高等數(shù)學(xué) 下冊(cè)-偏導(dǎo)數(shù)

第二節(jié)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束一、偏導(dǎo)數(shù)概念及其計(jì)算二、高階偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)第八章1編輯ppt一、偏導(dǎo)數(shù)定義及其計(jì)算法引例:研究弦在點(diǎn)x0處的振動(dòng)速度與加速度,就是中的x固定于求一階導(dǎo)數(shù)與二階導(dǎo)數(shù).x0處,關(guān)于

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的機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束將振幅2編輯ppt定義1.在點(diǎn)存在,的偏導(dǎo)數(shù)，記為的某鄰域內(nèi)則稱此極限為函數(shù)極限設(shè)函數(shù)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束注意:3編輯ppt同樣可定義對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)若函數(shù)z=f(x,y)在域D內(nèi)每一點(diǎn)

(x,y)處對(duì)x則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù),也簡稱為偏導(dǎo)數(shù),記為機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束或y偏導(dǎo)數(shù)存在,4編輯ppt例如,三元函數(shù)u=f(x,y,z)在點(diǎn)(x,y,z)處對(duì)x的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出)5編輯ppt二元函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義:是曲線在點(diǎn)M0處的切線對(duì)x軸的斜率.在點(diǎn)M0處的切線斜率.是曲線機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束對(duì)y軸的6編輯ppt函數(shù)在某點(diǎn)各偏導(dǎo)數(shù)都存在,顯然例如,注意：但在該點(diǎn)不一定連續(xù).上節(jié)例目錄上頁下頁返回結(jié)束在上節(jié)已證f(x,y)在點(diǎn)(0,0)并不連續(xù)!7編輯ppt例1.

求解法1:解法2:在點(diǎn)(1,2)處的偏導(dǎo)數(shù).機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束8編輯ppt例2.

設(shè)證:例3.求的偏導(dǎo)數(shù).(P14例4)解:求證機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束9編輯ppt偏導(dǎo)數(shù)記號(hào)是一個(gè)例4.

已知理想氣體的狀態(tài)方程求證:證:說明:(R為常數(shù)),不能看作分子與分母的商!此例表明,機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束整體記號(hào),10編輯ppt二、高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)z=f(x,y)在域D內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，則稱它們是z=f(x,y)的二階偏導(dǎo)數(shù).按求導(dǎo)順序不同,有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束數(shù):11編輯ppt類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，z=f(x,y)關(guān)于x的三階偏導(dǎo)數(shù)為z=f(x,y)關(guān)于x的n–1階偏導(dǎo)數(shù),再關(guān)于y的一階機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束偏導(dǎo)數(shù)為12編輯ppt例5.

求函數(shù)解

:注意:此處但這一結(jié)論并不總成立.機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束的二階偏導(dǎo)數(shù)及13編輯ppt例如,二者不等機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束14編輯ppt例6.

證明函數(shù)滿足拉普拉斯證：利用對(duì)稱性,有方程機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束15編輯ppt則證明目錄上頁下頁返回結(jié)束定理.例如,對(duì)三元函數(shù)u=f(x,y,z),說明:本定理對(duì)n元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的,故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù),當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(x,y,z)連續(xù)時(shí),有而初等(證明略)16編輯ppt證:令則則機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束定理.令17編輯ppt同樣在點(diǎn)連續(xù),得機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束18編輯ppt內(nèi)容小結(jié)1.偏導(dǎo)數(shù)的概念及有關(guān)結(jié)論

定義;記號(hào);幾何意義

函數(shù)在一點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù)

混合偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)與求導(dǎo)順序無關(guān)2.偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法

求一點(diǎn)處偏導(dǎo)數(shù)的方法先代后求先求后代利用定義

求高階偏導(dǎo)數(shù)的方法逐次求導(dǎo)法(與求導(dǎo)順序無關(guān)時(shí),應(yīng)選擇方便的求導(dǎo)順序)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束19編輯ppt思考與練習(xí)解答提示:P73題5P73題5,6即x＝y(tǒng)＝0時(shí),機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束20編輯pptP73題6(1)(2)機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束21編輯ppt作業(yè)P181（4）,（6）,（8）；3；5；6（3）；7；8；9（2）第三節(jié)