第二節(jié) 矩陣的概念及運算

第二節(jié)矩陣的概念及運算一矩陣的概念例1某公司生產(chǎn)四種產(chǎn)品A,B,C,D,第一季度的銷量分別如下表所示：產(chǎn)品銷量月份ABCD一月300250220180二月320230200200三月310280210220為了研究方便，在數(shù)學(xué)中常把表中的說明去掉，將上表簡化為如下的矩形數(shù)表：此表在數(shù)學(xué)上稱為矩陣。定義由個數(shù)，排成的m行n列的數(shù)表叫做m行n列矩陣（或矩陣）；其中叫做矩陣的元素；分別叫做的行標(biāo)和列標(biāo)。通常用大寫字母或表示矩陣，也可記作或n階方陣（m=n時）：行矩陣（m=1時）：列矩陣（n=1時）：零矩陣：或主對角線（方陣中元素所在的對角線）對角方陣（除主對角線外，其余元素均為0的方陣）：

如為對角方陣上三角陣?yán)鐬樯先顷囅氯顷嚴(yán)鐬橄氯顷?/p>

對稱陣滿足例如為對稱陣單位陣?yán)鐬閱挝魂囖D(zhuǎn)置矩陣：把矩陣A的行換成同序數(shù)的列，得到的新矩陣，稱為A的轉(zhuǎn)置矩陣，記作例如，，則矩陣的相等：（即：矩陣的相等恰意味著元素對應(yīng)相等）二矩陣的加法與減法設(shè)規(guī)定（即：矩陣的加減意味著元素對應(yīng)相加減）如：則注意：兩個矩陣只有當(dāng)它們的行數(shù)、列數(shù)分別相同時，才可進(jìn)行加減。矩陣加法滿足以下規(guī)律：（1）交換律：A+B=B+A（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C)（其中A,B,C都是矩陣）例2已知并且A=B+C,求矩陣B和C。三數(shù)與矩陣相乘數(shù)k與矩陣的乘積規(guī)定為即并規(guī)定kA=Ak數(shù)與矩陣的乘法滿足以下規(guī)律：（1）分配律：k(A+B)=kA+kB(k+h)A=kA+hA（2）結(jié)合律：k(hA)=(kh)A（其中，A，B都是矩陣，k，h為任意常數(shù)）例3已知求四矩陣與矩陣相乘先看一個例子：某廠生產(chǎn)兩種產(chǎn)品，第一季度的銷售額如表（1）所示（單位：千元），表（2）為產(chǎn)品質(zhì)量全為一等品或全為二等品時的利潤表。產(chǎn)品AB等級一等品二等品月份產(chǎn)品一月57A20%10%二月610B30%15%三月812表（1）表（2）因此，該廠產(chǎn)品若全為一等品或全為二等品時利潤如下所示。等級一等品二等品月份一月二月三月上述三個數(shù)表，用矩陣表示為可記C=AB。其中而（即A的第i行與B的第k列對應(yīng)相乘再相加）定義設(shè)令則稱為A與B的乘積，記作C=AB。即結(jié)論：矩陣A與B的乘積AB有意義的充要條件是：左矩陣A的列數(shù)等于右矩陣B的行數(shù)s。例4已知求AB和BA。可見，在一般情況下，矩陣的乘法滿足以下規(guī)律：（1）分配律：A(B+C)=AB+AC(B+C)A=BA+CA（2）結(jié)合律：(AB)C=A(BC)k(AB)=(kA)B=A(kB)（其中A,B,C為矩陣,k為任意的數(shù)）在矩陣的乘法中，單位陣I所起的作用與普通代數(shù)中數(shù)1的作用類似，即AI=IA=A注意：當(dāng)A,B均時，可以有AB=0。例如：則但AB=0（因此，通常的約分律在此不能濫用）五逆矩陣概念定義對于n階方陣A，若存在n階方陣C，使得AC=CA=I（I為單位陣），則稱C為A的逆矩陣（簡稱逆陣），記作即。從而這時方陣A稱為可逆的（非奇異的），否則，A叫做不可逆的（奇異的）。例如，則AC=CA=I。故。逆矩陣有以下性質(zhì)：（1）若A可逆，則是唯一的。（2）若A可逆，則。（3）若A,B均為n階方陣，且A,B均可逆，則。以下為補(bǔ)充知識：1矩陣概念的其它背景：（1）線性方程組的系數(shù)矩陣和增廣矩陣（2）線性變換的系數(shù)矩陣2矩陣加法的一種實際背景：某種物資（單位：噸）從m個產(chǎn)地運往n個銷地，兩次調(diào)運方案分別用矩陣表示。則求各產(chǎn)地到各銷地的兩次物資調(diào)運量就是作矩陣A和B的加法：3“數(shù)乘矩陣”的一種實際背景：如果一個系統(tǒng)A的輸出信號太小，需外接一個放大器，其放大倍數(shù)為k，即輸出信號都放大到k倍，則實際上相當(dāng)于數(shù)k與矩陣作了乘積4利用矩陣的乘法，可以把線性方程組簡寫為矩陣形式AX=B。其中即5利用矩陣的乘法，也可以把n個輸入m個輸出的線性系統(tǒng)簡寫成矩陣形式Y(jié)=AX,其中即6在線性控制系統(tǒng)中，往往要把一個線性系統(tǒng)A的輸出送到另一個線性系統(tǒng)B中作為輸入。于是，將A,B兩個系統(tǒng)串聯(lián)起來的系統(tǒng)等效于線性系統(tǒng)C=BA事實上，設(shè)Y=AX，Z=BY，則Z=B(AX)=(BA)X，即Z=(BA)X因此，A,B的串聯(lián)系統(tǒng)確實等效于C=BA系統(tǒng)。ABXYZ7對于n個未知數(shù)、n個方程的線性方程組AX=B（矩陣形式），若系數(shù)矩陣A可逆，則必有（事實上，由AX=B有：，即