《數學發(fā)展簡史》

《數學發(fā)展簡史》主講教師：王幼軍目錄導言：為什么學習數學史第一講：早期文明中的數學1．古埃及的數學2．巴比倫的數學3．中國早期的數學第二講：古希臘的數學1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大2．亞歷山大時期第三講：中國古代的數學1．漢以前的中國數學2．從魏晉到隋唐時期的中國數學3．十二、三世紀的宋元數學第四講：印度與阿拉伯的數學1．印度的數學2．阿拉伯數學第五章：數學的復興1．中世紀的歐洲數學2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響3．三次、四次方程的求根公式的解決4．三角學的歷史第六講：近代數學的興起1．對數2．解析幾何的誕生3．微積分的產生與發(fā)展4．概率論的產生第七講：近代數學的發(fā)展1．幾何學的發(fā)展2．代數學的發(fā)展3．分析學的發(fā)展4．公理化運動第八講：現代數學概觀1．集合論悖論與數學基礎的研究2．純數學的發(fā)展3．應用數學的發(fā)展4．六十年代以后的數學導言：為什么學習數學史1．為了更全面、更深刻地了解數學每一門學科都有它的歷史，文學有文學史，哲學有哲學史，天文學有天文學史等等。數學有它自己的發(fā)展過程，有它的歷史。它是活生生的、有血有肉的。無論是概念還是體系，無論是內容還是方法，都只有在與其發(fā)展過程相聯系時，才容易被理解?？梢哉f，不懂得數學史，就不能真心地理解數學。數學課本上的數學，經過多次加工，已經不是原來的面貌；刀斧的痕跡，清晰可見。數學教師要把課本上的內容放到歷史的背景上考察，才能求得自己的理解；然后，才有可能幫助學生理解。2．為了總結經驗教訓，探索發(fā)展規(guī)律我國自古以來就非常重視歷史、“前事之不忘，后事之師”（《戰(zhàn)國策·趙策一》）早已成為人們的共識。英國哲學家培根（FrancisBacon，1561—1626）的名言“歷史使人明智”（Historiesmakemenwise）也是盡人皆知的成語。數學有悠久的歷史，它的成長道路是相當曲折的。有時興旺發(fā)達，有時衰敗凋殘。探索它的發(fā)展規(guī)律，可以指導當前的工作，使我們少走或不走彎路，更好地做出正確的判斷，制定合理的政策。3．為了教育的目的（1）激發(fā)興趣，開闊眼界，啟發(fā)思維，經驗證明，在數學課中加入數學史的講授會使學生興趣盎然。任何一個靜止的事物，如果和它的歷史聯系起來，就會對它有濃厚的興趣。教師講授一條定理，如果不僅僅給出推導和證明，還指出它的思考路線，以及學者研究和發(fā)現定理的經過，課堂空氣會立刻活躍起來。教師也可以適當介紹和本定理有關的典故和趣事。學生開闊了眼界．知道一個定理的發(fā)現過程竟如此曲折，印象會非常深刻。講述定理的來龍去脈，可以開拓學生的思維，使他們從多個方面去思考問題。（如果不是專門的數學史課，史料的加入宜適而止，否則會喧賓奪主，沖淡了主題）（2）表彰前賢，鼓勵后進。數學是人類智慧的結晶，是全世界人民寶貴的精神財富。今天數學的繁榮昌盛，實得力于千百年來數學工作者的辛勤勞動。飲水必須思源，數典不可忘祖，他們的豐功偉績，理應載人史冊。數學史的主要內容之一，就是記述他們的生平事跡和重要貢獻，以供后人參考借鑒。其目的在于總結先輩的經驗教訓，學習他們不畏艱苦的創(chuàng)業(yè)精神。表彰前賢，足以鼓勵后進。4．文化的目的數學是文明的一個組成部分。數學不僅僅是形式化、演繹化的思維訓練，也不僅僅是一門嚴肅的、抽象的學科，數學其實是豐富多彩的文化的產物，數學中的幾乎每一步進展都反映了推進者的個人背景、時間和地點的影響，也受到當時流行的價值觀、社會思想和當時所有的資源的影響。所以，數學不僅是一種單純的知識活動，它也擁有豐富的歷史文化向度，人類豐富多彩的文化為它染上了濃重眩目的文化色彩。幾乎任何一門數學分支的發(fā)展都反映了一定時代和地域所流行的價值觀和各種因素的影響，這些因素包括游戲娛樂、美學欣賞、宗教信仰、哲學思考和實用價值探索等，在數學中它們是如此緊密地交織在一起，只要拆散和剔除其中的任何一個方面都將給數學帶不可估量的損失。為了探索及揭露數學發(fā)展的規(guī)律，也為了敘述的方便，常常將整個發(fā)展史劃分為若干個階段，這就是數學史的分期。分期的標準主要有兩種，一種是根據數學本身的特點（通常叫做“內史”，另一種是根據社會的歷史背景（“外史”），三是根據所接受的對象。本課程綜合上述看法，采取下面的分期。1早期文明中的數學，2．初等數學的發(fā)展，4近代數學的興起，5近現代數學發(fā)展，6現代數學發(fā)展概述。學習資源：李文林．數學史教程．北京：高等教育出版社，20020梁宗巨，王青建，孫宏安，《世界數學通史》（上下冊），遼寧教育出版社，2004王青建，《數學史簡編》，科學出版社，2004張奠宙．數學史選講．上海：上?？茖W技術出版社，1997J.F.斯科特著，《數學史》，侯德潤張?zhí)m譯，廣西師范大學出版社，2002(美國)卡茨著，《數學史通論》，李文林等譯，高等教育出版社，2004[美]H.伊夫斯，《數學史概論》（修訂本），歐陽絳譯，山西經濟出版社，1986劉鈍(1993)，《大哉言數》，沈陽：遼寧教育出版社M·克萊茵.數學：《確定性的喪失》，李宏魁譯.長沙:湖南科學技術出版社,1999.李迪主編，《中外數學史教程》，福建教育出版社，1993汪曉勤，韓祥臨．中學數學中的數學史．北京：科學出版社，2002.tw.tw/~hornghttp://www-history.mcs.st-and.ac.uk//~djoyce第一講：早期文明中的數學數學最早起源于適合人類生存的大河流域，例如尼羅河流域的埃及、兩河流域的巴比倫、黃河長江流域的中國等。伴隨著這些早期文明的發(fā)展，數學也開始了它的萌芽和進程。在有文字記載之前人類就已經有了數概念。起初人們只能認識“有”還是“沒有”，后來又漸漸有了“多”與“少”的朦朧意識。而“多”與“少”的意識原始人是在一一對應的過程中建立的。即把兩組對象進行一一比較，如果兩組對象完全對應，則這兩個組的數量就相等，如果不能完全一一對應，就會出現多少。例如，據古希臘荷馬史詩記載：波呂斐摩斯被俄底修斯刺傷后，以放羊為生。他每天坐在山洞口照料他的羊群，早晨母羊出洞吃草，出來一只，他就從一堆石子中撿起一顆石子兒；晚上母羊返回山洞，進去一只，他就扔掉一顆石子兒，當把早晨撿起的石子兒全部扔完后，他就放心了，因為他知道他的母羊全都平安地回到了山洞。另一個方面，在長期的采集、狩獵等生產活動中原始人逐漸注意到一只羊與許多羊，一頭狼與整群狼在數量上的差異。通過一只羊、一頭狼與許多羊、整群狼的比較，就逐漸看到一只羊、一頭狼、一條魚、一棵樹……之間存在著某種共同的東西，即它們的單位性。由此抽象出數“1”這個概念。數“1”可以說是這類具有單個元素的集合的特征?？梢哉J為，在人類發(fā)展的一個相當長的階段上，人們最早具有的數的概念是“1”，與之相對應的是一個比較確定的觀念——“多”。如上面的“數羊”，人們把一些被數物品用另外某些彼此同類的物品或標記來代替，如用手指、小石塊、繩結、樹枝、刻痕等。根據彼此一一對應的原則進行這種計算，也就是給每個被數物品選擇一個相應的東西作為計算工具，這就是早期的記數。最早可能是手算，即用手指計數。一只手上的5個指頭可以被現成的用來表示5個以內事物的集合。兩只手上的指頭合在一起，可以數到10，再和腳趾聯合在一起，可以數到20。有人認為，現在的羅馬數字Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ就分別是1——4個手指的形象，Ⅴ是四指并攏拇指張開形象，10則畫成ⅤⅤ，表示雙手，后來又畫成X，是ⅤⅤ的對頂形式。古代俄國把1叫做“手指頭”，10則稱為“全部”。這些都是古代手指計數的痕跡。亞里士多德曾經指出，今天10進制的廣泛采用，只不過是人類絕大多數人生來就具有10個手指這樣一個解剖學事實的結果。手算能表示出的數目畢竟有限，即使再借助于腳趾，也不過數到20。當指頭不敷用時，數到10時，擺一塊小石頭，雙手就解放了，還可以繼續(xù)數更大的數目。自然地人們會想到，可以不用手，直接用石頭記數。但記數的石子堆很難長久保存信息，于是又有結繩記數。我國有“上古結繩而治，后世圣人，易之以書契”的說法?！敖Y繩而治”一般解釋為“結繩記事”或“結繩記數”?！皶酢本褪窃谖矬w上刻痕，以后逐漸發(fā)展成為文字。結繩記事、記數，并不限于中國，世界各地都有，有些地方甚至到19世紀還保留這種方法，有些結繩事物甚至保存下來。例如，美國自然史博物館就藏有古代南美印加部落用來記事的繩結，當時人們稱之為基普：在一根較粗的繩子上拴系涂有顏色的細繩，再在細繩上打各種各樣的結，不同的顏色和結的位置、形狀表示不同的事物和數目。結繩畢竟不甚方便，以后在實物（石、木、骨等）上刻痕以代替結繩。從現在的考古資料看，幾乎所有的文明古國都經歷過一個刻痕記數的階段，只是各自的形式不同而已。無論手算、結繩還是刻痕所記下來的數還不是現在意義上的數，只是物體集合蘊涵著的數量特性從一個物體集合轉移到另一個物體集合上。也就是說，人們還不能脫離具體的物的集合來認識“數量”。但是，當人們可以任意選用這種隨手可得的東西來記數時，就離形成數的概念為期不遠了?？傊?，在人類幾萬年的原始文明中，只限于一些零碎的、片斷的、不完整的知識，有些人只能分辨一、二和許多，有些能夠把數作為抽象的概念來認識，并采用特殊的字或記號來代表個別的數，甚至采用十、二十或五作為基底來表示較大的數，進行簡單的運算。此外，古人也認識到最簡單的幾何概念，如，直線、圓、角等。直到公元前三千年左右巴比倫和埃及的數學出場，數學開始取得更多的進展。1，古埃及的數學背景非洲東北部的尼羅河流域，孕育了埃及的文化。在公元前3500—3000年間，這里曾建立了一個統一的帝國。目前我們對古埃及數學的認識，主要源于兩份用僧侶文寫成的紙草書，其一是成書于公元前1850年左右的莫斯科紙草書，另一份是約成書于公元前1650年的蘭德（Rhind）紙草書，又稱阿默士（Ahmes）紙草書。阿默士紙草書的內容相當豐富，講述了埃及的乘法和除法、單位分數的用法、試位法、求圓面積問題的解和數學在許多實際問題中的應用。古埃及人將所有的分數都化成單位分數（分子為1的分數之和），在阿默士紙草書中，有很大一張分數表，把狀分數表示成單位分數之和古埃及人已經能解決一些屬于一次方程和最簡單的二次方程的問題，還有一些關于等差數列、等比數列的初步知識。例如，在蘭德紙草書上有一個關于“堆算”的特殊篇章。這部分從本質上來說，包含的是用一元一次方程來解的問題。古代埃及人把未知數稱為“堆”，它本來的意思是指數量是未知數的谷物的堆。其中一個方程式這樣的：“有一堆，它的2/3加它的1/2，加它的1/7，再加全部共為33”埃及人還發(fā)展了卓越的幾何學。有一種觀點認為，尼羅河水每年一次的定期泛濫，淹沒河流兩岸的谷地。大水過后，法老要重新分配土地，長期積累起來的土地測量知識逐漸發(fā)展為幾何學。古埃及人留下了許多氣勢宏偉的建筑，其中最突出的是約于公元前2900年興建于下埃及的法老胡夫的金字塔，高達146.5米，塔基每邊平約寬230米，任何一邊與此數值相差不超過0.16米，正方程度與水平程度的平均誤差不超過萬分之一。與金字塔媲美的另一建筑群是上埃及的阿蒙神廟。其中卡爾納克的神廟主殿總面積達5000平方米，有134根圓柱，中間最高的12根高達21米。這些宏偉建筑的落成，也離不開幾何學知識。埃及人能夠計算簡單平面圖形的面積，計算出的圓周率為3.16049；他們還知道如何計算棱錐、圓錐、圓柱體及半球的體積。其中最驚人的成就在于方棱椎平頭截體體積的計算，他們給出的計算過程與現代的公式相符。2，巴比倫的數學底格里斯河和幼發(fā)拉底河流域，希臘人稱之為美索不達米亞（Mesopotamia），原意為兩河之間的地方，統稱為兩河流域。在歷史上兩河流域一直是許多城邦以及定居的部族和游牧部族之間競爭角逐的場所。在兩河流域的歷史上，征服者和被征服者就像走馬燈一樣來來去去，其情形是極其復雜的。但是，兩河流域是個大熔爐，在這里，許多不同的部族都是由競爭角逐而趨于融合，所以各個部族的文化和技術相互融合，從而使這個地區(qū)成了西亞的先進地區(qū)。古代巴比倫國家的位置在美索不達米亞最靠近底格里斯河和幼發(fā)拉底河河床的地方。巴比倫城位于幼發(fā)拉底河河岸上，“巴比倫人”這個名稱包括許多同時或先后居住在底格里斯河和幼發(fā)拉底河之間及其流域上的一些民族。其中蘇美爾人（Sumerians）是兩河流域古文明的奠基者）。公元1700年左右，阿摩利人漢默拉比Hammurabi王統治時期，文化得到高度的發(fā)展，這位君主以制定一部著名的法典而著稱（《漢默拉比法典》），這個時期就是所稱的古巴比倫王國。公元前八世紀，這個地區(qū)為原來住在底格里斯河上游的亞述人（Assyrians）所統治。亞述人尚武輕文，在文化方面很少有創(chuàng)造性的貢獻，然而，亞述帝國的政治統一卻也促進了文化的交流，使古代東方各地的文化得以融于一爐。對兩河流域的古文化，亞述人也做過一些保存和整理工作。亞述帝國的最后一個名叫巴尼伯（Assurbanipal），曾經在尼尼微的宮殿里建了一座圖書館，那里收藏了二萬二千塊刻著楔形文字的泥板。一個世紀以后，亞述帝國為伽勒底人（Chaldeans）和米太人（Medes）所滅，在歷史上美索不達米亞的這段時期（公元前7世紀）通常稱為伽勒底時期，也稱為新巴比倫帝國。公元前540年左右，新巴比倫帝國為居魯士（Cyrus）統治下的波斯人所征服。公元前330年，希臘軍事領袖亞歷山大大帝（AlexandertheGreat）征服了這個地區(qū)。歷史中所講的巴比倫數學也到此為止。從十九世紀前期開始，在美索不達米亞工作的考古學家們進行了系統的發(fā)掘工作，發(fā)現了大約五十萬塊刻著文字的泥板，僅僅在古代尼普爾舊址上就挖掘出五萬塊。在巴黎、柏林和倫敦的大博物館中，在耶魯、哥倫比亞河賓夕法尼亞大學的考古展覽館中，都珍藏著許多這類書板，書板有大有小，小的只有幾平方英寸，最大的和一般的教科書大小差不多，中心大約有一英寸半厚。有的只是書板的一面有字，有時兩面都有字，并且往往在其四邊上也刻有字。在公元前3500年以前，蘇美爾人就已經發(fā)明了文字。蘇美爾人用削尖了的蘆葦管做筆，把這種文字刻在泥板磚的怌塊上，在日光下或火爐上烘干，這種帶有文字的泥板就稱為泥板書。因為這種文字是刻在泥板上的，落筆處比較重，收筆處比較纖細，呈尖劈形，所以被稱為“楔形文字”（Cuneiform）。在五十萬塊書板中，約有300塊是被鑒定為載有數字表和一大批問題的純數學書板。直到1935年，由于美國學者諾伊格包爾（OttoNeugebaur）和法國學者蒂羅。丹金（Thureau—Dangin）夫人的工作才取得突破。他們解釋了一部分數學泥板，由于這些工作還在進行，或許不久的將來還會有新的發(fā)現。古代巴比倫人是具有高度計算技巧的計算家，其計算程序是借助乘法表、倒數表、平方表、立方表等數表來實現的。巴比倫人書寫數字的方法更值得我們注意。他們引入了以60為基底的位值制（60進制），希臘人、歐洲人直到16世紀還于數學計算和天文學計算中運用這個系統，直至現在60進制仍被應用于角度、時間等記錄上。3．中國早期的數學中國古代數學的起源可以上溯到公元前數千年．《周易·系辭下》中說：“上古結繩而治，后世圣人易之以書契。百官以治，萬民以察。”《說文解字·敘》記載：“及神農氏結繩而治而統其事?！薄吨芤住粪嵭ⅲ骸敖Y繩為約，事大，大結其繩；事小，小結其繩。”《九家易》：“古者無文字，其有誓約之事，事大，大其繩；事小，小其繩。結之多少，隨物眾寡，各執(zhí)以相考，亦足以相治也?！睋丝芍航Y繩是神農或神農以前上古時期的一種記事方法，以繩結的大小約定事的大小，以繩結的多少約定物的多少。契刻是較結繩晚出的一種記事方法，其作用主要是用于記數或作為契約的記數憑證。在許多古代典籍中都有關這方面的記載，《墨子·備城門》中曰：“守城之法：必數城中之木，十人之所舉為十挈（契），五人之所舉為五挈。凡輕重以挈為人數?！薄吨芤住粪嵭ⅲ骸皶谀荆唐鋫葹槠?，各持其一，后以相考合。”《列子·說符篇》說：“宋人有游于道得人遺契者，歸而藏之，密數其齒，告鄰人曰：‘吾富可待也?！痹诰嘟窦s五至六千年前的仰韶文化時期出土的陶器上還刻有表示數目的符號，說明此時已開始用文字符號取代結繩記事了。西安半坡村出土的陶器上有直線、三角、方、菱形等各種對稱和復雜的幾何圖案，半坡村遺址上有圓形和正方形的屋基?！妒酚洝分杏涊d：夏禹治水，“左規(guī)矩，右準繩”。這可以看作是中國古代幾何學的起源。在殷商（月公元前13世紀）的甲骨文中已經使用了十進制記數法，共有13個獨立的符號，出現的最大數字為三萬。商代還用10個天干和12個地支組成甲子、乙丑等60個名稱來記60十天的日期。春秋戰(zhàn)國時代又出現了十進位值制籌算記數法．而戰(zhàn)國時代的《考工記》、《墨經》、《莊子》等著作中則探討了許多抽象的數學概念，并記載了大量實用幾何知識．在記述中國古代早期數學內容的典籍中，《周易》是包含數學內容最豐富的著作，因而對中國古代數學家產生了極大的影響。比如，劉徽在《九章算術注》的序中就寫道：“昔伏羲氏始作八卦，以通神明之德，以類萬物之情。作九九之數，以合六爻之變?！睂嶋H上就把數學方法與《周易》中的六爻、八卦等內容聯系起來了?！吨芤住分械牧硪恢匾拍钍翘珮O?！吨芤住穼懙溃骸耙子刑珮O，是生兩儀，兩儀生四象，四象生八卦?！碧珮O即太一，這段話講的是八卦產生的原理，也試圖解釋天地造分、化成萬物的原理。到周代（公元前11至公元前3世紀）又發(fā)展成64卦，表示64種事物。后經宋代陳摶的發(fā)展，便有了太極圖?！吨芤住分辛硪粋€與數學相關的內容是“河圖洛書”?！吨芤住分杏小昂映鰣D，洛出書，圣人則之”的記載。以后，有人又把河圖洛書與八卦及九數聯系起來。例如，孔安國認為：“河圖者，伏羲氏王天下，龍馬出河，遂則其文以畫八卦。洛書者，禹治水時，神龜負文，而列于背，有數至九，禹遂因而第之，以成九類?！币簿褪钦f，在古人看來，八卦與九數實出于河圖洛書。西周初期能用炬測量高、深、廣、遠，知道勾股形中的勾三、股四、弦五及環(huán)炬為圓等知識。西周青銅器上的金文數字與商代數字基本一致，是我們今天文字的源泉。此時，已有整數和分數的四則遠算，《韓詩外傳》中還記載了公元前7世紀齊桓公招賢納士之事，將會背“九九”乘法口訣的人當作貴客款待。卜筮是原始人類共有的社會現象。中國古代常用龜甲和獸骨作為占卜工具，以決定事情的吉兇。筮，是按一定的規(guī)則得到特定的數字，并用它來預測事情的吉兇。《周禮》稱：“凡國之大事，先筮后卜?！薄妒酚洝敳吡袀鳌穭t說：“王者決定諸疑，參與卜筮，斷以蓍龜，不易之道也?！斌叩墓ぞ咂鸪跏侵窆鳎ㄒ院蟪霈F的籌算數碼則形成了中國古代用竹棍表示數字的傳統），后來改用蓍草----一種有鋸齒的草本植物。公元前500年左右的戰(zhàn)國時代，算籌已得到普遍使用，算籌大多是特制的小竹棍，也有用木、骨、鐵等材料制作的。算籌的記數法采用十進位制?！赌洝罚s公元前4世紀）中說：“一少于二而多余五，說在建位。”即一在個位小于二，在十位就大于五，每個數字的大小除由它本身表示的數值決定外，還要看它在整個數中所處的位置?！秾O子算經》（約公元4世紀）中描述了對籌算數字的擺放方法：“凡算之法，先識其位。一縱十橫，百立千僵；千十相望，萬百相當”即：個位用縱式，十位用橫式，百位用縱式，千位用橫式，萬位又用縱式，如此縱橫相間，以免發(fā)生誤會。并規(guī)定用空位表示零。說明有縱橫兩式：總之，在人類早期的文明中，數學還處于萌芽時期，主要包括計數、算術、初步的代數和幾何等知識。此時所呈現的數學更多的是經驗、直觀、零碎、片斷的知識，還沒有形成系統的理論體系、抽象的思維方法等。第二講：古希臘的數學數學作為一門獨立和理性的學科開始于公元前600年左右的古希臘。古希臘是數學史上一個“黃金時期”，在這里產生了眾多對數學主流的發(fā)展影響深遠的人物和成果，泰勒斯、畢達哥拉斯、柏拉圖、歐幾里德、阿基米德等數學巨匠不勝枚舉。此外，在初等數學時期，東方的中國、印度與阿拉伯等地區(qū)也發(fā)展出了獨具特色的數學知識。在中世紀后期的歐洲，在獨特的中世紀文化中，東西方數學知識逐漸融合，為下一個階段數學的快速發(fā)展奠定了基礎。1．希臘數學——從愛奧尼亞到亞歷山大古代希臘從地理疆城上講，包括巴爾干半島南部、小亞細亞半島西部、意大利半島南部、西西里島及愛琴海諸島等地區(qū)。這里長期以來由許多大小奴隸制城邦國組成，直到約公元前325年，亞歷山大大帝（AlexandertheGreat）征服了希臘和近東、埃及，他在尼羅河口附近建立了亞歷山大里亞城（Alexandria）。亞歷山大大帝死后（323B.C.），他創(chuàng)建的帝國分裂為三個獨立的王國，但仍聯合在古希臘文化的約束下，史稱希臘化國家。統治了埃及的托勒密一世（PtolemytheFirst）大力提倡學術，多方網羅人才，在亞歷山大里亞建立起一座空前宏偉的博物館和圖書館，使這里取代雅典，一躍而成為古代世界的學術文化中心，繁榮幾達千年之久！希臘人的思想毫無疑問地受到了埃及和巴比倫的影響，但是他們創(chuàng)立的數學與前人的數學相比較，卻有著本質的區(qū)別，其發(fā)展可分為古典時期和亞歷山大時期兩個階段。一、古典時期（600B.C.-300B.C.）這一時期始于泰勒斯（Thales）為首的愛奧尼亞學派（Ionians），其貢獻在于開創(chuàng)了命題的證明，為建立幾何的演繹體系邁出了第一步。稍后有畢達哥拉斯（Pythagoras）領導的學派，這是一個帶有神秘色彩的政治、宗教、哲學團體，以「萬物皆數」作為信條，將數學理論從具體的事物中抽象出來，予數學以特殊獨立的地位。公元前480年以后，雅典成為希臘的政治、文化中心，各種學術思想在雅典爭奇斗妍，演說和辯論時有所見，在這種氣氛下，數學開始從個別學派閉塞的圍墻里跳出來，來到更廣闊的天地里。埃利亞學派的芝諾（Zeno）提出四個著名的悖論（二分說、追龜說、飛箭靜止說、運動場問題），迫使哲學家和數學家深入思考無窮的問題。智人學派提出幾何作圖的三大問題：化圓為方、倍立方體、三等分任意角。希臘人的興趣在于從理論上去解決這些問題，是幾何學從實際應用向演繹體系靠攏的又一步。正因為三大問題不能用標尺解出，往往使研究者闖入未知的領域中，作出新的發(fā)現：圓錐曲線就是最典型的例子；「化圓為方」問題亦導致了圓周率和窮竭法的探討。哲學家柏拉圖（Plato）在雅典創(chuàng)辦著名的柏拉圖學園，培養(yǎng)了一大批數學家，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大學派之間聯系的紐帶。歐多克斯（Eudoxus）是該學園最著名的人物之一，他創(chuàng)立了同時適用于可通約量及不可通約量的比例理論。柏拉圖的學生亞里士多德（Aristotle）是形式主義的奠基者，其邏輯思想為日后將幾何學整理在嚴密的邏輯體系之中開辟了道路。（1）泰勒斯﹝TalesofMiletus，約公元前625-前547﹞古希臘哲學家、自然科學家。生于小亞細亞西南海岸米利都，早年是商人，曾游歷巴比倫、埃及等地。泰勒斯是希臘最早的哲學學派──伊奧尼亞學派的創(chuàng)始人，他幾乎涉獵了當時人類的全部思想和活動領域，被尊為“希臘七賢”之首。而他更是以數學上的發(fā)現而出名的第一人。他認為處處有生命和運動，并以水為萬物的本源。泰勒斯在埃及時還曾利用日影及比例關系算出金字塔的高，說明相似形已有初步認識。在天文學中他曾精確地預測了公元前585年5月28日發(fā)生的日食，還可能寫過《航海天文學》一書，并已知按春分、夏至、秋分、冬至劃分四季是不等長的。證明命題是希臘幾何學的基本精神，泰勒斯在數學方面的劃時代貢獻是開始引入了命題證明的思想，它標志著人們對客觀事物的認識從經驗上升到理論。這在數學史上是一次不尋常的飛躍，其重要意義在于：保證命題的正確性，使理論立于不敗之地；揭露各定理之間的內在聯系，使數學構成一個嚴密的體系，為進一步發(fā)展打下基礎；使數學命題具有充份的說服力，令人深信不疑。數學自此從具體的、實驗的階段過渡到抽象的、理論的階段，逐漸形成一門獨立的、演譯的科學。

畢達哥拉斯（以下簡稱畢氏）于紀元前580年左右出生于生于希臘東部薩摩斯﹝今希臘東部小島﹞，正是希臘黃金時代的初期，也是羅馬帝國建國的時代。在我們東方來說，就是釋迦牟尼與孔子的道學，正流行的時代。畢達哥拉斯早年曾在錫羅斯島向費雷西底﹝Pherecydes﹞學習，又曾師事伊奧尼亞學派的安約西曼德﹝Anaximander﹞，以后游歷埃及、巴比倫等地，接受古代流傳下來的天文、數學知識。他最后定居在克羅托內﹝Crotone﹞，在那里建立一個宗教、政治、學術合一的團體──畢達哥拉斯學派，它是繼伊奧尼亞學派后古希臘第二個重要的學派。這個團體后來在政治斗爭中遭到破壞，他逃到塔蘭托(Metapontum)，后終于被殺害。畢氏學派有一個教規(guī)，就是一切發(fā)現都歸功于學派的領袖，且對外保密，故討論其學術成就時，很難將畢達哥拉斯本人和他的學派分開。畢氏學派將抽象的數作為萬物的本源，“萬物皆數”使他們的信條之一。但是，研究數的目的不是為了實際應用，而是通過揭露數的奧秘來探索宇宙的永恒真理。他們將學問分為四類，即算術、音樂﹝數的應用﹞、幾何﹝靜止的量﹞、天文﹝運動的量﹞；根據“簡單整數比”原理創(chuàng)造一套音樂理論；對數作過深入研究，并得到很多結果，將自然數進行分類，如奇數、偶數、完全數、親合數、三角數、平方數、五角數、六角數等等；發(fā)理勾股定理﹝西方稱為畢達哥拉斯定理﹞和勾股數﹝西方稱為畢達哥拉斯數﹞；發(fā)現五種正多面體；發(fā)現不可通約量,甚至于音樂上也可目睹到他所遺留的許多事跡。下面我們來列舉十數種畢氏學派的貢獻,供大家見賞。畢達哥拉斯定理是說：一直角三角形中的斜邊平方等于兩直角邊之平方和。如設三角形ABC三個邊為a,b,c，其中c為斜邊（如圖一），則其間的關系為：a2+b2=c2（3），芝諾﹝ZeroofElea，約公元前490-約前425﹞

芝諾生活在古希臘的埃利亞城邦，他是埃利亞學派的著名哲學家巴門尼德﹝Parmenides﹞的學生和朋友。芝諾因其悖論而著名，并因此在數學和哲學兩方面享有不朽的聲譽。數學史家F?卡約里﹝Cajori﹞說：“芝諾悖論的歷史，大體上也就是連續(xù)性、無限大和無限小這些概念的歷史?！庇捎谥ブZ的著作沒能流傳下來，故只能通過批評他的亞里士多德及其詮釋者辛普里西奧斯才得以了解芝諾悖論的要旨的?，F存的芝諾悖論至少有8個，其中關于運動的4個悖論：二分說、阿基里斯追龜說、飛箭靜止說、運動場悖論尤為著名。前三個悖論揭示的是事物內部的稠密性和連續(xù)性之間的區(qū)別，是無限可分和有限長度之間的矛盾。他并不是簡單地否認運動，而是反對那種認為空間是點的總和、時間是瞬刻的和的概念，他想證明在空間作為點的總和的概念下運動是不可能的。第4個悖論是古代文獻中第一個涉及相對運動的問題。芝諾編造這些悖論的目的何在，歷來有許多爭論。有人認為是為了反對“多”與“變化”，以維護他的師父Parmenides（約紀元前五世紀）的萬有是“一”與“不變”之學說。從畢氏學派失敗的背景來觀察，芝諾是對于離散性、連續(xù)性、無窮大、無窮小等詭譎概念作詰疑。千古以來可以說是切中數學的核心。芝諾的功績在于把動和靜的關系、無限和有限的關系、連續(xù)和離散的關系惹人注意地擺了出來，并進行了辯證的考察。雖然不能肯定他對古典希臘數學的發(fā)展有無直接的重要影響，但有一點決不是偶然的巧合：柏拉圖寫作對話《巴門尼德》篇時，因為其中討論的主要話題之一是芝諾的觀點，芝諾也是書中的主角之一，因此在柏拉圖學園中很自然地熱烈討論起芝諾悖論來。當時歐多克索斯正在柏拉圖學園中攻讀和研究數學與哲學。歐多克索斯在稍后的時間里創(chuàng)立了新的比例論，從而克服了因發(fā)現無理數而出現數學危機，并完善了窮竭法，巧妙地處理了無窮小問題。羅素稱贊道：“幾乎所有從芝季諾時代到今日所建構出的有關時間、空間與無窮的理論，都可以在季諾的論證里找到背景基礎?！保?），詭辯學派希波戰(zhàn)爭以后，希臘商務繁榮，雅典成為文人薈萃的中心。愛奧尼亞學派的哲學家Anaxagoras（B.C.499——427）開始將愛奧尼亞的哲學輸入雅典，畢達格拉斯學派的人也群聚于此，只是過去秘密的作風已不復見。雅典人崇尚公開的精神。在公開的討論中，要想取得勝利，必須具有雄辯、修辭、哲學及數學知識。于是“詭辯學派”應運而生?！霸庌q”(Sophism)一詞是使人智慧的意思，也譯作“哲人學派”或“智人學派”。經過兩千多年的努力，數學家利用代數方法終于證明了三大難題都無解?；瘓A為方相當于求√π，它不是任何整系數方程的根，因而不可能用尺規(guī)作出，1882年由德國數學家林德曼證明。倍立方相當于求3√2，法國數學家范齊爾于1837年證明用尺規(guī)作不出等分任意角難在任意，有些角如90度角三等分是可以的。（5），柏拉圖﹝Plato，約公元前427——前347﹞公元前427年，柏拉圖出生于雅典，他自幼受到良好而完備的教育，少年時代勤奮好學、多才多藝且體格健壯。除了家庭的熏陶之外，給他影響最為深遠的莫過于正直善辯的哲學家蘇格拉底﹝Socrates﹞了，而蘇格拉底以不敬神和蠱惑青年的罪名被處死的悲劇給柏拉圖極大的刺激，隨著年歲的增長，他對當時的政客、法典和習俗愈來愈感到厭惡，從而決心繼承蘇格拉底的哲學思想，并從事于締造理想國家的理論研究。柏拉圖曾在非洲海岸昔蘭尼跟狄奧多魯斯﹝Theodorns﹞學數學，并成為著名的阿爾希塔斯的知心朋友。約公元前387年，他回到雅典創(chuàng)辦他的著名學園，這是一所為系統地研究哲學和科學而開設的高等院校，成為早期畢氏學派和后來長期活躍的亞歷山大里亞數學學派之間聯系的紐帶。公元前347年，柏拉圖以八十歲高齡死于雅典。作為一位哲學家，柏拉圖對于歐洲的哲學乃至整個文化的發(fā)展，有著深遠的影響。特別是他的認識論，數學哲學和數學教育思想，在古希臘的社會條件下，對于科學的形成和數學的發(fā)展，起了不可磨滅的推進作用。從柏拉圖的著作中，可以看到數學哲學領域的最初的探究。柏拉圖的數學哲學思想是同他的認識論，特別是理念論分不開的。他認為數學所研究的應是可知的理念世界中的永恒不變的關系，而不是可感的物質世界中的變動無常的關系。因此，數學的研究對象應是抽象的數和理想的圖形。他在《理想國》中說：“我所說的意思是算術有很偉大和很高尚的作用，它迫使靈魂就抽象的數進行推理，而反對在論證中引入可見的和可捉摸的對象?！彼诹硪惶幷劦綆缀螘r說：“你豈不知道，他們雖然利用各種可見的圖形，并借此進行推理，但是他們實際思考的并不是這些圖形，而是類似于這些圖形的理想形象?！麄兞η罂吹降氖悄切┲挥杏眯撵`之日才能看到的實在。”如果說數學概念的抽象化定義始于畢達哥拉斯學派，那么，柏拉圖及其學派則把這一具有歷史意義的工作大大地向前推進了。他們不僅把數學概念和現實中相應的實體區(qū)分開來，并把它和在討論中用以代表它們的幾何圖形嚴格地分開。柏拉圖是從理念論的角度去探討數學概念的涵義的。亞里士多德闡釋說，柏拉圖是將數學對象置于現實對象與理念之間的，數學對象因其常駐不變而區(qū)別于現實對象，又因其可能有許多同類對象而區(qū)別于理念。柏拉圖十分強調脫離直觀印象的純理性證明，并嚴格地把數學作圖工具限制為直尺圓規(guī)。這種主張對于形成歐幾里德幾何公理演譯體系，不無促進作用。柏拉圖也十分重視整數的學問，他在很大程度上繼承了畢氏學派的『萬物皆數』的觀點。他認為宇宙間的天體以至萬物都是按照數學規(guī)律來設計的。依賴感官所感覺到的世界是混亂和迷離的，因而是不可靠的和無價值的，只有通過數學才能領悟到世界的實質。此外，柏拉圖學派在數學中引入了分析法和歸謬法；他給出了點、線、面、體的定義；他對軌跡也有較早的認識，還研究了棱柱、棱錐、圓柱、圓錐的問題。在算術方面，他們發(fā)現了級數的不少重要性質。在天文學方面，他們不只是追尋天文觀測的表象，而是尋求完美的有關天體的數學理論?？傊乩瓐D學派主張嚴密的定義與邏輯證明，促成了數學的科學化。自公元前387年開始，柏拉圖就把創(chuàng)建和主持學園教育作為自己最重要的事業(yè)。雖然他認為學園的辦學宗旨是培養(yǎng)具有哲學頭腦的優(yōu)秀政治人材，直至造就一個能夠勝任治國重任的哲學王，但他深信：從事數學研究能培養(yǎng)人的思維能力，并因此是哲學家和那些要治理他的理想國的人所必須具備的基本素養(yǎng)。故學園在具體課程設計上繼承和發(fā)展了畢氏學派的以數學為主課的方針。據說，他的學園門口寫著：“不懂幾何者，不得入內”。柏拉圖倡導多層次的數學教育，在某種意義上也體現了一種因材施教的原則。柏拉圖首次提出了普及數學教育的主張：『應該嚴格規(guī)定貴城邦的全體居民務必學習幾何。……經驗證明，學過幾何的人在學習其它任何學問時，要比未學過幾何的人快得多?！辉诎乩瓐D的指導下，學園的數學教育取得極大的成功。在公元前四世紀的希臘，絕大多數知名數學家都是柏拉圖的學生或朋友，他們以柏拉圖學園為數學交流活動的中心場所，形成以柏拉圖為核心的學派，史稱柏拉圖學派。美國數學史家博耶評論說：“雖然柏拉圖本人在數學研究方面沒有特別杰出的學術成果，然而，他卻是那個時代的數學活動的核心……，他對數學的滿腔熱誠沒有使他成為知名數學家，但卻贏得了‘數學家的締造者’的美稱?！保?），歐多克索斯﹝Eudoxus，約公元前400-前347﹞

歐多克索斯是古希臘時代成就卓著的數學家和天文學家，生于尼多斯。曾受教于柏拉圖及阿爾希塔斯。

歐多克索斯對數學的最大功績是創(chuàng)立了關于比例的一個新理論。他首先引入“量”的概念，將“量”和“數”區(qū)別開來。用現代術語來說，他的“量”指的是連續(xù)量，而“數”是離散的，僅限于有理數。其次，改變“比”的定義為：“比”是同類量之間的大小關系。從這一定義出發(fā)可以推出有關比例的若干命題，而不必考慮這些量是否可公度。這在希臘數學史上是一個大突破。其創(chuàng)立之比例論，成為歐幾里得《幾何原本》，特別是其中五、六、十二卷的主要內容。事實上，19世紀的無理數理論是歐多克索斯思想的繼承和發(fā)展。不過歐多克索斯理論是建立在幾何量的基礎之上的，因而回避了把無理數作為數來處理。盡管如此歐多克索斯的這些定義無疑給不可公度比提供了邏輯基礎。為了防止在處理這些量時出錯，他進一步建立了以明確公理為依據的演繹體系，從而大大推進了幾何學的發(fā)展。從他以后，幾何學成了希臘數學的主流。（7），亞里士多德（Aristotle，公元前384—公元前322）亞里士多德出生于希臘北部的斯塔吉拉，父親是馬其頓國王的御醫(yī)。公元前367年，17歲的亞里士多德到當時希臘的文化中心雅典，進入柏拉圖的阿卡德米學園學習。由于他聰敏過人，深受柏拉圖的喜愛，成為柏拉圖的得意門生。他在學園一共學習了20年，直到柏拉圖去世。柏拉圖去世以后，他到小亞細亞各城邦去講學。公元前343年，他42歲時，應馬其頓王的邀請，擔任王子亞力山大的老師。當時亞力山大只有13歲。公元前335年，亞里士多德回到雅典，創(chuàng)辦一所學園，名叫呂克昂（Lyceum）。他在這里從事學術研究和教學活動達13年。亞力山大王去世以后，他被迫離開雅典，把呂克昂交給別人管理。次年病逝，享年63歲。他去世以后，呂克昂繼續(xù)存在了幾百年。如果說柏拉圖是一位綜合型的學者，那亞里士多德就是一位分科型的學者。他總結了前人已經取得的成就，創(chuàng)造性的提出自己的理論，在幾乎每一學術領域，亞里士多德都留下了自己的著作。從第一哲學著作《形而上學》，物理學著作《物理學》、《論生滅》、《論天》、《天象學》、《論宇宙》，生物學著作《動物志》、《論動物的歷史》、《論靈魂》，到邏輯學著作《范疇篇》、《分析篇》，倫理學著作《尼各馬可倫理學》、《大倫理學》、《歐德謨斯倫理學》，以及《政治學》、《詩學》、《修辭學》等，他的著作幾乎遍及每一個學術領域，他是一位名符其實的百科全書式的學者。亞里士多德對數學的本性及其與物理世界的關系所發(fā)表的看法影響很大。例如，他討論定義：一個定義只能告訴我們一件事物是什么，并不說明它一定存在。定義了的東西是否存在有待證明。亞里士多德還討論數學的基本原理：把公理個公設加以區(qū)別。公理是一切科學所公有的真理，而公設只是為某一門科學所接受的第一性原理。亞里士多德認為邏輯原理都是公理，公設無需是不言自明的，其是否為真受所推出的結果檢驗，列出的公理和公設數目越少越好。這些思想對以后歐幾里德的思想起了重要的影響。亞里士多德的另一個重大貢獻就是創(chuàng)立邏輯學。他的邏輯對數學也產生了極大的影響，他的邏輯基本原理，如矛盾律：一個命題不能既是真又是假的；排中律：一個命題必須是真的或是假的……等原理是數學中間接證法的核心。2.亞歷山大時期（300B.C——641A.D.）這一階段以公元前30年羅馬帝國吞并希臘為分界，分為前后兩個時期。亞歷山大前期和亞歷山大后期，前期出現了希臘化數學的黃金時期，代表人物是名垂千古的三大數學家：歐幾里得（Euclid）、阿基米得（Archimedes）及阿波羅尼烏斯（Appollonius）。歐幾里得總結古典希臘數學，用公理方法整理幾何學，寫成13卷《幾何原本》（Elements）。這部劃時代歷史巨著的意義在于它樹立了用公理法建立起演繹數學體系的最早典范。阿基米得是古代最偉大的數學家、力學家和機械師。他將實驗的經驗研究方法和幾何學的演繹推理方法有機地結合起來，使力學科學化，既有定性分析，又有定量計算。阿基米得在純數學領域涉及的范圍也很廣，其中一項重大貢獻是建立多種平面圖形面積和旋轉體體積的精密求積法，蘊含著微積分的思想。阿波羅尼烏斯的《圓錐曲線論》（ConicSections）把前輩所得到的圓錐曲線知識予以嚴格的系統化，并做出新的貢獻，對17世紀數學的發(fā)展有著巨大的影響。亞歷山大圖書館館長埃拉托塞尼（Eratosthenes）也是這一時期有名望的學者。亞歷山大后期是在羅馬人統治下的時期，但是希臘的文化傳統尚未被破壞，學者還可繼續(xù)研究，然而已沒有前期那種磅礡的氣勢。這時期出色的數學家有海倫（Heron）、托勒密（Plolemy）、丟番圖（Diophantus）和帕普斯（Pappus）。丟番圖的代數學在希臘數學中獨樹一幟；帕波斯的工作是前期學者研究成果的總結和補充。之后，希臘數學處于停滯狀態(tài)。公元641年，阿拉伯人攻占亞歷山大里亞城，圖書館再度被焚（第一次是在公元前46年），希臘數學悠久燦爛的歷史，至此終結。亞歷山大里亞有創(chuàng)造力的日子也隨之一去不復返了。（1）歐幾里得﹝Euclid，約公元前330─約公元前275﹞關于歐幾里得，除了知道他是歷時長久的亞歷山大數學學派的奠基人外，對他的生平所知甚少，僅估計他很可能在雅典的柏拉圖學園受過數學訓練。

在歐幾里得之前，古希臘的數學知識已經累積得相當豐富，于是有人將它們整理成冊，例如希波克拉底就是第一位進行匯編的人。歐幾里得也總結了他那個時代古希臘的所有數學成果，編輯成13卷的《幾何原本》，以下簡稱《原本》。此書最重要的特色是公理化系統的結構：由少數幾條公理(axioms)出發(fā)，推導出所有的幾何定理。公理是「直觀自明」的真理，是數學的源頭，無法證明，也不必證明。歐氏的曠世名著，使得其它版本都黯然無光，乃至消失?！稁缀卧尽匪鸬男Ч绻湃怂f：“月升燈失色，風起扇無功”。歐幾里得的《幾何原本》﹝Elements﹞是一部劃時代的著作，就其大部份內容來說，是對于公元前七世紀以來，希臘幾何積聚起來的豐富成果作出高度成功的編纂和系統的整理，其主要功績在于對命題的巧妙選擇，和把它們排列進由少數初始假定出發(fā)，演繹地推導出的合乎邏輯的序列中。換言之，《原本》偉大的歷史意義在于它是用公理方法建立起演繹體系的最早典范。五條公設1.過相異兩點，能作且只能作一直線（直線公理）。2.線段(有限直線)可以任意地延長。3.以任一點為圓心、任意長為半徑，可作一圓(圓公理)。4.凡是直角都相等(角公理)。5.兩直線被第三條直線所截，如果同側兩內角和小于兩個直角，則兩直線作延長時在此側會相交。五條公理1.跟同一個量相等的兩個量相等；即若a=c且b=c，則a=b（等量代換公理）。2.等量加等量，其和相等；即若a=b且c=d，則a+c=b+d（等量加法公理）。3.等量減等量，其差相等；即若a=b且c=d，則a-c=b-d（等量減法公理）。4.完全迭合的兩個圖形是全等的（移形迭合公理）。5.全量大于分量，即a+b>a（全量大于分量公理）。一般公理不止適用于幾何學，對于其它學科也行得通。

23個定義（2）“數學之神”──阿基米德（Archimedes，公元前287～公元前212）阿基米德于公元前２８７年出生在意大利半島南端西西里島的敘拉古（Syracuse）的貴族之家。父親是位數學家兼天文學家。阿基米德從小有良好的家庭教養(yǎng)，他在年輕時曾在亞力山大求學，不過大半生都待在他老家西西里島的敘拉古，受國王Hieron的贊助從事研究工作。阿基米德與歐幾里德、阿波羅尼并列為希臘三大數學家，也有人甚至說他是有史以來最偉大的三個數學家之一（其他二位是牛頓與高斯）。他的主要數學貢獻是求面積和體積的工作。在他之前的希臘數學不重視算術計算，關于面積和體積，數學家們頂多證明一下兩個面積或體積的比例就完了，而不再算出每一個面積或體積究竟是多少。當時連圓面積都算不出來，因為比較精確的π值還不知道。從阿基米德開始，或者說從以阿基米德為代表的亞歷山大里亞的數學家開始，算術和代數開始成為一門獨立的數學學科。阿基米德發(fā)現的一個著名的定理是：任一球的面積是外切圓柱表面積的三分之二，而任一球的體積也是外切圓柱體積的三分之二。這個定理是從球面積等于大圓面積的四倍這一定理推來的，據說，該定理遵遺囑被刻在阿基米德的墓碑上。阿基米德發(fā)明了求面積和體積的“平衡法”，求出面積或體積后再用“窮竭法”加以證明。阿基米德“平衡法”與“窮竭法”的結合是嚴格證明與創(chuàng)造技巧相結合的典范。阿基米德的“平衡法”，將需要求積的量分成一些微小單元，再與另一組微小單元進行比較，而后一組的總和比較容易計算。因此，“平衡法”實際上體現了近代積分法的基本思想，是阿基米德數學研究的最大功績。但是，“平衡法”本身必須以極限論為基礎，阿基米德意識到了他的方法在嚴密性上的不足，所以他用平衡法求出一個面積或體積后，必再用窮竭法加以嚴格的證明?！稈佄锞€求積法》研究了曲線圖形求積的問題，并用窮竭法建立了這樣的結論：“任何由直線和直角圓錐體的截面所包圍的弓形（即拋物線），其面積都是其同底同高的三角形面積的三分之四?！彼€用力學權重方法再次驗證這個結論，使數學與力學成功地結合起來?！墩撀菥€》，是阿基米德對數學的出色貢獻。他明確了螺線的定義，以及對螺線的面積的計算方法。在同一著作中，阿基米德還導出幾何級數和算術級數求和的幾何方法?！墩撳F型體與球型體》，講的是確定由拋物線和雙曲線其軸旋轉而成的錐型體體積，以及橢圓繞其長軸和短軸旋轉而成的球型體的體積。（3）阿波羅尼奧斯（Apollonius，公元前262-190）阿波羅尼奧斯出生于小亞細亞（今土爾其一帶），年輕時曾在亞歷山大城跟隨歐幾里得的學生學習，后到小亞細亞西岸的帕加蒙王國居住與工作，晚年又回到亞歷山大。阿波羅尼奧斯的主要數學成就是在前人工作的基礎上創(chuàng)立了相當完美的圓錐曲線理論，編著《圓錐曲線論》。阿波羅尼奧斯用統一的方式引出三種圓錐曲線后，便展開了對它們性質的廣泛討論，內容涉及圓錐曲線的直徑、公軛直徑、切線、中心、雙曲線的漸進線、橢圓與雙曲線的焦點以及處在不同位置上的圓錐曲線的交點數等?！秷A錐曲線論》中包含了許多即使按今天的眼光看也是很深奧的問題。第5卷中關于定點到圓錐曲線的最長和最短線段的探討，實質上提出了圓錐曲線的法線包絡即漸屈線的概念，它們是近代微分幾何的課題。第3、4卷中關于圓錐曲線的極點與極線的調和性質的論述，則包含了射影幾何學的萌芽思想。（4）埃拉托塞尼﹝Eratosthenes，約公元前276─約前195﹞

埃拉托塞尼出生于地中海南岸的昔蘭尼﹝現北非利比亞舍哈特﹞，卒于亞歷山大。他早年在雅典學習，大約四十歲時，接受埃及的托勒玫三世的邀請，來到亞歷山大當他兒子的家庭教師，約公元前235年起擔任亞歷山大附設于博物館的圖書館館長。埃拉托塞尼晚年因患眼疾，以致雙目失明，他無法忍受不能讀書的痛苦，竟絕食而死。埃拉托塞尼在當時所有的知識領域里都是奇才。他是一位杰出的數學家、天文學家、地理學家、歷史學家、哲學家、詩人和運動員。早年在雅典受過教育，先后師事逍遙學派的阿里斯頓，柏拉圖學派的阿凱西勞斯和犬儒學派的塞翁等。后到亞歷山大，又跟隨詩人卡利馬科斯學習詩詞。他的博學多才，后來贏得“五項全能”﹝Pentathlus﹞的雅號。他是阿基米德的摯友，曾受到阿基米德的高度評價。著作有《地理學》、《地球的測量》、《倍立方問題》、《論平均值》、《柏拉圖》等，可惜只有很少的片斷流傳下來。埃拉托塞尼最受人贊揚和傳誦的業(yè)績是測量地球的周長，其特點是原理簡單，方法易行，結果也較精確。他的另一項膾炙人口的發(fā)明是尋找素數的方法，即所謂埃拉托塞尼篩，記載于尼科馬霍斯《算術入門》第十三章中，即要在自然數列中從小到大找出素數，先從3開始，將奇數列寫出，3是第一個素數，將3后面所有3的倍數都劃去；3后面第一個未被劃去的數是5，將5后面所有5的倍數都劃去；5后面第一個未被劃去的數是7，將7后面所有7的倍數都劃去，重復這一步驟，直到所寫出的數列最后一個數，未被劃去的就是素數。（5）海倫（HeronofAlexandria,公元62年左右）希臘數學家、力學家、機械學家。約公元62年活躍于亞歷山大，在那里教過數學、物理學等課程。他多才多藝，善于博采眾長。在論證中大膽使用某些經驗性的近似公式，注重數學的實際應用。主要貢獻是《度量論》一書。該書共3卷，分別論述平面圖形的面積，立體圖形的體積和將圖形分成比例的問題。其中卷Ｉ第8題給出著名的海倫公式的證明，設三角形邊長分別是a、b、c，s是半周長（即s=(a+b+c)/2），Δ是三角形的面積，則有Δ＝。海倫用文字敘述了這一公式的證明，并舉例加以說明?，F已公認海倫公式是阿基米德發(fā)現的，但這個名稱已成為習慣用法。他的成就還有：正3到正12邊形面積計算法；長方臺體積公式；求立方根的近似公式等。（6）丟番圖﹝DiophantusofAlexandria，約公元250年前后﹞

對于丟番圖的生平事跡，人們知道得很少。但在一本《希臘詩文選》﹝TheGreekanthology﹞【這是公元500年前后的遺物，大部份為語法學家梅特羅多勒斯﹝Metrodorus﹞所輯，其中有46首和代數問題有關的短詩﹝epigram﹞。亞歷山大的丟番圖對代數學的發(fā)展起了極其重要的作用，對后來的數論學者有很深的影響。他有幾種著作，最重要的是《算術》，還有一部《多角數》，另一些已遺失?！端阈g》是一部劃代的著作，它在歷史上影響之大，可和歐幾里得的《幾何原本》相媲美。丟番圖的《算術》是講數論的，它討論了一次、二次以及個別的三次方程，還有大量的不定方程。現在對于具有整數系數的不定方程，如果只考慮其整數解，這類方程就叫做丟番圖方程，它是數論的一個分支。不過丟番圖并不要求解答是整數，而只要求是正有理數。從另一個角度看，《算術》一書也可以歸入代數學的范圍。代數學區(qū)別于其它學科的最大特點是引入了未知數，并對未知數加以運算。就引入未知數，創(chuàng)設未知數的符號，以及建立方程的思想﹝雖然未有現代方程的形式﹞這幾方面來看，丟番圖的《算術》完全可以算得上是代數。（7）帕普斯﹝PappusofAlexandria，約公元300─350年﹞公元4世紀，希臘數學已成強弩之末?！包S金時代”﹝300B.C─200B.C﹞幾何巨匠已逝去五、六百年，公元前146年亞歷山大被羅馬人占領，學者們雖然仍能繼續(xù)研究，然而已沒有他們的先輩那種氣勢雄偉、一往無前的創(chuàng)作精迪。公元后，興趣轉向天文的應用，除門納勞斯﹝MenelausofAlexandria公元100前后﹞、托勒密﹝ClaudiusPtolemy，約公元85-165﹞在三角學方面有所建樹外，理論幾何的活力逐漸雕萎。此時亞歷山大的帕普斯正努力總結數百年來前人披荊斬棘所取得的成果，以免年久失傳，敘寫了希臘數學的最后一頁。帕普斯給歐幾里得《幾何原本》和《數據》以及托勒密的《至大論》和《球極平面投影》作過注釋。寫成八卷的《數學匯編》﹝MathematicalCollection﹞──對他那個時代存在的幾何著作的綜述評論和指南，其中包括帕普斯自己的創(chuàng)作。但第一卷和第二卷的一部份已遺失，許多古代的學術成果，由于有了這部書的存錄，才能讓后世人得知。例如芝諾多努斯的《等周論》，經過帕普斯的加工，被編入于第五卷之中。當中有關于“圓面積大于任何同周長正多邊形的面積”、“球的體積大于表面積相同的圓錐、圓柱”、“表面積相同的正多面體，面積愈多體積愈大”等命題。對于希臘幾何三大問題也作了歷史的回顧，并給出幾種用二次或高次曲線的解法。在第七卷中則探討了三種圓錐曲線的焦點和準線的性質，還討論了“不面圖形繞一軸旋轉所產生立體的體積”，后來這叫做“古爾丁定理”，因為后者曾重新加以研究?？偫ǘ裕ＥD數學的成就是輝煌的，它為人類創(chuàng)造了巨大的精神財富，不論從數量還是從質量來衡量，都是世界上首屈一指的。比希臘數學家取得具體成果更重要的是：希臘數學產生了數學精神。即數學證明的演繹推理方法。數學的抽象化以及自然界依數學方式設計的信念，為數學乃至科學的發(fā)展起了至關重要的作用。而由這一精神所產生的理性、確定性、永恒的第三章．中國古代的數學1．漢以前的中國數學幾乎和古希臘同時的戰(zhàn)國時期的百家爭鳴也促進了中國數學的發(fā)展，一些學派還總結和概括出與數學有關出的許多抽象概念。其中著名的有《墨經》中關于幾何的定義和命題，例如，圓，一中同長也，即圓是從中心到周界有相同長度的圖形。平，同高也，即平行線之間的高度相同。等等。周秦以來逐漸發(fā)展起來的中國古代數學，經過漢代更進一步的發(fā)展，已經逐漸形成了完整的體系，中國傳統數學自古就受到天文歷法的推動，秦漢時期天文歷法有了明顯的進步，涉及的數學知識水平也相應提高。西漢末年編纂的《周髀算經》是一部以數學方法闡述的天文著作，用對話一問一答的形式寫出的，提出勾股定理的特例和提出測太陽高、遠的方法，為后來重差術的先驅?！毒耪滤阈g》是戰(zhàn)國、秦、漢封建社會創(chuàng)立并鞏固時期數學發(fā)展的總結，就其數學成就來說，堪稱是世界數學名著。例如分數四則運算、今有術(西方稱三率法)、開平方與開立方(包括二次方程數值解法)、盈不足術(西方稱雙設法)、各種面積和體積公式、線性方程組解法、正負數運算的加減法則、勾股形解法(特別是勾股定理和求勾股數的方法)等。其中方程組解法和正負數加減法則在世界數學發(fā)展上是遙遙領先的。就其特點來說，它形成了一個以算法為中心、與古希臘數學完全不同的獨立體系?？傊?，《九章算術》有幾個顯著的特點：采用按類分章的數學問題集的形式；算式都是從籌算記數法發(fā)展起來的；以算術、代數為主，很少涉及圖形性質；重視應用，缺乏理論闡述等。2．從魏晉到隋唐時期的中國數學東漢《九章算術》出現以后，注釋與修正的工作在不斷進行著。魏晉趙爽作《勾股方圓圖注》，利用勾股定理完成一般一元二次方程(首項系數可以為負，三國時代，劉徽注《九章算術》(263年)。《九章算術》中取圓周率為3，劉徽提出「割圓術」，計算正192邊形的面積，求得3.141的三位小數近似值。其后南北朝祖沖之(429-500)更把這結果向前推進，在《綴術》一書中，找到3.1415926的密率。如果將《九章算術》的內容當作中國數學的雛型，那么自東漢到隋唐(即公元第二世紀到第十世紀)，可稱為它的發(fā)展期，隋唐以后漸臻成熟。到十三世紀南宋及元初，才進入中國數學的黃金時代。著作方面，唐朝《新唐書藝文志》中收錄的《十部算經》(李淳風注)很能夠反應發(fā)展期的數學水平?！妒克憬洝烦占缙诘摹吨荀隆贰毒耪隆分膺€包羅了《海島算經》(劉徽，263年)《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》(皆為第三、四世紀之作，但夏侯陽現傳本則迭經增補，搜集的材料包含到第八世紀的有關內容)《五曹算術》、《五經算術》(《五曹》為官吏手卌，《五經》則傾向玄學，無甚內容)《輯古算經》(唐、王孝通，626年稍后定成)另外亦含第五世紀祖沖之所作《綴術》，惜已失傳。十三世紀宋朝再刻《十部算經》時，便以《數術記遺》代之，成為現存的《算經十書》。3．十二、三世紀的宋元數學宋元兩代，中國數學進入了黃金時期，尤其到了十三世紀成就更趨輝煌。不只相對于中國本身古來的數學得到空前的發(fā)展，放眼于當時阿拉伯、印度及歐洲各地的數學水平，也是處于領先的地位。宋元黃金時期的數學家一般以南方的秦九韶、楊輝，北方的李治、朱世杰為代表，合稱秦、李、楊、朱四大家。事實上，四家之前有北宋支持王安石變法的沈括(1031-95)。沈括晚年著有《夢溪筆談》，討論「隙積術」，開創(chuàng)了高階等差級數的研究。又有楚衍(與沈括約同時代在司天監(jiān)工作)的學生賈憲，作「增乘開方法」引進隨乘隨加的方法，開平方開立方法。由于隨乘隨加的方法暗含著二項式定理的系數分配，這種開方法馬上可以推廣到高次開方,為其后不久劉益，秦九韶作一般高次方程的數值解法鋪路。在西方，高次方程的數值解法要延到十九世紀才由Ruffini(1804)與Horner(1819)具體提出，西方數學慣稱為Hornermethod(霍納方法)。值得注意，不管在代數方法或轉化方法上，中國數學家在定量方面的努力都已接近飽和，必須轉向去做些定性的工作。例如在代數方法上有了天元術、四元術，便須轉個方向去考慮根與系數的定性關系，才能再往前推進，做出像十九世紀Abel,Galois的方程論那樣的工作。而在轉化方法上，有了個別關系也須要改做些定性的考慮，到定性方面去找尋有系統的轉化關系，發(fā)展出像解析幾何之類的工作。但變量數學終究不曾出現在中國，道理還是社會條件不夠，當時中國社會以天文歷法所需的數學最為繁復。內插法是一種逼近，隱約有了變量數學成份。但變量數學得以發(fā)展的真正關鍵在于引入變化率。日月五星的運行雖也有變量，但運行的瞬間速度在當時還不必去考慮，不像在歐洲，力學已發(fā)展到須要找出運動規(guī)律的時候了。十三世紀前的中國數學在局部化方法上所作的貢獻只限于三次函數的內插逼近及早先祖沖之的Cavalieri原理。宋元以后，明代理學對科學技術與思想發(fā)展造成一定束縛。除程大位《算法統宗》繼吳敬,徐心魯等人將籌算改良，發(fā)展為珠算，便利四則計算之外，明朝兩百年間，不僅沒繼承宋元數學而持續(xù)發(fā)展，甚至宋元著作散失，數學水平普遍下降。明末清初，西方傳教士陸續(xù)來華之時，中國數學正處低潮時期，兩種文化的交會結束了中國本土數學的發(fā)展。第四講章．印度與阿拉伯的數學1．印度的數學印度是世界上文化發(fā)達最早的地區(qū)之一，印度數學的起源和其它古老民族的數學起源一樣，是在生產實際需要的基礎上產生的。但是，印度數學的發(fā)展也有一個特殊的因素，便是它的數學和歷法一樣，是在婆羅門祭禮的影響下得以充分發(fā)展的。再加上佛教的交流和貿易的往來，印度數學和近東，特別是中國的數學便在互相融合，互相促進中前進。另外，印度數學的發(fā)展始終與天文學有密切的關系，數學作品大多刊載于天文學著作中的某些篇章。約在三千七百年前，Harappa文化已開始式微。等到約三千五百年前，亞利安人從中亞進入印度的恒河流域時，這支文化已經消失殆盡。亞利安人發(fā)展了世襲的種姓制度，婆羅門（教士）與武士享有統治權。婆羅門掌管知識，并且不讓平民有一絲一毫的教育；為此，他們反對寫作，而婆羅門教圣詩吠陀(Veda)則以口述承傳。亞利安人在印度頭一千年的歷史就因文獻不足而不清不楚。在數學方面，我們只能從吠陀的經文中看出，他們和別的民族一樣，也在天文方面花了一些心思。公元前六世紀，佛教興起，屏棄了婆羅門教的閉鎖性格，于是文學萌芽，歷史也開始有了可靠的文獻。公元前326年，亞歷山大大帝曾經征服了印度的西北部，使得希臘的天文學與三角學傳到了印度。緊接著亞歷山大大帝之后，孔雀王朝（Maurya，公元前320～185年）興起，在其阿育王時代（公元前272～232年）勢力達到頂峰，領土不但包括印度次大陸的大部分，而且遠如阿富汗都在其控制之下。阿育王以佛教為國教，每到一重要城市總要立下石柱。從數學的眼光來看，這些石柱讓人感興趣，因為在石柱上我們可以找到印度阿拉伯數字的原形。從八世紀開始印度教興起，同時回教勢力也開始侵入，佛教在兩者夾攻之下逐漸式微。到了公元1200年左右，佛教在其出生地的印度差不多就完全消失了。這種宗教信仰的變遷，對印度的文化是有非常具大的影響的。印度的數學從此之后就停止不前。十六世紀初，中亞的蒙古人后裔，南下印度，建立了回化的蒙兀兒帝國。到了十九世紀，英國的勢力完全取代了蒙兀兒，成為印度的主宰者。這一段時期，印度雖然有比較統一的局面，但數學方面仍然沒有進展。因此十二世紀的Bhaskara可以說是印度傳統數學的最后一人。直到二十世紀初，印度數學會成立（1907年），出版學會雜志（1909年），而且又產生了數學怪才Ramanujan（1887～1920年），印度的數學終于漸有起色，而投入了世界數學的發(fā)展洪流中。然而印度的傳統數學在算術及代數方面則有相當的成就；這些包括建立完整的十進制記數系統，引進負數的觀念及計算，使代數半符號化，提供開方的方法，解二次方程式及一次不定方程式等。拉普拉斯對十進位值制記數法的評價：“用十個記號來表示一切的數，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙的方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看來如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了?！?．阿拉伯數學從九世紀開始，數學發(fā)展的中心轉向阿拉伯和中亞細亞。自從公元七世紀初伊斯蘭教創(chuàng)立后，很快形成了強大的勢力，迅速擴展到阿拉伯半島以外的廣大地區(qū)，跨越歐、亞、非三大洲。在這一廣大地區(qū)內，阿拉伯文是通用的官方文字，這里所敘述的阿拉伯數學，就是指用阿拉伯語研究的數學。從八世紀起，大約有一個到一個半世紀是阿拉伯數學的翻譯時期，巴格達成為學術中心，建有科學宮、觀象臺、圖書館和一個學院。來自各地的學者把希臘、印度和波斯的古典著作大量地譯為阿拉伯文。在翻譯過程中，許多文獻被重新校訂、考證和增補，大量的古代數學遺產獲得了新生。阿拉伯文明和文化在接受外來文化的基礎上，迅速發(fā)展起來，直到15世紀還充滿活力。

三角學在阿拉伯數學中占有重要地位，它的產生與發(fā)展和天文學有密切關系。阿拉伯人在印度人和希臘人工作的基礎上發(fā)展了三角學。他們引進了幾種新的三角量，揭示了它們的性質和關系，建立了一些重要的三角恒等式。給出了球面三角形和平面三角形的全部解法，制造了許多較精密的三角函數表。其中著名的數學家有：阿爾?巴塔尼﹝Al-Battani﹞、阿卜爾?維法﹝Abu'l-Wefa﹞、阿爾?比魯尼﹝Al-Beruni﹞等。系統而完整地論述三角學的著作是由十三世紀的學者納西爾丁﹝Nasired-din﹞完成的，該著作使三角學脫離天文學而成為數學的獨立分支，對三角學在歐洲的發(fā)展有很大的影響。第五講：數學的復興1．中世紀的歐洲數學羅馬人活躍于歷史舞臺上的時期大約從公元前七世紀至公元五世紀。他們在軍事上和政治上曾取得極大成功，在文化方面也頗有建樹，但他們的數學卻很落后，只有一些粗淺的算術和近似的幾何公式。著名的科學書籍有維特魯維尼斯的《建筑十書》﹝公元前14年﹞。書中比較注重處理數學問題，使用了建筑物的平面體和立視圖，可以看到畫法幾何的萌芽。此外，羅馬人對歷法改革也有一定的貢獻。中世紀原指古代文化衰落（五世紀）到意大利文藝復興（十五世紀）之間漫長的一千年。從科學史角度來看，在這段時期內，人類從希臘科學文明和羅馬統治的高峰跌落，再沿著現代知識的斜坡掙扎向上。這一時期只出現少數幾位熱心學術的學者和教士：殉道的羅馬公民博埃齊﹝Boethius﹞，英國的教士學者比德﹝Bede﹞和阿爾克溫﹝Alcuin﹞，著名的法國學者、教士熱爾拜爾﹝Gerbert﹞──他后來成了教皇西爾維斯特二世﹝PopeSylvesterII﹞。在這樣一種價值取向下，數學的最基本的思想、方法和觀念等成分漸漸被吸納進基督教體系中去，并成為構建基督教體系所必須的條件之一。這一點特別明顯地體現在九世紀著名的經院哲學家和神學家薩阿迪亞·果昂(SaadiaGaon，892-942)的著作中。在他的系統的神學理論中已經曾現出十九世紀和二十世紀數學所特有的某些方法和思維過程。如薩阿迪亞在他的著作中曾把上帝的存在作為假定，而上帝的唯一性被證明出來，并且以后所賦予上帝的一些性質通過抽象推理和《圣經》的象征手法有趣地結合而推導出來。在這里希臘人的方法與希伯來傳統結合起來。這也引出了近現代數學中的“唯一性問題”。這種思想經過幾個世紀的醞釀，最終在十六、十七世紀達到其頂峰，讓我門看一看法國數學家、哲學家笛卡兒帶有強烈的唯意志論特征的一段話：“數學真理，如同其他一切受造之物一樣，也都是由上帝所確立，并依賴于上帝。……上帝能夠做我們所理解的一切事情，我們不可以說上帝無法做我們所不理解的事情。因為，認為我們的想象力可以窮盡上帝力量的那種想法是？越而狂妄的?！彼?，對于此時的歐洲學者來說，上帝就是一位至高無上的數學家，人類不可能指望像上帝那樣清楚地明白上帝的意圖，但人至少可以通過謙恭的態(tài)度和理性的思考來接近上帝的思想，就可以明白神創(chuàng)造的世界。近代數學的產生和進展就直接得益于這種宗教觀念的提升和促進，由此為近代數學發(fā)展超越古希臘階段提供了一個必要的形而上學基礎。十二世紀是數學史上的大翻譯時期，是知識傳播的世紀，由穆斯林保存下來的希臘科學和數學的經典著作，以及阿拉伯學者寫的著作開始被大量翻譯為拉丁文，并傳入西歐。當時主要的傳播地點是西班牙和西西里，著名的翻譯家有巴思的英國修士阿德拉特﹝Adelard﹞、克雷莫納的格拉多﹝Gherardo﹞、切斯特的羅伯特﹝Robert﹞等等。

十四世紀相對地是數學上的不毛之地，這一時期最大的數學家是法國的N?奧雷斯姆﹝Oresme﹞，在他的著作中，首次使用分數指數，還提出用坐標表示點的位置和溫度的變化，出現了變量和函數的概念。他的工作影響到文藝復興后包括笛卡爾在內的學者。2．經驗主義數學觀的形成及其對于近代數學實踐的影響在古希臘哲學家畢達哥拉斯和柏拉圖那里，數學是一門獨立的、專門的學科，它被賦予了完美與和諧的性質。他們把數學孤立起來看待，認為數學是人們通往理念世界的階梯，而當完美的數學與不完美的可感知世界產生矛盾時，現實是被校正的對象。柏拉圖尤其認為在現象世界中物質阻礙了對數學理念的精確反映。柏拉圖甚至憎惡“幾何學”這個名詞，他認為在幾何學這門學科中存在著太多的使人聯想起受做工作的名詞，“這門學科所用的語言散發(fā)著奴隸的氣息”，數學研究是一種崇高而且有哲理性的職業(yè)，但與應用有關的則是卑劣粗俗的[8]。在文藝復興時期，畢達哥拉斯和柏拉圖所強調的自然是依照數學設計的信念廣泛地為歐洲的知識分子所接受。近代數學在這種完全嶄新的文化氛圍中邁開了步伐。由于技工與學者相互合作、邏輯思辨與實驗科學攜手大大刺激了數學中新的觀點、新的理論和方法的產生，這時，數學一方面從實驗的自然科學中吸取了的靈感，激發(fā)了眾多新學科的創(chuàng)造，如對數、三角