模塊六隨機(jī)模型

模塊六隨機(jī)模型§6.1基本概率模型§6.2傳送系統(tǒng)的效率§6.3報童的訣竅

§6.4

隨機(jī)存儲策略§6.5軋鋼中的浪費(fèi)§6.6實(shí)驗：隨機(jī)模擬確定性因素和隨機(jī)性因素隨機(jī)因素可以忽略隨機(jī)因素影響可以簡單地以平均值的作用出現(xiàn)隨機(jī)因素影響必須考慮隨機(jī)模型確定性模型隨機(jī)性模型§6.1

基本概率模型

排列的直接原型是人員或者事物的排隊。這里所講的排隊不帶有歧視性。在排隊過程中，所有的元素（個體）機(jī)會均等。

例1

要把A、B、C三個人排成一隊，有幾種排法？

一．全排列排法1ABC2ACB3BAC4BCA5CAB6CBA三人排隊總共有種不同的排法。

四人排隊，排頭可以選定為這四人中的任何人。不論選定了誰站在排頭，接下來的安排就變成了三人排隊的問題。所以，共有種不同的排法。人排隊可以轉(zhuǎn)化成

個

人排隊問題，故

全排列數(shù)為

排列和組合種不同的排法，黃組都有種不同的排法與之對應(yīng)。

列前，黃組（人）排在后面，有幾種排法？

例2

把個人分成紅、黃兩組并且排成一列，規(guī)定紅組（人）二．選排列前面?zhèn)€人（紅組）的排法共有種，對于紅組的每一因此，在這樣限制條件之下的排法總數(shù)為共有實(shí)際上，如果將紅組的人規(guī)定在其它的個位置，排法的總數(shù)也與此相同。像這樣限定部分人排在規(guī)定部位的排列稱為選排列，排列計算公式為

排法的總數(shù)為。

例3

某個部門有把個成員，因工作需要準(zhǔn)備派人外出。試問共有幾種不同的選擇。三．組合如果將所有成員排成一列，排在前個位置的人為外出者，則由于外出的人之間可以忽略次序，留下的人也忽略次序。因此，分組的方案顯然遠(yuǎn)不及這個排列數(shù)。方案總數(shù)可以表示為這剛好是全排列和選排列之商。

一般是認(rèn)為兩種結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會均等，就是說兩種結(jié)果出現(xiàn)的可能性各占一半，各自的概率都是。

有些時候，人們并不能完全確定某個事件是否會出現(xiàn)，常常需要對事件發(fā)生的可能性做出判斷。概率理論最初所涉及的就是這樣的問題。如果任意向上拋起一枚硬幣，讓它自由落地，事先并不敢肯定當(dāng)它落地后會是“正面向上”還是“反面向上”。古典概率如果用和分別代表兩種不同的結(jié)果，用和代表兩個結(jié)果出現(xiàn)的概率（可能性）。應(yīng)該有，。發(fā)生的概率就是發(fā)生。則事件個等可能性的不同結(jié)果，其中種情況改為先后上拋兩枚硬幣的話，請問兩枚硬幣落下后同是正面或者反面的概率有多大？

其中分母４表示一共有４種可能的結(jié)果，分子２表示共有２種結(jié)果符合要求。

顯然，共有四種可能發(fā)生的結(jié)果：

①正②正，①正②反，①反②正，①反②反。

“正反面相同”的概率應(yīng)該是.如果做某項試驗共有都會導(dǎo)致某種事件

這就是古典概率的計算公式。必然會發(fā)生事件的概率認(rèn)為是1，這與人們常說“百分之百會如此”的習(xí)慣相一致，因為

例4某人連續(xù)投擲同一枚硬幣。假定每次正面向上與反面向上的概率相同。試問：

（1）事件連續(xù)兩次都是正面向上的概率是多少？

（2）事件第一次正面向上、第二次反面向上的概率是多少？

（3）事件兩次投擲正反面相同的概率有多大？

（4）事件連續(xù)10次都是正面向上的概率是多少？；不可能會發(fā)生的事件稱其概率為０。

更多事件的概率都是介于０和１之間的正數(shù)。

假定小偷一次行竊得逞的可能性為90％,

他連續(xù)10次作案均得逞的概率是多少?由于不計較四張牌的抽取順序，取法的總數(shù)應(yīng)該是54取4的組合數(shù)例5從一副共54張的撲克牌中任意抽取4張，這四張牌都是A的概率有多大？符合要求的結(jié)果只有一個，所以發(fā)生事件A的概率應(yīng)該是

大約為一億分之六。這里并不計較四張牌的抽取順序，取法的總數(shù)應(yīng)該是54取13的組合數(shù)例6從一副共52張撲克牌（四種花色各13張，不包括大王和小王）中任意抽取13張，其中有四張牌是A的概率有多大？符合要求的結(jié)果個數(shù)為

例7據(jù)說意大利醫(yī)生兼數(shù)學(xué)家卡當(dāng)有賭博嗜好。他曾曾參加過這樣的一種賭博：把兩顆骰子擲出去，以每個骰子朝上的點(diǎn)數(shù)之和作為賭的內(nèi)容。已知骰子的六個面上分別為1～6點(diǎn)，那么，賭注下在多少點(diǎn)上最有利？兩個骰子朝上的面共有36種可能

骰123456123456723456783456789456789105678910116789101112

7是最容易出現(xiàn)的和數(shù)，它出現(xiàn)的概率是所以，卡當(dāng)預(yù)言說押7最好，因為出現(xiàn)7點(diǎn)的概率最大。

前三種結(jié)果之一發(fā)生，梅爾將會贏得全部的12枚金幣；梅爾贏得全部的12枚金幣的概率是贏錢的期望值為。

例8在17世紀(jì)的某一天，一位名叫保羅的人與賭徒梅爾賭錢。他們事先每人拿出6枚金幣，然后擲骰子，約定誰先勝三局便贏得12枚金幣。比賽開始后，保羅勝了一局，梅爾勝了兩局。這時因為發(fā)生其它意外的事情中斷了他們的賭博。在商量著12枚金幣如何分配的時候兩人發(fā)生了分歧。保羅認(rèn)為，根據(jù)已經(jīng)比賽的勝出局?jǐn)?shù)，他應(yīng)該拿走三分之一的金幣4枚，梅爾應(yīng)該得余下的8枚。但是，梅爾對此并不認(rèn)同，他覺得自己獲勝的可能性大，應(yīng)該得到比8枚更多的金幣。

他們先后請求數(shù)學(xué)家帕斯卡和費(fèi)爾馬幫助裁決。兩位數(shù)學(xué)家的結(jié)論可以說是不謀而合，認(rèn)為保羅應(yīng)得3枚金幣，梅爾應(yīng)得9枚金幣。具體理由如下。

如果能夠繼續(xù)進(jìn)行兩句的較量的話，則勝負(fù)自明。現(xiàn)在假定余下兩局勝負(fù)機(jī)會均等，則這兩句的勝負(fù)共有四種可能的結(jié)果：（梅爾勝，梅爾勝），（梅爾勝，保羅勝），（保羅勝，梅爾勝），（保羅勝，保羅勝）。名同學(xué)每個人在365天中任何一天出生的機(jī)會均等，不同狀況的總個數(shù)為例9設(shè)一個班級共有名同學(xué)。如果每個人生日在一年365天中每一天的可能性是均等的。這名同學(xué)的生日各不相同的概率是多少？滿足要求的基本事件個數(shù)為

事件發(fā)生的概率為35人的班級有人生日相同的概率是

例10(蒙特．霍爾問題)在某個具有觀眾參與的電視節(jié)目中，主持人（據(jù)說是蒙特．霍爾）向你指示三扇關(guān)著的門：１號門、２號門和３號門。他告訴你，其中某一扇門的后面有一輛高級轎車，而其它門后面東西的價值是微不足道的。你可以在這三扇門中任意指定一個并且將無償獲得門后面所擺放的東西。

經(jīng)過猶豫再三，你選定了其中一扇門，比如是2號門。其實(shí)，你對2號門后是否有汽車沒有任何把握。

為了增加懸念，使得電視節(jié)目更加好看，主持人并沒有立刻打開你所選定的那扇2號門，而是打開了3號門！人們看到，3號門內(nèi)沒有汽車，只是放著一個值不了幾個錢的塑料垃圾桶。此時，主持人給你提供了一次重新選擇的機(jī)會，告訴你現(xiàn)在可以放棄2號門而改選1號門。到底改不改？

多數(shù)人會支持你堅持原來的1號門，他們認(rèn)為1號門和2號門有汽車的可能性各占50％。

其實(shí)，主持人所履行的是事先設(shè)計好的演出程序，不論你首次選擇的是哪一扇門,也不論你是否選中了汽車，他都會打開另一扇沒有放汽車的門，并且允許你重新選擇。

再來說說獲獎概率吧，這才應(yīng)該是你是否更改選擇的理論依據(jù)。

在你最開始選定2號門的時候，所有人（包括你自己）都清楚，選中汽車的把握剛好是三分之一。就是說，2號門的后面沒有汽車的概率應(yīng)該是三分之二。后來，主持人排除掉了沒有被你選中的那扇沒有汽車的門，再讓你重新選擇，你居然報定原有的、僅有三分之一成功可能性的選擇而不放，這是很不明智的。

要是你還不明白的話，我們不妨修改一下游戲規(guī)則：第一步，允許你自主地先將在三扇門分成兩組，比如你所分的第一組只有2號門，第二組則由1號門和3號門組成；第二步，你在這兩組中任選一組，選中了汽車的話就歸你了！你會選第一組還是第二組呢？我想你會毫不猶豫地選第二組；第三步，主持人在第二組中打開了一扇沒有汽車的門給你看，問你是不是改選成第一組。你會改變自己的選擇嗎？

這兩種游戲程序和數(shù)學(xué)原理確是完全相同的。你的確應(yīng)該充分利用第二次選擇的機(jī)會，理智地把（概率的）“三分之一”換成“三分之二”。當(dāng)然，也許你不換是正確的，但是正確的可能性只有三分之一。有些試驗的可能結(jié)果有無限多個，一旦用不同的數(shù)來代表每個可能的結(jié)果，就可以認(rèn)為是某個所謂“隨機(jī)變量”可以取無限多個數(shù)值。在數(shù)軸上或者在坐標(biāo)平面上研究隨機(jī)變量，概率的問題就?；闪藥缀螁栴}。幾何概型例10假設(shè)在10000平方公里的海域內(nèi)有一塊面積為100平方公里的大陸架蘊(yùn)藏著石油。如果任選一點(diǎn)鉆探，鉆到石油的概率是多少？出油的概率應(yīng)該等于面積之比，就是

這是一個原本就與面積相關(guān)的問題，概率值等于面積之比應(yīng)該說并不奇怪。

例11有兩個人相約在9點(diǎn)鐘到10點(diǎn)鐘之間在某咖啡廳見面。不過不曾作更精確的時間規(guī)定，只約定先到者等候20分鐘離去。試求兩人會面的概率。問題集中在60分鐘的時間間隔內(nèi)。設(shè)兩人到達(dá)的時刻分別為,則兩人到達(dá)時刻組成一個數(shù)組，它對應(yīng)著平面區(qū)域≤≤60，0≤≤60｝無論誰先到都停留20分鐘，這告訴我們只要≤20，

兩人就能見面。

－20≤≤20，≤≤O

D20206060

例12（蒲豐投針問題）這是法國數(shù)學(xué)家蒲豐在1777年提出的一個著名概率問題。平面上畫著若干間距均為的平行線，將一枚長度為

的針任意投放在平面內(nèi)，試計算針與某直線相交的概率。

O

D

問題簡化成下圖，針的端點(diǎn)到直線距離成為問題的關(guān)鍵。

［返回］傳送帶掛鉤產(chǎn)品工作臺工人將生產(chǎn)出的產(chǎn)品掛在經(jīng)過他上方的空鉤上運(yùn)走，若工作臺數(shù)固定，掛鉤數(shù)量越多，傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品越多。背景在生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后，給出衡量傳送帶效率的指標(biāo)，研究提高傳送帶效率的途徑§6.2傳送系統(tǒng)的效率問題分析進(jìn)入穩(wěn)態(tài)后為保證生產(chǎn)系統(tǒng)的周期性運(yùn)轉(zhuǎn)，應(yīng)假定工人們的生產(chǎn)周期相同，即每人作完一件產(chǎn)品后，要么恰有空鉤經(jīng)過他的工作臺，使他可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走，要么沒有空鉤經(jīng)過，迫使他放下這件產(chǎn)品并立即投入下件產(chǎn)品的生產(chǎn)。

可以用一個周期內(nèi)傳送帶運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)占產(chǎn)品總數(shù)的比例，作為衡量傳送帶效率的數(shù)量指標(biāo)。工人們生產(chǎn)周期雖然相同，但穩(wěn)態(tài)下每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻不會一致，可以認(rèn)為是隨機(jī)的，并且在一個周期內(nèi)任一時刻的可能性相同。模型假設(shè)1）n個工作臺均勻排列，n個工人生產(chǎn)相互獨(dú)立，生產(chǎn)周期是常數(shù)；2）生產(chǎn)進(jìn)入穩(wěn)態(tài)，每人生產(chǎn)完一件產(chǎn)品的時刻在一個周期內(nèi)是等可能的；3）一周期內(nèi)m個均勻排列的掛鉤通過每一工作臺的上方，到達(dá)第一個工作臺的掛鉤都是空的；4）每人在生產(chǎn)完一件產(chǎn)品時都能且只能觸到一只掛鉤，若這只掛鉤是空的，則可將產(chǎn)品掛上運(yùn)走；若該鉤非空，則這件產(chǎn)品被放下，退出運(yùn)送系統(tǒng)。模型建立

定義傳送帶效率為一周期內(nèi)運(yùn)走的產(chǎn)品數(shù)（記作s,待定）與生產(chǎn)總數(shù)n（已知）之比，記作D=s/n若求出一周期內(nèi)每只掛鉤非空的概率p，則s=mp為確定s，從工人考慮還是從掛鉤考慮，哪個方便？

設(shè)每只掛鉤為空的概率為q，則

p=1-q如何求概率

設(shè)每只掛鉤不被一工人觸到的概率為r，則q=rn

設(shè)每只掛鉤被一工人觸到的概率為u，則r=1-uu=1/mp=1-(1-1/m)nD=m[1-(1-1/m)n]/n一周期內(nèi)有m個掛鉤通過每一工作臺的上方模型解釋若(一周期運(yùn)行的)掛鉤數(shù)m遠(yuǎn)大于工作臺數(shù)n,則

傳送帶效率(一周期內(nèi)運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）定義E=1-D(一周期內(nèi)未運(yùn)走產(chǎn)品數(shù)與生產(chǎn)總數(shù)之比）提高效率的途徑：

增加m習(xí)題1當(dāng)n遠(yuǎn)大于1時,E

n/2m~E與n成正比，與m成反比若n=10,m=40,D87.5%(89.4%)§6.3報童的訣竅問題報童售報：a(零售價)

>b(購進(jìn)價)

>c(退回價)售出一份賺a-b；退回一份賠b-c

每天購進(jìn)多少份可使收入最大？分析購進(jìn)太多賣不完退回賠錢購進(jìn)太少不夠銷售賺錢少應(yīng)根據(jù)需求確定購進(jìn)量每天需求量是隨機(jī)的優(yōu)化問題的目標(biāo)函數(shù)應(yīng)是長期的日平均收入每天收入是隨機(jī)的存在一個合適的購進(jìn)量等于每天收入的期望建模

設(shè)每天購進(jìn)n份，日平均收入為G(n)調(diào)查需求量的隨機(jī)規(guī)律——每天需求量為r的概率f(r),r=0,1,2…準(zhǔn)備求n使G(n)最大已知售出一份賺a-b；退回一份賠b-c求解將r視為連續(xù)變量結(jié)果解釋nP1P2取n使

a-b~售出一份賺的錢

b-c~退回一份賠的錢0rp§6.4隨機(jī)存貯策略問題以周為時間單位；一周的商品銷售量為隨機(jī)；周末根據(jù)庫存決定是否訂貨，供下周銷售。（s,S)存貯策略制訂下界s,上界S，當(dāng)周末庫存小于s時訂貨，使下周初的庫存達(dá)到S;否則，不訂貨?？紤]訂貨費(fèi)、存貯費(fèi)、缺貨費(fèi)、購進(jìn)費(fèi)，制訂（s,S)存貯策略,使(平均意義下)總費(fèi)用最小模型假設(shè)

每次訂貨費(fèi)c0,每件商品購進(jìn)價c1,每件商品一周貯存費(fèi)c2,每件商品缺貨損失費(fèi)c3(相當(dāng)于售出價)(應(yīng)有c1<c3)

每周銷售量r隨機(jī)、

r取值很大,可視為連續(xù)變量，其概率密度p(r)

上周末庫存量x,訂貨量u,并且立即到貨,周初庫存量x+u

一周的銷售是集中在周初進(jìn)行的,即一周貯存量按x+u-r計,不隨時間改變,即不考慮售出的r件貨物的存貯。這是為了計算方便，不很合理建模與求解（s,S)存貯策略確定(s,S),使目標(biāo)函數(shù)——每周總費(fèi)用的平均值最小平均費(fèi)用

訂貨費(fèi)c0,購進(jìn)價c1,貯存費(fèi)c2,缺貨費(fèi)c3,銷售量r建模與求解1）設(shè)x<s,求u使J(u)最小，確定S建模與求解SP1P20rp2）對庫存x，確定s若訂貨u,u+x=S,總費(fèi)用為

若不訂貨,u=0,總費(fèi)用為

s是的最小正根建模與求解不訂貨最小正根的圖解法J(u)在u+x=S處達(dá)到最小xI(x)

0SI(S)sI(S)+c0I(x)在x=S處達(dá)到最小值I(S)I(x)圖形建模與求解J(u)與I(x)相似I(S)的最小正根s§6.5軋鋼中的浪費(fèi)軋制鋼材兩道工序

粗軋(熱軋)~形成鋼材的雛形

精軋(冷軋)~得到鋼材規(guī)定的長度粗軋鋼材長度正態(tài)分布均值可以調(diào)整方差由設(shè)備精度確定粗軋鋼材長度大于規(guī)定切掉多余部分粗軋鋼材長度小于規(guī)定整根報廢隨機(jī)因素影響精軋問題：如何調(diào)整粗軋的均值，使精軋的浪費(fèi)最小背景分析設(shè)已知精軋后鋼材的規(guī)定長度為l，粗軋后鋼材長度的均方差為記粗軋時可以調(diào)整的均值為m，則粗軋得到的鋼