直線與直線之間的位置關系

2.1.2空間中直線與直線之間的位置關系高一數(shù)學備課組2016年5月12日ABCD六角螺母定義1:不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.注：概念應理解為:“經過這兩條直線無法作出一個平面”

.或:“不可能找到一個平面同時經過這兩條直線”．

定義2:不相交也不平行兩條直線叫做異面直線.注意:分別在某兩個平面內的兩條直線不一定是異面直線,它們可能是相交,也可能是平行.一、異面直線:異面直線的畫法:Abababa用平面襯托A1B1C1D1CBDA練習1：如圖：正方體的棱所在的直線中，與直線A1B異面的有哪些？

答案：D1C1、C1C、CD、D1D、AD、B1C1（１）、一條直線與兩條異面直線中的一條相交，那么它與另一條之間的位置關系是（）Ａ、平行Ｂ、相交Ｃ、異面Ｄ、可能平行、可能相交、可能異面（２）、兩條異面直線指的是（）Ａ、沒有公共點的兩條直線Ｂ、分別位于兩個不同平面的兩條直線Ｃ、某一平面內的一條直線和這個平面外的一條直線Ｄ、不同在任何一個平面內的兩條直線練習2：DD3、下列命題中，其中正確的是（

）（１）若兩條直線沒有公共點，則這兩條直線互相平行（２）若兩條直線都和第三條直線相交，那么這兩條直線互相平行（３）若兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線互相平行（４）若兩條直線都和第三條直線異面，那么這兩條直線互相平行3二、空間兩直線的位置關系：共面和異面①有且只有一個公共點——兩直線相交②沒有公共點兩直線平行兩直線為異面直線問題：在同一平面內，平行于同一條直線的兩直線平行，在空間中此結論仍成立嗎？若a∥b，b∥c,則a∥ccabα

公理4:平行于同一條直線的兩條直線互相平行.(空間平行直線的傳遞性)例1：已知ABCD是四個頂點不在同一個平面內的空間四邊形，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點，連結EF，F(xiàn)G，GH，HE，求證：四邊形EFGH是平行四邊形.解題思想：∵EH是△ABD的中位線

∴EH∥BD且EH=BD同理，F(xiàn)G∥BD且FG=BD∴EH∥FG且EH=FG∴四邊形EFGH是平行四邊形證明：連結BD把所要解的立體幾何問題轉化為平面幾何的問題——解立體幾何時最主要、最常用的一種方法.ABDEFGHC問題：在空間中，如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等嗎？αβ等角定理:

空間中如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補.推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等.O異面直線所成角的定義:

如圖,已知兩條異面直線a,b,經過空間任一點O作直線a′∥a,b′∥b則把a′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線所成的角(或夾角).abb′a′思想方法:平移轉化成相交直線所成的角,即化空間圖形問題為平面圖形問題思考:

這個角的大小與O點的位置有關嗎?即O點位置不同時,這一角的大小是否改變?異面直線所成的角的范圍(0,90]oo如果兩條異面直線a,b所成的角為直角，我們就稱這兩條直線互相垂直,記為a⊥b注a

″三、異面直線所成角：45o例2:(1)求直線BA1和CC1所成角的度數(shù).

找兩條異面直線所成的角，要作平行移動(平行線)，把兩條異面直線所成的角，轉化為兩條相交直線所成的角.例2:(2)哪些棱所在直線與直線AA1垂直和異面？

如圖,已知長方體ABCD-EFGH中,AB=,AD=,AE=2(1)求BC和EG所成的角是多少度?(2)求AE和BG所成的角是多少度?解答：(1)∵GF∥BC∴∠EGF（或其補角）為所求.Rt△EFG中，求得∠EGF=45o(2)∵BF∥AE∴∠FBG（或其補角）為所求,Rt△BFG中，求得∠FBG=60oABGFHEDC2一作(找)、二證、三求(1)通過直線平移，作出異面直線所成的角，把空間問題轉化為平面問題.(2)利用平面幾何知識，求出異面直線所成角的大小.異面直線所成角的求法：在正方體ABCD-A’B’C’D’中，棱長為a，E、F分別是棱A’B’，B’C’的中點，求：①異面直線AD與EF所成角的大??；②異面直線B’C與EF所成角的大小；③異面直線B’D與EF所成角的大小.平移法OGAC∥A’C’∥EF,OG∥B’DB’D與EF所成的角即為AC與OG所成的角,即為∠AOG或其補角.不同在任何一個平面內的兩條直線叫做異面直線.異面直線的定義:相交直線

平行直線異面直線空間兩直線的位置關系小結公理４：在空間平行于同一條直線的兩條直線互相平行．異面直線的求法:一作(找)二證三求空間中，如果兩個角的兩邊分別對應平行，那么這兩個角相等或互補．等角定理：異面直線的畫法用平面來襯托異面直線所成的角平移，轉化為相交直線所成的角作業(yè)：1、完成教材相關練習2、活頁作業(yè)P93--94AcBDHEFG1.已知四邊形ＡＢＣＤ是空間四邊形，Ｅ、Ｈ分別是邊ＡＢ、ＡＤ的中點，Ｆ、Ｇ分別是邊ＣＢ、ＣＤ上的點，且＝＝.求證：四邊形ＥＦＧＨ有一組對邊平行但不相等ＣＦＣＢＣＧＣＤ２３ＡＢＣＤＥＰＭＮ2.如圖，Ｐ是△ＡＢＣ所在平面外一點，Ｄ、Ｅ分別是△ＰＡＢ和△ＰＢＣ的重心.求證：ＤＥ∥ＡＣ，ＤＥ＝ＡＣ１３ABGFHEDC4.如圖，正方體ABCD-EFGH中,O為側面ADHE的中心，求(1)BE與CG所成的角？

(2)FO與BD所成的角？解:

(1)如圖:∵BF∥CG，∴∠EBF(或其補角)為異面直線BE與CG所成的角，

又

BEF中∠EBF=45，所以BE與CG所成的角是45ooO連接HA、AF，依題意知O為AH中點,∴∠HFO=30o