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文檔簡介

第八章常微分方程數(shù)值解數(shù)值分析華長生制作1

8.1引言(基本求解公式)在工程和科學(xué)技術(shù)的實(shí)際問題中，常需要求解微分方程只有簡單的和典型的微分方程可以求出解析解而在實(shí)際問題中的微分方程往往無法求出解析解在高等數(shù)學(xué)中我們見過以下常微分方程：-----------(1)-----------(2)華長生制作2-----------(3)(1),(2)式稱為初值問題,(3)式稱為邊值問題-----------(4)另外,在實(shí)際應(yīng)用中還經(jīng)常需要求解常微分方程組:本課程主要研究問題(1)的數(shù)值解法,對(duì)(2)~(4)只作簡單介紹我們首先介紹初值問題(1)的解存在的條件華長生制作3定理1.

對(duì)于問題(1),要求它的數(shù)值解華長生制作4-----------(1)從(1)的表達(dá)式可以看出,求它的數(shù)值解的關(guān)鍵在于求解微分方程的數(shù)值方法數(shù)值積分?jǐn)?shù)值微分華長生制作5而數(shù)值積分問題我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過,下考慮數(shù)值微分方法微積分中，關(guān)于導(dǎo)數(shù)的定義如下：自然而又簡單的方法就是，取極限的近似值，即差商!華長生制作6向前差商由taylor展開因此，有誤差華長生制作7向后差商誤差:中心差商華長生制作8常微分方程數(shù)值解的基本思想華長生制作9華長生制作10華長生制作11華長生制作12華長生制作13

8.2歐拉(euler)方法華長生制作14以上三種方法推導(dǎo)出同一個(gè)數(shù)值求解公式:這個(gè)數(shù)值公式稱為歐拉(尤拉)(euler)公式p299:

例9.2.1華長生制作15華長生制作164.改進(jìn)的歐拉(euler)公式（顯式方法）華長生制作17局部截?cái)嗾`差/方法的階評(píng)價(jià)一個(gè)微分方程求解公式的標(biāo)準(zhǔn)當(dāng)然是其精度而在求解公式中誤差項(xiàng)稱為在處的整體截?cái)嗾`差華長生制作18定義1(a).

定義1(b).

---------(*)上兩定義本質(zhì)是一樣的,前者意義直觀,后者用于計(jì)算推導(dǎo)較方便!華長生制作19定義3.

華長生制作20euler公式的局部截?cái)嗾`差為具有1階精度后退euler公式的局部截?cái)嗾`差為也具有1階精度具有2階精度華長生制作21顯然一個(gè)求解公式的精度越高,計(jì)算解的精確性也就越好

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