復(fù)數(shù)有關(guān)概念(上課)

第五章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入5.1.2復(fù)數(shù)的有關(guān)概念知識(shí)回顧:1.復(fù)數(shù)的概念:形如a+bi(a,b∈R)的數(shù)叫做復(fù)數(shù).2.虛數(shù)單位:i3.全體復(fù)數(shù)組成的的集合叫:復(fù)數(shù)集,用C表示.4.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式:Z=a+bi5.復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部分別是:a,b6.a+bi是實(shí)數(shù)b=07.a+bi是虛數(shù)b≠08.a+bi為純虛數(shù)a=0且b≠0復(fù)數(shù)z=a+bi(a、bR)實(shí)數(shù)(b=0)有理數(shù)無(wú)理數(shù)正有理數(shù)負(fù)有理數(shù)零虛數(shù)(b0)10.數(shù)的分類(lèi):復(fù)數(shù)集實(shí)集數(shù)虛數(shù)集純虛數(shù)集正無(wú)理數(shù)負(fù)無(wú)理數(shù)

如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說(shuō)這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等．特別地，例1已知，其中求解：根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，得方程組解得在幾何上，我們用什么來(lái)表示實(shí)數(shù)?想一想？實(shí)數(shù)的幾何意義類(lèi)比實(shí)數(shù)的表示，可以用什么來(lái)表示復(fù)數(shù)？實(shí)數(shù)可以用數(shù)軸上的點(diǎn)來(lái)表示。實(shí)數(shù)

數(shù)軸上的點(diǎn)

(形)(數(shù))一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)z=a+bi有序?qū)崝?shù)對(duì)(a,b)直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)A(a,b)xyobaA(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸（數(shù)）（形）------復(fù)數(shù)平面

(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)一一對(duì)應(yīng)z=a+bi復(fù)數(shù)的幾何意義（一）xyobaZ(a,b)建立了平面直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面x軸------實(shí)軸y軸------虛軸------復(fù)數(shù)平面

(簡(jiǎn)稱復(fù)平面)z=a+bi復(fù)數(shù)的幾何意義（一）注:原點(diǎn)既屬于實(shí)軸。又屬于虛軸。

所以，實(shí)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù),虛軸上的點(diǎn)(除原點(diǎn))都表示純虛數(shù)。(A)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于實(shí)數(shù)的點(diǎn)都在實(shí)軸上；(B)在復(fù)平面內(nèi)，對(duì)應(yīng)于純虛數(shù)的點(diǎn)都在虛軸上；(C)在復(fù)平面內(nèi)，實(shí)軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是實(shí)數(shù)；(D)在復(fù)平面內(nèi)，虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù)。例2.(1)下列命題中的假命題是（）D例3:已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。一種重要的數(shù)學(xué)思想：數(shù)形結(jié)合思想練習(xí)1：已知復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在直線x-2y+4=0上，求實(shí)數(shù)m的值。解：∵復(fù)數(shù)z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是（m2+m-6，m2+m-2），∴(m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0，∴m=1或m=-2。復(fù)數(shù)z=a+bi直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)Z(a,b)一一對(duì)應(yīng)平面向量一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)復(fù)數(shù)的幾何意義（二）xyobaZ(a,b)z=a+bi注意:相等的向量表示同一個(gè)復(fù)數(shù).思考：兩個(gè)復(fù)數(shù)可以比較大小嗎？xOz=a+biy復(fù)數(shù)的絕對(duì)值(復(fù)數(shù)的模)的幾何意義:Z

(a,b)對(duì)應(yīng)平面向量

的模||，即復(fù)數(shù)

z=a+bi在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z(a,b)到原點(diǎn)的距離。|z

|=復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

6．復(fù)數(shù)的模

復(fù)平面上復(fù)數(shù)表示的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離。

實(shí)數(shù)的絕對(duì)值是數(shù)軸上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，所以復(fù)數(shù)的模是實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念的擴(kuò)充；

兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模|z1-z2|可以理解為平面上兩點(diǎn)間的距離。復(fù)數(shù)的模有：|z|=|a+bi|=≥0;|z|2=|z2|=||2=z·=a2+b2Z=a+biyxO

例4:求下列復(fù)數(shù)的模：(1)z1=-5i(2)z2=-3+4i(3)z3=5-5i(4)z4=1+mi(m∈R)(5)z5=4a-3ai(a<0)(5)(5)(－5a)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念7．共軛復(fù)數(shù)：實(shí)部相等，虛部為相反數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)叫互為共軛復(fù)數(shù)，z=a+bi,則=a-bi8．復(fù)數(shù)的大小問(wèn)題

在復(fù)數(shù)集中是不規(guī)定大小關(guān)系的。

兩個(gè)復(fù)數(shù)如果不全為實(shí)數(shù)，是不能比較它們的大小的。實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它的本身。兩個(gè)互為共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱。例6：下列四個(gè)命題中正確的命題是（A）2i-1的共軛復(fù)數(shù)是2i+1；（B）若兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是純虛數(shù)，則它們一定為共軛復(fù)數(shù)；（C）若兩個(gè)復(fù)數(shù)的和是實(shí)數(shù)，則它們?yōu)楣曹棌?fù)數(shù)；（D）若兩個(gè)復(fù)數(shù)的和與積都是實(shí)數(shù)，則它們?yōu)楣曹棌?fù)數(shù)；例2：計(jì)算：1+i+i2+i3+…+i55．

分析一：把上式看成一個(gè)以i為公比的等比數(shù)列,前56項(xiàng)的和，由等比數(shù)列的求和公式，

原式=

分析二：因?yàn)閕+i2+i3+i4=i-1-i+1=0，即i的連續(xù)四個(gè)冪的和等于0,從1到i55，共有56項(xiàng)，所以,原式=0．

例3：計(jì)算：i·i2·i3·…·i99

解法一：原式=i1+2+3+…+99=i99·50=(i50)99=(i2)99=-1解法二：因?yàn)閕·i2·i3·i4=i·(-1)·(-i)·1=-1原式=i·i2·i3·…·i99=i·i2·i3·(-1)16=-1．例4.z=-(m2-4)i,(m∈R)(1)若z∈R，求m的取值范圍；(2)若z是純虛數(shù)，求m的取值范圍；(3)若z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限求m的取值范圍；(4)若z=-2，求m的取值范圍．解：（1）由m2-4=0,得;m=±2；得:m=-；m∈(-∞,-2)∪(2,4)m=-2（3）（4）（2）例7：已知關(guān)于x、y的方程組有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的a、b值。解：∵x、y是實(shí)數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，得方程：代入另一式：（5+4a）-(6+b)i=9-8i;∵a、b是實(shí)數(shù)，∴例8：已知虛數(shù)z，使得和都為實(shí)數(shù)，求z.解：設(shè)z=x+yi(x,y∈R，且y≠0)，則z2=x2-y2+2xyi∴∵z1∈R，∴Im(z1)=0，又y≠0，x2+y2=1，∴同理，由z2∈R,Im(z2)=0.∴x2+2x+y2=0解得:x=-,y=；∴z=例9:設(shè)x∈C，解方程x2+|x|=0．分析:x∈R，因?yàn)閤2≥0，|x|≥0，所以x=0．

x∈C，顯然這一解法就不完善．因此在解題時(shí)，要充分考慮復(fù)數(shù)的特點(diǎn)．x2+|x|=0,x2=-|x|≤0，所以x是純虛數(shù)，又|x2|=|x|，∴|x|=0或|x|=1，因此x=0，±i．例10：求同時(shí)滿足兩個(gè)條件的所有復(fù)數(shù)z.(1)1<z+≤6；（2）z的實(shí)數(shù)和虛數(shù)都是整數(shù)。分析：由1<z+≤6知：z+∈R，否則是不能與實(shí)數(shù)比較大小，所以，可以復(fù)數(shù)問(wèn)題實(shí)數(shù)化來(lái)解決。解：設(shè)z=x+yi(x,y∈R)則：z+=x+yi+=(x+)+(y-)i，∵1<z+≤6，∴得：y=0或x2+y2=10若y=0，代入，得：1<x+≤6,而x+≥>6矛盾，∴y≠0;若x2+y2=10，代入，得：0.5<x≤3，又x、y