石家莊學(xué)院《數(shù)值分析》課件-第2章插值法

第2章插值法石家莊學(xué)院《數(shù)值分析》插值問題插值余項Remainder差商(亦稱均差)插值法是一種古老的數(shù)學(xué)方法，早在一千多年前的隋唐時期定制歷法時就廣泛應(yīng)用了二次插值。劉焯將等距節(jié)點的二次插值應(yīng)用于天文計算。插值理論卻是在17世紀(jì)微積分產(chǎn)生后才逐步發(fā)展起來的，Newton插值公式理論是當(dāng)時的重要成果。由于計算機(jī)的使用以及航空、造船、精密儀器的加工，插值法在理論和實踐上都得到進(jìn)一步發(fā)展，獲得了廣泛的應(yīng)用。當(dāng)精確函數(shù)y=f(x)非常復(fù)雜或未知時，在一系列節(jié)點x0…xn

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)P(x)

f(x)，滿足條件P(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的P(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項式x0x1x2x3x4xP(x)

f(x)插值問題且滿足滿足這種條件的n次插值多項式是否唯一？唯一的！上述方程組的系數(shù)行列式為n+1階范德蒙行列式由Cramer法則,線性方程組(2)有唯一解唯一解定理1.

則滿足插值條件的插值多項式存在且唯一.反證：若不唯一，則除了Pn(x)外還有另一n

階多項式Ln(x)滿足Ln(xi)=yi

?？疾靹tQn

的階數(shù)n而Qn有個不同的根n+1x0…xn注：若不將多項式次數(shù)限制為n

，則插值多項式不唯一。例如也是一個插值多項式，其中可以是任意多項式。為了求得便于使用的簡單的插值多項式P(x),我們先討論n=1的情形要求線性插值多項式L1(x),使它滿足：L1(x)的幾何意義就是通過這兩點的直線；yx由兩點式可以看出，L1(x)是由兩個線性函數(shù)也是線性插值多項式稱為線性插值基函數(shù)n=2的情況，假定插值節(jié)點為為了求出L2(x)的表達(dá)式，可采用基函數(shù)方法同理線性無關(guān)，作為二次插值基函數(shù)得到二次插值多項式例1:解:且在例1中,如果只給出兩個節(jié)點169和225,也可以作插值多項式,即1次Lagrange插值多項式,有兩個插值基函數(shù),這種插值方法稱為Lagrange線性插值,也可以在n+1個節(jié)點中取相鄰的兩個節(jié)點作線性插值例2.解:Lagrange插值基函數(shù)為Lagrange線性插值多項式為所以考慮通過n+1個節(jié)點……？n

1希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=ij

；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。li(x)每個li有n

個根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(LagrangePolynomial與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f插值余項Remainder滿足不會完全成立因此,插值多項式存在著截斷誤差,那么我們怎樣估計這個截斷誤差呢？令設(shè)其中近似函數(shù)誤差根據(jù)Rolle定理,再由Rolle定理,依此類推由于因此所以定理2.Lagrange型余項注：

通常不能確定x

,而是估計,x(a,b)

將作為誤差估計上限。當(dāng)

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。設(shè)則例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。n=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……例解:拉格朗日插值函數(shù)小結(jié)其中余項：Lagrange插值多項式的缺點：插值基函數(shù)計算復(fù)雜高次插值的精度不一定高Lagrange插值多項式的缺點我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為理論分析中很方便，但是當(dāng)插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)就要隨之變化，整個公式也將發(fā)生變化，這在實際計算中是很不方便的；Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。解決由線性代數(shù)的知識可知,任何一個n次多項式都可以表示成共n+1個多項式的線性組合那么，是否可以將這n+1個多項式作為插值基函數(shù)呢？顯然，多項式組線性無關(guān)，因此，可以作為插值基函數(shù)基函數(shù)有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復(fù)雜。。。。。。為此引入差商和差分的概念差商(亦稱均差)/*

divideddifference*/1階差商

/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xi

andxj

*/2階差商定義2.11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階差商差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表例列出f(x)=x3在節(jié)點x=0,2,3,5,6上的各階差商值。三階差商四階差商解：列表計算差商具有如下性質(zhì):Warning:myheadisexploding…Whatisthepointofthisformula?差商的值與xi

的順序無關(guān)！Newton插值公式及其余項12…………n+11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=

f[x0,…,xi]Newton插值公式及其余項例：已知x=1,4,9的平方根為1,2,3，利用牛頓基本差商公式求的近似值。解：從而得二階牛頓基本差商公式為因此計算得的近似值為性質(zhì)3上面我們討論了節(jié)點任意分布的插值公式，但實際應(yīng)用時經(jīng)常會遇到等距節(jié)點的情形，這時插值公式可以進(jìn)一步簡化，計算也簡單多了，為了給出等距節(jié)點的插值公式，我們先來看一個新概念；向前向后中心差分算子不在函數(shù)表上，要用到函數(shù)表上的值利用一階差分可以定義二階差分差分可以用歸納法證明如差分差分表差分與函數(shù)值之間的關(guān)系歸納可知，k階差商可表示為在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關(guān)系依此類推由差商與向前差分的關(guān)系Newton插值基本公式為如果假設(shè)1.Newton向前(差分)插值公式則插值公式化為其余項化為稱為Newton向前插值公式插值余項為Newton插值法的優(yōu)點是計算較簡單,尤其是增加節(jié)點時,計算只要增加一項,這點是Lagrange插值無法比的.但是Newton插值仍然沒有改變Lagrange插值的插值曲線在節(jié)點處有尖點，不光滑，插值多項式在節(jié)點處不可導(dǎo)等缺點.--------(1)兩點三次Hermite插值F例：設(shè)x0

x1x2,已知f(x0)、f(x1)、f(x2)

和f’(x1),求多項式P(x)滿足P(xi)=f(xi)，i=0,1,2，且P’(x1)=f’(x1),并估計誤差。模仿Newton多項式的思想，設(shè)解：首先，P

的階數(shù)=3A為待定系數(shù)，可由P’(x1)=f’(x1)確定與Lagrange分析完全類似

求Hermite多項式的基本步驟：寫出相應(yīng)于條件的、的組合形式；對每一個找出盡可能多的條件給出的根；其中根據(jù)多項式的總階數(shù)和根的個數(shù)寫出表達(dá)式；根據(jù)尚未利用的條件解出表達(dá)式中的待定系數(shù)；由可得最后完整寫出H(x)。兩點三次Hermite插值的誤差為構(gòu)造輔助函數(shù)均是二重根連續(xù)使用4次Rolle定理，可得，使得即所以,兩點三次Hermite插值的余項為以上分析都能成立嗎？一般的，總認(rèn)為次數(shù)越高，逼近f(x)的精度就越好，但實際上并非如此。

分段低次插值/*piecewisepolynomialapproximation*/RememberwhatIhavesaid?IncreasingthedegreeofinterpolatingpolynomialwillNOTguaranteeagoodresult,sincehigh-degreepolynomialsareoscillating.例：在[5,5]上考察的Ln(x)。取

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

n

越大，端點附近抖動越大，稱為Runge現(xiàn)象Ln(x)f(x)分段低次插值不同次數(shù)的Lagrange插值多項式的比較圖Runge現(xiàn)象從上圖可以看出，隨著n的增加，Ln(x)的計算結(jié)果和誤差的絕對值幾乎成倍的增加，這說明當(dāng)n趨于無窮大時，Ln(x)在[-5，5]上不收斂；也稱折線插值,如右圖曲線的光滑性較差在節(jié)點處有尖點但如果增加節(jié)點的數(shù)量減小步長,會改善插值效果因此則

分段線性插值

/*piecewiselinearinterpolation*/在每個區(qū)間上，用1階多項式

(直線)逼近f(x):記，易證：當(dāng)時，一致失去了原函數(shù)的光滑性。

分段Hermite插值

/*Hermitepiecewisepolynomials*/給定在上利用兩點的y及y’構(gòu)造3次Hermite函數(shù)導(dǎo)數(shù)一般不易得到。Howcanwemakeasmoothinterpolationwithoutaskingtoomuchfromf?Headache…早期工程師制圖時，把富有彈性的細(xì)長木條（所謂樣條）用壓鐵固定在樣點上，在其它地方讓它自由彎曲，然后畫下長條的曲線，稱為樣條曲線。它實際上是由分段三次曲線并接而成，在連接點即樣點上要求二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。

三次樣條插值樣條本質(zhì)上是一段一段的三次多項式拼合而成的曲線在拼接處,不僅函數(shù)是連續(xù)的,且一階和二階導(dǎo)數(shù)也是連續(xù)的一、三次樣條插值函數(shù)定義1.------(1)注：三次樣條與分段Hermite插值的根本區(qū)別在于S(x)自身光滑，不需要知道f的導(dǎo)數(shù)值（除了在2個端點可能需要）；而Hermite插值依賴于f在所有插值點的導(dǎo)數(shù)值。f(x)H(x)S(x)要求出S(x)，則在每個小區(qū)間上要確定4個待定系數(shù)，共有n個小區(qū)間，所以應(yīng)確定4n個參數(shù)。共(n+1)+(3n-3)=4n-2個條件，因此還需要兩個條件才能確定S(x)可在區(qū)間端點a,b上各加