《正切》設(shè)計(jì) 省賽一等獎(jiǎng)

《正切》教學(xué)設(shè)計(jì)【教學(xué)目標(biāo)】1.知識(shí)與技能：會(huì)利用計(jì)算器求一個(gè)銳角的正切；2.過程與方法：引導(dǎo)學(xué)生自主探索了解銳角的正切值隨銳角的增大而增大；3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀經(jīng)歷操作、觀察、思考、求解等過程，感受數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)學(xué)生理性思維的習(xí)慣，提高學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問題的能力；【教學(xué)重點(diǎn)】計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法，體會(huì)任意銳角的正切值的特點(diǎn)；會(huì)用計(jì)算器求任意一個(gè)銳角的正切值．【教學(xué)難點(diǎn)】計(jì)算一個(gè)銳角的正切值的方法，任意銳角的正切值的變化特點(diǎn)．【教學(xué)方法:】討論探索法.【課時(shí)安排】1課時(shí)【教學(xué)過程】新課引入——情景導(dǎo)入問題1：人們在行走的過程中，自行車、汽車在行駛的過程中免不了爬坡．如圖1，哪個(gè)臺(tái)階更陡？84①84①86②圖2612③問題2：如圖2，哪個(gè)臺(tái)階最陡？你是如何判斷的？圖圖1學(xué)生繼續(xù)思考，尋找特點(diǎn)：1.①、②兩個(gè)水平寬度相同（都為8），高度不同，②中的高度（為6）高于①中的高度（為4），所以②比①陡．2.②、③兩個(gè)高度相同（都為6），水平寬度不同，②中的水平寬度（為8）小于③中的水平寬度（為12），所以②比③陡．綜合1，2可得，②最陡．,由角度逐步轉(zhuǎn)化為邊之間的比較，來實(shí)現(xiàn)向新知識(shí)的自然過渡．問題3：如圖3，在圖2中的①、③兩個(gè)臺(tái)階，你認(rèn)為哪個(gè)臺(tái)階更陡？你有什么發(fā)現(xiàn)？圖3圖38612③84①學(xué)生積極思考，尋找突破：可以引導(dǎo)學(xué)生從相同的水平寬度或者相同的高度來比較它們的傾斜程度．比如：如圖3，在③中從左向右截取水平寬度與①相同（為8），利用三角形相似就可以求出此時(shí)所對(duì)應(yīng)的高度，發(fā)現(xiàn)高度（為6）與①中所對(duì)應(yīng)的高度（為6）相等．所以它們的傾斜程度一樣，即它們一樣陡．,始終圍繞臺(tái)階的傾斜程度展開，問題環(huán)環(huán)相扣，把新知識(shí)的特點(diǎn)不知不覺、一步一步地呈現(xiàn)出來，正所謂“生其自然、成其必然”．實(shí)踐探索問題4：如圖4，一般地，如果銳角A的大小確定，我們可以作出Rt△AB1C1、Rt△AB2C2、Rt△AB3C3……圖4那么，你有什么發(fā)現(xiàn)呢？圖4觀察、思考，并歸納、小結(jié)：可以得到Rt△AB1C1∽R(shí)t△AB2C2∽R(shí)t△AB3C3……根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得……也就是說，如果直角三角形的一個(gè)銳角的大小確定，那么這個(gè)銳角的對(duì)邊與鄰邊的比值也確定．,經(jīng)過前三個(gè)問題的探究，學(xué)生似乎體會(huì)到斜坡傾斜的程度與邊角之間的關(guān)系，讓學(xué)生對(duì)所感悟的知識(shí)碎片進(jìn)行整理，并結(jié)合圖形進(jìn)行準(zhǔn)確地符號(hào)表達(dá)．通過數(shù)形結(jié)合的思維訓(xùn)練來探索數(shù)學(xué)規(guī)律，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念，有利于提高教學(xué)的有效性．總結(jié)提升A鄰邊bC對(duì)邊aB圖5如圖5，在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b分別是∠A的對(duì)邊和鄰邊．我們將∠A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切（tangent），記作tanA，即tanAA鄰邊bC對(duì)邊aB圖5你能用同樣的方法寫出∠B的正切嗎？類比、歸納：AA對(duì)邊bC鄰邊aB圖6如圖6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，b、a分別是∠B的對(duì)邊和鄰邊.那么，tanB＝＝．類似地，讓學(xué)生類比出∠B的正切的表示方法．趁熱打鐵，讓學(xué)生表示出∠B的正切，有利于學(xué)生深入認(rèn)識(shí)正切的定義，初步實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)．例題例1如圖7，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝5，求tanA、tanB．圖7圖7A4CB5拓展：通過計(jì)算tanA、tanB的值，你有什么新的發(fā)現(xiàn)嗎？發(fā)表意見，表達(dá)觀點(diǎn)，相互補(bǔ)充．參考答案：解：在Rt△ABC中，BC＝，tanA＝，tanB＝．從而發(fā)現(xiàn)tanA與tanB互為倒數(shù)，即tanA·tanB＝1．而且，根據(jù)定義，我們發(fā)現(xiàn)tanA·tanB＝·＝1，所以，我們能得到互余兩個(gè)角的正切值互為倒數(shù)．師生互動(dòng)，鍛煉學(xué)生的口頭表達(dá)能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于發(fā)表自己看法的能力，會(huì)進(jìn)行簡單的說理．在拓展環(huán)節(jié)，盡量讓學(xué)生表達(dá)，或是在互相交流的基礎(chǔ)上發(fā)表自己的看法，這樣有利于學(xué)生對(duì)知識(shí)的進(jìn)一步理解．例題圖82例2如圖8，在等邊三角形ABC中，AB＝2，求tanA圖82拓展：通過計(jì)算tanA的值，你對(duì)60o的正切值有什么認(rèn)識(shí)？30o呢？你還能得到其他的嗎？發(fā)表意見，表達(dá)觀點(diǎn)，相互補(bǔ)充．參考答案：解：過點(diǎn)C作CD⊥AB，垂足為D，則AD＝．在Rt△ACD中，CD＝，tanA＝．從而發(fā)現(xiàn)tan60o，而∠ACD＝30o，tan∠ACD＝，即tan30o．利用等腰直角三角形的特點(diǎn)，還能求出tan45o＝1．例2主要是針對(duì)角不在直角三角形中如何處理，要讓學(xué)生明白尋找對(duì)邊或鄰邊時(shí)要在該角所在的直角三角形中實(shí)現(xiàn)，從而引導(dǎo)學(xué)生去創(chuàng)造直角三角形培養(yǎng)學(xué)生分析問題的能力．適時(shí)的問題拓展，開放性的問題設(shè)計(jì)，既綜合整理、當(dāng)堂復(fù)習(xí)了新課知識(shí)要點(diǎn)，又留給了學(xué)生自由發(fā)揮的空間．練習(xí)圖95A12BC①圖95A12BC①B1517AC②C57AB③A10BC2.如圖10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，tanA，求AC、BC和tanA10BC圖10圖10運(yùn)用本節(jié)課所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題．參考答案：1.解：①在Rt△ABC中，tanA＝，tanB＝．②在Rt△ABC中，AC＝，tanA＝，tanB＝．③在Rt△ABC中，AC＝，tanA＝，tanB＝．2.解：在Rt△ABC中，tanA＝．設(shè)BC為3m，則AC為4m，所以tanB＝．又因?yàn)锳B＝10，所以，所以，所以BC＝3m＝6，則AC＝4m＝8．檢測學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的掌握程度，考查了學(xué)生解決問題的綜合能力．練習(xí)1讓學(xué)生體會(huì)不同位置擺放的直角三角形不會(huì)影響銳角的正切值．其中的第三個(gè)圖形的設(shè)計(jì)讓第三邊AC的結(jié)果不是整數(shù)（為）．練習(xí)2是正切的逆用，進(jìn)一步讓學(xué)生體會(huì)正切的結(jié)果是一個(gè)比值（tanA，不代表BC＝3，AC＝4）．練習(xí)2的處理可以在學(xué)生充分討論交流的基礎(chǔ)上，教師給出適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)（比如：可以設(shè)BC為3m等）．小結(jié)通過今天的學(xué)習(xí)，你學(xué)會(huì)了什么？你會(huì)正確運(yùn)用嗎？通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么感受呢，說出來告訴大家．,共同小結(jié)．,師生互動(dòng)，總結(jié)學(xué)習(xí)成果，體驗(yàn)成功．課后作業(yè)75②1.課本P