計算固體04說課講解

計算固體04

在本構(gòu)關(guān)系中，凡是放棄材料線性關(guān)系的理論，均屬于非線性范疇．在這個范疇內(nèi)，又根據(jù)不同的材料性態(tài)，區(qū)分不同的力學(xué)范圍，提出不同的本構(gòu)理論，建立不同本構(gòu)方程．研究材料非線性問題，在建立本構(gòu)方程時，僅考慮應(yīng)力、應(yīng)變兩個物理參數(shù)，但兩者成非線性關(guān)系，其中若結(jié)構(gòu)恢復(fù)無外載狀態(tài)后，無殘余應(yīng)變存在稱為非線性彈性，若存在殘余應(yīng)變，則稱為彈塑性．

有些材料即使結(jié)構(gòu)承受的應(yīng)力保持不變，它們也會發(fā)生附加的變形，顯示材料的變形與時間相關(guān)，對于大多數(shù)金屬而言，此特性在高溫下比較明顯．材料的這種時間相關(guān)特性，在一定的時間內(nèi)，在一定的載荷作用下，結(jié)構(gòu)出現(xiàn)的變形稱為蠕變．

有些材料（如高分子材料等）應(yīng)力與應(yīng)變表現(xiàn)出彈性性質(zhì)，但卻與加載速率有關(guān)。材料中的總應(yīng)力由對應(yīng)于彈性變形的應(yīng)力和粘性阻尼所產(chǎn)生的應(yīng)力組合而成．在加載速率緩慢狀態(tài)下，粘－彈性介質(zhì)的表現(xiàn)如同彈性介質(zhì)一樣．當(dāng)應(yīng)變率加大時應(yīng)力隨之增大．材料的這種與時間相關(guān)的特性稱之為粘彈性．

有些材料在某種應(yīng)力水平（稱為屈服應(yīng)力）之下，彈性性質(zhì)與應(yīng)變率無關(guān)．當(dāng)應(yīng)力超過屈服應(yīng)力時，材料呈彈塑性性質(zhì)且與應(yīng)變率有關(guān)，也即介質(zhì)總應(yīng)力為對應(yīng)的塑性應(yīng)力與粘性阻尼所產(chǎn)生的應(yīng)力組合．這種現(xiàn)象稱之為粘塑性（或彈性－粘塑性）．本節(jié)將分別討論彈塑性、蠕變和彈粘塑性等問題的有限元計算方法．

圖4.1材料的單軸拉伸試驗曲線

4.1彈塑性有限元分析

我們從材料的單軸拉伸試驗曲線上（圖4.1）可觀察到彈塑性材料的某些特性．從自然狀態(tài)出發(fā)，存在一個屈服極限對應(yīng)于圖上的A點），低于這個極限應(yīng)力時，應(yīng)力與應(yīng)變呈線性關(guān)系．超過這個極限（例如達到B點）時，應(yīng)力與應(yīng)變之間不但不是線性關(guān)系，而且在卸載后，變形僅部分地恢復(fù)，另一部分作為塑性變形保留下來．因此，應(yīng)力與應(yīng)變之間不再像非線性彈性那樣是單值對應(yīng)的，應(yīng)力和應(yīng)變與變形的歷史有關(guān)．

隨著塑性變形的出現(xiàn)和發(fā)展，材料對外部作用的反應(yīng)也不同了，例如屈服極限值可因塑性變形而提高，具有塑性變形的試件重新加載時，達到B點之后才開始出現(xiàn)新的塑性變形，這種屈服極限（相對于初始的值）提高的現(xiàn)象叫做強化，隨著塑性變形的發(fā)展屈服極限降低的現(xiàn)象叫軟化，而隨塑性變形的發(fā)展，屈服極限保持不變的性質(zhì)叫理想塑性．

4.1.1材料的屈服準(zhǔn)則

在一般的應(yīng)力狀態(tài)下建立彈塑性的本構(gòu)理論，需要將上述單向應(yīng)力狀態(tài)下建立的概念加以推廣，屈服條件就是屈服應(yīng)力概念的推廣．在多向應(yīng)力條件下的屈服條件不再是應(yīng)力應(yīng)變曲線上的一個點，而是以應(yīng)力分量或應(yīng)變分量為坐標(biāo)的空間中為曲面，這個面稱為屈服面，用數(shù)學(xué)表達式描述屈服面的函數(shù)稱為屈服函數(shù)，也稱屈服準(zhǔn)則．

塑性理論的第一個研究內(nèi)容是材料的屈服準(zhǔn)則．研究表明，各種材料的屈服準(zhǔn)則是不同的．下面介紹最常用的四個屈服準(zhǔn)則：

(一)屈雷斯卡(Tresca)準(zhǔn)則

屈雷斯卡根據(jù)一系列擠壓試驗結(jié)果，提出當(dāng)材料中的最大剪應(yīng)力達到極限值時發(fā)生屈服。當(dāng)主應(yīng)力按的次序排列時，屈雷斯卡條件可寫為：或

式中為材料的剪切屈服應(yīng)力，它可以通過純剪切試驗，或簡單拉伸試驗確定．在簡單拉伸時，則由此可知，屈雷斯卡準(zhǔn)則預(yù)測材料的剪切屈服應(yīng)力為拉伸屈服應(yīng)力的一半，即

一般情況下，屈雷斯卡準(zhǔn)則可以敘述為或中任一對主應(yīng)力之差的絕對值等于時，材料發(fā)生屈服，其屈服條件為

(二)米賽斯(vonMises)屈服準(zhǔn)則

米賽斯準(zhǔn)則認為，對于各向同性材料，當(dāng)應(yīng)力偏量的第二不變量等于某一定值時，材料就進入屈服，即

其中是應(yīng)力偏量的第二不變量

是根據(jù)簡單應(yīng)力狀態(tài)下的材料試驗給出的屈服參數(shù).可用應(yīng)力分量表示:

在純剪切情況下，因此，為剪切屈服應(yīng)力,在單向拉伸情況下，

因而：

通常引入等效應(yīng)力和等效應(yīng)變,等效應(yīng)力把一個多維應(yīng)力狀態(tài)用單軸應(yīng)力等效起來，以便判斷其屈服情況．等效應(yīng)力的定義為

與等效應(yīng)力對應(yīng)的等效應(yīng)變定義為其中偏應(yīng)變張量定義為

在單向拉伸情況下，而不為零，其余三個切應(yīng)變分量為零，因此米賽斯屈服條件也可寫為

(三)杜拉克－普拉格(Drucker-Prager)屈服準(zhǔn)則

對于巖石，土等地質(zhì)材料，vonMises屈服準(zhǔn)則是不準(zhǔn)確的，應(yīng)當(dāng)考慮靜水壓力及材料內(nèi)聚力與摩擦角的影響．因此，Drucker-Prager在考慮這些因素后，對vonMises準(zhǔn)則進行推廣，提出了以下準(zhǔn)則表達式：

其中是應(yīng)力張量的第一不變量,定義為

反映靜水應(yīng)力的影響，式中的和是材料常數(shù)，它們與工程中常用的內(nèi)聚力和摩擦角之間存在下列關(guān)系：

(四)希爾(Hill)正交各向異性屈服準(zhǔn)則

在深沖鋼板和冷軋鋼板等冷加工時，工件產(chǎn)生塑性變形后，材料會出現(xiàn)正交各向異性，希爾最早提出了正交各向異性材料的塑性屈服條件：

其中為某一方向上的屈服應(yīng)力，稱為當(dāng)量各向同性屈服應(yīng)力，而為材料的正交各向異性常數(shù)，當(dāng)這些常數(shù)滿足下列條件時：則希爾屈服條件就退化為各向同性材料的米賽斯屈服條件．

要使用希爾正交各向異性屈服條件就要確定屈服條件式中的六個材料常數(shù)．一般可以在正交各向異性的主軸選取試樣，并得到相應(yīng)的屈服應(yīng)力

,于是由屈服條件得到：

此外，用試驗的方法測得對應(yīng)于軸，軸和軸的剪切屈服應(yīng)力，于是由屈服條件式可得：

若取為軸方向的屈服應(yīng)力，只要測量出，就可以從前面的公式確定這些材料常數(shù)．

4.1.2強化理論

塑性理論中第二個研究問題是材料的強化規(guī)律，材料在初始屈服后，繼續(xù)加載時屈服面在應(yīng)力空間中的變化規(guī)律．它對應(yīng)于材料在單軸拉伸曲線中的強化現(xiàn)象．材料在塑性流動情況下，屈服條件在不斷變化，其彈性極限增大．

在復(fù)雜多維應(yīng)力狀態(tài)下描述這種現(xiàn)象要復(fù)雜得多，好在有了屈服函數(shù)的概念．屈服函數(shù)在應(yīng)力空間描述了一個空間曲面，并以它區(qū)分介質(zhì)處于何種狀態(tài)，在曲面內(nèi)介質(zhì)處于彈性．在曲面上增加一應(yīng)力增量，材料有兩種不同的反應(yīng)，一種是有新的塑性應(yīng)變增量出現(xiàn)，這種情況稱為塑性加載（簡稱加載），另一種情況是沒有新的塑性應(yīng)變發(fā)生，反應(yīng)是純彈性的，這種情況叫塑性卸載（簡稱卸載）．

在卸載期間，材料是由一個塑性狀態(tài)退回到一個彈性狀態(tài)，即應(yīng)力點離開屈服面．而加載期間，材料從一個塑性狀態(tài)過渡到另一個塑性狀態(tài)，應(yīng)力點保持在屈服面上．對于理想塑性材料，用公式表示的加-卸載準(zhǔn)則是（圖4.2a）：

卸載加載

圖4.2材料的加載和卸載

對于強化材料，在加載和卸載之間存在一個中間情況，即中性變載，在中性變載期間沒有新的塑性應(yīng)變發(fā)生，但應(yīng)力點保持在屈服面上．這時的加-卸載準(zhǔn)則是（圖4.2b）：卸載中性變載加載

對于軟化材料（圖4.2c），在加載時屈服面收縮，應(yīng)力增量也指向當(dāng)時屈服面的內(nèi)側(cè)，因而不能給出一個區(qū)別加載和卸載的表達式．

對于加載曲面在應(yīng)力空間中的運動形式，也即多維情況下材料強化模式，當(dāng)前有各向同性強化，隨動強化和聯(lián)合強化三種理論，后兩種理論考慮包辛格(Bauschinger)效應(yīng)．在循環(huán)加載或可能出現(xiàn)反向屈服的問題中，需要使用后面兩種強化模型．下面簡單介紹這三種強化模型．(一)各向同性強化理論

這個理論假設(shè)加載面的中心在應(yīng)力空間中不產(chǎn)生位移，加載后的屈服面均勻（各向同性地）膨脹（圖4.3a），并隨著塑性變形的增加保持相似形狀，這時的后繼屈服面僅決定于一個參數(shù)，等向強化的后繼屈服面可表示為：

其中參數(shù)是標(biāo)量內(nèi)變量的函數(shù)．為得到，可將上式退化至單向受力狀態(tài)．例如從vonMises準(zhǔn)則(4.1.2)退化到單向受力狀態(tài)時，可得：

材料在強化時的應(yīng)力值定義為，稱之為流動應(yīng)力，可由單軸拉伸試驗確定，可得：

圖4.3材料的強化(二)隨動強化理論

這個理論認為加載曲面在變形方向受到一個剛性位移（圖4.3b），而加載曲面的形狀不變．后繼屈服面可以表示為：

這里是一個常數(shù)，為加載面中心的位移，它與塑性應(yīng)變歷程有關(guān)．一般來說，它們之間關(guān)系應(yīng)當(dāng)用微分表示為：對于線性隨動強化則可寫為：

與各向同性強化相同，可將多維問題退化為單軸加載問題來得到式中的．對vonMises準(zhǔn)則而言：式中是單軸試驗的初始屈服應(yīng)力．將上式退化到單軸狀態(tài)，由此可推出屈服后的應(yīng)力值為：

對于線性強化材料

與單向材料試驗對比，是單向曲線的斜率．(三)膨脹與隨動聯(lián)合強化

這是前面兩種理論的組合，加載曲面在所有方向上均發(fā)生移動和膨脹，但形狀不變其中是控制屈服面各向同性膨脹或收縮的一個函數(shù)，是累積塑性應(yīng)變或塑性功有關(guān)的自變量．

塑性理論本構(gòu)關(guān)系，即塑性應(yīng)變與應(yīng)力之間的關(guān)系，也稱塑性流動規(guī)律．有二種塑性理論：(1)塑性流動理論，也稱增量理論，它討論塑性應(yīng)變增量與當(dāng)前應(yīng)力及應(yīng)力增量之間的關(guān)系．(2)塑性形變理論，或稱全量理論，是討論塑性應(yīng)變本身與應(yīng)力間的關(guān)系．當(dāng)前在有限元法中基本上采用增量理論．所以，這里僅介紹增量理論有關(guān)的內(nèi)容．4.1.3塑性本構(gòu)關(guān)系

在材料進入塑性后，假設(shè)無限小應(yīng)變增量可分解為彈性應(yīng)變分量的增量和塑性應(yīng)變分量的增量之和．其中的彈性應(yīng)變分量的增量與應(yīng)力增量之間滿足虎克定律：

而塑性應(yīng)變增量遵從流動法則：式中為加載曲面表達式，是與應(yīng)力塑性應(yīng)變單軸曲線斜率有關(guān)的量，是非負的尺度因子,可以根據(jù)屈服準(zhǔn)則和強化理論來確定這個量．

上式與具體屈服函數(shù)聯(lián)系在一起，因此稱之為相關(guān)塑性流動法則．該式同樣也表明，塑性應(yīng)變增量方向是該點加載曲面法線方向，通常稱之為正交法則.

有了塑性理論的基本公式后，就可以推導(dǎo)能用于有限元計算的應(yīng)力增量與應(yīng)變增量之間的關(guān)系．

我們設(shè)材料的屈服函數(shù)可表示為下列形式：其中稱為強化參數(shù)，不同的材料強化情況，就有不同的形式．它與塑性應(yīng)變有關(guān)，在塑性變形中，應(yīng)力點始終保持在隨而變的加載面上．因而有：

在塑性理論中此式稱為一致性條件．從前面的公式可得：

在上式兩邊乘以并將一致性條件代入可得：

設(shè)為等效塑性應(yīng)變和溫度的函數(shù)，則有

其中等效塑性應(yīng)變增量定義為

注意到等效塑性應(yīng)變增量式與等效應(yīng)變式的定義有所不同，因為在塑性理論中假設(shè)塑性體積應(yīng)變?yōu)榱?，即塑性?yīng)變時取，因此，塑性應(yīng)變偏量與塑性應(yīng)變相同，所以用上式定義等效塑性應(yīng)變增量．

由上述幾個公式和塑性應(yīng)變增量的流動法則可得：其中

最后得到：其中稱為彈塑性矩陣，其表達式為：

這兩個公式用矩陣表示時可寫為：

有了彈塑性矩陣的公式以后就可以將線彈性有限元的方程直接推廣到彈塑性的情況．

對于不同的屈服函數(shù)和強化規(guī)律，可得到不同的彈塑性矩陣形式，下面以vonMises屈服函數(shù)和各向同性強化材料為例，推導(dǎo)彈塑性矩陣的形式．對于這種材料加載曲面函數(shù)可寫為：由此可得：

在三維情況下可以證明：

材料加載曲面函數(shù)中的是塑性功的函數(shù)．

注意到在單向拉伸情況下：

由此可以看出，為等效應(yīng)力與等效塑性應(yīng)變曲線的斜率，或稱硬化率，當(dāng)材料為線性硬化時，它是常數(shù)，否則為與加載歷程有關(guān)的變量．

匯總后，對于vonMises屈服條件下，vonMises加載函數(shù)的各向同性材料的彈塑性矩陣為：

下面介紹正交各向異性材料的彈塑性矩陣。正交各向異性材料的彈性矩陣為：

如果用試驗方法測得與三個主軸方向相應(yīng)的彈性模量，剪切模量,泊松比，則彈性模量和泊松比之間滿足如下關(guān)系：

由于有這三個關(guān)系，所以，三個彈性模量和六個泊松比中只有六個獨立常數(shù)，再加上三個剪切模量，因此，正交各向異性彈性材料有九個獨立的材料常數(shù)．彈性矩陣中的九個可以用這九個材料常數(shù)表示：

其中對于平面應(yīng)力問題，若取

則其彈性矩陣為

其中標(biāo)記

對于彈性和塑性均為正交各向異性時，根據(jù)屈服準(zhǔn)則，可設(shè)正交各向異性材料的等效應(yīng)力為

從上式可得塑性應(yīng)力矩陣

也可寫成矩陣形式，其中

從正交各向異性彈性矩陣和塑性應(yīng)力矩陣可得其中

再由上式和塑性應(yīng)力矩陣可得

其中

于是可得正交各向異性的塑性矩陣，

其中

在平面應(yīng)力情況下，則等效應(yīng)力為

從正交各向異性彈性矩陣，采用與上述相似的方法可得平面應(yīng)力情況下的塑性矩陣

其中

在材料的彈性為各向同性，塑性為正交各向異性時，也可推導(dǎo)相應(yīng)的彈塑性矩陣.

由上述結(jié)果可見，由于中含有應(yīng)力項，應(yīng)力與總應(yīng)變已成非線性關(guān)系．對于其他屈服面和強化準(zhǔn)則，也可推導(dǎo)相應(yīng)的彈塑性矩陣，這些就不一一介紹了．

4.1.4塑性流動理論的變分原理

塑性流動理論的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系有彈塑性、剛塑性、理想塑性和應(yīng)變硬化等情況．由于彈塑性流動理論的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是以應(yīng)力增量和應(yīng)變增量的形式給出的，所以，現(xiàn)在將塑性力學(xué)中的所有基本方程和邊界條件也用增量形式表示：

平衡方程(不計體力)：應(yīng)變增量-位移增量關(guān)系(幾何關(guān)系)：

邊界條件在上在上本構(gòu)關(guān)系(應(yīng)力增量-應(yīng)變增量關(guān)系)：

彈塑性變分原理中第一變分原理(最小勢能原理)為：在所有滿足幾何關(guān)系和位移邊界條件的運動許可場中，真實解使下列泛函為最小值．

對于應(yīng)變硬化材料：

根據(jù)不同的受載過程和屈服情況，可取不同的值．當(dāng)材料屈服，且處于加載或中性變載過程時，；當(dāng)材料屈服，但處于卸載過程，或材料尚未屈服時，則．由上式，通過一系列運算可得：

其中為應(yīng)變偏量,因此，應(yīng)變能密度可寫為：

現(xiàn)在設(shè)真實解為，運動許可解為,,由虛功原理得：

由此兩式可得：因為

右端第二項記為，

上式中帶號”*”者均為對應(yīng)于運動許可解和的量．因為

于是可得：

式中右端的第一、二項均大于零，而第三項有下列四種可能：

(1)如材料未屈服或處于卸載過程，則，于是該項為零；

(2)若和均處于加載過程，則,該項為

(3)如處于加載，處于卸載，則，于是該項為

(4)如處于卸載，處于加載，則，于是該項為

因此，從前面的公式可知因而有

于是得到也即

這就證明了在一切運動許可解中，真實解使泛函為最小值．

上述變分原理與彈性力學(xué)中的最小勢能原理相應(yīng)．在彈塑性力學(xué)中，也有與彈性力學(xué)中最小余能原理相應(yīng)的變分原理：在所有滿足平衡方程和應(yīng)力邊界條件的靜力許可場中，真實解使下列泛函為最小值：

式中為余能密度．這個變分原理的證明就省略了．

4.1.5彈塑性問題的有限元解法

在彈塑性問題中，材料的性質(zhì)與應(yīng)力和變形的歷史有關(guān)，本構(gòu)方程是用增量形式表達的．這就需要按載荷作用的實際情況，在小的載荷增量下逐步地計算求解．在用增量方法求解時，可以把總載荷分成適當(dāng)數(shù)目的小載荷增量．

現(xiàn)在考慮一個典型的載荷增量，在這個載荷增量施加之前已作用有累積載荷，相應(yīng)的位移、應(yīng)變、應(yīng)力和內(nèi)變量等分別用表示．這些量認為都已經(jīng)計算出來了．由于施加了新的載荷增量，達到新的累積載荷，在施加期間，位移、應(yīng)變、應(yīng)力和內(nèi)變量等的增量分別用表示，那么在新的累積載荷

下的總位移、總應(yīng)變、總應(yīng)力和內(nèi)變量分別是

在小應(yīng)變情況下：在載荷下的平衡條件是對總應(yīng)力列出的，即有：

如果在載荷下的解答和是嚴格準(zhǔn)確的，則有：這時可得到：

在得到和求解非線性方程組時，需要知道應(yīng)力增量和應(yīng)變增量之間的關(guān)系式．眾所周知，塑性增量理論中的彈塑性本構(gòu)方程是以應(yīng)力和應(yīng)變的無限小增量和的形式給出的．

而在有限元的數(shù)值計算中，載荷增量是以有限大小形式給出的，從而應(yīng)力增量和應(yīng)變增量也是以有限大小的形式給出的，這就需要從前面的公式出發(fā)，利用數(shù)值積分的方法得到應(yīng)力的有限增量和應(yīng)變的有限增量之間的關(guān)系：

上述的和之間的關(guān)系顯然也是非線性的．實際上在有限元計算時用下式來近似上式：

在有限元中計算單元剛度時，若采用數(shù)值積分，那么要對積分點的應(yīng)力狀態(tài)加以判斷，若在載荷增量作用之前，積分點的應(yīng)力對應(yīng)于一個彈性狀態(tài)，而在載荷增量作用之后，該點為卸載或中性變載時，則反應(yīng)是彈性的，在公式中?。糨d荷增量作用后該點處于塑性狀態(tài)，則式中的比例因子可用以對屈服函數(shù)采用線性內(nèi)插來得到：

其中和分別對于應(yīng)于載荷(應(yīng)力為)和載荷（應(yīng)力為）時的屈服函數(shù)值。一般狀態(tài)預(yù)先不知道的，因此要采用疊代法來確定．

現(xiàn)在求解非線性方程組，首先將和之間的非線性關(guān)系線性化，即在下的彈塑性矩陣代替積分號下的，這時有：于是就得如下的線性方程組：

式中是在載荷下系統(tǒng)的切線剛度矩陣：

這是線性化方法把非線性問題化為逐段的線性問題．對每一個載荷增量求解一個線性問題．

若將時的平衡式代入上式則得到的增量方程為：它相當(dāng)于自校正法，這種方法對以前各步計算的誤差（表現(xiàn)在上）自動地進行校正．

實際上，在用上述的線性化方法后，最后的狀態(tài)一般很難保證與外載相平衡，因此也要用疊代方法進行求解．關(guān)于非線性方程的求解方法將在后面介紹．在彈塑性有限元計算中，還有一個方法就是初應(yīng)力法，從平衡式出發(fā)：

將應(yīng)力增量用應(yīng)變增量代替：由此得到：

右邊第二項和彈性力學(xué)有限元法中的初應(yīng)力相似，所以這種解法稱為初應(yīng)力法．由于右邊的即為所求的位移增量，預(yù)先是不知道的，這就需要一個疊代過程．但是左邊的剛度矩陣是彈性矩陣，在疊代過程中是不變的．

4.2蠕變的有限元分析

蠕變應(yīng)變除了與應(yīng)力和時間相關(guān)外，還與溫度相關(guān)，寫成數(shù)學(xué)關(guān)系式為：

為了試驗和建立數(shù)學(xué)模型的方便，通常把各參數(shù)的影響分別加以考慮，即：

通過試驗可以對各個函數(shù)提出具體的表達式．如與應(yīng)力相關(guān)的函數(shù)式有：式中均為試驗確定的材料常數(shù)．

對于與時間相關(guān)的函數(shù)式有：式中均為試驗確定的材料常數(shù)．

對于與溫度相關(guān)的函數(shù)式為：式中是活性能，是波爾茲曼常數(shù)，為絕對溫度。由此可見，溫度對蠕變應(yīng)變（或應(yīng)變率）有很大的影響．但如果考慮變溫影響，無論試驗還是計算均會增加很大的工作量．一般采用簡化的蠕變表達式：

其中為材料常數(shù)，通過測量不同溫度下的這三個常數(shù)來考慮溫度對蠕變應(yīng)變的影響．對變應(yīng)力情況，以應(yīng)變率的形式表達為好，對于上式，有

與彈塑性分析相似，在當(dāng)前的大多數(shù)研究中，是將單軸試驗中觀察到的規(guī)律，通過試驗與推理將它推廣到多軸狀態(tài)．在金屬的蠕變現(xiàn)象觀察中，得到一個結(jié)論：與塑性應(yīng)變相同，蠕變由應(yīng)力偏量產(chǎn)生，而靜水壓力起的作用很小．因此可以將塑性理論的一些方法推廣到蠕變的情況，例如vonMises理論和Tresca理論．

現(xiàn)用vonMises的等效應(yīng)變和等效應(yīng)力代替上式中的單軸蠕變本構(gòu)方程中的應(yīng)力與應(yīng)變就得到多軸應(yīng)力情況下的蠕變本構(gòu)關(guān)系：式中分別表示等效蠕變應(yīng)變和等效應(yīng)力．對于蠕變應(yīng)變與應(yīng)力關(guān)系，假定流動定律依然成立，

式中為與塑性理論相似的加載曲面．將上式寫成率的形式：

將上式代入等效蠕變應(yīng)變表達式，再根據(jù)等效應(yīng)力公式可以推出：

因此，在vonMises準(zhǔn)則情況下為：

對于與時間相關(guān)的非線性問題，當(dāng)前還不能像與時間無關(guān)的彈塑性那樣，找到一個應(yīng)力與總應(yīng)變間的材料本構(gòu)矩陣．處理的方法則采用初應(yīng)變與初應(yīng)力法。

把非彈性應(yīng)變增量當(dāng)作各增量步開始時的初應(yīng)變，把初應(yīng)變對應(yīng)的應(yīng)力由虛功原理等價到有限元節(jié)點上，構(gòu)成一項載荷．具體步驟如下，總應(yīng)變增量可以寫為式中分別為總應(yīng)變增量，彈性應(yīng)變增量，塑性應(yīng)變增量，蠕變應(yīng)變增量和溫度應(yīng)變增量．應(yīng)力增量可寫為：

式中稱為初應(yīng)變．

在沒有塑性應(yīng)變和溫度應(yīng)變的情況下，只有蠕變應(yīng)變?yōu)槌鯌?yīng)變．根據(jù)虛功原理，可得到有限元方程：其中為彈性剛度矩陣，為位移增量，為包括外載荷增量及不平衡力，為初應(yīng)變引起的初應(yīng)力增量：

顯然，初應(yīng)力增量并不是已知數(shù)，而是非線性應(yīng)變的函數(shù)，也即是位移的函數(shù)，在求解之前是未知的．因而，上式是非線性方程．其求解的方法與彈塑性問題相似．將載荷時間函數(shù)按時間分成若干段，按時間段逐個加載荷．不同的是，彈塑性問題與時間無關(guān)，在討論解法時，為了描述問題方便，有時提到的時間是虛擬的，而蠕變卻是真實的時間．

4.3彈粘塑性的有限元分析

有些材料在受外力作用時，變形與時間有關(guān)，即呈現(xiàn)所謂的粘性．有些材料在彈性階段就有明顯的粘性，這種材料