漫話數(shù)學推理PPT聶軍成都

南岸教師進修學院聶軍2015.11.4漫話數(shù)學推理主要內(nèi)容：什么是推理？推理的方式？義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)及作用？如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？理論角度課標角度教學角度一.什么是推理？小明一歲時，他第一次喊爺爺，于是爺爺死了。沒多久他第一次喊媽媽，于是媽媽死了。再后來，他喊爸爸，于是隔壁的王木匠死了。推理：由一個或幾個已知判斷推出新判斷的思維形式。已有判斷叫前提,新判斷叫結(jié)論。

二.推理的方式？1.計算每組算式5×5=8×8=12×12=6×4=9×7=13×11=2.已知25×25=625,那么26×24=（）3.從這幾組算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？能用語言敘述嗎？能用字母式表達嗎？(a+1)(a-1)=a2-1

4.能證明自己得到的規(guī)律嗎？(a+1)(a-1)=a2-a+a-1×1=a2-1

5.你能直接寫出（100+1）×（100-1）的結(jié)果嗎？（100+1）×（100-1）=1002-1=999925246463144143624討論：哪些地方體現(xiàn)了推理？如何對找出來的推理活動分類？

二.推理的方式？

推理一般包括合情推理和演繹推理.合情推理是從已有的事實出發(fā),憑借經(jīng)驗和直覺,通過歸納和類比等推測某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計算。在解決問題的過程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。邏輯推理合情推理演繹推理歸納推理類比推理二.推理的方式？歸納推理前提是已知的幾個特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍，是從特殊到一般,從小到大,根據(jù)具體原型猜測一般原理，是一種合乎情理的、好像為真的推理。結(jié)論是否正確需要證明。A屬于B→A真則B更可靠類比推理是一種由特殊到特殊或一般到一般的推理,即根據(jù)兩個（或兩類）事物的某些相同或相似的性質(zhì),判斷在別的性質(zhì)上也可能相同或相似.A相似B→B真則A可能真演繹推理是從一般到特殊的推理,是從一般原理出發(fā)推導出特殊事實的思維形式.A包含B,A真則B真二.推理的方式？1.計算每組算式5×5=8×8=12×12=6×4=9×7=13×11=2.已知25×25=625,那么26×24=（）3.從這幾組算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？能用語言敘述嗎？能用字母式表達嗎？(a+1)(a-1)=a2-1

4.能證明自己得到的規(guī)律嗎？(a+1)(a-1)=a2-a+a-1×1=a2-1

5.你能直接寫出（100+1）×（100-1）的結(jié)果嗎？（100+1）×（100-1）=1002-1=999925246463144143624演繹推理類比推理演繹推理歸納推理演繹推理演繹推理二.推理的方式？(a+1)(a-1)=a2-1數(shù)學家的思考卻未停止——會不會(a+2)(a-2)=a2-2，(a+3)(a-3)=a2-3，···？根據(jù)(a+1)(a-1)=a2-12，(a+2)(a-2)=a2-22，(a+3)(a-3)=a2-32，···會不會(a+b)(a-b)=a2-b2

？當結(jié)論用代數(shù)語言得以呈現(xiàn)并證明，內(nèi)心終于踏實了，因為一條普遍真理被發(fā)現(xiàn)了。數(shù)學就在這不斷的歸納，類比，演繹中走向深刻，取得發(fā)展和進步。正因如此，數(shù)學家才將推理定位于最為核心的三大數(shù)學思想之一。三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？“不講證明，數(shù)學課就失去了靈魂”（中科院姜伯駒）“只習慣于解決別人的現(xiàn)成問題。。。不會發(fā)現(xiàn)解決真問題。。。數(shù)學落后的真正原因。。。邏輯推理能力并不一定是靠形式證明來培養(yǎng)。。。創(chuàng)新能力的培養(yǎng)靠的不是。。。而是合情推理?！保ㄈA南大何小亞）長期以來，數(shù)學教學注重采取“形式化”的方式，發(fā)展學生的演繹推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)?？茖W結(jié)論（定理，法則，公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對事物的觀察、比較、歸納、類比……即通過合情推理提出猜想，然后再通過演繹推理證明其正確或錯誤。合情推理有利于激發(fā)學習興趣，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新精神。數(shù)學學習需要演繹推理，也需要合情推理。三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？《課標》教學建議：“推理能力貫穿于數(shù)學教學的始終，推理能力的形成和提高需要一個長期的、循序漸進的過程。義務教育階段要注意學生思考的條理性，不要過分強調(diào)推理的形式。”“教師在教學過程中，應該設計適當?shù)膶W習活動，引導學生通過觀察、嘗試、估算、歸納、類比、畫圖等活動，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力。”三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？建議表明：義務教育階段推理能力的培養(yǎng)，必須充分考慮學生的身心特點和認知水平，注意層次性和差異性。而且，在多樣化的推理活動中，觀察、猜想、操作、實驗等活動的難易程度容易把握，這些推理的結(jié)果盡管有偶然性和或然性，但它絕不是憑空想象，而是根據(jù)一定的事實、情境，基于一定的知識經(jīng)驗做出的合乎情理的探索性的判斷。所以，合情推理能力的培養(yǎng)應作為重要培養(yǎng)目標貫穿于義務教育各學段教學的始終。“不僅要教證明，也要教猜想”，要滲透合情推理的思維過程，激活學生的思維。面對問題情境不要把知識和結(jié)果和盤托出，而是要引導學生觀察、實驗、大膽猜想，“從總體觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”“大膽猜測一下，它可能是……”“動手做出來看看！”讓學生努力踐行和體驗合情推理這一發(fā)現(xiàn)真理的思維。三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？小學階段的數(shù)學學習主要是為了幫助學生積累關于數(shù)學的直觀認識和感性體驗，除了完全歸納，小學數(shù)學很多數(shù)學結(jié)論無法在當下進行形式化證明。嚴格和確鑿的推理標準只能讓學生對數(shù)學望而生畏，畏而生厭（比如乘法交換律的證明）。所以，小學數(shù)學更應側(cè)重于組織以“觀察操作、直覺想象、猜想與估計”為特征的合情推理活動。三、義務教育階段對培養(yǎng)學生推理能力的要求？小學生是怎樣學習乘法交換律的？“實物矩陣——列不同的乘法—提出猜想—舉例佐證（反駁）——肯定結(jié)論”小學數(shù)學中的所謂“證明”，多數(shù)時候是合情推理，并不是演繹證明，實質(zhì)就是能舉出大量有“說服力”的實例或舉不出反例。四.推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)及作用交流：尋找小學數(shù)學教學中歸納推理,類比推理,演繹推理的實例各一個，體會其作用？四.推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)及作用（一）合情推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)和作用1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律或性質(zhì)（兀值,乘小于1的數(shù)積小于這個數(shù),商不變的規(guī)律,分數(shù)基本性質(zhì)）2.導出意義或法則、特性（乘分數(shù)就是求它的幾分之幾是多少;同分母分數(shù)相加分母不變分子相加,與1和0相關的乘法的積）3.總結(jié)運算定律,公式或數(shù)量關系

（乘法運算定律,三角形面積公式,每份數(shù)x份數(shù)=總數(shù)）4.說明原理（用剪拼,折拼,測量說明內(nèi)角和180度）

四.推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)及作用（二）演繹推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)和作用1.鞏固知識.

數(shù)學練習與應用的本質(zhì)就是運用一般原理于個別的情境中,就是知識的具體化,思維的演繹。（6/5是最簡分數(shù)？小數(shù)0.040哪些可以去掉？長4寬3的長方形面積？列豎式計算整數(shù)乘法算不算演繹推理？）2.推導新知

要引導學生主動通過演繹推理派生出新知。（通過合情推理掌握三角形內(nèi)角和是180度的規(guī)律后引導學生進行思維演繹）四.推理在小學數(shù)學學習中的表現(xiàn)及作用四邊形、五邊形···的內(nèi)角和五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？小學生的推理能力主要表現(xiàn)：能通過觀察、實驗、歸納、類比等獲得數(shù)學猜想或結(jié)論，并進一步尋求事實或?qū)嵗糇C或反駁猜想或結(jié)論；能清晰、有條理地表達自己的思考過程，做到言之有理、落筆有據(jù)。在與他人交流的過程中，能運用數(shù)學語言、合乎邏輯地進行討論與質(zhì)疑。五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？1、加強教師的推理自覺和推理能力用一張長30米，寬20米的長方形鐵皮圍成一個圓柱，并給它配上相應的底，這個圓柱的體積最大是多少？小明有10塊巧克力，他打算連續(xù)幾天吃完，每天要么吃1塊，要么吃幾塊（均為整數(shù)）。吃完這10塊巧克力，他一共可以設計出幾種吃法？“合情猜測，計算分析”—“舉例佐證，歸納發(fā)現(xiàn)”—“形式論證，肯定結(jié)論”從簡單情形開始思考；化難為易；化繁為簡；化陌生為熟悉；化抽象為具體。。。五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？2、狠抓概念教學，夯實推理的知識基礎推理是由一個或幾個已知判斷推出新判斷的思維形式，它的思維單元是“判斷”。而判斷是憑借概念對事物的性質(zhì)和事物間的聯(lián)系是否存在或是否成立作出肯定或否定的思維形式。可見，有條理的思維和推斷將最終取決于學生頭腦中是否具備清晰而牢固的數(shù)學概念或觀念。學習時，應該讓學生對數(shù)學概念的來源、本質(zhì)以及概念之間的聯(lián)系有深刻的理解，為推理打下堅實的基礎。（沒有周長和長方形特征的掌握，學生便不會有效自主探索歸納出長方形的周長計算公式；運用乘法分配律簡便運算時，學生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識為基礎，才能實現(xiàn)正確，合理，靈活的計算。）對比題：78×99＋78×178×99＋7878×99＋178×99五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？

3.

構建推理教學范式，積累推理的基本經(jīng)驗推理能力作為一種智慧技能，其形成是一個緩慢的過程，教不懂也學不會，只能在數(shù)學活動中去“悟”，去養(yǎng)成思考的慣性。不管哪一條數(shù)學法則，性質(zhì)，原理或基本數(shù)量關系的獲得，無一不包含著豐富多彩的數(shù)學思維活動，如觀察，猜測，畫圖，操作，列舉，舉例，歸納，類比等等。我們應當組織引導學生經(jīng)歷這些活動，提供探索交流的空間，并經(jīng)常引導學生回顧反思數(shù)學結(jié)論的形成過程和經(jīng)歷過的思維活動，幫助他們感悟和積累推理活動經(jīng)驗。五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？3.

構建推理教學范式，積累推理的基本經(jīng)驗教學范式：問題—實驗—觀察發(fā)現(xiàn)—猜想—驗證《可能性》教學示例：不打開口袋看，怎樣知道袋子里是紅球多還是白球多？說明：統(tǒng)計推斷屬于合情推理的范疇，是一種可能性推理。統(tǒng)計推理得到的結(jié)論無法用邏輯的方法去證明，只有靠實踐證實。因此，探究活動要重視學生經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)，作出推斷的全過程。注意：別把“預測的結(jié)果”當成“絕對正確的結(jié)論”。

五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？3.

構建推理教學范式，積累推理的基本經(jīng)驗《整數(shù)乘法運算定律推廣到小數(shù)》教學示例：用字母表示學過的乘法運算定律。選擇一個舉例說明。你學得這些字母還可以表示什么數(shù)？我們的想法正確嗎？如何“證明”？舉例佐證，結(jié)論可靠。我們是怎樣獲得小數(shù)乘法中的運算定律的？教學范式：已有數(shù)學事實—類比聯(lián)想—猜想—佐證—結(jié)論—反思—推廣應用五.如何落實學生推理能力的培養(yǎng)？3.

構建推理教學范式，積累推理的基本經(jīng)驗《多位數(shù)乘法練習》教學示例：任寫一道兩位數(shù)與11相乘的乘法并算出結(jié)果。匯報算式及結(jié)果：23×11=253，11×45=495，62×11=682，11×34=374觀察算式及結(jié)果：你發(fā)現(xiàn)了什么？（提出猜想：有一個乘數(shù)是11的兩位數(shù)乘法，求積的方法可以是“左右一拉，中間一加”）舉例驗證：猜想成立嗎？（合情推理，佐證）如何完善剛才的猜想？（合情推理新發(fā)現(xiàn)：“左右一拉，中間一加，滿十進加”）舉例驗證：猜想成立嗎？（合情推理，佐證）沒有反例，結(jié)論可靠性強。剛才我們發(fā)現(xiàn)了一個什么計算現(xiàn)象，是如何發(fā)現(xiàn)的？（反思過程，積累經(jīng)驗）教學范式：感知—猜想—驗證—結(jié)論—反思—推廣應用3.