統(tǒng)計(jì)學(xué)第六章 抽樣估計(jì)

第六章 抽樣估計(jì)一、參數(shù)與統(tǒng)計(jì)量參數(shù)是指描述總體分布狀況的數(shù)。統(tǒng)計(jì)量是指由樣本構(gòu)造出來的數(shù)。抽樣估計(jì)，就是由統(tǒng)計(jì)量推斷總體的過程。例如，一個(gè)班的學(xué)生的平均年齡為21歲，平均年齡即為班級(jí)總體的一個(gè)參數(shù)；在班級(jí)中抽出20名學(xué)生，了解其年齡，并根據(jù)20名學(xué)生的年齡計(jì)算平均數(shù)為21.5歲，則21.5即為由樣本構(gòu)造出來的統(tǒng)計(jì)量。二、有放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（Simple Random Sampling）1、樣本平均數(shù)的分布2、分布特征3、抽樣推斷4、利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差推斷總體標(biāo)準(zhǔn)差5、無放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差1、樣本平均數(shù)的分布從一個(gè)總體中抽出一部分單位，構(gòu)成一個(gè)樣本，可計(jì)算出一個(gè)樣本平均數(shù)。以撲克牌的例子進(jìn)行說明。在一副牌中抽五張牌所計(jì)算出的平均數(shù)應(yīng)該是在1和13之間，但是實(shí)際上抽到牌的平均數(shù)為1和13的情況會(huì)非常少。假如用一個(gè)分布去描述抽出牌的平均數(shù)，可以得出如黑板上圖所示的鐘型分布圖。抽樣推斷的核心就是要通過研究樣本平均數(shù)的性質(zhì)來判斷一次抽樣將會(huì)給我們帶來什么樣的結(jié)果。一般認(rèn)為，從一副牌中抽5張牌的總體平均數(shù)是7，從實(shí)驗(yàn)結(jié)果看其樣本平均數(shù)是在5到9之間，假定這是一個(gè)真實(shí)情況?？梢詫⑵浔硎緸椋涸谧隹傮w推斷時(shí)，可以觀察到這樣一個(gè)現(xiàn)象：每次抽出來的樣本平均數(shù)都是不相同的，但樣本平均數(shù)呈現(xiàn)出一個(gè)鐘型分布，樣本平均數(shù)在總體平均數(shù)的兩端分布。二、有放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣（Simple Random Sampling）1、樣本平均數(shù)的分布2、分布特征3、抽樣推斷4、利用樣本標(biāo)準(zhǔn)差推斷總體標(biāo)準(zhǔn)差5、無放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差1、樣本平均數(shù)的分布從一個(gè)總體中抽出一部分單位，構(gòu)成一個(gè)樣本，可計(jì)算出一個(gè)樣本平均數(shù)。無數(shù)次抽選的結(jié)果，將會(huì)產(chǎn)生無數(shù)個(gè)樣本平均數(shù)，這些樣本平均數(shù)具有自己的分布形式。根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)樣本量超過30時(shí)，樣本平均數(shù)的分布為正態(tài)分布。2、分布特征在有放回條件下，簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的誤差計(jì)算公式如下：第二個(gè)參數(shù)：如果從一副撲克牌中抽出30張牌的平均數(shù)，運(yùn)用上述公式，可以精確的得出：n=30案例：某總體標(biāo)準(zhǔn)差為10，平均值為40，從中抽出一個(gè)n=36的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，試在95％的置信度水平下，估計(jì)樣本平均數(shù)的分布區(qū)間。樣本平均數(shù)的分布特征：查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表，可以獲得下列概率度與概率值的對(duì)應(yīng)關(guān)系：運(yùn)用上表結(jié)果可得：從此例子可以逆推：某總體標(biāo)準(zhǔn)差為10，其一個(gè)36個(gè)單位組成的樣本的平均數(shù)為39，試在95％的置信度水平下，估計(jì)總體平均數(shù)的置信區(qū)間。從上面的例子中可得出如下結(jié)論：在不同的置信度下，其對(duì)應(yīng)的置信區(qū)間也是不同的，置信度與置信區(qū)間是一個(gè)反比的關(guān)系。重要的置信度與概率度之間的關(guān)系：如果置信度改為99%，則：當(dāng)P=99%，t=2.58時(shí)，本題的解題思路：要估計(jì)本題解的具體過程：5、無放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差樣本平均數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)差的推導(dǎo)過程：因此可知，在無放回抽樣調(diào)查中：無放回條件下的簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣誤差公式：如果例如，假定N=100萬，n=1000，f=0.001，1-f=0.999，對(duì)于現(xiàn)實(shí)的調(diào)查活動(dòng)，萬分之五的誤差很難被判斷出來，可以忽略不計(jì)。因此，在大規(guī)模的抽樣調(diào)查中，抽樣比可以忽略掉。三、影響抽樣誤差的因素根據(jù)抽樣誤差的計(jì)算公式，可以看出，影響抽樣誤差的主要因素主要有下列四個(gè)方面：1、目標(biāo)總體的變異程度2、樣本容量3、抽樣方式4、抽樣的組織形式2、樣本容量對(duì)于一個(gè)確定的總體，減小抽樣誤差的主要手段就是增加樣本量。從公式中可以知道，抽樣誤差與樣本量的平方根成正比，欲使抽樣誤差縮小一半，必須使樣本量增加到原來的四倍。三、影響抽樣誤差的因素1、目標(biāo)總體的變異程度2、樣本容量3、抽樣方式4、抽樣的組織形式這就說明了為什么在大城市進(jìn)行調(diào)查和在小城市進(jìn)行調(diào)查，要獲得同樣的精度時(shí)，所需的樣本量相差無幾。4、抽樣的組織形式抽樣的組織形式是純隨機(jī)抽樣、分層抽樣、整群抽樣或者多階段抽樣等方式，各種方式都有對(duì)應(yīng)的誤差計(jì)算公式，不同情況下的抽樣誤差相差也比較大。四、樣本量的估計(jì)1、簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣條件下樣本量的計(jì)算公式2、總體標(biāo)準(zhǔn)差的估算方法案例：已知某總體的標(biāo)準(zhǔn)差為100，欲在95％的置信度水平下使抽樣估計(jì)的誤差范圍小于5，試求樣本量。本題解法：2、總體標(biāo)準(zhǔn)差的估算方法（1）根據(jù)以往的經(jīng)驗(yàn)數(shù)值對(duì)于一些連續(xù)進(jìn)行的調(diào)查來說，使用過去的經(jīng)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行估算是有可能的。（2）通過試訪問進(jìn)行估計(jì)通過試訪問的方法，先獲得少數(shù)一部分樣本的誤差數(shù)據(jù)，然后根據(jù)這些數(shù)據(jù)去計(jì)算最終所需要的樣本量，然后再將所需要的樣本量完成。（3）序貫抽樣方法所謂序貫抽樣，是指依次抽取樣本，每抽取一次，進(jìn)行一次誤差計(jì)算，直至達(dá)到所需要的精度。一般做序貫抽樣時(shí)，會(huì)有一張圖，如黑板上圖所示。序貫抽樣的方式操作比較簡(jiǎn)單，但不適用于經(jīng)濟(jì)調(diào)查，一般運(yùn)用于質(zhì)量檢驗(yàn)中。（4）成數(shù)估計(jì)時(shí)，使用最大值判斷絕對(duì)誤差與相對(duì)誤差有時(shí)候絕對(duì)誤差很小，但相對(duì)誤差會(huì)很大。對(duì)于絕對(duì)誤差：當(dāng)成數(shù)是P時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)差為在成數(shù)估計(jì)的條件下，方差的最大值為0.25，因此可以使用最大的方差作為推斷最大樣本量的基礎(chǔ)。案例：假定欲估計(jì)喜歡某產(chǎn)品的居民比例在95%置信度水平下，要求絕對(duì)誤差小于5%，求樣本量。本題解法：但是，如果是相對(duì)誤差，已知P五、其他抽樣組織形式1、分層抽樣（Stratified Sampling）2、整群抽樣（Cluster Sampling）3、多階段抽樣（Multi-stage Sa