漫話數(shù)學(xué)推理PPT聶軍成都

南岸教師進(jìn)修學(xué)院聶軍2015.11.4漫話數(shù)學(xué)推理主要內(nèi)容：什么是推理？推理的方式？義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)及作用？如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？理論角度課標(biāo)角度教學(xué)角度一.什么是推理？小明一歲時(shí)，他第一次喊爺爺，于是爺爺死了。沒(méi)多久他第一次喊媽媽?zhuān)谑菋寢屗懒?。再后?lái)，他喊爸爸，于是隔壁的王木匠死了。推理：由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出新判斷的思維形式。已有判斷叫前提,新判斷叫結(jié)論。

二.推理的方式？1.計(jì)算每組算式5×5=8×8=12×12=6×4=9×7=13×11=2.已知25×25=625,那么26×24=（）3.從這幾組算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？能用語(yǔ)言敘述嗎？能用字母式表達(dá)嗎？(a+1)(a-1)=a2-1

4.能證明自己得到的規(guī)律嗎？(a+1)(a-1)=a2-a+a-1×1=a2-1

5.你能直接寫(xiě)出（100+1）×（100-1）的結(jié)果嗎？（100+1）×（100-1）=1002-1=999925246463144143624討論：哪些地方體現(xiàn)了推理？如何對(duì)找出來(lái)的推理活動(dòng)分類(lèi)？

二.推理的方式？

推理一般包括合情推理和演繹推理.合情推理是從已有的事實(shí)出發(fā),憑借經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué),通過(guò)歸納和類(lèi)比等推測(cè)某些結(jié)果。演繹推理是從已有的事實(shí)（包括定義、公理、定理等）和確定的規(guī)則（包括運(yùn)算的定義、法則、順序等）出發(fā)，按照邏輯推理的法則證明和計(jì)算。在解決問(wèn)題的過(guò)程中，兩種推理功能不同，相輔相成：合情推理用于探索思路，發(fā)現(xiàn)結(jié)論；演繹推理用于證明結(jié)論。邏輯推理合情推理演繹推理歸納推理類(lèi)比推理二.推理的方式？歸納推理前提是已知的幾個(gè)特殊現(xiàn)象，歸納所得的結(jié)論是尚屬未知的一般現(xiàn)象，該結(jié)論超越了前提所包容的范圍，是從特殊到一般,從小到大,根據(jù)具體原型猜測(cè)一般原理，是一種合乎情理的、好像為真的推理。結(jié)論是否正確需要證明。A屬于B→A真則B更可靠類(lèi)比推理是一種由特殊到特殊或一般到一般的推理,即根據(jù)兩個(gè)（或兩類(lèi)）事物的某些相同或相似的性質(zhì),判斷在別的性質(zhì)上也可能相同或相似.A相似B→B真則A可能真演繹推理是從一般到特殊的推理,是從一般原理出發(fā)推導(dǎo)出特殊事實(shí)的思維形式.A包含B,A真則B真二.推理的方式？1.計(jì)算每組算式5×5=8×8=12×12=6×4=9×7=13×11=2.已知25×25=625,那么26×24=（）3.從這幾組算式中你有什么發(fā)現(xiàn)？能用語(yǔ)言敘述嗎？能用字母式表達(dá)嗎？(a+1)(a-1)=a2-1

4.能證明自己得到的規(guī)律嗎？(a+1)(a-1)=a2-a+a-1×1=a2-1

5.你能直接寫(xiě)出（100+1）×（100-1）的結(jié)果嗎？（100+1）×（100-1）=1002-1=999925246463144143624演繹推理類(lèi)比推理演繹推理歸納推理演繹推理演繹推理二.推理的方式？(a+1)(a-1)=a2-1數(shù)學(xué)家的思考卻未停止——會(huì)不會(huì)(a+2)(a-2)=a2-2，(a+3)(a-3)=a2-3，···？根據(jù)(a+1)(a-1)=a2-12，(a+2)(a-2)=a2-22，(a+3)(a-3)=a2-32，···會(huì)不會(huì)(a+b)(a-b)=a2-b2

？當(dāng)結(jié)論用代數(shù)語(yǔ)言得以呈現(xiàn)并證明，內(nèi)心終于踏實(shí)了，因?yàn)橐粭l普遍真理被發(fā)現(xiàn)了。數(shù)學(xué)就在這不斷的歸納，類(lèi)比，演繹中走向深刻，取得發(fā)展和進(jìn)步。正因如此，數(shù)學(xué)家才將推理定位于最為核心的三大數(shù)學(xué)思想之一。三、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？“不講證明，數(shù)學(xué)課就失去了靈魂”（中科院姜伯駒）“只習(xí)慣于解決別人的現(xiàn)成問(wèn)題。。。不會(huì)發(fā)現(xiàn)解決真問(wèn)題。。。數(shù)學(xué)落后的真正原因。。。邏輯推理能力并不一定是靠形式證明來(lái)培養(yǎng)。。。創(chuàng)新能力的培養(yǎng)靠的不是。。。而是合情推理?！保ㄈA南大何小亞）長(zhǎng)期以來(lái)，數(shù)學(xué)教學(xué)注重采取“形式化”的方式，發(fā)展學(xué)生的演繹推理能力，忽視了合情推理能力的培養(yǎng)?？茖W(xué)結(jié)論（定理，法則，公式等）的發(fā)現(xiàn)往往發(fā)端于對(duì)事物的觀察、比較、歸納、類(lèi)比……即通過(guò)合情推理提出猜想，然后再通過(guò)演繹推理證明其正確或錯(cuò)誤。合情推理有利于激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)探究能力和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要演繹推理，也需要合情推理。三、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？《課標(biāo)》教學(xué)建議：“推理能力貫穿于數(shù)學(xué)教學(xué)的始終，推理能力的形成和提高需要一個(gè)長(zhǎng)期的、循序漸進(jìn)的過(guò)程。義務(wù)教育階段要注意學(xué)生思考的條理性，不要過(guò)分強(qiáng)調(diào)推理的形式?！薄敖處熢诮虒W(xué)過(guò)程中，應(yīng)該設(shè)計(jì)適當(dāng)?shù)膶W(xué)習(xí)活動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察、嘗試、估算、歸納、類(lèi)比、畫(huà)圖等活動(dòng)，發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律，猜測(cè)某些結(jié)論，發(fā)展合情推理能力?！比?、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？建議表明：義務(wù)教育階段推理能力的培養(yǎng)，必須充分考慮學(xué)生的身心特點(diǎn)和認(rèn)知水平，注意層次性和差異性。而且，在多樣化的推理活動(dòng)中，觀察、猜想、操作、實(shí)驗(yàn)等活動(dòng)的難易程度容易把握，這些推理的結(jié)果盡管有偶然性和或然性，但它絕不是憑空想象，而是根據(jù)一定的事實(shí)、情境，基于一定的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)做出的合乎情理的探索性的判斷。所以，合情推理能力的培養(yǎng)應(yīng)作為重要培養(yǎng)目標(biāo)貫穿于義務(wù)教育各學(xué)段教學(xué)的始終?！安粌H要教證明，也要教猜想”，要滲透合情推理的思維過(guò)程，激活學(xué)生的思維。面對(duì)問(wèn)題情境不要把知識(shí)和結(jié)果和盤(pán)托出，而是要引導(dǎo)學(xué)生觀察、實(shí)驗(yàn)、大膽猜想，“從總體觀察，你有什么發(fā)現(xiàn)？”“大膽猜測(cè)一下，它可能是……”“動(dòng)手做出來(lái)看看！”讓學(xué)生努力踐行和體驗(yàn)合情推理這一發(fā)現(xiàn)真理的思維。三、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？三、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？小學(xué)階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)主要是為了幫助學(xué)生積累關(guān)于數(shù)學(xué)的直觀認(rèn)識(shí)和感性體驗(yàn)，除了完全歸納，小學(xué)數(shù)學(xué)很多數(shù)學(xué)結(jié)論無(wú)法在當(dāng)下進(jìn)行形式化證明。嚴(yán)格和確鑿的推理標(biāo)準(zhǔn)只能讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)望而生畏，畏而生厭（比如乘法交換律的證明）。所以，小學(xué)數(shù)學(xué)更應(yīng)側(cè)重于組織以“觀察操作、直覺(jué)想象、猜想與估計(jì)”為特征的合情推理活動(dòng)。三、義務(wù)教育階段對(duì)培養(yǎng)學(xué)生推理能力的要求？小學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)乘法交換律的？“實(shí)物矩陣——列不同的乘法—提出猜想—舉例佐證（反駁）——肯定結(jié)論”小學(xué)數(shù)學(xué)中的所謂“證明”，多數(shù)時(shí)候是合情推理，并不是演繹證明，實(shí)質(zhì)就是能舉出大量有“說(shuō)服力”的實(shí)例或舉不出反例。四.推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)及作用交流：尋找小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中歸納推理,類(lèi)比推理,演繹推理的實(shí)例各一個(gè)，體會(huì)其作用？四.推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)及作用（一）合情推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)和作用1.發(fā)現(xiàn)規(guī)律或性質(zhì)（兀值,乘小于1的數(shù)積小于這個(gè)數(shù),商不變的規(guī)律,分?jǐn)?shù)基本性質(zhì)）2.導(dǎo)出意義或法則、特性（乘分?jǐn)?shù)就是求它的幾分之幾是多少;同分母分?jǐn)?shù)相加分母不變分子相加,與1和0相關(guān)的乘法的積）3.總結(jié)運(yùn)算定律,公式或數(shù)量關(guān)系

（乘法運(yùn)算定律,三角形面積公式,每份數(shù)x份數(shù)=總數(shù)）4.說(shuō)明原理（用剪拼,折拼,測(cè)量說(shuō)明內(nèi)角和180度）

四.推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)及作用（二）演繹推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)和作用1.鞏固知識(shí).

數(shù)學(xué)練習(xí)與應(yīng)用的本質(zhì)就是運(yùn)用一般原理于個(gè)別的情境中,就是知識(shí)的具體化,思維的演繹。（6/5是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)？小數(shù)0.040哪些可以去掉？長(zhǎng)4寬3的長(zhǎng)方形面積？列豎式計(jì)算整數(shù)乘法算不算演繹推理？）2.推導(dǎo)新知

要引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)通過(guò)演繹推理派生出新知。（通過(guò)合情推理掌握三角形內(nèi)角和是180度的規(guī)律后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思維演繹）四.推理在小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的表現(xiàn)及作用四邊形、五邊形···的內(nèi)角和五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？小學(xué)生的推理能力主要表現(xiàn)：能通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、歸納、類(lèi)比等獲得數(shù)學(xué)猜想或結(jié)論，并進(jìn)一步尋求事實(shí)或?qū)嵗糇C或反駁猜想或結(jié)論；能清晰、有條理地表達(dá)自己的思考過(guò)程，做到言之有理、落筆有據(jù)。在與他人交流的過(guò)程中，能運(yùn)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言、合乎邏輯地進(jìn)行討論與質(zhì)疑。五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？1、加強(qiáng)教師的推理自覺(jué)和推理能力用一張長(zhǎng)30米，寬20米的長(zhǎng)方形鐵皮圍成一個(gè)圓柱，并給它配上相應(yīng)的底，這個(gè)圓柱的體積最大是多少？小明有10塊巧克力，他打算連續(xù)幾天吃完，每天要么吃1塊，要么吃幾塊（均為整數(shù)）。吃完這10塊巧克力，他一共可以設(shè)計(jì)出幾種吃法？“合情猜測(cè)，計(jì)算分析”—“舉例佐證，歸納發(fā)現(xiàn)”—“形式論證，肯定結(jié)論”從簡(jiǎn)單情形開(kāi)始思考；化難為易；化繁為簡(jiǎn)；化陌生為熟悉；化抽象為具體。。。五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？2、狠抓概念教學(xué)，夯實(shí)推理的知識(shí)基礎(chǔ)推理是由一個(gè)或幾個(gè)已知判斷推出新判斷的思維形式，它的思維單元是“判斷”。而判斷是憑借概念對(duì)事物的性質(zhì)和事物間的聯(lián)系是否存在或是否成立作出肯定或否定的思維形式?？梢?jiàn)，有條理的思維和推斷將最終取決于學(xué)生頭腦中是否具備清晰而牢固的數(shù)學(xué)概念或觀念。學(xué)習(xí)時(shí)，應(yīng)該讓學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)概念的來(lái)源、本質(zhì)以及概念之間的聯(lián)系有深刻的理解，為推理打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。（沒(méi)有周長(zhǎng)和長(zhǎng)方形特征的掌握，學(xué)生便不會(huì)有效自主探索歸納出長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)計(jì)算公式；運(yùn)用乘法分配律簡(jiǎn)便運(yùn)算時(shí)，學(xué)生必須以清晰、穩(wěn)固的乘法分配律知識(shí)為基礎(chǔ)，才能實(shí)現(xiàn)正確，合理，靈活的計(jì)算。）對(duì)比題：78×99＋78×178×99＋7878×99＋178×99五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？

3.

構(gòu)建推理教學(xué)范式，積累推理的基本經(jīng)驗(yàn)推理能力作為一種智慧技能，其形成是一個(gè)緩慢的過(guò)程，教不懂也學(xué)不會(huì)，只能在數(shù)學(xué)活動(dòng)中去“悟”，去養(yǎng)成思考的慣性。不管哪一條數(shù)學(xué)法則，性質(zhì)，原理或基本數(shù)量關(guān)系的獲得，無(wú)一不包含著豐富多彩的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)，如觀察，猜測(cè)，畫(huà)圖，操作，列舉，舉例，歸納，類(lèi)比等等。我們應(yīng)當(dāng)組織引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷這些活動(dòng)，提供探索交流的空間，并經(jīng)常引導(dǎo)學(xué)生回顧反思數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過(guò)程和經(jīng)歷過(guò)的思維活動(dòng)，幫助他們感悟和積累推理活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？3.

構(gòu)建推理教學(xué)范式，積累推理的基本經(jīng)驗(yàn)教學(xué)范式：?jiǎn)栴}—實(shí)驗(yàn)—觀察發(fā)現(xiàn)—猜想—驗(yàn)證《可能性》教學(xué)示例：不打開(kāi)口袋看，怎樣知道袋子里是紅球多還是白球多？說(shuō)明：統(tǒng)計(jì)推斷屬于合情推理的范疇，是一種可能性推理。統(tǒng)計(jì)推理得到的結(jié)論無(wú)法用邏輯的方法去證明，只有靠實(shí)踐證實(shí)。因此，探究活動(dòng)要重視學(xué)生經(jīng)歷收集、整理、分析數(shù)據(jù)，作出推斷的全過(guò)程。注意：別把“預(yù)測(cè)的結(jié)果”當(dāng)成“絕對(duì)正確的結(jié)論”。

五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？3.

構(gòu)建推理教學(xué)范式，積累推理的基本經(jīng)驗(yàn)《整數(shù)乘法運(yùn)算定律推廣到小數(shù)》教學(xué)示例：用字母表示學(xué)過(guò)的乘法運(yùn)算定律。選擇一個(gè)舉例說(shuō)明。你學(xué)得這些字母還可以表示什么數(shù)？我們的想法正確嗎？如何“證明”？舉例佐證，結(jié)論可靠。我們是怎樣獲得小數(shù)乘法中的運(yùn)算定律的？教學(xué)范式：已有數(shù)學(xué)事實(shí)—類(lèi)比聯(lián)想—猜想—佐證—結(jié)論—反思—推廣應(yīng)用五.如何落實(shí)學(xué)生推理能力的培養(yǎng)？3.

構(gòu)建推理教學(xué)范式，積累推理的基本經(jīng)驗(yàn)《多位數(shù)乘法練習(xí)》教學(xué)示例：任寫(xiě)一道兩位數(shù)與11相乘的乘法并算出結(jié)果。匯報(bào)算式及結(jié)果：23×11=253，11×45=495，62×11=682，11×34=374觀察算式及結(jié)果：你發(fā)現(xiàn)了什么？（提出猜想：有一個(gè)乘數(shù)是11的兩位數(shù)乘法，求積的方法可以是“左右一拉，中間一加”）舉例驗(yàn)證：猜想成立嗎？（合情推理，佐證）如何完善剛才的猜想？（合情推理新發(fā)現(xiàn)：“左右一拉，中間一加，滿(mǎn)十進(jìn)加”）舉例驗(yàn)證：猜想成立嗎？（合情推理，佐證）沒(méi)有反例，結(jié)論可靠性強(qiáng)。剛才我們發(fā)現(xiàn)了一個(gè)什么計(jì)算現(xiàn)象，是如何發(fā)現(xiàn)的？（反思過(guò)程，積累經(jīng)驗(yàn)）教學(xué)范式：感知—猜想—驗(yàn)證—結(jié)論—反思—推廣應(yīng)用3.