數(shù)學(xué)原理與模型分析

數(shù)學(xué)的起源與發(fā)展數(shù)學(xué)：數(shù)（量）與（圖）形——由自然現(xiàn)象及生產(chǎn)實(shí)踐中產(chǎn)生數(shù)字與圖形自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)、復(fù)數(shù)的定義阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)：河谷文明；埃及數(shù)學(xué)；亞洲數(shù)學(xué)：中國(guó)數(shù)學(xué)、印度數(shù)學(xué)中國(guó)數(shù)學(xué)：《周髀算經(jīng)》、《九章算術(shù)》、《算經(jīng)十書(shū)》《九章算術(shù)》：分?jǐn)?shù)運(yùn)算、比例、代數(shù)的解多元一次方程組、正負(fù)數(shù)、面積體積的計(jì)算、劉徽的割圓術(shù)（極限的思想）祖沖之的圓周率、楊輝三角（宋朝《詳解九章算術(shù)》）希臘：演繹數(shù)學(xué)——從實(shí)驗(yàn)轉(zhuǎn)向推理數(shù)學(xué)研究轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)的內(nèi)部：抽象代數(shù)；拓?fù)鋷缀?；泛函分?900年Hilbert提出23個(gè)數(shù)學(xué)難題：哥德巴赫猜想——偶數(shù)表示成兩個(gè)奇素?cái)?shù)之和龐加萊猜想2006年6月初，中科院外籍院士、哈佛大學(xué)教授丘成桐透露了一條爆炸性新聞：百年數(shù)學(xué)難題龐加萊猜想被徹底破解，中山大學(xué)教授朱熹平、清華大學(xué)兼職教授曹懷東完成“封頂”之作。龐加萊猜想是一個(gè)困惑數(shù)學(xué)界百年之久的難題。1904年，法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利·龐加萊提出一個(gè)拓?fù)鋵W(xué)上的猜想：在一個(gè)封閉三維空間，假如每條封閉的曲線都能收縮成一點(diǎn)，這個(gè)空間一定是一個(gè)圓球。我們不妨想象：假如我們將一根橡皮帶伸展在蘋(píng)果表面，然后就可以在既不扯斷橡皮帶，也不脫離蘋(píng)果表面的情況下，使它慢慢移動(dòng)并收縮為一個(gè)點(diǎn)；假如將同樣的橡皮帶伸展在油炸圈餅表面，只要不扯斷橡皮帶或者不脫離油炸圈餅表面，根本沒(méi)有辦法將它縮成一點(diǎn)。因此，我們說(shuō)蘋(píng)果表面是“單連通的”，而油炸圈餅表面不是。龐加萊猜想是數(shù)學(xué)史上最偉大的問(wèn)題之一，是拓?fù)浜蛶缀蔚闹髁?。龐加萊猜想的研究對(duì)廣義相對(duì)論和宇宙、黑洞的研究以及實(shí)際的工程學(xué)應(yīng)用等都可能有著深遠(yuǎn)的影響，其證明方法跨越拓?fù)鋵W(xué)、幾何學(xué)和微分方程等數(shù)學(xué)學(xué)科，它的重要性和難度都是相當(dāng)高的。100多年來(lái)，龐加萊猜想這個(gè)數(shù)學(xué)游戲吸引了許多杰出的數(shù)學(xué)家。這一猜想無(wú)疑是數(shù)學(xué)研究中的王冠之一，先后有三位美國(guó)數(shù)學(xué)家僅僅因?yàn)椴糠纸鉀Q龐加萊猜想即獲得菲爾茲獎(jiǎng)。2000年，位于美國(guó)麻省的克萊數(shù)學(xué)研究所列出7項(xiàng)“千禧年數(shù)學(xué)難題”，并為每個(gè)難題的破解設(shè)立百萬(wàn)美元巨獎(jiǎng)，龐加萊猜想即是7大難題之一。龐加萊猜想在數(shù)學(xué)上的地位，由此可見(jiàn)一斑。數(shù)學(xué)的三次危機(jī)希臘：畢達(dá)哥拉斯學(xué)派信條：萬(wàn)物皆數(shù)其成員費(fèi)洛羅斯曾宣稱：人們所知道的一切事物都包含數(shù)；因此，沒(méi)有數(shù)就既不可能表達(dá)，也不可能理解任何事物畢氏學(xué)派所說(shuō)的數(shù)指的是整數(shù)每個(gè)數(shù)都賦予了特定的屬性，最神圣的數(shù)是10利用數(shù)的理論解釋天體運(yùn)動(dòng)發(fā)現(xiàn)了音樂(lè)定律：如果振動(dòng)弦的長(zhǎng)度可表示成簡(jiǎn)單的整數(shù)比，這時(shí)發(fā)出的將是和音

第二次危機(jī)：無(wú)限性雅典時(shí)期希臘伊利亞學(xué)派的之諾提出了四個(gè)著名的悖論：1.兩分法：運(yùn)動(dòng)不存在2.阿基里斯永遠(yuǎn)追不上一只烏龜3.飛箭：飛著的箭是靜止的4.運(yùn)動(dòng)場(chǎng)：空間和時(shí)間不能由不可分割的單元組成

第二次危機(jī)第三次危機(jī)例子：所有集合本身是一個(gè)集合，但是，所有人的集合不是一個(gè)人事實(shí)：一個(gè)集合或者是它本身的成員，或者不是它本身的成員羅素悖論如果不是其成員，則N是N的成員，而不是M的成員，于是N又是它本身的成員。我們以M表示是它們本身的成員的所有集合的集合，而以N表示不是它們本身成員的所有集合的集合?，F(xiàn)在問(wèn)：集合N是否是它本身的成員。如果是，則N是M的成員而不是N的成員；羅素悖論的通俗例子某村的一個(gè)理發(fā)師宣稱：他只給所有不給自己刮臉的人刮臉。問(wèn)題：理發(fā)師是否給自己刮臉？若刮，則違背了自己的原則；若不刮，那按照其原則，他就應(yīng)該為自己刮臉。解決辦法：提出公理系統(tǒng)目前公認(rèn)的ZF公理系統(tǒng)，不會(huì)自相矛盾。但是，第三次數(shù)學(xué)危機(jī)從整體看來(lái)還沒(méi)有解決到令人滿意的程度。數(shù)學(xué)的回歸數(shù)學(xué)建?！獫B透到一些非傳統(tǒng)領(lǐng)域：社會(huì)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、生態(tài)學(xué)、體育學(xué)、戰(zhàn)爭(zhēng)數(shù)學(xué)的分析——穩(wěn)定性分析等數(shù)學(xué)引發(fā)的其他學(xué)科——計(jì)算機(jī)學(xué)科、自動(dòng)控制

系統(tǒng)建模

數(shù)學(xué)建模(模型)概述

利用數(shù)學(xué)方法解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，首先要進(jìn)行的工作是建立數(shù)學(xué)模型，然后才能在此模型的基礎(chǔ)上對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行理論求解、分析的研究。數(shù)學(xué)模型概念

一般地說(shuō)，模型是我們所研究的客觀事物有關(guān)屬性的模擬，它應(yīng)當(dāng)具有事物中我們關(guān)心和需要的主要特性。

1.作戰(zhàn)時(shí)主體作戰(zhàn)地形模型；2.在采煤開(kāi)礦或打井時(shí)，描述本地區(qū)的地質(zhì)結(jié)構(gòu)的地形圖；3.出差到外地時(shí)的交通圖。

數(shù)學(xué)模型是運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言或工具，對(duì)部分現(xiàn)實(shí)世界的信息（現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等等）加以翻譯、歸納的產(chǎn)物。數(shù)學(xué)模型經(jīng)過(guò)演繹、求解以及推斷，給出數(shù)學(xué)上的分析、預(yù)報(bào)、決策或控制，再經(jīng)過(guò)翻譯和解釋，回到現(xiàn)實(shí)世界之中。一個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型實(shí)例

一輛汽車在拐彎時(shí)急剎車，結(jié)果沖到路邊的溝里（見(jiàn)下圖），交通警察立即趕到了事故現(xiàn)場(chǎng)。司機(jī)申辯說(shuō)，當(dāng)他進(jìn)入彎道時(shí)剎車失靈，他還一口咬定，進(jìn)入彎道其車速為每小時(shí)４０英里（這是該路的速度上限，約合每秒１７.９２米）。警察驗(yàn)車時(shí)證實(shí)該車的制動(dòng)器在事故發(fā)生時(shí)確實(shí)失靈，然而，司機(jī)所說(shuō)的車速是否真實(shí)可信呢？

汽車的最終位置

剎車痕跡

連接剎車痕跡的初始點(diǎn)和終點(diǎn)，用x表示沿連線汽車橫向所走出的距離，用y表示豎直的距離，如下圖

經(jīng)過(guò)測(cè)量還發(fā)現(xiàn)，該車并沒(méi)有偏離它所行駛的轉(zhuǎn)彎路線，也就是說(shuō)，它的車頭一直指向切線方向?？梢约僭O(shè)，該車的重心是沿一個(gè)半徑為r的圓做圓周運(yùn)動(dòng)。假設(shè)磨擦力作用在該車速度的法線方向上，并設(shè)汽車的速度v是一個(gè)常數(shù)。顯然，磨擦力提供了向心力，設(shè)磨擦系數(shù)為μ,則其中m為汽車質(zhì)量.由上式易得

假設(shè)已知弦的長(zhǎng)度為c，弓形的高度為h，其圖如下所示，由勾股定理知

由前面的表中代入近似數(shù)據(jù)c=33.27,h=3.55后，得

r=40.75米根據(jù)實(shí)際路面與汽車輪胎的情況，可以測(cè)量出磨擦系數(shù)，經(jīng)過(guò)實(shí)際測(cè)試得到g=8.175米／秒２

將此結(jié)果代入我們上面利用第二定律所得到的式子中，得

v≈18.25米／秒

但是，我們不得不考慮計(jì)算半徑r及測(cè)試時(shí)的誤差。如果誤差允許在１０％以內(nèi)，無(wú)疑，此計(jì)算結(jié)果對(duì)司機(jī)是相當(dāng)有利的。建立模型的方法

1.機(jī)理分析2.統(tǒng)計(jì)分析3.機(jī)理分析與統(tǒng)計(jì)分析相結(jié)合步驟

１.建模準(zhǔn)備要了解問(wèn)題的實(shí)際背景、明確建立模型的目地，掌握對(duì)象的各種信息如統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)等，弄清實(shí)際對(duì)象的特征。

２、模型假設(shè)

根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特性和建立模型的目地，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化。要善于辨別問(wèn)題的主要和次要方面，抓住主要因素，拋棄次要因素，盡量將問(wèn)題均勻化、線性化。

３.建立模型

根據(jù)所做的假設(shè)，運(yùn)用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具，建立各個(gè)量之間的等式或不等式之間的關(guān)系，列出表格，畫(huà)出圖形或確定其它數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。

４、模型求解

對(duì)上述建立的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行數(shù)學(xué)上的求解，包括解方程、畫(huà)出圖形、證明定理以及邏輯運(yùn)算等等，會(huì)用到傳統(tǒng)的和近代的數(shù)學(xué)方法，特別是有關(guān)計(jì)算機(jī)技術(shù)。

５、模型分析

對(duì)上邊求得的模型結(jié)果進(jìn)行數(shù)學(xué)上的分析，有時(shí)是根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)，分析各變量之間的依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；有時(shí)則根據(jù)所得的結(jié)果給出數(shù)學(xué)上的預(yù)測(cè)；有時(shí)我們則給出數(shù)學(xué)上的最優(yōu)決策或控制。

６、模型檢驗(yàn)這一步是把模型分析的結(jié)果“翻譯”回到實(shí)際對(duì)象中，用實(shí)際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮侠硇耘c實(shí)用性。如果檢驗(yàn)的結(jié)果不符合或部分不符合實(shí)際情況，那么，我們必須回到建模之初，修改、補(bǔ)充假設(shè)，重新建模，即按上面步驟做到模型檢驗(yàn)這一步；如果檢驗(yàn)結(jié)果與實(shí)際情況相符，則可進(jìn)行最后的工作－－－模型應(yīng)用。模型的分類1.按照變量的情況：分為離散型和連續(xù)型模型，也可分為確定型模型和隨機(jī)模型；2.按照時(shí)間變化對(duì)模型的影響，可分為靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型；3.按照研究方法和對(duì)象的特征，有初等模型、優(yōu)化模型、邏輯模型、穩(wěn)定性模型、擴(kuò)散模型等；

4.按照研究對(duì)象的實(shí)際領(lǐng)域，有人口模型、交通模型、體育模型、生理模型、生態(tài)模型、經(jīng)濟(jì)模型、社會(huì)模型等；5.按照對(duì)研究對(duì)象的了解程度，有所謂的白箱模型、灰箱模型和黑箱模型。

市場(chǎng)穩(wěn)定問(wèn)題

當(dāng)商品“供不應(yīng)求”時(shí)，價(jià)格逐漸長(zhǎng)升高，經(jīng)營(yíng)者會(huì)加大生產(chǎn)量。一旦生產(chǎn)量“供過(guò)于求”，價(jià)格立即會(huì)下跌，生產(chǎn)者會(huì)立即減產(chǎn)以避免損失，這樣又極有可能造成又一輪新的供不應(yīng)求。問(wèn)題是：如此循環(huán)，市場(chǎng)上的商品的數(shù)量與價(jià)格是否會(huì)趨于穩(wěn)定？

所謂“需求”，指在一定條件下，消費(fèi)者愿意購(gòu)買并且有支付能力購(gòu)買的商品量。設(shè)p表示商品價(jià)格，q表示商品量，假設(shè)商品量q主要取決于商品價(jià)格p，則稱函數(shù)

q=f(p)為需求函數(shù)。

需求函數(shù)q=f(p)一般是單調(diào)減少函數(shù)。因q=f(p)為單調(diào)減少函數(shù)，所以存在反函數(shù)p=f-1(q)，我們也稱它為需求函數(shù)，見(jiàn)下圖。

“供給”是指在一定條件下，生產(chǎn)者愿意出售并且有可供出售的商品量，設(shè)供給函數(shù)q=(p)。供給函數(shù)一般為單調(diào)增加函數(shù)。又因?yàn)閝=(p)單調(diào)增加，所以存在反函數(shù)p=-1(q)，往往我們也稱此函數(shù)為供給函數(shù)。

需求曲線與供給曲線交于一點(diǎn)E(qm,pm)。當(dāng)p<pm時(shí)，－１(p)＞ｆ－１（ｐ），即“供不應(yīng)求”，市場(chǎng)機(jī)制導(dǎo)致價(jià)格上漲，p增大。當(dāng)p>pm時(shí)，－１(p)＜ｆ－１（ｐ），即“供過(guò)于求”，這種狀況必然導(dǎo)致價(jià)格下跌，p減少。

從以上分析我們似乎可以看出：市場(chǎng)上的商品價(jià)格將圍繞價(jià)格pm（稱之為均衡價(jià)格）擺動(dòng)。但實(shí)際情況并非如此簡(jiǎn)單？

例設(shè)某產(chǎn)品的供給函數(shù)(p)與需求函數(shù)f(p)皆為線性函數(shù)：

(p)＝a(p-)+,f(p)=-b(p-)+其中a>0,b>0,兩直線相交于點(diǎn)Ｍ(,)。

將時(shí)間區(qū)間用等步長(zhǎng)來(lái)劃分，第n個(gè)節(jié)點(diǎn)處tn=n,為時(shí)間步長(zhǎng)。設(shè)pm為tn時(shí)刻的價(jià)格，則由市場(chǎng)上供求平衡的需要，有ｆ（pn）＝（pn-1）利用上面這兩個(gè)式子，可得到－b(pn-)+=a(pn-1-)+將上面的式子經(jīng)過(guò)遞推運(yùn)算，可得到

由上式很容易看出，當(dāng)a<b時(shí)，pn->，而當(dāng)a>b時(shí)，數(shù)列pn發(fā)散到無(wú)窮大

從上例我們可以得到啟示：市場(chǎng)價(jià)格的穩(wěn)定似乎與供求函數(shù)的斜率比有關(guān)系。

曲線Ｄ表示需求函數(shù)，曲線Ｓ表示供應(yīng)曲線，Ｋ表示切線斜率。當(dāng)|KD|<|KS|，商品量q與價(jià)格將按照Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ的方向趨向于Ｍ點(diǎn)。如果|KD|＞|KS|，不難發(fā)現(xiàn)，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)將按照Ａ→Ｂ→Ｃ→Ｄ的方向遠(yuǎn)離Ｍ點(diǎn)，

穩(wěn)定條件的解釋：切線斜率Ｋ表示什么？表示商品價(jià)格隨商品量的變化而變化的程度。|KD|＞|KS|：表明消費(fèi)者對(duì)這種商品價(jià)格的敏感度比經(jīng)營(yíng)者要高，商品稍少一點(diǎn)，人們便蜂擁?yè)屬?gòu)，致使價(jià)格有大的變化，引起價(jià)格的不穩(wěn)定現(xiàn)象。

如何控制不穩(wěn)定現(xiàn)象？1.控制物價(jià)，此時(shí)有KD＝０，這時(shí)|KD|＜|KS|總成立，2.控制商品數(shù)量：|KS|→

，從而使得|KD|＜|KS|也總成立，市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)便趨向于穩(wěn)定。

建模有時(shí)需要有跳出問(wèn)題的思維圍棋模型——棋盤(pán)19道的確立圍棋的棋盤(pán)由古時(shí)的每邊11道增至現(xiàn)在的每邊19道，其間歷經(jīng)數(shù)千年。這種進(jìn)化的過(guò)程也顯示著人們的認(rèn)識(shí)逐漸接近真理?，F(xiàn)在的棋盤(pán)經(jīng)受了二千多年的考驗(yàn)，其邊數(shù)設(shè)置必有其合理性，這里的關(guān)鍵就在于要保證先手和后手的無(wú)差異。

古人在不貼子的情形下仍可“公平”對(duì)弈，說(shuō)明先下的一方占的便宜不會(huì)太大。可以推測(cè)，圍棋內(nèi)部一定存在著兩種抗衡的力量，使先手即使先落子也無(wú)法取得多少優(yōu)勢(shì)。這也是形成圍棋那樣富于變化的原因。這兩種力量既可以對(duì)抗，又可以隨時(shí)轉(zhuǎn)換。邊部和中腹是圍棋中的兩種對(duì)抗的勢(shì)力。應(yīng)保證兩種勢(shì)力所具有的價(jià)值相同，從而使二者能夠真正地進(jìn)行抗衡。這是必要的，否則，無(wú)論偏重哪一方，圍棋都會(huì)成為單一爭(zhēng)奪邊部或中腹的乏味游戲，而且使先手棋獲益頗大。問(wèn)題最終化為：怎樣設(shè)計(jì)方形棋盤(pán)（即每邊選取多少道）使三線圍成的邊部與四線圍成的中腹具有相同的地位或最小的差異？目效率定義對(duì)于一塊成活型棋塊，用它的棋子數(shù)去除這些棋子所包含的目數(shù)，得到的商值稱為此棋塊的目效率，記為E。Figure4Figure4Figure4宏觀的問(wèn)題可能需要微觀解決

地中海鯊魚(yú)問(wèn)題

20世紀(jì)20年代中期，意大利生物學(xué)家UmbertoD’Ancona偶然注意到第一次世界大戰(zhàn)期間在原南斯拉夫的里耶卡港，人們捕獲的魚(yú)類中，鯊魚(yú)等軟骨魚(yú)的百分比大量增加，而供其捕食的食用魚(yú)的百分比卻明顯下降,見(jiàn)下表。顯然，戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚(yú)量下降，食用魚(yú)應(yīng)該增加，鯊魚(yú)等軟骨魚(yú)也隨之增加，但為何其比例大幅度增加呢？跑步時(shí)如何節(jié)省能量

問(wèn)題的提出：怎樣跑步能使我們消耗的能量最少？Howtosaveyourenergyinrunning

Theproblem：howcanwesaveourenergyinrunning?模型假設(shè)：(1)跑步所花費(fèi)的時(shí)間分成兩部分：第一部分為兩條腿同時(shí)離地的時(shí)間；在第二部分時(shí)間內(nèi)一條腿或兩條腿同時(shí)落地。TheAssumption：Tosolvetheaboveproblem,wesuppose(1)Theruningtimeconsistsoftwoparts：Oneisfortwolegsbothlefttheland;andtheotherisfortwooronelegontheland.Theconclusionscanbeappliedtoanimals.走路情形的數(shù)學(xué)建模

WalkingModel

遺傳模型

在常染色體遺傳中，后代從每個(gè)親體的基因中各繼承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)Α?/p>

問(wèn)題：某植物園中的中植物的基因型為ＡＡ、Ａa、aa。人們計(jì)劃用ＡＡ型植物與每種基因型植物相結(jié)合的方案培育出植物后代。經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物后代的三種基因型分布將出現(xiàn)什么樣的情形？

InheritanceModel

Problem:InsomearboretumthegenotypesofplantsareAA,Aaandaa.ThepeopleplantocultivatetheoffspringbytheplantwhosegenotypeisAAtomakegrafthybridizationwitheachgenotype.Wewouldliketoaskbyseveralyears,whatthegenotypedistributingoftheoffspringwouldbe?

令x(n)=(an,bn,cn)T為第n代植物的基因分布，x(０)=(a０,b０,c０)T為初始分布。顯然，我們有

a０＋b０＋c０＝1

先考慮第n代中的ＡＡ型。我們有

Letx(n)=(an,bn,cn)T

denotethedistributingofthenthplantsgenotype.Also,denotetheinitialdistributingbyx(０)=(a０,b０,c０)T.Apparently,wehavea０＋b０＋c０＝1FirstweconsiderthecaseAAofthen-stgeneration.

an=an-1+bn-1/2+0.cn-1(n=1,2,…)同理，我們有

bn=bn-1/2+cn-1

cn=0

an=an-1+bn-1/2+0.cn-1(n=1,2,…)Inthesameway，wehave

bn=bn-1/2+cn-1

cn=0

利用矩陣表示上面的遞推公式，即

x(n)=Mx(n-1)(n=1,2,…)其中M如右所示。這樣，遞推此公式，我們可以得到

x(n