人教A版必修二第2章2.32.3.1直線與平面垂直的判定

2．3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.1直線與平面垂直的判定11．下面四個命題，其中真命題的個數(shù)是()B

①垂直于同一直線的兩條直線平行；②垂直于同一直線的兩個平面平行；③平行于同一平面的兩個平面平行；④平行于同一直線的兩條直線平行．B．3個D．1個A．2個C．4個解析：②、③、④正確．22．下列命題(a、b表示直線，α表示平面)中的真命題是()A3．下列命題中，假命題是()DA．過一點有一個平面與已知直線垂直B．過一點至多只有一個平面與已知直線垂直C．過一點有且只有一個平面與已知直線垂直D．過一點可能有兩個平面與已知直線垂直34．直線l和平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，則()D

A．l和α相互平行 B．l和α相互垂直 C．l在α內(nèi) D．不確定解析：直線l和平面α內(nèi)無數(shù)條直線垂直，可能是l∥α，l

?α，或l和α相交(也可能垂直)，即l和α的位置關(guān)系不確定．4重點線面垂直的判定

1．判定直線和平面是否垂直，通常有三種方法： (1)定義法：如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α.l－平面α的垂線，α－直線l的垂面，它們的唯一公共點P叫做垂足(線線垂直→線面垂直)； (2)一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線與該平面垂直．用符號語言表示為：若l⊥m，l⊥n，m∩n＝B，m?α，n?α，則l⊥α； (3)若兩條平行直線中的一條垂直于平面，則另一條也垂直于這個平面．5

2．根據(jù)線面垂直的定義知：線面垂直可以得到大量線線垂直；由線面垂直的判定定理知：要得到線面垂直就需要線線垂直．要深切體會線面垂直與線線垂直的相互轉(zhuǎn)化． 3．定理：過一點有且只有一條直線與已知平面垂直，過一點有且只有一個平面與已知直線垂直．難點直線與平面所成的角

斜線和平面所成的角，簡稱“線面角”，它是平面的斜線和它在平面內(nèi)的射影的夾角．求直線和平面所成的角，一般先定斜足，再作垂線找射影，然后通過解直角三角形求解，可以簡述為“作(作出線面角)→證(證所作為所求)→求(解直角三角形)”．通常，過斜線上某個特殊點作出平面的垂線段，并連接垂足和斜足是產(chǎn)生線面角的關(guān)鍵．6線面垂直判定定理的應(yīng)用

例1：已知：如圖1，空間四邊形ABCD中，AB＝AC，DB＝DC，取BC中點E，連接AE、DE，求證：BC⊥平面AED.圖1

證明：∵AB＝AC，DB＝DC，E為BC中點， ∴AE⊥BC，DE⊥BC.

又∵AE與DE交于E，∴BC⊥平面AED.由判定定理可知要證明直線垂直平面，只需證明直線與平面內(nèi)的任意兩條相交直線垂直即可．7下面結(jié)論成立的是()1－1.如圖2(1)，在正方形SG1G2G3中，E、F分別是邊G1G2、G2G3的中點，D是EF的中點，現(xiàn)沿SE、SF及EF把這個正方形折成一個幾何體(如圖2(2))，使G1、G2、G3三點重合于點G，(1)

(2)圖2A．SG⊥平面EFGC．GF⊥平面SEFB．SD⊥平面EFGD．GD⊥平面SEF

解析：在題圖(1)中，SG1⊥G1E，SG3⊥G3F，在題圖(2)中，SG⊥GE，SG⊥GF，∴SG⊥平面EFG.A8

1－2.如圖3，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AC⊥CD，E是PC上的任一點(除P和C點外)，證明：CD⊥AE.圖3證明：在四棱錐P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD.又∵AC⊥CD，PA∩AC＝A.∴CD⊥平面PAC.而AE?平面PAC，∴CD⊥AE.9直線與平面所成的角例2：如圖

4，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中，求A1B與平面A1B1CD所成的角．圖4解：連接BC1交B1C于O，連接A1O，在正方體ABCD－A1B1C1D1

中各個面為正方形，設(shè)其棱長為a.10?A1O為A1B在平面A1B1CD內(nèi)的射影?∠BA1O為A1B與平面A1B1CD所成的角．?A1B與平面A1B1CD所成的角為30°.11

求直線和平面所成的角時，應(yīng)注意的問題是：(1)先判斷直線和平面的位置關(guān)系．(2)當(dāng)直線和平面斜交時，常有以下步驟：①作——作出或找到斜線與射影所成的角；②證——論證所作或找到的角為所求的角；③算——常用解三角形的方法求角；④結(jié)論——說明斜線和平面所成的角值．12圖5

2－1.如圖5，在長方體ABCD－A1B1C1D1

中，AB＝BC＝2，AA1＝1，則AC1

與平面A1B1C1D1

所成角的正弦值為(

)13A2－2.若斜線段AB是它在平面α內(nèi)的射影長的2倍，則AB與α所成的角為()A．60°B．45°C．30°D．120°答案：D

解析：如圖22，連接A1C1

，則∠AC1A1

為AC1

與平面A1B1C1D1

所成角．圖2214證明：∵PA⊥⊙O所在平面，BC?⊙O所在平面，∴PA⊥BC，∵AB為⊙O直徑，∴AC⊥BC，又PA∩AC＝A，∴BC⊥平面PAC，又AE?平面PAC，∴BC⊥AE，∵AE⊥PC,PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC.

線面垂直判定定理的應(yīng)用 例3：如圖6，已知PA⊥⊙O所在平面，AB為⊙O直徑，C是圓周上任一點，過A作AE⊥PC于E， 求證：AE⊥平面PBC. 圖6153－1.PA是垂直于以AB為直徑的圓所在的平面，C為圓上)B異于A、B的任一點，則下列關(guān)系不正確的是( A．PA⊥BC

B．AC⊥PB

C．BC⊥平面PAC

D．PC⊥BC16圖7正解：∵PA⊥a，a∥b，∴PA⊥b.又∵AB⊥b，且PA∩AB＝A，∴b⊥平面PAB.又∵PB?平面PAB，∴PB⊥b.錯因剖析：沒有正確使用線面垂直的判定定理．

例4：如圖7，a∥b，點P在a、b所確定的平面外，PA⊥a于點A，AB⊥b于點B，求證：PB⊥b.174－1.P為△ABC所在平面外一點，O為P在平面ABC上的射影．(1)若PA＝PB＝PC，則O是△ABC的_____；(2)若PA⊥BC，PB⊥AC，則O是△ABC的_____；(3)若P到△ABC三邊的距離相等，且O在△ABC內(nèi)部，則O是△ABC的______；(4)若PA、PB、PC兩兩互相垂直，則O是△ABC的_____．外心垂心內(nèi)心垂心18

解析：(1)如圖23，∵PO⊥平面ABC， ∴PA、PB、PC在平面ABC上的射影分別是OA、OB、OC.又∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC.∴O是△

ABC的外心．圖23圖24(2)如圖24，∵PO⊥平面ABC，∴PA在平面ABC上的射影是OA.∵BC⊥PA，∴BC⊥OA.同理可證AC⊥OB，∴O是△

ABC的垂心．故填垂心．19(3)如圖25，圖25P到△

ABC三邊的距離分別是PD、PE、PF，則PD＝PE＝PF.∵PO⊥平面ABC，∴PD、PE、PF在平面ABC上的射影分別是OD、OE、OF.∴OD＝OE＝OF，且OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC.∴O是△