高二數(shù)學必修五1.2.2

第2課時

解三角形的實際應用舉例——高度、角度問題1.仰角和俯角如圖所示.2.方向角和方位角(1)方向角:指北或指南方向線與目標方向線所成的_________的水平角,叫方向角.目標方向線方向一般可用“×偏×”多少度來表示,這里第一個“×”是“北”或“南”,第二個“×”是“東”或“西”.小于90°如圖所示,OA,OB,OC,OD的方向角分別表示北偏東60°、北偏西30°、___________、南偏東20°.南偏西45°(2)方位角:從_____的方向線按_______到目標方向線所轉過的水平角.正北順時針3.視角從眼睛的中心向物體兩端所引的兩條直線的夾角.如圖所示,視角60°指的是觀察該物體上下兩端點時,視線的張角.1.“判一判”(正確的打“√”,錯誤的打“×”)(1)“視角”就是“仰角”.()(2)仰角與俯角都是與鉛垂線所成的角.()(3)方位角的范圍是(0,π).()【解析】(1)錯誤.視角和仰角定義不同,不是一個概念.(2)錯誤.仰角與俯角都是與水平線所成的角.(3)錯誤.方位角的概念明確表明,“從正北方向順時針轉到目標方向線所成的角”,顯然方位角的范圍應該為(0,2π).答案:(1)×(2)×(3)×2.“做一做”(請把正確的答案寫在橫線上)(1)沿坡角為45°的斜坡直線向上行走80m,實際升高了

m.(2)身高為1.70米的李明站在離旗桿20米的地方,目測該旗桿的高度,若李明此時的仰視角為30°,則該旗桿的高度約為

米.(精確到0.1米)(3)如圖所示,OA,OB的方向角各是

.【解析】(1)h=80×sin45°=40(m).答案:40(2)h=+1.70≈13.2(米).答案:13.2(3)根據(jù)方向角的概念可知,OA的方向角為北偏東60°,OB的方向角為北偏西30°.答案:北偏東60°,北偏西30°底部可到達底部不可到達解直角三角形解直角三角形解一般三角形【要點探究】知識點高度和角度的測量問題測量高度問題時常見的三種數(shù)學模型及其特征(1)三種模型：(2)特征:①底部可到達,此類問題可直接構造直角三角形.②底部不可到達,但仍在同一與地面垂直的平面內(nèi),此類問題中兩次觀測點和所測垂線段的垂足在同一條直線上,觀測者一直向“目標物”前進.③底部不可到達,且涉及與地面垂直的平面.此類問題中觀測者兩次觀測點所在直線不經(jīng)過“目標物”.【微思考】為了測量某建筑物的高度所構造的三角形,其所在平面與地面之間有什么關系?提示:為了測量某建筑物的高度所構造的三角形,其所在平面與地面垂直.【即時練】從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°,看正南方向有一只船俯角為45°,則此時兩船間的距離為()A.2h米B.h米C.h米D.2h米【解析】選A.如圖所示,BC=h,AC=h,所以AB==2h(米).【題型示范】類型一高度問題【典例1】(1)一個大型噴水池的中央有一個強力噴水柱,為了測量噴水柱噴出的水柱的高度,某人在噴水柱正西方向的點A測得水柱頂端的仰角為45°,沿點A向北偏東30°前進100m到達點B,在B點測得水柱頂端的仰角為30°,則水柱的高度是()A.50mB.100m

C.120m

D.150m(2)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位:m).如圖,豎直放置的標桿BC的高度h=4m,仰角∠ABE=α,∠ADE=β.該小組已測得一組α,β的值,算出了tanα=1.24,tanβ=1.20,請據(jù)此算出H的值.【解題探究】1.題(1)畫示意圖要注意的問題是什么?2.題(2)中怎樣建立tanα,tanβ和H間的關系?【探究提示】1.要注意兩次觀測點A和B以及水柱底端C在水平面上并不在同一條直線上,因此要畫一個立體圖形.2.題(2)中通過AB+BD=AD來建立tanα,tanβ和H間的關系.【自主解答】(1)選A.如圖,設水柱高度是hm,水柱底端為C,則在△ABC中,∠BAC=60°,AC=h,AB=100,BC=h,根據(jù)余弦定理得,(h)2=h2+1002-2·h·100·cos60°,即h2+50h-5000=0,解得h=50,故水柱的高度是50m.(2)由

及AB+BD=AD,得解得H==124.因此,算出的電視塔的高度H是124m.【方法技巧】測量高度問題的要求及注意事項(1)要求:依題意畫圖是解決三角形應用題的關鍵.問題中如果既有方向角(它是在水平面上所成的角),又有仰(俯)角(它是在鉛垂面上所成的角),在繪制圖形時,可畫立體圖形和平面圖形兩個圖,以對比分析求解.(2)注意事項:方向角是相對于在某地而言的,因此在確定方向角時,必須先弄清楚是哪一點的方向角.從這個意義上來說,方向角是一個動態(tài)角,在理解題意時,應把它看活,否則在理解題意時將可能產(chǎn)生偏差.【變式訓練】在某一山頂觀測山下兩村莊A,B,測得A的俯角為30°,B的俯角為40°,觀測A,B兩村莊的視角為50°,已知A,B在同一水平面上且相距1000m,求山的高度.(參考數(shù)據(jù)sin40°≈0.643,精確到1m)【解題指南】根據(jù)題意畫出圖形,通過圖形分析建立關系求解.【解析】設山頂為C,山高CD=x,由題意∠CAD=30°,∠CBD=40°,∠ACB=50°.在Rt△ADC中,AC==2x,在Rt△BDC中,BC=在△ABC中,由余弦定理知AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB.所以10002=4x2+cos50°,所以x=1000·sin40°≈643(m).即山高約為643m.【補償訓練】從200m高的山頂看,測得山下一塔頂與塔底的俯角分別為30°,60°,則塔高為()【解析】選A.由山頂與塔底的俯角為60°可知,山腳與塔底的水平距離為又山頂看塔頂?shù)母┙菫?0°.設塔高為xm,則200-x=所以x=故選A.類型二角度問題【典例2】(1)一艘客船上午9:30在A處,測得燈塔S在它的北偏東30°,之后它以每小時32海里的速度繼續(xù)沿正北方向勻速航行,上午10:00到達B處,此時測得船與燈塔S相距8海里,則燈塔S在B處的()A.北偏東75°B.南偏東15°C.北偏東75°或南偏東15°D.以上方位都不對(2)如圖,甲船在A處,乙船在A處的南偏東45°方向,距A有9海里的B處,并以20海里每小時的速度沿南偏西15°方向行駛,若甲船沿南偏東θ度的方向,并以28海里每小時的速度行駛,恰能在C處追上乙船.問用多少小時追上乙船,并求sinθ的值.(結果保留根號,無需求近似值)【解題探究】1.分析題(1)中角的關系的關鍵是什么?2.題(2)中如何求得∠ABC?【探究提示】1.確定題(1)中角的關系的關鍵是畫出圖形,并結合方向角的有關概念求解.2.∠ABC=180°-15°-45°=120°.【自主解答】(1)選C.根據(jù)題意畫出示意圖,如圖,由題意可知AB=32×=16,BS=8,∠A=30°.在△ABS中,由正弦定理,得所以S=45°或135°,所以B=105°或15°,即燈塔S在B處的北偏東75°或南偏東15°.(2)設用t小時,甲船追上乙船,且在C處相遇,那么在△ABC中,AC=28t,BC=20t,AB=9,∠ABC=180°-15°-45°=120°,由余弦定理得:(28t)2=81+(20t)2-2×9×20t×(-),128t2-60t-27=0,解得t=或t=-(舍去),所以AC=21(海里),BC=15(海里),根據(jù)正弦定理,得sin∠BAC=cos∠BAC=又∠ABC=120°,∠BAC為銳角,所以θ=45°-∠BAC,sinθ=sin(45°-∠BAC)=sin45°cos∠BAC-cos45°sin∠BAC=【延伸探究】題(2)中若乙船向正南方向行駛,速度未知,而甲船沿南偏東15°的方向行駛恰能與乙船相遇,其他條件不變,試求乙船的速度.【解析】設乙船的速度為x海里每小時,用t小時甲船追上乙船,且在C處相遇(如圖所示),則在△ABC中,AC=28t,BC=xt,∠CAB=30°,∠ABC=135°.由正弦定理得即所以x=(海里每小時).答:乙船的速度為14海里每小時.【方法技巧】測量角度問題的基本思路測量角度問題的關鍵是在弄清題意的基礎上,畫出表示實際問題的圖形,并在圖形中標出有關的角和距離,再用正弦定理或余弦定理解三角形,最后將解得的結果轉化為實際問題的解.【變式訓練】某海上養(yǎng)殖基地A,接到氣象部門預報,位于基地南偏東60°相距20(+1)海里的海面上有一臺風中心,影響半徑為20海里,正以每小時10

海里的速度沿某一方向勻速直線前進,預計臺風中心將從基地東北方向刮過且(

+1)小時后開始持續(xù)影響基地2小時.求臺風移動的方向.【解析】如圖所示,設預報時臺風中心為B,開始影響基地時臺風中心為C,基地剛好不受影響時臺風中心為D,則B,C,D在一直線上,且AD=20,AC=20.由題意AB=20(+1),DC=20,BC=(+1)·10.在△ADC中,因為DC2=AD2+AC2,所以∠DAC=90°,∠ADC=45°.在△ABC中,由余弦定理得cos∠BAC=所以∠BAC=30°,又因為B位于A南偏東60°,60°+30°+90°=180°,所以點D位于A的正北方向,又因為∠ADC=45°,所以臺風移動的方向為北偏西45°.【補償訓練】甲船在A處觀察到乙船在它的北偏東60°方向的B處,兩船相距anmile,乙船向正北方向行駛.若甲船的速度是乙船速度的倍,問甲船應沿什么方向前進才能最快追上乙船?相遇時乙船行駛多少nmile?【解析】如圖所示,設兩船在C處相遇,并設∠CAB=θ,乙船行駛距離BC為xnmile,則AC=x,由正弦定理得sinθ=而θ<60°,所以θ=30°,即∠BAC=30°,所以∠ACB=30°,所以AB=BC=anmile,答:甲船應沿北偏東30°方向前進才能最快追上乙船,兩船相遇時乙船行駛了anmile.【易錯誤區(qū)】利用正、余弦定理解決高度問題時弄錯對應關系致誤【典例】(2014·新課標全國卷Ⅰ)如圖,為測量山高MN,選擇A和另一座山的山頂C為測量觀測點.從A點測得M點的仰角∠MAN=60°,C點的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;從C點測得∠MCA=60°.已知山高BC=100m,則山高MN=

m.【解析】在直角三角形ABC中,由條件可得AC=100,在△MAC中,由正弦定理可得故AM=AC=100,在直角△MAN中,MN=AM·sin60°=150(m).答案:150【常見誤區(qū)】【防范措施】1.認真審題在解決實際問題時,首先要弄清題目的含義和已知條件,如本例中的角度關系和邊長,在圖中要正確標出相對應的位置關系.2.正確地運用定理首先要把正弦定理和余弦定理的實質和定理的內(nèi)容表達形式記準,其次要根據(jù)條件正確地