二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系

22.2二次函數(shù)與一元二次方程

問題1:如圖以40m/s的速度將小球沿與地面成30°角的方向擊出時，球的飛行路線將是一條拋物線，如果不考慮空氣阻力，球的飛行高度h（單位：m）與飛行時間t（單位：s）之間具有關(guān)系h=20t－5t2考慮以下問題：（1）球的飛行高度能否達到15m？如能，需要多少飛行時間？（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）球從飛出到落地需要用多少時間？

所以可以將問題中h的值代入函數(shù)解析式，得到關(guān)于t的一元二次方程，如果方程有合乎實際的解，則說明球的飛行高度可以達到問題中h的值；否則，說明球的飛行高度不能達到問題中h的值．解：（1）解方程15＝20t－5t2t2－4t＋3=0t1=1，t2=3當球飛行1s和3s時，它的高度為15m．分析：由于球的飛行高度h與飛行時間t的關(guān)系是二次函數(shù)h=20t－5t2t1=1st2=3s15m15m（2）解方程20＝20t－5t2t2－4t＋4=0t1=t2=2當球飛行2s時，它的高度為20m．t1=2s20m（2）球的飛行高度能否達到20m？如能，需要多少飛行時間？（3）解方程20.5＝20t－5t2t2－4t＋4.1=0因為（－4）2－4×4.1＜0，所以方程無解．球的飛行高度達不到20.5m．20m（3）球的飛行高度能否達到20.5m？為什么？（4）解方程0＝20t－5t2t2－4t=0t1=0,t2=4當球飛行0s和4s時，它的高度為0m，即0s時球從地面發(fā)出，4s時球落回地面．0ｓ４ｓ（4）球從飛出到落地需要用多少時間？

從上面可以看出，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系密切．一般地，我們可以利用二次函數(shù)y=ax2+bx+c

深入討論一元二次方程ax2+bx+c=0例如，已知二次函數(shù)y=－x2＋4x的值為3，求自變量x的值，可以解一元二次方程－x2＋4x=3（即x2－4x+3=0）．反過來，解方程x2－4x+3=0又可以看作已知二次函數(shù)y=x2－4x+3的值為0，求自變量x的值．

問題2（1）下列二次函數(shù)的圖象與

x軸有公共點嗎？如果有，

公共點的橫坐標是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO

（2）當

x取公共點的橫坐標時，函數(shù)值是多少？

y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xO

（3）由二次函數(shù)的圖象，你能得出相應的一元二次方程的根嗎？二次函數(shù)與一元二次方程具有怎樣的聯(lián)系？

x

2

+

x-2=0x

2

-6x+9=0x

2

-

x+1=0y=x

2

-

x+1y=x

2

+

x-2y=x

2

-6x+9y

654321-1-2-3-2-1

1

2

3

4

5

6xOy

654321-1-2O（2）二次函數(shù)的圖象與x軸的位置關(guān)系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點，這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數(shù)根，有兩個相等的實數(shù)根，有兩個不等的實數(shù)根．歸納一般地，從二次函數(shù)y=ax2+bx+c

的圖象可知（1）如果拋物線y=ax2+bx+c

與x軸有公共點，公共點的橫坐標是x0，那么當x=x0時，函數(shù)的值是0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一個根．

由上面的結(jié)論，我們可以利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的根．由于作圖或觀察可能存在誤差，由圖象將得的根，一般是近似的．問題3（1）利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2=0的實數(shù)根．解：作y=x2－2x－2的圖象，它與x軸的公共點的橫坐標大約是－0.7，2.7.

所以方程x2－2x－2＝0的實數(shù)根為x1≈－0.7，x2≈2.7xyO－222464－48－2－4y=x2－2x－2(2.7,0)(－0.7,0)問題（2）利用函數(shù)圖象求方程x2－2x－2=—2的實數(shù)根．xyO－222464－48－2－4y=x2－2x－2(2.7,0)(－0.7,0)（3）利用函數(shù)圖象,當方程x2－2x－2=k有實數(shù)根時，k的范圍。（4）利用函數(shù)圖象,不等式x2－2x－2>0時，x的范圍。（5）利用函數(shù)圖象,不等式x2－2x－2<0時，x的范圍。（6）利用函數(shù)圖象,當方程︱x2－2x－2︳=k有兩個不相等實數(shù)根時，k的范圍。AB3.7（8）利用函數(shù)圖象,直線AB:y1=kx-2,當y1>y時,求自變量x的范圍。（7）利用函數(shù)圖象,直線AB:y1=kx-2,當y1=y時,求自變量x的范圍。練習：1.汽車剎車后的距離S（單位：m）與行駛時間t（單位為：s）的函數(shù)關(guān)系式S=15t－6t2，汽車剎車后停下來行駛5米，求汽車剎車后停下來的時間是多少？解：由函數(shù)關(guān)系可得：5=15t－6t2解方程得x1≈0.98x2≈28.75（不符合實際舍去）所以汽車剎車后停下來的時間為0.98s．2.一個滑雪者從85m長的山坡滑下