòu)造法求解。構(gòu)造法的定義所謂構(gòu)造法就是在解決某些數(shù)學(xué)問題中通過對(duì)條件和結(jié)論的充分剖析,有時(shí)會(huì)聯(lián)想出一些適當(dāng)?shù)妮o助模型,以促成命題的轉(zhuǎn)換,產(chǎn)生新的解題方法。下面就構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式的分類和解題方法分別進(jìn)行論述。基本思路:可用待定系數(shù)法,設(shè)
,與已知式子相比較得
,從而數(shù)列成等比數(shù)列,易得
.類型1形如
的遞推式類型1形如
的遞推式例1、已知數(shù)列
滿足,求數(shù)列
的通項(xiàng)公式。解:因?yàn)?得且.
所以.從而得.類型1形如
的遞推式練習(xí)3、已知數(shù)列
的前
項(xiàng)和為
,且
求數(shù)列的通項(xiàng)公式。類型1形如
的遞推式類型2形如
的遞推式解法:只需構(gòu)造數(shù)列,消去帶來的差異.一般地,要先在原遞推公式兩邊同除以,得:引入輔助數(shù)列(其中),得:再用待定系數(shù)法解決。例2、已知數(shù)列中,,求解:在兩邊乘以得:令,則,解之得:所以類型2形如
的遞推式例3、類型2形如
的遞推式已知數(shù)列前n項(xiàng)和求通項(xiàng)公式.由得:于是所以.上式兩邊同乘以得:由.于是數(shù)列是以2為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,所以練習(xí)1、數(shù)列
滿足
,則
解:
構(gòu)成了一個(gè)以
首項(xiàng)
,公差為3的等差數(shù)列,
解法:這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列,即令
,與已知遞推式比較,解出
,從而轉(zhuǎn)化為
是公比為p的等比數(shù)列。類型3形如
的遞推式例4:設(shè)數(shù)列:,求.解:設(shè),將代入遞推式,得…(1)則,又,故代入(1)得說明:(1)若
為
的二次式,則可設(shè)
;(2)本題也可由
,(
)兩式相減得
轉(zhuǎn)化為
求之.練習(xí)1
數(shù)列前項(xiàng)和為,且,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。練習(xí)2在數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=4an+3n+1,求數(shù)列{an}通項(xiàng)。a1=1求數(shù)列{an}通項(xiàng)。類型四:已知
(利用取倒數(shù)法,構(gòu)造等差數(shù)列)。例5:數(shù)列中,若,,則解:
又是首項(xiàng)為公差3的等差數(shù)列。例6數(shù)列中,,求解:是首項(xiàng)為公比為的等比數(shù)列類型4補(bǔ)充形如
的遞推式.基本思路:一般的,設(shè)是遞推關(guān)系的特征方程的兩個(gè)根.(1)當(dāng)時(shí),可令,則為等比數(shù)列;(2)當(dāng)時(shí),可令,則為等差數(shù)列。.例7在數(shù)列中,,求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解:由于的特征方程的兩根為,所以,兩式相除得,.則數(shù)列為等比數(shù)列.因?yàn)?所以,所以,所以.例8.已知數(shù)列滿足:對(duì)于都有若求解:作特征方程變形得令則∴對(duì)于∴類型5形如
的遞推式定理
設(shè),且是的不動(dòng)點(diǎn),數(shù)列滿足遞推關(guān)系,,則有;若,則是公比為的等比數(shù)列。例9(2010北京東城區(qū)二模試題)已知數(shù)列滿足,求數(shù)列的通項(xiàng)公式.解:依題,記,令,求出不動(dòng)點(diǎn);由定理
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