《數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史》

《數(shù)學(xué)發(fā)展簡(jiǎn)史》主講教師：王幼軍目錄導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史第一講：早期文明中的數(shù)學(xué)1．古埃及的數(shù)學(xué)2．巴比倫的數(shù)學(xué)3．中國(guó)早期的數(shù)學(xué)第二講：古希臘的數(shù)學(xué)1．希臘數(shù)學(xué)——從愛(ài)奧尼亞到亞歷山大2．亞歷山大時(shí)期第三講：中國(guó)古代的數(shù)學(xué)1．漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)2．從魏晉到隋唐時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)3．十二、三世紀(jì)的宋元數(shù)學(xué)第四講：印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)1．印度的數(shù)學(xué)2．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)第五章：數(shù)學(xué)的復(fù)興1．中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)2．經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)觀的形成及其對(duì)于近代數(shù)學(xué)實(shí)踐的影響3．三次、四次方程的求根公式的解決4．三角學(xué)的歷史第六講：近代數(shù)學(xué)的興起1．對(duì)數(shù)2．解析幾何的誕生3．微積分的產(chǎn)生與發(fā)展4．概率論的產(chǎn)生第七講：近代數(shù)學(xué)的發(fā)展1．幾何學(xué)的發(fā)展2．代數(shù)學(xué)的發(fā)展3．分析學(xué)的發(fā)展4．公理化運(yùn)動(dòng)第八講：現(xiàn)代數(shù)學(xué)概觀1．集合論悖論與數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的研究2．純數(shù)學(xué)的發(fā)展3．應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展4．六十年代以后的數(shù)學(xué)導(dǎo)言：為什么學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史1．為了更全面、更深刻地了解數(shù)學(xué)每一門(mén)學(xué)科都有它的歷史，文學(xué)有文學(xué)史，哲學(xué)有哲學(xué)史，天文學(xué)有天文學(xué)史等等。數(shù)學(xué)有它自己的發(fā)展過(guò)程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無(wú)論是概念還是體系，無(wú)論是內(nèi)容還是方法，都只有在與其發(fā)展過(guò)程相聯(lián)系時(shí)，才容易被理解?？梢哉f(shuō)，不懂得數(shù)學(xué)史，就不能真心地理解數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)課本上的數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)多次加工，已經(jīng)不是原來(lái)的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見(jiàn)。數(shù)學(xué)教師要把課本上的內(nèi)容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學(xué)生理解。2．為了總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，探索發(fā)展規(guī)律我國(guó)自古以來(lái)就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰(zhàn)國(guó)策·趙策一》）早已成為人們的共識(shí)。英國(guó)哲學(xué)家培根（FrancisBacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Historiesmakemenwise）也是盡人皆知的成語(yǔ)。數(shù)學(xué)有悠久的歷史，它的成長(zhǎng)道路是相當(dāng)曲折的。有時(shí)興旺發(fā)達(dá)，有時(shí)衰敗凋殘。探索它的發(fā)展規(guī)律，可以指導(dǎo)當(dāng)前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。3．為了教育的目的（1）激發(fā)興趣，開(kāi)闊眼界，啟發(fā)思維，經(jīng)驗(yàn)證明，在數(shù)學(xué)課中加入數(shù)學(xué)史的講授會(huì)使學(xué)生興趣盎然。任何一個(gè)靜止的事物，如果和它的歷史聯(lián)系起來(lái)，就會(huì)對(duì)它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導(dǎo)和證明，還指出它的思考路線，以及學(xué)者研究和發(fā)現(xiàn)定理的經(jīng)過(guò)，課堂空氣會(huì)立刻活躍起來(lái)。教師也可以適當(dāng)介紹和本定理有關(guān)的典故和趣事。學(xué)生開(kāi)闊了眼界．知道一個(gè)定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程竟如此曲折，印象會(huì)非常深刻。講述定理的來(lái)龍去脈，可以開(kāi)拓學(xué)生的思維，使他們從多個(gè)方面去思考問(wèn)題。（如果不是專門(mén)的數(shù)學(xué)史課，史料的加入宜適而止，否則會(huì)喧賓奪主，沖淡了主題）（2）表彰前賢，鼓勵(lì)后進(jìn)。數(shù)學(xué)是人類智慧的結(jié)晶，是全世界人民寶貴的精神財(cái)富。今天數(shù)學(xué)的繁榮昌盛，實(shí)得力于千百年來(lái)數(shù)學(xué)工作者的辛勤勞動(dòng)。飲水必須思源，數(shù)典不可忘祖，他們的豐功偉績(jī)，理應(yīng)載人史冊(cè)。數(shù)學(xué)史的主要內(nèi)容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻(xiàn)，以供后人參考借鑒。其目的在于總結(jié)先輩的經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)，學(xué)習(xí)他們不畏艱苦的創(chuàng)業(yè)精神。表彰前賢，足以鼓勵(lì)后進(jìn)。4．文化的目的數(shù)學(xué)是文明的一個(gè)組成部分。數(shù)學(xué)不僅僅是形式化、演繹化的思維訓(xùn)練，也不僅僅是一門(mén)嚴(yán)肅的、抽象的學(xué)科，數(shù)學(xué)其實(shí)是豐富多彩的文化的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)中的幾乎每一步進(jìn)展都反映了推進(jìn)者的個(gè)人背景、時(shí)間和地點(diǎn)的影響，也受到當(dāng)時(shí)流行的價(jià)值觀、社會(huì)思想和當(dāng)時(shí)所有的資源的影響。所以，數(shù)學(xué)不僅是一種單純的知識(shí)活動(dòng)，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門(mén)數(shù)學(xué)分支的發(fā)展都反映了一定時(shí)代和地域所流行的價(jià)值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂(lè)、美學(xué)欣賞、宗教信仰、哲學(xué)思考和實(shí)用價(jià)值探索等，在數(shù)學(xué)中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個(gè)方面都將給數(shù)學(xué)帶不可估量的損失。為了探索及揭露數(shù)學(xué)發(fā)展的規(guī)律，也為了敘述的方便，常常將整個(gè)發(fā)展史劃分為若干個(gè)階段，這就是數(shù)學(xué)史的分期。分期的標(biāo)準(zhǔn)主要有兩種，一種是根據(jù)數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)（通常叫做“內(nèi)史”，另一種是根據(jù)社會(huì)的歷史背景（“外史”），三是根據(jù)所接受的對(duì)象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的數(shù)學(xué)，2．初等數(shù)學(xué)的發(fā)展，4近代數(shù)學(xué)的興起，5近現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展，6現(xiàn)代數(shù)學(xué)發(fā)展概述。學(xué)習(xí)資源：李文林．?dāng)?shù)學(xué)史教程．北京：高等教育出版社，20020梁宗巨，王青建，孫宏安，《世界數(shù)學(xué)通史》（上下冊(cè)），遼寧教育出版社，2004王青建，《數(shù)學(xué)史簡(jiǎn)編》，科學(xué)出版社，2004張奠宙．?dāng)?shù)學(xué)史選講．上海：上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，1997J.F.斯科特著，《數(shù)學(xué)史》，侯德潤(rùn)張?zhí)m譯，廣西師范大學(xué)出版社，2002(美國(guó))卡茨著，《數(shù)學(xué)史通論》，李文林等譯，高等教育出版社，2004[美]H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》（修訂本），歐陽(yáng)絳譯，山西經(jīng)濟(jì)出版社，1986劉鈍(1993)，《大哉言數(shù)》，沈陽(yáng)：遼寧教育出版社M·克萊茵.數(shù)學(xué)：《確定性的喪失》，李宏魁譯.長(zhǎng)沙:湖南科學(xué)技術(shù)出版社,1999.李迪主編，《中外數(shù)學(xué)史教程》，福建教育出版社，1993汪曉勤，韓祥臨．中學(xué)數(shù)學(xué)中的數(shù)學(xué)史．北京：科學(xué)出版社，2002.tw.tw/~hornghttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk//~djoyce第一講：早期文明中的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長(zhǎng)江流域的中國(guó)等。伴隨著這些早期文明的發(fā)展，數(shù)學(xué)也開(kāi)始了它的萌芽和進(jìn)程。在有文字記載之前人類就已經(jīng)有了數(shù)概念。起初人們只能認(rèn)識(shí)“有”還是“沒(méi)有”，后來(lái)又漸漸有了“多”與“少”的朦朧意識(shí)。而“多”與“少”的意識(shí)原始人是在一一對(duì)應(yīng)的過(guò)程中建立的。即把兩組對(duì)象進(jìn)行一一比較，如果兩組對(duì)象完全對(duì)應(yīng)，則這兩個(gè)組的數(shù)量就相等，如果不能完全一一對(duì)應(yīng)，就會(huì)出現(xiàn)多少。例如，據(jù)古希臘荷馬史詩(shī)記載：波呂斐摩斯被俄底修斯刺傷后，以放羊?yàn)樯?。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出?lái)一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子兒；晚上母羊返回山洞，進(jìn)去一只，他就扔掉一顆石子兒，當(dāng)把早晨撿起的石子兒全部扔完后，他就放心了，因?yàn)樗浪哪秆蛉计桨驳鼗氐搅松蕉?。另一個(gè)方面，在長(zhǎng)期的采集、狩獵等生產(chǎn)活動(dòng)中原始人逐漸注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數(shù)量上的差異。通過(guò)一只羊、一頭狼與許多羊、整群狼的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚(yú)、一棵樹(shù)……之間存在著某種共同的東西，即它們的單位性。由此抽象出數(shù)“1”這個(gè)概念。數(shù)“1”可以說(shuō)是這類具有單個(gè)元素的集合的特征?？梢哉J(rèn)為，在人類發(fā)展的一個(gè)相當(dāng)長(zhǎng)的階段上，人們最早具有的數(shù)的概念是“1”，與之相對(duì)應(yīng)的是一個(gè)比較確定的觀念——“多”。如上面的“數(shù)羊”，人們把一些被數(shù)物品用另外某些彼此同類的物品或標(biāo)記來(lái)代替，如用手指、小石塊、繩結(jié)、樹(shù)枝、刻痕等。根據(jù)彼此一一對(duì)應(yīng)的原則進(jìn)行這種計(jì)算，也就是給每個(gè)被數(shù)物品選擇一個(gè)相應(yīng)的東西作為計(jì)算工具，這就是早期的記數(shù)。最早可能是手算，即用手指計(jì)數(shù)。一只手上的5個(gè)指頭可以被現(xiàn)成的用來(lái)表示5個(gè)以內(nèi)事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數(shù)到10，再和腳趾聯(lián)合在一起，可以數(shù)到20。有人認(rèn)為，現(xiàn)在的羅馬數(shù)字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個(gè)手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開(kāi)形象，10則畫(huà)成ⅤⅤ，表示雙手，后來(lái)又畫(huà)成X，是ⅤⅤ的對(duì)頂形式。古代俄國(guó)把1叫做“手指頭”，10則稱為“全部”。這些都是古代手指計(jì)數(shù)的痕跡。亞里士多德曾經(jīng)指出，今天10進(jìn)制的廣泛采用，只不過(guò)是人類絕大多數(shù)人生來(lái)就具有10個(gè)手指這樣一個(gè)解剖學(xué)事實(shí)的結(jié)果。手算能表示出的數(shù)目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過(guò)數(shù)到20。當(dāng)指頭不敷用時(shí)，數(shù)到10時(shí)，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續(xù)數(shù)更大的數(shù)目。自然地人們會(huì)想到，可以不用手，直接用石頭記數(shù)。但記數(shù)的石子堆很難長(zhǎng)久保存信息，于是又有結(jié)繩記數(shù)。我國(guó)有“上古結(jié)繩而治，后世圣人，易之以書(shū)契”的說(shuō)法。“結(jié)繩而治”一般解釋為“結(jié)繩記事”或“結(jié)繩記數(shù)”。“書(shū)契”就是在物體上刻痕，以后逐漸發(fā)展成為文字。結(jié)繩記事、記數(shù)，并不限于中國(guó)，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀(jì)還保留這種方法，有些結(jié)繩事物甚至保存下來(lái)。例如，美國(guó)自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來(lái)記事的繩結(jié)，當(dāng)時(shí)人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細(xì)繩，再在細(xì)繩上打各種各樣的結(jié)，不同的顏色和結(jié)的位置、形狀表示不同的事物和數(shù)目。結(jié)繩畢竟不甚方便，以后在實(shí)物（石、木、骨等）上刻痕以代替結(jié)繩。從現(xiàn)在的考古資料看，幾乎所有的文明古國(guó)都經(jīng)歷過(guò)一個(gè)刻痕記數(shù)的階段，只是各自的形式不同而已。無(wú)論手算、結(jié)繩還是刻痕所記下來(lái)的數(shù)還不是現(xiàn)在意義上的數(shù)，只是物體集合蘊(yùn)涵著的數(shù)量特性從一個(gè)物體集合轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體集合上。也就是說(shuō)，人們還不能脫離具體的物的集合來(lái)認(rèn)識(shí)“數(shù)量”。但是，當(dāng)人們可以任意選用這種隨手可得的東西來(lái)記數(shù)時(shí)，就離形成數(shù)的概念為期不遠(yuǎn)了?？傊?，在人類幾萬(wàn)年的原始文明中，只限于一些零碎的、片斷的、不完整的知識(shí)，有些人只能分辨一、二和許多，有些能夠把數(shù)作為抽象的概念來(lái)認(rèn)識(shí)，并采用特殊的字或記號(hào)來(lái)代表個(gè)別的數(shù)，甚至采用十、二十或五作為基底來(lái)表示較大的數(shù)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算。此外，古人也認(rèn)識(shí)到最簡(jiǎn)單的幾何概念，如，直線、圓、角等。直到公元前三千年左右巴比倫和埃及的數(shù)學(xué)出場(chǎng)，數(shù)學(xué)開(kāi)始取得更多的進(jìn)展。1，古埃及的數(shù)學(xué)背景非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年間，這里曾建立了一個(gè)統(tǒng)一的帝國(guó)。目前我們對(duì)古埃及數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)，主要源于兩份用僧侶文寫(xiě)成的紙草書(shū)，其一是成書(shū)于公元前1850年左右的莫斯科紙草書(shū)，另一份是約成書(shū)于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書(shū)，又稱阿默士（Ahmes）紙草書(shū)。阿默士紙草書(shū)的內(nèi)容相當(dāng)豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分?jǐn)?shù)的用法、試位法、求圓面積問(wèn)題的解和數(shù)學(xué)在許多實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。古埃及人將所有的分?jǐn)?shù)都化成單位分?jǐn)?shù)（分子為1的分?jǐn)?shù)之和），在阿默士紙草書(shū)中，有很大一張分?jǐn)?shù)表，把狀分?jǐn)?shù)表示成單位分?jǐn)?shù)之和古埃及人已經(jīng)能解決一些屬于一次方程和最簡(jiǎn)單的二次方程的問(wèn)題，還有一些關(guān)于等差數(shù)列、等比數(shù)列的初步知識(shí)。例如，在蘭德紙草書(shū)上有一個(gè)關(guān)于“堆算”的特殊篇章。這部分從本質(zhì)上來(lái)說(shuō)，包含的是用一元一次方程來(lái)解的問(wèn)題。古代埃及人把未知數(shù)稱為“堆”，它本來(lái)的意思是指數(shù)量是未知數(shù)的谷物的堆。其中一個(gè)方程式這樣的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33”埃及人還發(fā)展了卓越的幾何學(xué)。有一種觀點(diǎn)認(rèn)為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒(méi)河流兩岸的谷地。大水過(guò)后，法老要重新分配土地，長(zhǎng)期積累起來(lái)的土地測(cè)量知識(shí)逐漸發(fā)展為幾何學(xué)。古埃及人留下了許多氣勢(shì)宏偉的建筑，其中最突出的是約于公元前2900年興建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高達(dá)146.5米，塔基每邊平約寬230米，任何一邊與此數(shù)值相差不超過(guò)0.16米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過(guò)萬(wàn)分之一。與金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神廟。其中卡爾納克的神廟主殿總面積達(dá)5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達(dá)21米。這些宏偉建筑的落成，也離不開(kāi)幾何學(xué)知識(shí)。埃及人能夠計(jì)算簡(jiǎn)單平面圖形的面積，計(jì)算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計(jì)算棱錐、圓錐、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計(jì)算，他們給出的計(jì)算過(guò)程與現(xiàn)代的公式相符。2，巴比倫的數(shù)學(xué)底格里斯河和幼發(fā)拉底河流域，希臘人稱之為美索不達(dá)米亞（Mesopotamia），原意為兩河之間的地方，統(tǒng)稱為兩河流域。在歷史上兩河流域一直是許多城邦以及定居的部族和游牧部族之間競(jìng)爭(zhēng)角逐的場(chǎng)所。在兩河流域的歷史上，征服者和被征服者就像走馬燈一樣來(lái)來(lái)去去，其情形是極其復(fù)雜的。但是，兩河流域是個(gè)大熔爐，在這里，許多不同的部族都是由競(jìng)爭(zhēng)角逐而趨于融合，所以各個(gè)部族的文化和技術(shù)相互融合，從而使這個(gè)地區(qū)成了西亞的先進(jìn)地區(qū)。古代巴比倫國(guó)家的位置在美索不達(dá)米亞最靠近底格里斯河和幼發(fā)拉底河河床的地方。巴比倫城位于幼發(fā)拉底河河岸上，“巴比倫人”這個(gè)名稱包括許多同時(shí)或先后居住在底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間及其流域上的一些民族。其中蘇美爾人（Sumerians）是兩河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人漢默拉比Hammurabi王統(tǒng)治時(shí)期，文化得到高度的發(fā)展，這位君主以制定一部著名的法典而著稱（《漢默拉比法典》），這個(gè)時(shí)期就是所稱的古巴比倫王國(guó)。公元前八世紀(jì)，這個(gè)地區(qū)為原來(lái)住在底格里斯河上游的亞述人（Assyrians）所統(tǒng)治。亞述人尚武輕文，在文化方面很少有創(chuàng)造性的貢獻(xiàn)，然而，亞述帝國(guó)的政治統(tǒng)一卻也促進(jìn)了文化的交流，使古代東方各地的文化得以融于一爐。對(duì)兩河流域的古文化，亞述人也做過(guò)一些保存和整理工作。亞述帝國(guó)的最后一個(gè)名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾經(jīng)在尼尼微的宮殿里建了一座圖書(shū)館，那里收藏了二萬(wàn)二千塊刻著楔形文字的泥板。一個(gè)世紀(jì)以后，亞述帝國(guó)為伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所滅，在歷史上美索不達(dá)米亞的這段時(shí)期（公元前7世紀(jì)）通常稱為伽勒底時(shí)期，也稱為新巴比倫帝國(guó)。公元前540年左右，新巴比倫帝國(guó)為居魯士（Cyrus）統(tǒng)治下的波斯人所征服。公元前330年，希臘軍事領(lǐng)袖亞歷山大大帝（AlexandertheGreat）征服了這個(gè)地區(qū)。歷史中所講的巴比倫數(shù)學(xué)也到此為止。從十九世紀(jì)前期開(kāi)始，在美索不達(dá)米亞工作的考古學(xué)家們進(jìn)行了系統(tǒng)的發(fā)掘工作，發(fā)現(xiàn)了大約五十萬(wàn)塊刻著文字的泥板，僅僅在古代尼普爾舊址上就挖掘出五萬(wàn)塊。在巴黎、柏林和倫敦的大博物館中，在耶魯、哥倫比亞河賓夕法尼亞大學(xué)的考古展覽館中，都珍藏著許多這類書(shū)板，書(shū)板有大有小，小的只有幾平方英寸，最大的和一般的教科書(shū)大小差不多，中心大約有一英寸半厚。有的只是書(shū)板的一面有字，有時(shí)兩面都有字，并且往往在其四邊上也刻有字。在公元前3500年以前，蘇美爾人就已經(jīng)發(fā)明了文字。蘇美爾人用削尖了的蘆葦管做筆，把這種文字刻在泥板磚的怌塊上，在日光下或火爐上烘干，這種帶有文字的泥板就稱為泥板書(shū)。因?yàn)檫@種文字是刻在泥板上的，落筆處比較重，收筆處比較纖細(xì)，呈尖劈形，所以被稱為“楔形文字”（Cuneiform）。在五十萬(wàn)塊書(shū)板中，約有300塊是被鑒定為載有數(shù)字表和一大批問(wèn)題的純數(shù)學(xué)書(shū)板。直到1935年，由于美國(guó)學(xué)者諾伊格包爾（OttoNeugebaur）和法國(guó)學(xué)者蒂羅。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他們解釋了一部分?jǐn)?shù)學(xué)泥板，由于這些工作還在進(jìn)行，或許不久的將來(lái)還會(huì)有新的發(fā)現(xiàn)。古代巴比倫人是具有高度計(jì)算技巧的計(jì)算家，其計(jì)算程序是借助乘法表、倒數(shù)表、平方表、立方表等數(shù)表來(lái)實(shí)現(xiàn)的。巴比倫人書(shū)寫(xiě)數(shù)字的方法更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制（60進(jìn)制），希臘人、歐洲人直到16世紀(jì)還于數(shù)學(xué)計(jì)算和天文學(xué)計(jì)算中運(yùn)用這個(gè)系統(tǒng)，直至現(xiàn)在60進(jìn)制仍被應(yīng)用于角度、時(shí)間等記錄上。3．中國(guó)早期的數(shù)學(xué)中國(guó)古代數(shù)學(xué)的起源可以上溯到公元前數(shù)千年．《周易·系辭下》中說(shuō)：“上古結(jié)繩而治，后世圣人易之以書(shū)契。百官以治，萬(wàn)民以察。”《說(shuō)文解字·敘》記載：“及神農(nóng)氏結(jié)繩而治而統(tǒng)其事。”《周易》鄭玄注：“結(jié)繩為約，事大，大結(jié)其繩；事小，小結(jié)其繩?！薄毒偶乙住罚骸肮耪邿o(wú)文字，其有誓約之事，事大，大其繩；事小，小其繩。結(jié)之多少，隨物眾寡，各執(zhí)以相考，亦足以相治也。”據(jù)此可知：結(jié)繩是神農(nóng)或神農(nóng)以前上古時(shí)期的一種記事方法，以繩結(jié)的大小約定事的大小，以繩結(jié)的多少約定物的多少。契刻是較結(jié)繩晚出的一種記事方法，其作用主要是用于記數(shù)或作為契約的記數(shù)憑證。在許多古代典籍中都有關(guān)這方面的記載，《墨子·備城門(mén)》中曰：“守城之法：必?cái)?shù)城中之木，十人之所舉為十挈（契），五人之所舉為五挈。凡輕重以挈為人數(shù)?！薄吨芤住粪嵭ⅲ骸皶?shū)之于木，刻其側(cè)為契，各持其一，后以相考合。”《列子·說(shuō)符篇》說(shuō)：“宋人有游于道得人遺契者，歸而藏之，密數(shù)其齒，告鄰人曰：‘吾富可待也。’”在距今約五至六千年前的仰韶文化時(shí)期出土的陶器上還刻有表示數(shù)目的符號(hào)，說(shuō)明此時(shí)已開(kāi)始用文字符號(hào)取代結(jié)繩記事了。西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對(duì)稱和復(fù)雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基?！妒酚洝分杏涊d：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準(zhǔn)繩”。這可以看作是中國(guó)古代幾何學(xué)的起源。在殷商（月公元前13世紀(jì)）的甲骨文中已經(jīng)使用了十進(jìn)制記數(shù)法，共有13個(gè)獨(dú)立的符號(hào)，出現(xiàn)的最大數(shù)字為三萬(wàn)。商代還用10個(gè)天干和12個(gè)地支組成甲子、乙丑等60個(gè)名稱來(lái)記60十天的日期。春秋戰(zhàn)國(guó)時(shí)代又出現(xiàn)了十進(jìn)位值制籌算記數(shù)法．而戰(zhàn)國(guó)時(shí)代的《考工記》、《墨經(jīng)》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數(shù)學(xué)概念，并記載了大量實(shí)用幾何知識(shí)．在記述中國(guó)古代早期數(shù)學(xué)內(nèi)容的典籍中，《周易》是包含數(shù)學(xué)內(nèi)容最豐富的著作，因而對(duì)中國(guó)古代數(shù)學(xué)家產(chǎn)生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術(shù)注》的序中就寫(xiě)道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬(wàn)物之情。作九九之?dāng)?shù)，以合六爻之變?！睂?shí)際上就把數(shù)學(xué)方法與《周易》中的六爻、八卦等內(nèi)容聯(lián)系起來(lái)了?！吨芤住分械牧硪恢匾拍钍翘珮O?！吨芤住穼?xiě)道：“易有太極，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦。”太極即太一，這段話講的是八卦產(chǎn)生的原理，也試圖解釋天地造分、化成萬(wàn)物的原理。到周代（公元前11至公元前3世紀(jì)）又發(fā)展成64卦，表示64種事物。后經(jīng)宋代陳摶的發(fā)展，便有了太極圖?！吨芤住分辛硪粋€(gè)與數(shù)學(xué)相關(guān)的內(nèi)容是“河圖洛書(shū)”?！吨芤住分杏小昂映鰣D，洛出書(shū)，圣人則之”的記載。以后，有人又把河圖洛書(shū)與八卦及九數(shù)聯(lián)系起來(lái)。例如，孔安國(guó)認(rèn)為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫(huà)八卦。洛書(shū)者，禹治水時(shí)，神龜負(fù)文，而列于背，有數(shù)至九，禹遂因而第之，以成九類?！币簿褪钦f(shuō)，在古人看來(lái)，八卦與九數(shù)實(shí)出于河圖洛書(shū)。西周初期能用炬測(cè)量高、深、廣、遠(yuǎn)，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及環(huán)炬為圓等知識(shí)。西周青銅器上的金文數(shù)字與商代數(shù)字基本一致，是我們今天文字的源泉。此時(shí)，已有整數(shù)和分?jǐn)?shù)的四則遠(yuǎn)算，《韓詩(shī)外傳》中還記載了公元前7世紀(jì)齊桓公招賢納士之事，將會(huì)背“九九”乘法口訣的人當(dāng)作貴客款待。卜筮是原始人類共有的社會(huì)現(xiàn)象。中國(guó)古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數(shù)字，并用它來(lái)預(yù)測(cè)事情的吉兇?！吨芏Y》稱：“凡國(guó)之大事，先筮后卜?！薄妒酚洝敳吡袀鳌穭t說(shuō)：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也?！斌叩墓ぞ咂鸪跏侵窆鳎ㄒ院蟪霈F(xiàn)的籌算數(shù)碼則形成了中國(guó)古代用竹棍表示數(shù)字的傳統(tǒng)），后來(lái)改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。公元前500年左右的戰(zhàn)國(guó)時(shí)代，算籌已得到普遍使用，算籌大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制作的。算籌的記數(shù)法采用十進(jìn)位制?！赌?jīng)》（約公元前4世紀(jì)）中說(shuō)：“一少于二而多余五，說(shuō)在建位?！奔匆辉趥€(gè)位小于二，在十位就大于五，每個(gè)數(shù)字的大小除由它本身表示的數(shù)值決定外，還要看它在整個(gè)數(shù)中所處的位置?！秾O子算經(jīng)》（約公元4世紀(jì)）中描述了對(duì)籌算數(shù)字的擺放方法：“凡算之法，先識(shí)其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬(wàn)百相當(dāng)”即：個(gè)位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬(wàn)位又用縱式，如此縱橫相間，以免發(fā)生誤會(huì)。并規(guī)定用空位表示零。說(shuō)明有縱橫兩式：總之，在人類早期的文明中，數(shù)學(xué)還處于萌芽時(shí)期，主要包括計(jì)數(shù)、算術(shù)、初步的代數(shù)和幾何等知識(shí)。此時(shí)所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)更多的是經(jīng)驗(yàn)、直觀、零碎、片斷的知識(shí)，還沒(méi)有形成系統(tǒng)的理論體系、抽象的思維方法等。第二講：古希臘的數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)作為一門(mén)獨(dú)立和理性的學(xué)科開(kāi)始于公元前600年左右的古希臘。古希臘是數(shù)學(xué)史上一個(gè)“黃金時(shí)期”，在這里產(chǎn)生了眾多對(duì)數(shù)學(xué)主流的發(fā)展影響深遠(yuǎn)的人物和成果，泰勒斯、畢達(dá)哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德、阿基米德等數(shù)學(xué)巨匠不勝枚舉。此外，在初等數(shù)學(xué)時(shí)期，東方的中國(guó)、印度與阿拉伯等地區(qū)也發(fā)展出了獨(dú)具特色的數(shù)學(xué)知識(shí)。在中世紀(jì)后期的歐洲，在獨(dú)特的中世紀(jì)文化中，東西方數(shù)學(xué)知識(shí)逐漸融合，為下一個(gè)階段數(shù)學(xué)的快速發(fā)展奠定了基礎(chǔ)。1．希臘數(shù)學(xué)——從愛(ài)奧尼亞到亞歷山大古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細(xì)亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛(ài)琴海諸島等地區(qū)。這里長(zhǎng)期以來(lái)由許多大小奴隸制城邦國(guó)組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝（AlexandertheGreat）征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城（Alexandria）。亞歷山大大帝死后（323B.C.），他創(chuàng)建的帝國(guó)分裂為三個(gè)獨(dú)立的王國(guó)，但仍聯(lián)合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國(guó)家。統(tǒng)治了埃及的托勒密一世（PtolemytheFirst）大力提倡學(xué)術(shù)，多方網(wǎng)羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖書(shū)館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學(xué)術(shù)文化中心，繁榮幾達(dá)千年之久！希臘人的思想毫無(wú)疑問(wèn)地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創(chuàng)立的數(shù)學(xué)與前人的數(shù)學(xué)相比較，卻有著本質(zhì)的區(qū)別，其發(fā)展可分為古典時(shí)期和亞歷山大時(shí)期兩個(gè)階段。一、古典時(shí)期（600B.C.-300B.C.）這一時(shí)期始于泰勒斯（Thales）為首的愛(ài)奧尼亞學(xué)派（Ionians），其貢獻(xiàn)在于開(kāi)創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達(dá)哥拉斯（Pythagoras）領(lǐng)導(dǎo)的學(xué)派，這是一個(gè)帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學(xué)團(tuán)體，以「萬(wàn)物皆數(shù)」作為信條，將數(shù)學(xué)理論從具體的事物中抽象出來(lái)，予數(shù)學(xué)以特殊獨(dú)立的地位。公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學(xué)術(shù)思想在雅典爭(zhēng)奇斗妍，演說(shuō)和辯論時(shí)有所見(jiàn)，在這種氣氛下，數(shù)學(xué)開(kāi)始從個(gè)別學(xué)派閉塞的圍墻里跳出來(lái)，來(lái)到更廣闊的天地里。埃利亞學(xué)派的芝諾（Zeno）提出四個(gè)著名的悖論（二分說(shuō)、追龜說(shuō)、飛箭靜止說(shuō)、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)問(wèn)題），迫使哲學(xué)家和數(shù)學(xué)家深入思考無(wú)窮的問(wèn)題。智人學(xué)派提出幾何作圖的三大問(wèn)題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問(wèn)題，是幾何學(xué)從實(shí)際應(yīng)用向演繹體系靠攏的又一步。正因?yàn)槿髥?wèn)題不能用標(biāo)尺解出，往往使研究者闖入未知的領(lǐng)域中，作出新的發(fā)現(xiàn)：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問(wèn)題亦導(dǎo)致了圓周率和窮竭法的探討。哲學(xué)家柏拉圖（Plato）在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學(xué)園，培養(yǎng)了一大批數(shù)學(xué)家，成為早期畢氏學(xué)派和后來(lái)長(zhǎng)期活躍的亞歷山大學(xué)派之間聯(lián)系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學(xué)園最著名的人物之一，他創(chuàng)立了同時(shí)適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學(xué)生亞里士多德（Aristotle）是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學(xué)整理在嚴(yán)密的邏輯體系之中開(kāi)辟了道路。（1）泰勒斯﹝TalesofMiletus，約公元前625-前547﹞古希臘哲學(xué)家、自然科學(xué)家。生于小亞細(xì)亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學(xué)學(xué)派──伊奧尼亞學(xué)派的創(chuàng)始人，他幾乎涉獵了當(dāng)時(shí)人類的全部思想和活動(dòng)領(lǐng)域，被尊為“希臘七賢”之首。而他更是以數(shù)學(xué)上的發(fā)現(xiàn)而出名的第一人。他認(rèn)為處處有生命和運(yùn)動(dòng)，并以水為萬(wàn)物的本源。泰勒斯在埃及時(shí)還曾利用日影及比例關(guān)系算出金字塔的高，說(shuō)明相似形已有初步認(rèn)識(shí)。在天文學(xué)中他曾精確地預(yù)測(cè)了公元前585年5月28日發(fā)生的日食，還可能寫(xiě)過(guò)《航海天文學(xué)》一書(shū)，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長(zhǎng)的。證明命題是希臘幾何學(xué)的基本精神，泰勒斯在數(shù)學(xué)方面的劃時(shí)代貢獻(xiàn)是開(kāi)始引入了命題證明的思想，它標(biāo)志著人們對(duì)客觀事物的認(rèn)識(shí)從經(jīng)驗(yàn)上升到理論。這在數(shù)學(xué)史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于：保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；揭露各定理之間的內(nèi)在聯(lián)系，使數(shù)學(xué)構(gòu)成一個(gè)嚴(yán)密的體系，為進(jìn)一步發(fā)展打下基礎(chǔ)；使數(shù)學(xué)命題具有充份的說(shuō)服力，令人深信不疑。數(shù)學(xué)自此從具體的、實(shí)驗(yàn)的階段過(guò)渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門(mén)獨(dú)立的、演譯的科學(xué)。

畢達(dá)哥拉斯（以下簡(jiǎn)稱畢氏）于紀(jì)元前580年左右出生于生于希臘東部薩摩斯﹝今希臘東部小島﹞，正是希臘黃金時(shí)代的初期，也是羅馬帝國(guó)建國(guó)的時(shí)代。在我們東方來(lái)說(shuō)，就是釋迦牟尼與孔子的道學(xué)，正流行的時(shí)代。畢達(dá)哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費(fèi)雷西底﹝Pherecydes﹞學(xué)習(xí)，又曾師事伊奧尼亞學(xué)派的安約西曼德﹝Anaximander﹞，以后游歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來(lái)的天文、數(shù)學(xué)知識(shí)。他最后定居在克羅托內(nèi)﹝Crotone﹞，在那里建立一個(gè)宗教、政治、學(xué)術(shù)合一的團(tuán)體──畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，它是繼伊奧尼亞學(xué)派后古希臘第二個(gè)重要的學(xué)派。這個(gè)團(tuán)體后來(lái)在政治斗爭(zhēng)中遭到破壞，他逃到塔蘭托(Metapontum)，后終于被殺害。畢氏學(xué)派有一個(gè)教規(guī)，就是一切發(fā)現(xiàn)都?xì)w功于學(xué)派的領(lǐng)袖，且對(duì)外保密，故討論其學(xué)術(shù)成就時(shí)，很難將畢達(dá)哥拉斯本人和他的學(xué)派分開(kāi)。畢氏學(xué)派將抽象的數(shù)作為萬(wàn)物的本源，“萬(wàn)物皆數(shù)”使他們的信條之一。但是，研究數(shù)的目的不是為了實(shí)際應(yīng)用，而是通過(guò)揭露數(shù)的奧秘來(lái)探索宇宙的永恒真理。他們將學(xué)問(wèn)分為四類，即算術(shù)、音樂(lè)﹝數(shù)的應(yīng)用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運(yùn)動(dòng)的量﹞；根據(jù)“簡(jiǎn)單整數(shù)比”原理創(chuàng)造一套音樂(lè)理論；對(duì)數(shù)作過(guò)深入研究，并得到很多結(jié)果，將自然數(shù)進(jìn)行分類，如奇數(shù)、偶數(shù)、完全數(shù)、親合數(shù)、三角數(shù)、平方數(shù)、五角數(shù)、六角數(shù)等等；發(fā)理勾股定理﹝西方稱為畢達(dá)哥拉斯定理﹞和勾股數(shù)﹝西方稱為畢達(dá)哥拉斯數(shù)﹞；發(fā)現(xiàn)五種正多面體；發(fā)現(xiàn)不可通約量,甚至于音樂(lè)上也可目睹到他所遺留的許多事跡。下面我們來(lái)列舉十?dāng)?shù)種畢氏學(xué)派的貢獻(xiàn),供大家見(jiàn)賞。畢達(dá)哥拉斯定理是說(shuō)：一直角三角形中的斜邊平方等于兩直角邊之平方和。如設(shè)三角形ABC三個(gè)邊為a,b,c，其中c為斜邊（如圖一），則其間的關(guān)系為：a2+b2=c2（3），芝諾﹝ZeroofElea，約公元前490-約前425﹞

芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦，他是埃利亞學(xué)派的著名哲學(xué)家巴門(mén)尼德﹝Parmenides﹞的學(xué)生和朋友。芝諾因其悖論而著名，并因此在數(shù)學(xué)和哲學(xué)兩方面享有不朽的聲譽(yù)。數(shù)學(xué)史家F?卡約里﹝Cajori﹞說(shuō)：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無(wú)限大和無(wú)限小這些概念的歷史。”由于芝諾的著作沒(méi)能流傳下來(lái)，故只能通過(guò)批評(píng)他的亞里士多德及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的?，F(xiàn)存的芝諾悖論至少有8個(gè)，其中關(guān)于運(yùn)動(dòng)的4個(gè)悖論：二分說(shuō)、阿基里斯追龜說(shuō)、飛箭靜止說(shuō)、運(yùn)動(dòng)場(chǎng)悖論尤為著名。前三個(gè)悖論揭示的是事物內(nèi)部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無(wú)限可分和有限長(zhǎng)度之間的矛盾。他并不是簡(jiǎn)單地否認(rèn)運(yùn)動(dòng)，而是反對(duì)那種認(rèn)為空間是點(diǎn)的總和、時(shí)間是瞬刻的和的概念，他想證明在空間作為點(diǎn)的總和的概念下運(yùn)動(dòng)是不可能的。第4個(gè)悖論是古代文獻(xiàn)中第一個(gè)涉及相對(duì)運(yùn)動(dòng)的問(wèn)題。芝諾編造這些悖論的目的何在，歷來(lái)有許多爭(zhēng)論。有人認(rèn)為是為了反對(duì)“多”與“變化”，以維護(hù)他的師父Parmenides（約紀(jì)元前五世紀(jì)）的萬(wàn)有是“一”與“不變”之學(xué)說(shuō)。從畢氏學(xué)派失敗的背景來(lái)觀察，芝諾是對(duì)于離散性、連續(xù)性、無(wú)窮大、無(wú)窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來(lái)可以說(shuō)是切中數(shù)學(xué)的核心。芝諾的功績(jī)?cè)谟诎褎?dòng)和靜的關(guān)系、無(wú)限和有限的關(guān)系、連續(xù)和離散的關(guān)系惹人注意地?cái)[了出來(lái)，并進(jìn)行了辯證的考察。雖然不能肯定他對(duì)古典希臘數(shù)學(xué)的發(fā)展有無(wú)直接的重要影響，但有一點(diǎn)決不是偶然的巧合：柏拉圖寫(xiě)作對(duì)話《巴門(mén)尼德》篇時(shí)，因?yàn)槠渲杏懻摰闹饕掝}之一是芝諾的觀點(diǎn)，芝諾也是書(shū)中的主角之一，因此在柏拉圖學(xué)園中很自然地?zé)崃矣懻撈鹬ブZ悖論來(lái)。當(dāng)時(shí)歐多克索斯正在柏拉圖學(xué)園中攻讀和研究數(shù)學(xué)與哲學(xué)。歐多克索斯在稍后的時(shí)間里創(chuàng)立了新的比例論，從而克服了因發(fā)現(xiàn)無(wú)理數(shù)而出現(xiàn)數(shù)學(xué)危機(jī)，并完善了窮竭法，巧妙地處理了無(wú)窮小問(wèn)題。羅素稱贊道：“幾乎所有從芝季諾時(shí)代到今日所建構(gòu)出的有關(guān)時(shí)間、空間與無(wú)窮的理論，都可以在季諾的論證里找到背景基礎(chǔ)?！保?），詭辯學(xué)派希波戰(zhàn)爭(zhēng)以后，希臘商務(wù)繁榮，雅典成為文人薈萃的中心。愛(ài)奧尼亞學(xué)派的哲學(xué)家Anaxagoras（B.C.499——427）開(kāi)始將愛(ài)奧尼亞的哲學(xué)輸入雅典，畢達(dá)格拉斯學(xué)派的人也群聚于此，只是過(guò)去秘密的作風(fēng)已不復(fù)見(jiàn)。雅典人崇尚公開(kāi)的精神。在公開(kāi)的討論中，要想取得勝利，必須具有雄辯、修辭、哲學(xué)及數(shù)學(xué)知識(shí)。于是“詭辯學(xué)派”應(yīng)運(yùn)而生。“詭辯”(Sophism)一詞是使人智慧的意思，也譯作“哲人學(xué)派”或“智人學(xué)派”。經(jīng)過(guò)兩千多年的努力，數(shù)學(xué)家利用代數(shù)方法終于證明了三大難題都無(wú)解?；瘓A為方相當(dāng)于求√π，它不是任何整系數(shù)方程的根，因而不可能用尺規(guī)作出，1882年由德國(guó)數(shù)學(xué)家林德曼證明。倍立方相當(dāng)于求3√2，法國(guó)數(shù)學(xué)家范齊爾于1837年證明用尺規(guī)作不出等分任意角難在任意，有些角如90度角三等分是可以的。（5），柏拉圖﹝Plato，約公元前427——前347﹞公元前427年，柏拉圖出生于雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時(shí)代勤奮好學(xué)、多才多藝且體格健壯。除了家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠(yuǎn)的莫過(guò)于正直善辯的哲學(xué)家蘇格拉底﹝Socrates﹞了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長(zhǎng)，他對(duì)當(dāng)時(shí)的政客、法典和習(xí)俗愈來(lái)愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學(xué)思想，并從事于締造理想國(guó)家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄?jiàn)W多魯斯﹝Theodorns﹞學(xué)數(shù)學(xué)，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創(chuàng)辦他的著名學(xué)園，這是一所為系統(tǒng)地研究哲學(xué)和科學(xué)而開(kāi)設(shè)的高等院校，成為早期畢氏學(xué)派和后來(lái)長(zhǎng)期活躍的亞歷山大里亞數(shù)學(xué)學(xué)派之間聯(lián)系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死于雅典。作為一位哲學(xué)家，柏拉圖對(duì)于歐洲的哲學(xué)乃至整個(gè)文化的發(fā)展，有著深遠(yuǎn)的影響。特別是他的認(rèn)識(shí)論，數(shù)學(xué)哲學(xué)和數(shù)學(xué)教育思想，在古希臘的社會(huì)條件下，對(duì)于科學(xué)的形成和數(shù)學(xué)的發(fā)展，起了不可磨滅的推進(jìn)作用。從柏拉圖的著作中，可以看到數(shù)學(xué)哲學(xué)領(lǐng)域的最初的探究。柏拉圖的數(shù)學(xué)哲學(xué)思想是同他的認(rèn)識(shí)論，特別是理念論分不開(kāi)的。他認(rèn)為數(shù)學(xué)所研究的應(yīng)是可知的理念世界中的永恒不變的關(guān)系，而不是可感的物質(zhì)世界中的變動(dòng)無(wú)常的關(guān)系。因此，數(shù)學(xué)的研究對(duì)象應(yīng)是抽象的數(shù)和理想的圖形。他在《理想國(guó)》中說(shuō)：“我所說(shuō)的意思是算術(shù)有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數(shù)進(jìn)行推理，而反對(duì)在論證中引入可見(jiàn)的和可捉摸的對(duì)象?！彼诹硪惶幷劦綆缀螘r(shí)說(shuō)：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見(jiàn)的圖形，并借此進(jìn)行推理，但是他們實(shí)際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象?！麄兞η罂吹降氖悄切┲挥杏眯撵`之日才能看到的實(shí)在?！比绻f(shuō)數(shù)學(xué)概念的抽象化定義始于畢達(dá)哥拉斯學(xué)派，那么，柏拉圖及其學(xué)派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進(jìn)了。他們不僅把數(shù)學(xué)概念和現(xiàn)實(shí)中相應(yīng)的實(shí)體區(qū)分開(kāi)來(lái)，并把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴(yán)格地分開(kāi)。柏拉圖是從理念論的角度去探討數(shù)學(xué)概念的涵義的。亞里士多德闡釋說(shuō)，柏拉圖是將數(shù)學(xué)對(duì)象置于現(xiàn)實(shí)對(duì)象與理念之間的，數(shù)學(xué)對(duì)象因其常駐不變而區(qū)別于現(xiàn)實(shí)對(duì)象，又因其可能有許多同類對(duì)象而區(qū)別于理念。柏拉圖十分強(qiáng)調(diào)脫離直觀印象的純理性證明，并嚴(yán)格地把數(shù)學(xué)作圖工具限制為直尺圓規(guī)。這種主張對(duì)于形成歐幾里德幾何公理演譯體系，不無(wú)促進(jìn)作用。柏拉圖也十分重視整數(shù)的學(xué)問(wèn)，他在很大程度上繼承了畢氏學(xué)派的『萬(wàn)物皆數(shù)』的觀點(diǎn)。他認(rèn)為宇宙間的天體以至萬(wàn)物都是按照數(shù)學(xué)規(guī)律來(lái)設(shè)計(jì)的。依賴感官所感覺(jué)到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無(wú)價(jià)值的，只有通過(guò)數(shù)學(xué)才能領(lǐng)悟到世界的實(shí)質(zhì)。此外，柏拉圖學(xué)派在數(shù)學(xué)中引入了分析法和歸謬法；他給出了點(diǎn)、線、面、體的定義；他對(duì)軌跡也有較早的認(rèn)識(shí)，還研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的問(wèn)題。在算術(shù)方面，他們發(fā)現(xiàn)了級(jí)數(shù)的不少重要性質(zhì)。在天文學(xué)方面，他們不只是追尋天文觀測(cè)的表象，而是尋求完美的有關(guān)天體的數(shù)學(xué)理論?？傊?，柏拉圖學(xué)派主張嚴(yán)密的定義與邏輯證明，促成了數(shù)學(xué)的科學(xué)化。自公元前387年開(kāi)始，柏拉圖就把創(chuàng)建和主持學(xué)園教育作為自己最重要的事業(yè)。雖然他認(rèn)為學(xué)園的辦學(xué)宗旨是培養(yǎng)具有哲學(xué)頭腦的優(yōu)秀政治人材，直至造就一個(gè)能夠勝任治國(guó)重任的哲學(xué)王，但他深信：從事數(shù)學(xué)研究能培養(yǎng)人的思維能力，并因此是哲學(xué)家和那些要治理他的理想國(guó)的人所必須具備的基本素養(yǎng)。故學(xué)園在具體課程設(shè)計(jì)上繼承和發(fā)展了畢氏學(xué)派的以數(shù)學(xué)為主課的方針。據(jù)說(shuō)，他的學(xué)園門(mén)口寫(xiě)著：“不懂幾何者，不得入內(nèi)”。柏拉圖倡導(dǎo)多層次的數(shù)學(xué)教育，在某種意義上也體現(xiàn)了一種因材施教的原則。柏拉圖首次提出了普及數(shù)學(xué)教育的主張：『應(yīng)該嚴(yán)格規(guī)定貴城邦的全體居民務(wù)必學(xué)習(xí)幾何?！?jīng)驗(yàn)證明，學(xué)過(guò)幾何的人在學(xué)習(xí)其它任何學(xué)問(wèn)時(shí)，要比未學(xué)過(guò)幾何的人快得多?！辉诎乩瓐D的指導(dǎo)下，學(xué)園的數(shù)學(xué)教育取得極大的成功。在公元前四世紀(jì)的希臘，絕大多數(shù)知名數(shù)學(xué)家都是柏拉圖的學(xué)生或朋友，他們以柏拉圖學(xué)園為數(shù)學(xué)交流活動(dòng)的中心場(chǎng)所，形成以柏拉圖為核心的學(xué)派，史稱柏拉圖學(xué)派。美國(guó)數(shù)學(xué)史家博耶評(píng)論說(shuō)：“雖然柏拉圖本人在數(shù)學(xué)研究方面沒(méi)有特別杰出的學(xué)術(shù)成果，然而，他卻是那個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)活動(dòng)的核心……，他對(duì)數(shù)學(xué)的滿腔熱誠(chéng)沒(méi)有使他成為知名數(shù)學(xué)家，但卻贏得了‘?dāng)?shù)學(xué)家的締造者’的美稱?！保?），歐多克索斯﹝Eudoxus，約公元前400-前347﹞

歐多克索斯是古希臘時(shí)代成就卓著的數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，生于尼多斯。曾受教于柏拉圖及阿爾希塔斯。

歐多克索斯對(duì)數(shù)學(xué)的最大功績(jī)是創(chuàng)立了關(guān)于比例的一個(gè)新理論。他首先引入“量”的概念，將“量”和“數(shù)”區(qū)別開(kāi)來(lái)。用現(xiàn)代術(shù)語(yǔ)來(lái)說(shuō)，他的“量”指的是連續(xù)量，而“數(shù)”是離散的，僅限于有理數(shù)。其次，改變“比”的定義為：“比”是同類量之間的大小關(guān)系。從這一定義出發(fā)可以推出有關(guān)比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數(shù)學(xué)史上是一個(gè)大突破。其創(chuàng)立之比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內(nèi)容。事實(shí)上，19世紀(jì)的無(wú)理數(shù)理論是歐多克索斯思想的繼承和發(fā)展。不過(guò)歐多克索斯理論是建立在幾何量的基礎(chǔ)之上的，因而回避了把無(wú)理數(shù)作為數(shù)來(lái)處理。盡管如此歐多克索斯的這些定義無(wú)疑給不可公度比提供了邏輯基礎(chǔ)。為了防止在處理這些量時(shí)出錯(cuò)，他進(jìn)一步建立了以明確公理為依據(jù)的演繹體系，從而大大推進(jìn)了幾何學(xué)的發(fā)展。從他以后，幾何學(xué)成了希臘數(shù)學(xué)的主流。（7），亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）亞里士多德出生于希臘北部的斯塔吉拉，父親是馬其頓國(guó)王的御醫(yī)。公元前367年，17歲的亞里士多德到當(dāng)時(shí)希臘的文化中心雅典，進(jìn)入柏拉圖的阿卡德米學(xué)園學(xué)習(xí)。由于他聰敏過(guò)人，深受柏拉圖的喜愛(ài)，成為柏拉圖的得意門(mén)生。他在學(xué)園一共學(xué)習(xí)了20年，直到柏拉圖去世。柏拉圖去世以后，他到小亞細(xì)亞各城邦去講學(xué)。公元前343年，他42歲時(shí)，應(yīng)馬其頓王的邀請(qǐng)，擔(dān)任王子亞力山大的老師。當(dāng)時(shí)亞力山大只有13歲。公元前335年，亞里士多德回到雅典，創(chuàng)辦一所學(xué)園，名叫呂克昂（Lyceum）。他在這里從事學(xué)術(shù)研究和教學(xué)活動(dòng)達(dá)13年。亞力山大王去世以后，他被迫離開(kāi)雅典，把呂克昂交給別人管理。次年病逝，享年63歲。他去世以后，呂克昂繼續(xù)存在了幾百年。如果說(shuō)柏拉圖是一位綜合型的學(xué)者，那亞里士多德就是一位分科型的學(xué)者。他總結(jié)了前人已經(jīng)取得的成就，創(chuàng)造性的提出自己的理論，在幾乎每一學(xué)術(shù)領(lǐng)域，亞里士多德都留下了自己的著作。從第一哲學(xué)著作《形而上學(xué)》，物理學(xué)著作《物理學(xué)》、《論生滅》、《論天》、《天象學(xué)》、《論宇宙》，生物學(xué)著作《動(dòng)物志》、《論動(dòng)物的歷史》、《論靈魂》，到邏輯學(xué)著作《范疇篇》、《分析篇》，倫理學(xué)著作《尼各馬可倫理學(xué)》、《大倫理學(xué)》、《歐德謨斯倫理學(xué)》，以及《政治學(xué)》、《詩(shī)學(xué)》、《修辭學(xué)》等，他的著作幾乎遍及每一個(gè)學(xué)術(shù)領(lǐng)域，他是一位名符其實(shí)的百科全書(shū)式的學(xué)者。亞里士多德對(duì)數(shù)學(xué)的本性及其與物理世界的關(guān)系所發(fā)表的看法影響很大。例如，他討論定義：一個(gè)定義只能告訴我們一件事物是什么，并不說(shuō)明它一定存在。定義了的東西是否存在有待證明。亞里士多德還討論數(shù)學(xué)的基本原理：把公理個(gè)公設(shè)加以區(qū)別。公理是一切科學(xué)所公有的真理，而公設(shè)只是為某一門(mén)科學(xué)所接受的第一性原理。亞里士多德認(rèn)為邏輯原理都是公理，公設(shè)無(wú)需是不言自明的，其是否為真受所推出的結(jié)果檢驗(yàn)，列出的公理和公設(shè)數(shù)目越少越好。這些思想對(duì)以后歐幾里德的思想起了重要的影響。亞里士多德的另一個(gè)重大貢獻(xiàn)就是創(chuàng)立邏輯學(xué)。他的邏輯對(duì)數(shù)學(xué)也產(chǎn)生了極大的影響，他的邏輯基本原理，如矛盾律：一個(gè)命題不能既是真又是假的；排中律：一個(gè)命題必須是真的或是假的……等原理是數(shù)學(xué)中間接證法的核心。2.亞歷山大時(shí)期（300B.C——641A.D.）這一階段以公元前30年羅馬帝國(guó)吞并希臘為分界，分為前后兩個(gè)時(shí)期。亞歷山大前期和亞歷山大后期，前期出現(xiàn)了希臘化數(shù)學(xué)的黃金時(shí)期，代表人物是名垂千古的三大數(shù)學(xué)家：歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波羅尼烏斯（Appollonius）。歐幾里得總結(jié)古典希臘數(shù)學(xué)，用公理方法整理幾何學(xué)，寫(xiě)成13卷《幾何原本》（Elements）。這部劃時(shí)代歷史巨著的意義在于它樹(shù)立了用公理法建立起演繹數(shù)學(xué)體系的最早典范。阿基米得是古代最偉大的數(shù)學(xué)家、力學(xué)家和機(jī)械師。他將實(shí)驗(yàn)的經(jīng)驗(yàn)研究方法和幾何學(xué)的演繹推理方法有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，使力學(xué)科學(xué)化，既有定性分析，又有定量計(jì)算。阿基米得在純數(shù)學(xué)領(lǐng)域涉及的范圍也很廣，其中一項(xiàng)重大貢獻(xiàn)是建立多種平面圖形面積和旋轉(zhuǎn)體體積的精密求積法，蘊(yùn)含著微積分的思想。阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線論》（ConicSections）把前輩所得到的圓錐曲線知識(shí)予以嚴(yán)格的系統(tǒng)化，并做出新的貢獻(xiàn)，對(duì)17世紀(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展有著巨大的影響。亞歷山大圖書(shū)館館長(zhǎng)埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是這一時(shí)期有名望的學(xué)者。亞歷山大后期是在羅馬人統(tǒng)治下的時(shí)期，但是希臘的文化傳統(tǒng)尚未被破壞，學(xué)者還可繼續(xù)研究，然而已沒(méi)有前期那種磅礡的氣勢(shì)。這時(shí)期出色的數(shù)學(xué)家有海倫（Heron）、托勒密（Plolemy）、丟番圖（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丟番圖的代數(shù)學(xué)在希臘數(shù)學(xué)中獨(dú)樹(shù)一幟；帕波斯的工作是前期學(xué)者研究成果的總結(jié)和補(bǔ)充。之后，希臘數(shù)學(xué)處于停滯狀態(tài)。公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書(shū)館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數(shù)學(xué)悠久燦爛的歷史，至此終結(jié)。亞歷山大里亞有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復(fù)返了。（1）歐幾里得﹝Euclid，約公元前330─約公元前275﹞關(guān)于歐幾里得，除了知道他是歷時(shí)長(zhǎng)久的亞歷山大數(shù)學(xué)學(xué)派的奠基人外，對(duì)他的生平所知甚少，僅估計(jì)他很可能在雅典的柏拉圖學(xué)園受過(guò)數(shù)學(xué)訓(xùn)練。

在歐幾里得之前，古希臘的數(shù)學(xué)知識(shí)已經(jīng)累積得相當(dāng)豐富，于是有人將它們整理成冊(cè)，例如希波克拉底就是第一位進(jìn)行匯編的人。歐幾里得也總結(jié)了他那個(gè)時(shí)代古希臘的所有數(shù)學(xué)成果，編輯成13卷的《幾何原本》，以下簡(jiǎn)稱《原本》。此書(shū)最重要的特色是公理化系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)：由少數(shù)幾條公理(axioms)出發(fā)，推導(dǎo)出所有的幾何定理。公理是「直觀自明」的真理，是數(shù)學(xué)的源頭，無(wú)法證明，也不必證明。歐氏的曠世名著，使得其它版本都黯然無(wú)光，乃至消失?！稁缀卧尽匪鸬男Ч绻湃怂f(shuō)：“月升燈失色，風(fēng)起扇無(wú)功”。歐幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞是一部劃時(shí)代的著作，就其大部份內(nèi)容來(lái)說(shuō)，是對(duì)于公元前七世紀(jì)以來(lái)，希臘幾何積聚起來(lái)的豐富成果作出高度成功的編纂和系統(tǒng)的整理，其主要功績(jī)?cè)谟趯?duì)命題的巧妙選擇，和把它們排列進(jìn)由少數(shù)初始假定出發(fā)，演繹地推導(dǎo)出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范。五條公設(shè)1.過(guò)相異兩點(diǎn)，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長(zhǎng)。3.以任一點(diǎn)為圓心、任意長(zhǎng)為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.兩直線被第三條直線所截，如果同側(cè)兩內(nèi)角和小于兩個(gè)直角，則兩直線作延長(zhǎng)時(shí)在此側(cè)會(huì)相交。五條公理1.跟同一個(gè)量相等的兩個(gè)量相等；即若a=c且b=c，則a=b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。4.完全迭合的兩個(gè)圖形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止適用于幾何學(xué)，對(duì)于其它學(xué)科也行得通。

23個(gè)定義（2）“數(shù)學(xué)之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古（Syracuse）的貴族之家。父親是位數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，他在年輕時(shí)曾在亞力山大求學(xué)，不過(guò)大半生都待在他老家西西里島的敘拉古，受國(guó)王Hieron的贊助從事研究工作。阿基米德與歐幾里德、阿波羅尼并列為希臘三大數(shù)學(xué)家，也有人甚至說(shuō)他是有史以來(lái)最偉大的三個(gè)數(shù)學(xué)家之一（其他二位是牛頓與高斯）。他的主要數(shù)學(xué)貢獻(xiàn)是求面積和體積的工作。在他之前的希臘數(shù)學(xué)不重視算術(shù)計(jì)算，關(guān)于面積和體積，數(shù)學(xué)家們頂多證明一下兩個(gè)面積或體積的比例就完了，而不再算出每一個(gè)面積或體積究竟是多少。當(dāng)時(shí)連圓面積都算不出來(lái)，因?yàn)楸容^精確的π值還不知道。從阿基米德開(kāi)始，或者說(shuō)從以阿基米德為代表的亞歷山大里亞的數(shù)學(xué)家開(kāi)始，算術(shù)和代數(shù)開(kāi)始成為一門(mén)獨(dú)立的數(shù)學(xué)學(xué)科。阿基米德發(fā)現(xiàn)的一個(gè)著名的定理是：任一球的面積是外切圓柱表面積的三分之二，而任一球的體積也是外切圓柱體積的三分之二。這個(gè)定理是從球面積等于大圓面積的四倍這一定理推來(lái)的，據(jù)說(shuō)，該定理遵遺囑被刻在阿基米德的墓碑上。阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結(jié)合是嚴(yán)格證明與創(chuàng)造技巧相結(jié)合的典范。阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進(jìn)行比較，而后一組的總和比較容易計(jì)算。因此，“平衡法”實(shí)際上體現(xiàn)了近代積分法的基本思想，是阿基米德數(shù)學(xué)研究的最大功績(jī)。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎(chǔ)，阿基米德意識(shí)到了他的方法在嚴(yán)密性上的不足，所以他用平衡法求出一個(gè)面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴(yán)格的證明?！稈佄锞€求積法》研究了曲線圖形求積的問(wèn)題，并用窮竭法建立了這樣的結(jié)論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學(xué)權(quán)重方法再次驗(yàn)證這個(gè)結(jié)論，使數(shù)學(xué)與力學(xué)成功地結(jié)合起來(lái)?！墩撀菥€》，是阿基米德對(duì)數(shù)學(xué)的出色貢獻(xiàn)。他明確了螺線的定義，以及對(duì)螺線的面積的計(jì)算方法。在同一著作中，阿基米德還導(dǎo)出幾何級(jí)數(shù)和算術(shù)級(jí)數(shù)求和的幾何方法?！墩撳F型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉(zhuǎn)而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長(zhǎng)軸和短軸旋轉(zhuǎn)而成的球型體的體積。（3）阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）阿波羅尼奧斯出生于小亞細(xì)亞（今土爾其一帶），年輕時(shí)曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學(xué)生學(xué)習(xí)，后到小亞細(xì)亞西岸的帕加蒙王國(guó)居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數(shù)學(xué)成就是在前人工作的基礎(chǔ)上創(chuàng)立了相當(dāng)完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。阿波羅尼奧斯用統(tǒng)一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開(kāi)了對(duì)它們性質(zhì)的廣泛討論，內(nèi)容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進(jìn)線、橢圓與雙曲線的焦點(diǎn)以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點(diǎn)數(shù)等。《圓錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深?yuàn)W的問(wèn)題。第5卷中關(guān)于定點(diǎn)到圓錐曲線的最長(zhǎng)和最短線段的探討，實(shí)質(zhì)上提出了圓錐曲線的法線包絡(luò)即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關(guān)于圓錐曲線的極點(diǎn)與極線的調(diào)和性質(zhì)的論述，則包含了射影幾何學(xué)的萌芽思想。（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，約公元前276─約前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔蘭尼﹝現(xiàn)北非利比亞舍哈特﹞，卒于亞歷山大。他早年在雅典學(xué)習(xí)，大約四十歲時(shí)，接受埃及的托勒玫三世的邀請(qǐng)，來(lái)到亞歷山大當(dāng)他兒子的家庭教師，約公元前235年起擔(dān)任亞歷山大附設(shè)于博物館的圖書(shū)館館長(zhǎng)。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致雙目失明，他無(wú)法忍受不能讀書(shū)的痛苦，竟絕食而死。埃拉托塞尼在當(dāng)時(shí)所有的知識(shí)領(lǐng)域里都是奇才。他是一位杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家、地理學(xué)家、歷史學(xué)家、哲學(xué)家、詩(shī)人和運(yùn)動(dòng)員。早年在雅典受過(guò)教育，先后師事逍遙學(xué)派的阿里斯頓，柏拉圖學(xué)派的阿凱西勞斯和犬儒學(xué)派的塞翁等。后到亞歷山大，又跟隨詩(shī)人卡利馬科斯學(xué)習(xí)詩(shī)詞。他的博學(xué)多才，后來(lái)贏得“五項(xiàng)全能”﹝Pentathlus﹞的雅號(hào)。他是阿基米德的摯友，曾受到阿基米德的高度評(píng)價(jià)。著作有《地理學(xué)》、《地球的測(cè)量》、《倍立方問(wèn)題》、《論平均值》、《柏拉圖》等，可惜只有很少的片斷流傳下來(lái)。埃拉托塞尼最受人贊揚(yáng)和傳誦的業(yè)績(jī)是測(cè)量地球的周長(zhǎng)，其特點(diǎn)是原理簡(jiǎn)單，方法易行，結(jié)果也較精確。他的另一項(xiàng)膾炙人口的發(fā)明是尋找素?cái)?shù)的方法，即所謂埃拉托塞尼篩，記載于尼科馬霍斯《算術(shù)入門(mén)》第十三章中，即要在自然數(shù)列中從小到大找出素?cái)?shù)，先從3開(kāi)始，將奇數(shù)列寫(xiě)出，3是第一個(gè)素?cái)?shù)，將3后面所有3的倍數(shù)都劃去；3后面第一個(gè)未被劃去的數(shù)是5，將5后面所有5的倍數(shù)都劃去；5后面第一個(gè)未被劃去的數(shù)是7，將7后面所有7的倍數(shù)都劃去，重復(fù)這一步驟，直到所寫(xiě)出的數(shù)列最后一個(gè)數(shù)，未被劃去的就是素?cái)?shù)。（5）海倫（HeronofAlexandria,公元62年左右）希臘數(shù)學(xué)家、力學(xué)家、機(jī)械學(xué)家。約公元62年活躍于亞歷山大，在那里教過(guò)數(shù)學(xué)、物理學(xué)等課程。他多才多藝，善于博采眾長(zhǎng)。在論證中大膽使用某些經(jīng)驗(yàn)性的近似公式，注重?cái)?shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。主要貢獻(xiàn)是《度量論》一書(shū)。該書(shū)共3卷，分別論述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問(wèn)題。其中卷Ｉ第8題給出著名的海倫公式的證明，設(shè)三角形邊長(zhǎng)分別是a、b、c，s是半周長(zhǎng)（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面積，則有Δ＝。海倫用文字?jǐn)⑹隽诉@一公式的證明，并舉例加以說(shuō)明?，F(xiàn)已公認(rèn)海倫公式是阿基米德發(fā)現(xiàn)的，但這個(gè)名稱已成為習(xí)慣用法。他的成就還有：正3到正12邊形面積計(jì)算法；長(zhǎng)方臺(tái)體積公式；求立方根的近似公式等。（6）丟番圖﹝DiophantusofAlexandria，約公元250年前后﹞

對(duì)于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩(shī)文選》﹝TheGreekanthology﹞【這是公元500年前后的遺物，大部份為語(yǔ)法學(xué)家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數(shù)問(wèn)題有關(guān)的短詩(shī)﹝epigram﹞。亞歷山大的丟番圖對(duì)代數(shù)學(xué)的發(fā)展起了極其重要的作用，對(duì)后來(lái)的數(shù)論學(xué)者有很深的影響。他有幾種著作，最重要的是《算術(shù)》，還有一部《多角數(shù)》，另一些已遺失?！端阈g(shù)》是一部劃代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。丟番圖的《算術(shù)》是講數(shù)論的，它討論了一次、二次以及個(gè)別的三次方程，還有大量的不定方程。現(xiàn)在對(duì)于具有整數(shù)系數(shù)的不定方程，如果只考慮其整數(shù)解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數(shù)論的一個(gè)分支。不過(guò)丟番圖并不要求解答是整數(shù)，而只要求是正有理數(shù)。從另一個(gè)角度看，《算術(shù)》一書(shū)也可以歸入代數(shù)學(xué)的范圍。代數(shù)學(xué)區(qū)別于其它學(xué)科的最大特點(diǎn)是引入了未知數(shù)，并對(duì)未知數(shù)加以運(yùn)算。就引入未知數(shù)，創(chuàng)設(shè)未知數(shù)的符號(hào)，以及建立方程的思想﹝雖然未有現(xiàn)代方程的形式﹞這幾方面來(lái)看，丟番圖的《算術(shù)》完全可以算得上是代數(shù)。（7）帕普斯﹝PappusofAlexandria，約公元300─350年﹞公元4世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)已成強(qiáng)弩之末?！包S金時(shí)代”﹝300B.C─200B.C﹞幾何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領(lǐng)，學(xué)者們雖然仍能繼續(xù)研究，然而已沒(méi)有他們的先輩那種氣勢(shì)雄偉、一往無(wú)前的創(chuàng)作精迪。公元后，興趣轉(zhuǎn)向天文的應(yīng)用，除門(mén)納勞斯﹝MenelausofAlexandria公元100前后﹞、托勒密﹝ClaudiusPtolemy，約公元85-165﹞在三角學(xué)方面有所建樹(shù)外，理論幾何的活力逐漸雕萎。此時(shí)亞歷山大的帕普斯正努力總結(jié)數(shù)百年來(lái)前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，敘寫(xiě)了希臘數(shù)學(xué)的最后一頁(yè)。帕普斯給歐幾里得《幾何原本》和《數(shù)據(jù)》以及托勒密的《至大論》和《球極平面投影》作過(guò)注釋。寫(xiě)成八卷的《數(shù)學(xué)匯編》﹝MathematicalCollection﹞──對(duì)他那個(gè)時(shí)代存在的幾何著作的綜述評(píng)論和指南，其中包括帕普斯自己的創(chuàng)作。但第一卷和第二卷的一部份已遺失，許多古代的學(xué)術(shù)成果，由于有了這部書(shū)的存錄，才能讓后世人得知。例如芝諾多努斯的《等周論》，經(jīng)過(guò)帕普斯的加工，被編入于第五卷之中。當(dāng)中有關(guān)于“圓面積大于任何同周長(zhǎng)正多邊形的面積”、“球的體積大于表面積相同的圓錐、圓柱”、“表面積相同的正多面體，面積愈多體積愈大”等命題。對(duì)于希臘幾何三大問(wèn)題也作了歷史的回顧，并給出幾種用二次或高次曲線的解法。在第七卷中則探討了三種圓錐曲線的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的性質(zhì)，還討論了“不面圖形繞一軸旋轉(zhuǎn)所產(chǎn)生立體的體積”，后來(lái)這叫做“古爾丁定理”，因?yàn)楹笳咴匦录右匝芯?。總括而言，希臘數(shù)學(xué)的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財(cái)富，不論從數(shù)量還是從質(zhì)量來(lái)衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數(shù)學(xué)家取得具體成果更重要的是：希臘數(shù)學(xué)產(chǎn)生了數(shù)學(xué)精神。即數(shù)學(xué)證明的演繹推理方法。數(shù)學(xué)的抽象化以及自然界依數(shù)學(xué)方式設(shè)計(jì)的信念，為數(shù)學(xué)乃至科學(xué)的發(fā)展起了至關(guān)重要的作用。而由這一精神所產(chǎn)生的理性、確定性、永恒的第三章．中國(guó)古代的數(shù)學(xué)1．漢以前的中國(guó)數(shù)學(xué)幾乎和古希臘同時(shí)的戰(zhàn)國(guó)時(shí)期的百家爭(zhēng)鳴也促進(jìn)了中國(guó)數(shù)學(xué)的發(fā)展，一些學(xué)派還總結(jié)和概括出與數(shù)學(xué)有關(guān)出的許多抽象概念。其中著名的有《墨經(jīng)》中關(guān)于幾何的定義和命題，例如，圓，一中同長(zhǎng)也，即圓是從中心到周界有相同長(zhǎng)度的圖形。平，同高也，即平行線之間的高度相同。等等。周秦以來(lái)逐漸發(fā)展起來(lái)的中國(guó)古代數(shù)學(xué)，經(jīng)過(guò)漢代更進(jìn)一步的發(fā)展，已經(jīng)逐漸形成了完整的體系，中國(guó)傳統(tǒng)數(shù)學(xué)自古就受到天文歷法的推動(dòng)，秦漢時(shí)期天文歷法有了明顯的進(jìn)步，涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)水平也相應(yīng)提高。西漢末年編纂的《周髀算經(jīng)》是一部以數(shù)學(xué)方法闡述的天文著作，用對(duì)話一問(wèn)一答的形式寫(xiě)出的，提出勾股定理的特例和提出測(cè)太陽(yáng)高、遠(yuǎn)的方法，為后來(lái)重差術(shù)的先驅(qū)?！毒耪滤阈g(shù)》是戰(zhàn)國(guó)、秦、漢封建社會(huì)創(chuàng)立并鞏固時(shí)期數(shù)學(xué)發(fā)展的總結(jié)，就其數(shù)學(xué)成就來(lái)說(shuō)，堪稱是世界數(shù)學(xué)名著。例如分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、今有術(shù)(西方稱三率法)、開(kāi)平方與開(kāi)立方(包括二次方程數(shù)值解法)、盈不足術(shù)(西方稱雙設(shè)法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負(fù)數(shù)運(yùn)算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數(shù)的方法)等。其中方程組解法和正負(fù)數(shù)加減法則在世界數(shù)學(xué)發(fā)展上是遙遙領(lǐng)先的。就其特點(diǎn)來(lái)說(shuō)，它形成了一個(gè)以算法為中心、與古希臘數(shù)學(xué)完全不同的獨(dú)立體系?？傊?，《九章算術(shù)》有幾個(gè)顯著的特點(diǎn)：采用按類分章的數(shù)學(xué)問(wèn)題集的形式；算式都是從籌算記數(shù)法發(fā)展起來(lái)的；以算術(shù)、代數(shù)為主，很少涉及圖形性質(zhì)；重視應(yīng)用，缺乏理論闡述等。2．從魏晉到隋唐時(shí)期的中國(guó)數(shù)學(xué)東漢《九章算術(shù)》出現(xiàn)以后，注釋與修正的工作在不斷進(jìn)行著。魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首項(xiàng)系數(shù)可以為負(fù)，三國(guó)時(shí)代，劉徽注《九章算術(shù)》(263年)?！毒耪滤阈g(shù)》中取圓周率為3，劉徽提出「割圓術(shù)」，計(jì)算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數(shù)近似值。其后南北朝祖沖之(429-500)更把這結(jié)果向前推進(jìn)，在《綴術(shù)》一書(shū)中，找到3.1415926的密率。如果將《九章算術(shù)》的內(nèi)容當(dāng)作中國(guó)數(shù)學(xué)的雛型，那么自東漢到隋唐(即公元第二世紀(jì)到第十世紀(jì))，可稱為它的發(fā)展期，隋唐以后漸臻成熟。到十三世紀(jì)南宋及元初，才進(jìn)入中國(guó)數(shù)學(xué)的黃金時(shí)代。著作方面，唐朝《新唐書(shū)藝文志》中收錄的《十部算經(jīng)》(李淳風(fēng)注)很能夠反應(yīng)發(fā)展期的數(shù)學(xué)水平。《十部算經(jīng)》除收集早期的《周髀》《九章》之外還包羅了《海島算經(jīng)》(劉徽，263年)《孫子算經(jīng)》、《夏侯陽(yáng)算經(jīng)》、《張丘建算經(jīng)》(皆為第三、四世紀(jì)之作，但夏侯陽(yáng)現(xiàn)傳本則迭經(jīng)增補(bǔ)，搜集的材料包含到第八世紀(jì)的有關(guān)內(nèi)容)《五曹算術(shù)》、《五經(jīng)算術(shù)》(《五曹》為官吏手卌，《五經(jīng)》則傾向玄學(xué)，無(wú)甚內(nèi)容)《輯古算經(jīng)》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世紀(jì)祖沖之所作《綴術(shù)》，惜已失傳。十三世紀(jì)宋朝再刻《十部算經(jīng)》時(shí)，便以《數(shù)術(shù)記遺》代之，成為現(xiàn)存的《算經(jīng)十書(shū)》。3．十二、三世紀(jì)的宋元數(shù)學(xué)宋元兩代，中國(guó)數(shù)學(xué)進(jìn)入了黃金時(shí)期，尤其到了十三世紀(jì)成就更趨輝煌。不只相對(duì)于中國(guó)本身古來(lái)的數(shù)學(xué)得到空前的發(fā)展，放眼于當(dāng)時(shí)阿拉伯、印度及歐洲各地的數(shù)學(xué)水平，也是處于領(lǐng)先的地位。宋元黃金時(shí)期的數(shù)學(xué)家一般以南方的秦九韶、楊輝，北方的李治、朱世杰為代表，合稱秦、李、楊、朱四大家。事實(shí)上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢(mèng)溪筆談》，討論「隙積術(shù)」，開(kāi)創(chuàng)了高階等差級(jí)數(shù)的研究。又有楚衍(與沈括約同時(shí)代在司天監(jiān)工作)的學(xué)生賈憲，作「增乘開(kāi)方法」引進(jìn)隨乘隨加的方法，開(kāi)平方開(kāi)立方法。由于隨乘隨加的方法暗含著二項(xiàng)式定理的系數(shù)分配，這種開(kāi)方法馬上可以推廣到高次開(kāi)方,為其后不久劉益，秦九韶作一般高次方程的數(shù)值解法鋪路。在西方，高次方程的數(shù)值解法要延到十九世紀(jì)才由Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數(shù)學(xué)慣稱為Hornermethod(霍納方法)。值得注意，不管在代數(shù)方法或轉(zhuǎn)化方法上，中國(guó)數(shù)學(xué)家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉(zhuǎn)向去做些定性的工作。例如在代數(shù)方法上有了天元術(shù)、四元術(shù)，便須轉(zhuǎn)個(gè)方向去考慮根與系數(shù)的定性關(guān)系，才能再往前推進(jìn)，做出像十九世紀(jì)Abel,Galois的方程論那樣的工作。而在轉(zhuǎn)化方法上，有了個(gè)別關(guān)系也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統(tǒng)的轉(zhuǎn)化關(guān)系，發(fā)展出像解析幾何之類的工作。但變量數(shù)學(xué)終究不曾出現(xiàn)在中國(guó)，道理還是社會(huì)條件不夠，當(dāng)時(shí)中國(guó)社會(huì)以天文歷法所需的數(shù)學(xué)最為繁復(fù)。內(nèi)插法是一種逼近，隱約有了變量數(shù)學(xué)成份。但變量數(shù)學(xué)得以發(fā)展的真正關(guān)鍵在于引入變化率。日月五星的運(yùn)行雖也有變量，但運(yùn)行的瞬間速度在當(dāng)時(shí)還不必去考慮，不像在歐洲，力學(xué)已發(fā)展到須要找出運(yùn)動(dòng)規(guī)律的時(shí)候了。十三世紀(jì)前的中國(guó)數(shù)學(xué)在局部化方法上所作的貢獻(xiàn)只限于三次函數(shù)的內(nèi)插逼近及早先祖沖之的Cavalieri原理。宋元以后，明代理學(xué)對(duì)科學(xué)技術(shù)與思想發(fā)展造成一定束縛。除程大位《算法統(tǒng)宗》繼吳敬,徐心魯?shù)热藢⒒I算改良，發(fā)展為珠算，便利四則計(jì)算之外，明朝兩百年間，不僅沒(méi)繼承宋元數(shù)學(xué)而持續(xù)發(fā)展，甚至宋元著作散失，數(shù)學(xué)水平普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續(xù)來(lái)華之時(shí)，中國(guó)數(shù)學(xué)正處低潮時(shí)期，兩種文化的交會(huì)結(jié)束了中國(guó)本土數(shù)學(xué)的發(fā)展。第四講章．印度與阿拉伯的數(shù)學(xué)1．印度的數(shù)學(xué)印度是世界上文化發(fā)達(dá)最早的地區(qū)之一，印度數(shù)學(xué)的起源和其它古老民族的數(shù)學(xué)起源一樣，是在生產(chǎn)實(shí)際需要的基礎(chǔ)上產(chǎn)生的。但是，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展也有一個(gè)特殊的因素，便是它的數(shù)學(xué)和歷法一樣，是在婆羅門(mén)祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿(mào)易的往來(lái)，印度數(shù)學(xué)和近東，特別是中國(guó)的數(shù)學(xué)便在互相融合，互相促進(jìn)中前進(jìn)。另外，印度數(shù)學(xué)的發(fā)展始終與天文學(xué)有密切的關(guān)系，數(shù)學(xué)作品大多刊載于天文學(xué)著作中的某些篇章。約在三千七百年前，Harappa文化已開(kāi)始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進(jìn)入印度的恒河流域時(shí)，這支文化已經(jīng)消失殆盡。亞利安人發(fā)展了世襲的種姓制度，婆羅門(mén)（教士）與武士享有統(tǒng)治權(quán)。婆羅門(mén)掌管知識(shí)，并且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對(duì)寫(xiě)作，而婆羅門(mén)教圣詩(shī)吠陀(Veda)則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻(xiàn)不足而不清不楚。在數(shù)學(xué)方面，我們只能從吠陀的經(jīng)文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花了一些心思。公元前六世紀(jì)，佛教興起，屏棄了婆羅門(mén)教的閉鎖性格，于是文學(xué)萌芽，歷史也開(kāi)始有了可靠的文獻(xiàn)。公元前326年，亞歷山大大帝曾經(jīng)征服了印度的西北部，使得希臘的天文學(xué)與三角學(xué)傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）興起，在其阿育王時(shí)代（公元前272～232年）勢(shì)力達(dá)到頂峰，領(lǐng)土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠(yuǎn)如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國(guó)教，每到一重要城市總要立下石柱。從數(shù)學(xué)的眼光來(lái)看，這些石柱讓人感興趣，因?yàn)樵谑衔覀兛梢哉业接《劝⒗當(dāng)?shù)字的原形。從八世紀(jì)開(kāi)始印度教興起，同時(shí)回教勢(shì)力也開(kāi)始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對(duì)印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數(shù)學(xué)從此之后就停止不前。十六世紀(jì)初，中亞的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國(guó)。到了十九世紀(jì)，英國(guó)的勢(shì)力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時(shí)期，印度雖然有比較統(tǒng)一的局面，但數(shù)學(xué)方面仍然沒(méi)有進(jìn)展。因此十二世紀(jì)的Bhaskara可以說(shuō)是印度傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的最后一人。直到二十世紀(jì)初，印度數(shù)學(xué)會(huì)成立（1907年），出版學(xué)會(huì)雜志（1909年），而且又產(chǎn)生了數(shù)學(xué)怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的數(shù)學(xué)終于漸有起色，而投入了世界數(shù)學(xué)的發(fā)展洪流中。然而印度的傳統(tǒng)數(shù)學(xué)在算術(shù)及代數(shù)方面則有相當(dāng)?shù)某删停贿@些包括建立完整的十進(jìn)制記數(shù)系統(tǒng)，引進(jìn)負(fù)數(shù)的觀念及計(jì)算，使代數(shù)半符號(hào)化，提供開(kāi)方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。拉普拉斯對(duì)十進(jìn)位值制記數(shù)法的評(píng)價(jià)：“用十個(gè)記號(hào)來(lái)表示一切的數(shù)，每個(gè)記號(hào)不但有絕對(duì)的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個(gè)深遠(yuǎn)而又重要的思想，它今天看來(lái)如此簡(jiǎn)單，以致我們忽視了它的真正偉績(jī)。但恰恰是它的簡(jiǎn)單性以及對(duì)一切計(jì)算都提供了極大的方便，才使我們的算術(shù)在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當(dāng)我們想到它竟逃過(guò)了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關(guān)注時(shí)，我們更感到這成就的偉大了?！?．阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)從九世紀(jì)開(kāi)始，數(shù)學(xué)發(fā)展的中心轉(zhuǎn)向阿拉伯和中亞細(xì)亞。自從公元七世紀(jì)初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強(qiáng)大的勢(shì)力，迅速擴(kuò)展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內(nèi)，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)，就是指用阿拉伯語(yǔ)研究的數(shù)學(xué)。從八世紀(jì)起，大約有一個(gè)到一個(gè)半世紀(jì)是阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)的翻譯時(shí)期，巴格達(dá)成為學(xué)術(shù)中心，建有科學(xué)宮、觀象臺(tái)、圖書(shū)館和一個(gè)學(xué)院。來(lái)自各地的學(xué)者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過(guò)程中，許多文獻(xiàn)被重新校訂、考證和增補(bǔ)，大量的古代數(shù)學(xué)遺產(chǎn)獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來(lái)文化的基礎(chǔ)上，迅速發(fā)展起來(lái)，直到15世紀(jì)還充滿活力。

三角學(xué)在阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中占有重要地位，它的產(chǎn)生與發(fā)展和天文學(xué)有密切關(guān)系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎(chǔ)上發(fā)展了三角學(xué)。他們引進(jìn)了幾種新的三角量，揭示了它們的性質(zhì)和關(guān)系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數(shù)表。其中著名的數(shù)學(xué)家有：阿爾?巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾?維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾?比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統(tǒng)而完整地論述三角學(xué)的著作是由十三世紀(jì)的學(xué)者納西爾丁﹝Nasired-din﹞完成的，該著作使三角學(xué)脫離天文學(xué)而成為數(shù)學(xué)的獨(dú)立分支，對(duì)三角學(xué)在歐洲的發(fā)展有很大的影響。第五講：數(shù)學(xué)的復(fù)興1．中世紀(jì)的歐洲數(shù)學(xué)羅馬人活躍于歷史舞臺(tái)上的時(shí)期大約從公元前七世紀(jì)至公元五世紀(jì)。他們?cè)谲娛律虾驼紊显〉脴O大成功，在文化方面也頗有建樹(shù)，但他們的數(shù)學(xué)卻很落后，只有一些粗淺的算術(shù)和近似的幾何公式。著名的科學(xué)書(shū)籍有維特魯維尼斯的《建筑十書(shū)》﹝公元前14年﹞。書(shū)中比較注重處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫(huà)法幾何的萌芽。此外，羅馬人對(duì)歷法改革也有一定的貢獻(xiàn)。中世紀(jì)原指古代文化衰落（五世紀(jì)）到意大利文藝復(fù)興（十五世紀(jì)）之間漫長(zhǎng)的一千年。從科學(xué)史角度來(lái)看，在這段時(shí)期內(nèi)，人類從希臘科學(xué)文明和羅馬統(tǒng)治的高峰跌落，再沿著現(xiàn)代知識(shí)的斜坡掙扎向上。這一時(shí)期只出現(xiàn)少數(shù)幾位熱心學(xué)術(shù)的學(xué)者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞，英國(guó)的教士學(xué)者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞，著名的法國(guó)學(xué)者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他后來(lái)成了教皇西爾維斯特二世﹝PopeSylvesterII﹞。在這樣一種價(jià)值取向下，數(shù)學(xué)的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進(jìn)基督教體系中去，并成為構(gòu)建基督教體系所必須的條件之一。這一點(diǎn)特別明顯地體現(xiàn)在九世紀(jì)著名的經(jīng)院哲學(xué)家和神學(xué)家薩阿迪亞·果昂(SaadiaGaon，892-942)的著作中。在他的系統(tǒng)的神學(xué)理論中已經(jīng)曾現(xiàn)出十九世紀(jì)和二十世紀(jì)數(shù)學(xué)所特有的某些方法和思維過(guò)程。如薩阿迪亞在他的著作中曾把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來(lái)，并且以后所賦予上帝的一些性質(zhì)通過(guò)抽象推理和《圣經(jīng)》的象征手法有趣地結(jié)合而推導(dǎo)出來(lái)。在這里希臘人的方法與希伯來(lái)傳統(tǒng)結(jié)合起來(lái)。這也引出了近現(xiàn)代數(shù)學(xué)中的“唯一性問(wèn)題”。這種思想經(jīng)過(guò)幾個(gè)世紀(jì)的醞釀，最終在十六、十七世紀(jì)達(dá)到其頂峰，讓我門(mén)看一看法國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家笛卡兒帶有強(qiáng)烈的唯意志論特征的一段話：“數(shù)學(xué)真理，如同其他一切受造之物一樣，也都是由上帝所確立，并依賴于上帝?！系勰軌蜃鑫覀兯斫獾囊磺惺虑?，我們不可以說(shuō)上帝無(wú)法做我們所不理解的事情。因?yàn)椋J(rèn)為我們的想象力可以窮盡上帝力量的那種想法是？越而狂妄的?！彼?，對(duì)于此時(shí)的歐洲學(xué)者來(lái)說(shuō)，上帝就是一位至高無(wú)上的數(shù)學(xué)家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過(guò)謙恭的態(tài)度和理性的思考來(lái)接近上帝的思想，就可以明白神創(chuàng)造的世界。近代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生和進(jìn)展就直接得益于這種宗教觀念的提升和促進(jìn)，由此為近代數(shù)學(xué)發(fā)展超越古希臘階段提供了一個(gè)必要的形而上學(xué)基礎(chǔ)。十二世紀(jì)是數(shù)學(xué)史上的大翻譯時(shí)期，是知識(shí)傳播的世紀(jì)，由穆斯林保存下來(lái)的希臘科學(xué)和數(shù)學(xué)的經(jīng)典著作，以及阿拉伯學(xué)者寫(xiě)的著作開(kāi)始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當(dāng)時(shí)主要的傳播地點(diǎn)是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國(guó)修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。

十四世紀(jì)相對(duì)地是數(shù)學(xué)上的不毛之地，這一時(shí)期最大的數(shù)學(xué)家是法國(guó)的N?奧雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著作中，首次使用分?jǐn)?shù)指數(shù)，還提出用坐標(biāo)表示點(diǎn)的位置和溫度的變化，出現(xiàn)了變量和函數(shù)的概念。他的工作影響到文藝復(fù)興后包括笛卡爾在內(nèi)的學(xué)者。2．經(jīng)驗(yàn)主義數(shù)學(xué)觀的形成及其對(duì)于近代數(shù)學(xué)實(shí)踐的影響在古希臘哲學(xué)家畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖那里，數(shù)學(xué)是一門(mén)獨(dú)立的、專門(mén)的學(xué)科，它被賦予了完美與和諧的性質(zhì)。他們把數(shù)學(xué)孤立起來(lái)看待，認(rèn)為數(shù)學(xué)是人們通往理念世界的階梯，而當(dāng)完美的數(shù)學(xué)與不完美的可感知世界產(chǎn)生矛盾時(shí)，現(xiàn)實(shí)是被校正的對(duì)象。柏拉圖尤其認(rèn)為在現(xiàn)象世界中物質(zhì)阻礙了對(duì)數(shù)學(xué)理念的精確反映。柏拉圖甚至憎惡“幾何學(xué)”這個(gè)名詞，他認(rèn)為在幾何學(xué)這門(mén)學(xué)科中存在著太多的使人聯(lián)想起受做工作的名詞，“這門(mén)學(xué)科所用的語(yǔ)言散發(fā)著奴隸的氣息”，數(shù)學(xué)研究是一種崇高而且有哲理性的職業(yè)，但與應(yīng)用有關(guān)的則是卑劣粗俗的[8]。在文藝復(fù)興時(shí)期，畢達(dá)哥拉斯和柏拉圖所強(qiáng)調(diào)的自然是依照數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)的信念廣泛地為歐洲的知識(shí)分子所接受。近代數(shù)學(xué)在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開(kāi)了步伐。由于技工與學(xué)者相互合作、邏輯思辨與實(shí)驗(yàn)科學(xué)攜手大大刺激了數(shù)學(xué)中新的觀點(diǎn)、新的理論和方法的產(chǎn)生，這時(shí)，數(shù)學(xué)一方面從實(shí)驗(yàn)的自然科學(xué)中吸取了的靈感，激發(fā)了眾多新學(xué)科的創(chuàng)造，如對(duì)數(shù)、三角