復變函數(shù)第4講

本章主要內(nèi)容：解析的概念，解析函數(shù)的判別，五類基本初等函數(shù)

復變函數(shù)的主要研究對象是解析函數(shù)，因為，一方面它具有比較良好的性質(zhì)，如能展成冪級數(shù)，具有任意階導數(shù)，實、虛部皆為調(diào)和函數(shù)，另一方面這也是實際問題中應用較為廣泛的一類函數(shù)，如平面無旋流體的流函數(shù)與勢函數(shù)，靜電場中的電通量和電位，二者皆構(gòu)成復變的解析函數(shù)。第二章解析函數(shù)

§2.1解析函數(shù)的概念

1.復變函數(shù)的導數(shù)1)導數(shù)概念：

導數(shù)的幾種表達方式若上述極限不存在，則稱函數(shù)在z0點不可導；若函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)每一點處都可導，則稱其在區(qū)域d上可導，其結(jié)果與實函數(shù)結(jié)果一樣。注:與實函數(shù)的導數(shù)定義類似,復變函數(shù)的導數(shù)定義也有相應的語言描述，這里省略。2）可導與連續(xù)之間的關系容易看出,此極限不存在,即該函數(shù)處處不可導。與實函數(shù)一樣，可導一定連續(xù)，但反之不成立。處處連續(xù)但處處不可導，這樣的函數(shù)在復變函數(shù)中極易獲得，然而在實函數(shù)中要想得到一個處處連續(xù)但處處不可導的函數(shù)卻很不容易?？蓪П剡B續(xù)的證明，在形式上與一元實函數(shù)相關結(jié)論的證明完全相同。由于復函數(shù)與實函數(shù)的導數(shù)定義和極限運算法則在形式上完全一致，因而二者具有相同的求導法則：3）求導法則

（5）反函數(shù)的導數(shù)，其中

w=f(z)與z=(w)互為單值的反函數(shù)，且(w)0.這樣，我們知道多項式處處可導.例如，另外，有理分式在分母不為零的點處可導.思考題結(jié)論：例如事實上2.解析函數(shù)的概念不解析的點稱為奇點。注：（1）可導與解析是兩個完全不同的概念，不解析的點可能可導，即解析的條件比可導要強，但我們卻有以下結(jié)論：定理：若函數(shù)在區(qū)域d內(nèi)可導，則d內(nèi)定解析。即在區(qū)域上，可導與解析是等價的。（為什么？）即不可能存在離散的、孤立的解析點。例：研究下列函數(shù)的解析性5）有理分式，定義域內(nèi)解析，原因同上。注：由求導法則，不難看出：

解析函數(shù)的和、差、積、商仍為解析函數(shù)，解析函數(shù)的復合函數(shù)仍是解析函數(shù)。§2.2函數(shù)可導與解析的條件當一個復函數(shù)用其實部和虛部表示時,本節(jié)介紹一種判別函數(shù)可導性、解析性的非常有效的方法；建立函數(shù)的可導性與其實、虛部的偏導之間的關系.舉例嘗試容易求得觀察、尋找聯(lián)系后發(fā)現(xiàn)有究竟是偶然的現(xiàn)象還是必然的規(guī)律？

？定理1函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在點可導的充要條件是u(x,y)和v(x,y)在可微，且在該點滿足cauchy-riemann方程使用時:i)判別u(x,y)，v(x,y)偏導數(shù)的連續(xù)性；ii)驗證c-r條件.注：

可以看出可導函數(shù)的實部與虛部有密切的聯(lián)系.當一個函數(shù)可導時,僅由其實部或虛部就可以求出導數(shù)來.定理2

函數(shù)f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在d內(nèi)解析充要條件是u(x,y)和v(x,y)在d內(nèi)可微，且滿足cauchy-rieman方程例1

判定下列函數(shù)在何處可導，在何處解析：例2證明小結(jié)1、導數(shù)的概念，復變函數(shù)求導法則.2、解析的概念，解析與可導的關系.3、判別復變函數(shù)解析性的有效方法：

柯西—黎曼定理.f(z)在區(qū)域d內(nèi)可導f(z)在區(qū)域d內(nèi)解析

f(z)在z0