第五章 不定積分56276

§1不定積分的概念

引例

第五章不定積分

(1)xoy平面上一曲線過點(diǎn)（0，1），并在點(diǎn)(x,y)的斜率為ex-1，求此曲線。(2)一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t以速度v(t)=2t-1運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)從初始時(shí)刻t=0到時(shí)刻t所經(jīng)過的距離f(t)．這兩個(gè)問題和我們?cè)诘谌掠龅降膯栴}正好相反！要解決這類問題，必須學(xué)習(xí)不定積分一、

原函數(shù)與不定積分設(shè)函數(shù)f的定義域?yàn)閰^(qū)間i,若存在i上的可微函數(shù)f,使f

(x)=

f(x)(x∈i

).則稱f(x)為

f在區(qū)間i上的一個(gè)原函數(shù).注①:若f(x)在區(qū)間i上連續(xù)，則在下一章我們將知道f(x)在區(qū)間i上存在原函數(shù).即：連續(xù)函數(shù)必有原函數(shù).注②:若f(x)=

f(x),則c∈r,有[f(x)+c]=f(x)=

f(x).這就是說,若

f(x)有原函數(shù),則

f(x)有無限多個(gè)原函數(shù).

注③:若f(x)和g(x)都是f(x)的原函數(shù),則[f(x)g(x)]

=f(x)g

(x)=0.故f(x)g(x)為常數(shù)——f(x)的任兩個(gè)原函數(shù)相差一個(gè)常數(shù).這就是說,若f(x)有一個(gè)原函數(shù)f(x),則f(x)的其他原函數(shù)都可以寫成f(x)+c,

其中c為某個(gè)常數(shù).注④:設(shè)f(x)為f(x)在區(qū)間i上的一個(gè)原函數(shù).我們用{f(x)+c，c為任意實(shí)數(shù)}表示f(x)在區(qū)間i上的全體原函數(shù).

定義

函數(shù)f(x)在區(qū)間i上的全體原函數(shù)稱為f(x)在區(qū)間i上的不定積分.記為稱為積分符號(hào),f(x)稱為被積函數(shù),

f(x)dx稱為被積表達(dá)式,x稱為積分變量.若f(x)為f(x)在區(qū)間i上的一個(gè)原函數(shù)，則=f(x)+c.其中c稱為積分常數(shù).注⑤:求已知函數(shù)的不定積分就是求它的一個(gè)原函數(shù),再加上任意常數(shù)c.

其中例1

求解解例2

求解例3例4解例5解例6

設(shè)曲線通過點(diǎn)（1，2），且其上任一點(diǎn)處的切線斜率等于這點(diǎn)橫坐標(biāo)的兩倍，求此曲線方程.解設(shè)曲線方程為根據(jù)題意知由曲線通過點(diǎn)（1，2）所求曲線方程為顯然,求不定積分得到一積分曲線族.這些積分曲線在相同橫坐標(biāo)處的切線斜率是相同的,因此在這些點(diǎn)處的切線是互相平行的.由不定積分的定義，可知結(jié)論：求導(dǎo)數(shù)(微分)運(yùn)算與求不定積分的運(yùn)算是互逆的.二、不定積分的幾何意義三、不定積分的性質(zhì)性質(zhì)1此性質(zhì)可推廣到有限多個(gè)函數(shù)之和的情況性質(zhì)2不為零的常數(shù)可以提到積分符號(hào)外面.性質(zhì)3

兩個(gè)函數(shù)代數(shù)和的不定積分等于函數(shù)不定積分的代數(shù)和.

由于求不定積分是求導(dǎo)的逆運(yùn)算,因此由基本導(dǎo)數(shù)公式，有基本積分公式.積分公式導(dǎo)數(shù)公式

1.2.§2基本積分公式和直接積分法3.4.5.6.7.8.9.10.11.12.13.例1

求積分解根據(jù)積分公式例2

求積分解注意檢驗(yàn)積分結(jié)果是否正確，只要把結(jié)果求導(dǎo)，看其導(dǎo)數(shù)是否等于被積函數(shù)練習(xí)例3

求積分解例4

求積分解例5

求積分解例6求積分解例7

求積分解例8

求積分解說明：以上幾例中的被積函數(shù)都需要進(jìn)行恒等變形，才能利用性質(zhì)和基本積分表求出結(jié)果.----直接積分法練習(xí)引例的解決

(1)xoy平面上一曲線過點(diǎn)（0，1），并在點(diǎn)(x,y)的斜率為ex-1，求此曲線。解:設(shè)此曲線為y=f(x),則f’(x)=ex-1,f(0)=1因而得

f(x)=ex-x.(2)一質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻t以速度v(t)=2t-1運(yùn)動(dòng)，求質(zhì)點(diǎn)從初始時(shí)刻t=0到時(shí)刻t所經(jīng)過的距離f(t)．解:

f’(t)=v(t)=2t-1,f(0)=0因而得

f(t)=t2-t.直接利用基本積分表和直接積分法所能計(jì)算的不定積分是非常有限的，為了求出更多的積分，需要引進(jìn)更多的方法和技巧本節(jié)和下節(jié)就來介紹求積分的兩大基本方法——換元積分法和分部積分法。在微分學(xué)中，復(fù)合函數(shù)的微分法是一種重要的方法，不定積分作為微分法的逆運(yùn)算，也有相應(yīng)的方法。利用中間變量的代換，得到復(fù)合函數(shù)的積分法——換元積分法。通常根據(jù)換元的先后，把換元法分成第一類換元和第二類換元?！?

換元積分法

問題？解決方法利用復(fù)合函數(shù)，設(shè)置中間變量.過程令一、第一類換元法說明結(jié)果正確將上例的解法一般化：設(shè)則如果（可微）將上述作法總結(jié)成定理，使之合法化，可得——換元法積分公式第一類換元公式（湊微分法）說明使用此公式的關(guān)鍵在于將化為觀察重點(diǎn)不同，所得結(jié)論不同.定理1例1

求解（一）解（二）解（三）例2

求解一般地例3

求解注意：分子拆項(xiàng)是常用的技巧例4

求解例5

求解例6解例7

求解例8解例9

求解例10

求解例11

求解例12

求解例13

求解說明當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)相乘時(shí)，拆開奇次項(xiàng)去湊微分.例14

求解例15解例18.

例16.例17.

類似可得例19.或=ln|tanx+secx|+c.=ln|tanx+secx|+c.

第一類換元積分法在積分中是經(jīng)常使用的方法，不過如何適當(dāng)?shù)剡x取代換卻沒有一般的規(guī)律可循，只能具體問題具體分析。要掌握好這種方法，需要熟記一些函數(shù)的微分公式，并善于根據(jù)這些微分公式對(duì)被積表達(dá)式做適當(dāng)?shù)奈⒎肿冃危礈惓龊线m的微分因子。類似可得問題解決方法改變中間變量的設(shè)置方法.過程令（應(yīng)用“湊微分”即可求出結(jié)果）二、第二類換元法證設(shè)為的原函數(shù),令則則有換元公式定理2第二類積分換元公式例1.求下列不定積分.(1)解:令則=2u2ln|1+u|+c(2)

解:令則

解:令則說明當(dāng)被積函數(shù)含有兩種或兩種以上的根式時(shí)，可采用令（其中為各根指數(shù)的最小公倍數(shù)）例2

求解令例3.

求

(其中a>0).解:令x=asinu,則

例4

求解令例5求解令注:巧用湊微分法,可迅速解決上述問題.事實(shí)上,

又如:

說明(1)以上幾例所使用的均為三角代換.三角代換的目的是化掉根式.一般規(guī)律如下：當(dāng)被積函數(shù)中含有可令可令可令注意：所作代換的單調(diào)性。對(duì)三角代換而言，掌握著取單調(diào)區(qū)間即可。說明(2)

積分中為了化掉根式是否一定采用三角代換并不是絕對(duì)的，需根據(jù)被積函數(shù)的情況來定.例6

求（三角代換很繁瑣）解令例7

求解令說明當(dāng)分母的階較高時(shí),可采用倒代換例8

求解令基本積分表

前面我們?cè)趶?fù)合函數(shù)微分法的基礎(chǔ)上，得到了換元積分法。換元積分法是積分的一種基本方法。本節(jié)我們將介紹另一種基本積分方法——分部積分法，它是兩個(gè)函數(shù)乘積的微分法則的逆轉(zhuǎn)?！?分部積分法

問題解決思路利用兩個(gè)函數(shù)乘積的求導(dǎo)法則.分部積分公式注分部積分公式的特點(diǎn)：等式兩邊u,v互換位置分部積分公式的作用：當(dāng)左邊的積分不易求得，而右邊的積分容易求得利用分部積分公式——化難為易例1

求積分解（一）令顯然，選擇不當(dāng)，積分更難進(jìn)行.解（二）令分部積分公式運(yùn)用成敗的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)剡x擇u,v一般來說，u,v選取的原則是：（1）積分容易者選為v（2）求導(dǎo)簡單者選為u分部積分法的實(shí)質(zhì)是：將所求積分化為兩個(gè)積分之差，積分容易者先積分。實(shí)際上是兩次積分。例2

求積分解（再次使用分部積分法）總結(jié)若被積函數(shù)是冪函數(shù)和正(余)弦函數(shù)或冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的乘積,就考慮設(shè)冪函數(shù)為,使其降冪一次(假定冪指數(shù)是正整數(shù))例3

求積分解令若被積函數(shù)是冪函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)或冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就考慮設(shè)對(duì)數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為.這樣使用一次分部積分公式就可使被積函數(shù)降次、簡化、代數(shù)化、有理化。目的、宗旨只有一個(gè)：容易積分。例4

求積分解總結(jié)例5

求積分解注：本題也可令分部積分過程中出現(xiàn)循環(huán)，實(shí)質(zhì)上是得到待求積分的代數(shù)方程，移項(xiàng)即可求得所求積分。注意最后一定要加上積分常數(shù)c例6

求積分解注意循環(huán)形式例7解有些積分還要結(jié)合分部積分法、換元積分法綜合求解例8練習(xí)注：

有些積分的被積函數(shù)的原函數(shù)雖然存在,但原函數(shù)卻不能用初等函數(shù)表示出來.通常把被積函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)表示出來的積分稱為“積不出來”的.例如這幾個(gè)例子已被劉維爾于1835年證明.liouville[法](1809~1882)

例1.設(shè)a>0,則例2.設(shè)a≠0,則例3.

例4.例5.例6.例7.例8.

例9.例10.例11.=arctan(x+2)+c.

例15.例16.

例22.計(jì)算不定積分解:(法一)令則