《2.2.1對數(shù)與對數(shù)運(yùn)算》

一、1、小時候我們?yōu)槭裁茨芾斫庹麛?shù)比如數(shù)字2答：是因?yàn)槲覀兛梢哉业揭粋€模型就是2個蘋果等等。2、小時候我們?yōu)槭裁蠢斫夥謹(jǐn)?shù)比如2/3答：是因?yàn)槲覀円部梢哉业揭粋€模型就是把一個大餅分成三份自己拿兩份。

于是我們理解了整數(shù)、有理數(shù)。

3、我們?yōu)槭裁茨芾斫鉄o理數(shù)，比如。

有兩種方式理解。第一

就是用有理數(shù)逼近它。二是用數(shù)軸上的點(diǎn)來對應(yīng)來理解。

是那個點(diǎn)對應(yīng)那個數(shù)的符號。注意數(shù)軸上的點(diǎn)對應(yīng)一個實(shí)數(shù)。用實(shí)數(shù)來表示數(shù)軸上對應(yīng)的點(diǎn)有多種形式，雖然本質(zhì)上指同一個點(diǎn)。比如3=6/2=9/3。還有沒有其他形式？1

二、

問：這兩者有什么不同？

答：前一個是已知底數(shù)、指數(shù)求冪，后一個是已知底數(shù)、冪求指數(shù)。在

中x可以求出來，x=3.

那如果是，x能不能求出來？那怎辦？那個數(shù)用什么表示？那個數(shù)的其中一種

三、對數(shù)

，這個形式也是那個使表達(dá)形式，可能還有其他表達(dá)形式。

所以數(shù)軸上點(diǎn)3這個數(shù)還有種表達(dá)形式2同學(xué)們，做人要學(xué)會退，求不出來就不要求。就用這個符號表示那個數(shù)。退一步海闊天空，進(jìn)一步山窮水盡疑無路。3

四、復(fù)習(xí)且也是其中一種表達(dá)方式。數(shù)軸上有個點(diǎn)對應(yīng)那個數(shù)，這個數(shù)可以用求不出來就不要求那個數(shù)就用因?yàn)榍疤崾俏覀兝斫饬酥笖?shù)是有理數(shù)，知道有理數(shù)指數(shù)冪是怎回事。

4思考問題一：

假設(shè)2000年我國國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值為a億元,如果平均每年增長率為8.2%,求5年后國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值是2000年的多少倍？答：y=a(1+8.2%)5=1.0825a

是2000年的1.0825倍5思考問題二：

假設(shè)2000年我國國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值為a億元,如果平均每年增長率為8.2%,問經(jīng)過多少年后國民生產(chǎn)總值是2000年的2倍？答：a(1+8.2%)x=2ax=?

1.082x=26同學(xué)們，做人要學(xué)會退，求不出來就不要求。就用這個符號表示那個數(shù)。退一步海闊天空，進(jìn)一步山窮水盡疑無路。7上升到符號：已知，求x。

答：

，右邊是個符號，是個表達(dá)數(shù)軸上點(diǎn)對應(yīng)的那個數(shù)的符號，可能是有理數(shù)也可能是無理數(shù)，可能求得出來也可能求不出來。求不出來就不要求，就用這個符合表示那個數(shù)。81.對數(shù)的定義：一般地，如果a(a>0,a≠1)的b次冪等于N，即ab=N,那么數(shù)b就叫做以a為底N的對數(shù)9

幾個結(jié)論：

負(fù)數(shù)和零有沒有對數(shù)，為什么？需要記憶嗎？N為什么叫真數(shù)？

答：只需知道特殊具體例子。因?yàn)樨?fù)數(shù)和零沒有對數(shù)，是假的，而N>0是真的。10112.對數(shù)的基本性質(zhì):①零和負(fù)數(shù)沒有對數(shù).②loga1=0

③logaa=1123.對數(shù)恒等式：同學(xué)們注意到了沒有，這證明就像一個循環(huán)，從原點(diǎn)出發(fā)繞一圈又回到原來位置13144.常用對數(shù)與自然對數(shù)的定義:(1)以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù).為了方便,N的常用對數(shù)log10N簡記為:lgN.(2)以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù).為了方便,N的自然對數(shù)logeN

簡記為:lnN.(e=2.71828…)15練習(xí)1.把下列指數(shù)式寫成對數(shù)式：

16練習(xí)2.把下列對數(shù)式寫成指數(shù)式：

17練習(xí)3.求下列各式的值：18例1、例2是干什么的？是寫出一個不想繼續(xù)寫還是想多寫幾個？答：例1、例2時，就是把指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對數(shù)式、把對數(shù)式轉(zhuǎn)化為指數(shù)式。我說你們有沒有寫出一個就不想寫。如果寫出一個還想寫那反而不好，說明不懂。19練習(xí)4.計(jì)算下列各式的值:20例2

求下列各式中x的值:21為什么叫對數(shù)？理由同上。”對“是相對、對立面、逆、反的意思。數(shù)學(xué)概念不是空中樓閣，它的根緊緊的扎在大地。一個數(shù)學(xué)概念都有它的現(xiàn)實(shí)模型，來自生活、生產(chǎn)實(shí)踐。對數(shù)的現(xiàn)實(shí)模型是？書上找找。溫馨提醒同學(xué)們，你張老師在做壞事的時候要假裝看不見。做好事的時候要睜大眼睛看個清楚，因?yàn)槲以跒槿藥煴怼?2

對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（Napier，1550年~1617年）.他發(fā)明了供天文計(jì)算作參考的對數(shù)，并于1614年在愛丁堡出版了《奇妙的對數(shù)定律說明書》，公布了他的發(fā)明.恩格斯把對數(shù)的發(fā)明與解析幾何的創(chuàng)始，微積分的建立并稱為17世紀(jì)數(shù)學(xué)的三大成就.二、知識鋪墊對數(shù)的發(fā)明至少讓天文學(xué)家的壽命延長了30年，這是為什么？23引入：我們知道指數(shù)運(yùn)算是綜合了乘、除、乘方、開方運(yùn)算，但這些運(yùn)算比較起加、減運(yùn)算顯然是繁、難、抽象、不容易計(jì)算且結(jié)果巨大，比如2^64，那好有人想能不能把乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)為為加、減運(yùn)算？于是有人（是誰？）發(fā)明了對數(shù)。對數(shù)就可以把乘、除、乘方、開方運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加、減運(yùn)算。大家看對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)。24如果a>0，a1，M>0，N>0有：)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa?=-=+=①、你能證明嗎？從哪里開始？證明的過程中發(fā)現(xiàn)什么？答：從指數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)開始。發(fā)現(xiàn)指數(shù)、對數(shù)是相對逆過程，所以證明過程中發(fā)現(xiàn)從原點(diǎn)出發(fā)，轉(zhuǎn)個圈又回來，回到原來地方，這就是循環(huán)的表現(xiàn)。②、這對數(shù)的三條運(yùn)算性質(zhì)是相互獨(dú)立各不相干，還是相互之間可以推導(dǎo)？答：⑴、⑶可以推出⑵。⑵、⑶推出⑴。⑴推出⑶。2526272829探究你能根據(jù)對數(shù)的定義推導(dǎo)出下面的換底公式嗎？3031換低公式有什么用？324、換底公式會推導(dǎo)嗎？為什么稱為換底公式？它的作用是什么?書上為了說明換底公式舉了什么例子？例1、用logax,logay,logaz表示下列各式答：把底從a變成c，有利于運(yùn)算。3334例6、計(jì)算下列各式3536例2、計(jì)算下列各式的值注：lg2+lg5=1lg2=1-lg5lg5=1-lg2靈活應(yīng)用此等式3738不要產(chǎn)生下列的錯誤：世界沒你想象測這么簡單但也沒你想象的這么復(fù)雜。把世界想簡單了你狂妄，把世界想復(fù)雜里你憂郁。39再插入三個公式①、②、及其變式。③、alogaN=N(a>0,且a≠1,N>0)②、40有一種學(xué)習(xí)方法叫自學(xué)，但自學(xué)有個毛病就是自學(xué)時毫無頭緒，就像看小說沒有線索，你們看中央電視臺的百家講壇，如果自己看沒意思，聽他們講就有滋有味。所以這兩道應(yīng)用題我們帶著問題自學(xué)?？础都t樓夢》也一樣，毫無頭緒，但又線索，這線索就是以賈寶玉、林黛玉、薛寶釵的愛情故事為線索。例5是難在數(shù)學(xué)上還是地理知識上？地震波是怎么回事？你知道地震哪些知識？我國近年來發(fā)生的一次大地震是什么？你了解這次地震嗎？我的看法。對于例6，書上去推導(dǎo)t年后體內(nèi)碳14的含量關(guān)系式的推倒方法可取不可??？我們前幾節(jié)課有講過嗎？在第幾頁？例6書上說由計(jì)算器得，計(jì)算器你會按嗎？不用計(jì)算器怎辦？你知道馬王堆漢墓更多的知識嗎？

注：用正弦、余弦圖象來分析地震波。汶川大地震圖片410.5

6磅手榴彈爆炸1.0

30磅建筑爆破

1.5

320磅二戰(zhàn)期間常規(guī)炸彈

2.0

1噸二戰(zhàn)期間常規(guī)炸彈

2.5

4.6噸二戰(zhàn)期間的"Cookie"巨型炸彈

3.0

29噸

2003年大型燃料空氣炸彈（MOAB）

3.5

73噸

1957年前蘇聯(lián)車?yán)镅刨e斯克核事故

4.0

1千噸小型原子彈

4.5

5.1千噸常見的龍卷風(fēng)

5.0

32千噸投放在日本長崎的原子彈

5.5

80千噸

1992年美國內(nèi)達(dá)華LittleSkullMtn.地震

6.0

10萬噸

1994年美國內(nèi)達(dá)華DoubleSpringFlat地震

6.5

50萬噸

1994年Northridge地震

7.0

320萬噸目前最大型的原子彈

7.5

1600萬噸

1992年美國加利福尼亞Landers地震

8.0

10億噸

1906年美國加利福尼亞舊金山地震

8.5

50億噸

1964年美國阿拉斯加安克雷奇耶穌受難日地震

9.0

320億噸

2004年印度洋大地震

10.01萬億噸美國加利福尼亞圣安德烈斯斷層擠壓地面42地震級數(shù)零級：無感地震，地震儀的儀表上有記錄，而人尚無感覺。一級為「微震」：人體靜止時或?qū)Φ卣鹩刑厥饷舾姓?，有感?yīng)。二級屬于「輕震」：門窗搖動，一般人均有感覺。三級為「弱震」：房屋動搖，門窗格格有響，懸物搖擺，盛水動蕩。四級為「中震」：房屋搖動甚烈，不穩(wěn)定物體易傾倒或落下，盛水容器達(dá)八分滿都會濺出。五級為「強(qiáng)震」：墻壁裂開，煙囪或牌坊都會傾倒。六級為「裂震」：房屋傾倒，山崩地裂，表層斷陷。第七級時人會站立不穩(wěn)，池塘出現(xiàn)水波。第八級則磚石墻部分破裂倒塌，樹枝斷落。第九級是很嚴(yán)重的，地下水管破裂，地面出現(xiàn)裂縫，小建筑物倒塌等等。第十級時水庫出現(xiàn)裂縫、橋梁被破壞，鐵路扭曲等。第十一級則地下水管及陰溝系統(tǒng)全被破壞。第十二級則是全面破壞，連巨石也震動移位。434445

例5、20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.（1）假設(shè)在一次地震中，一個距離震中100千米的測震儀記錄的地震最大振幅是20，此時標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅是0.001，計(jì)算這次地震的震級（精確到0.1）；46解:(1)因此,這是一次約為里氏4.3級的地震.47

例5、20世紀(jì)30年代，里克特制訂了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越.這就是我們常說的里氏震級M，其計(jì)算公式為M＝lgA－lgA0.其中A是被測地震的最大振幅，A0是“標(biāo)準(zhǔn)地震”的振幅（使用標(biāo)準(zhǔn)振幅是為了修正測震儀距實(shí)際震中的距離造成的偏差）.（2）5級地震給人的震感已比較明顯，計(jì)算7.6級地震的最大振幅是5級地震的最大振幅的多少倍（精確到1）.48解:(2)當(dāng)M=7.6時,地震的最大振幅為當(dāng)M=5時,地震的最大振幅為所以,兩次地震的最大振幅之比是答:7.6級地震的最大振幅大約是5級地震的最大振幅的398倍.49墓主人的歷史背景馬王堆漢墓是西漢初期長沙國丞相、轪侯利倉及其家屬的墓葬。長沙為漢長沙國首府臨湘縣所在地。該墓地曾被訛傳為五代十國時楚王馬殷的墓地，故稱馬王堆；又曾被附會為長沙王劉發(fā)埋葬其母程、唐二姬的“雙女”。一號漢墓出土的女尸，時逾2100多年，形體完整，全身潤澤，部分關(guān)節(jié)可以活動，軟結(jié)蒂組織尚有彈性，幾乎與新鮮尸體相似。它既不同于木乃伊，又不同于尸臘和泥炭鞣尸。是一具特殊類型的尸體，是防腐學(xué)上的奇跡，震驚世界，吸引不少學(xué)者、游人觀光。女尸經(jīng)解剖后，軀體和內(nèi)臟器官均陳列在一間特殊設(shè)計(jì)的地下室內(nèi)（漢墓陳列館現(xiàn)設(shè)在湖南省博物館院內(nèi)）。三座墓中以一號墓規(guī)模最大，墓坑南北長19.5米，東西寬達(dá)17.8米，深16米?，F(xiàn)在一、二號墓坑已經(jīng)填塞，三號墓坑經(jīng)過整理加固，保存下來，并新建了大跨度的頂棚，供人們參觀。大家百度百科：馬王堆漢墓50例6生物機(jī)體內(nèi)碳