第二章牛頓插值法

數(shù)值分析第二章插值法均差與牛頓插值公式Lagrange插值多項式的缺點我們知道,Lagrange插值多項式的插值基函數(shù)為理論分析中很方便，但是當插值節(jié)點增減時全部插值基函數(shù)就要隨之變化，整個公式也將發(fā)生變化，這在實際計算中是很不方便的；Lagrange插值雖然易算，但若要增加一個節(jié)點時，全部基函數(shù)li(x)都需重新算過。兩點直線公式((xk,yk)(xk+1,yk+1))考慮點斜式，兩點為((x0,y0)(x1,y1)):在此基礎(chǔ)上增加一個節(jié)點(x2,y2)，則過這三個點的插值多項式C(x)應是一個二次多項式。所以有C(x)應是一個二次多項式。根據(jù)插值條件根據(jù)插值條件：可以求出：重新寫p2(x)：基函數(shù)有再繼續(xù)下去待定系數(shù)的形式將更復雜。。。。。。為此引入差商和差分的概念差商(亦稱均差)/*divideddifference*/1階差商/*the1stdivideddifferenceoffw.r.t.xi

andxj

*/2階差商定義2.11101010111010],,...,[],,...,[],,...,[],...,,[],...,[++--+++--=--=kkkkkkkkkkkxxxxxfxxxfxxxxxfxxxfxxf(k+1)階差商差商的計算方法(表格法):規(guī)定函數(shù)值為零階差商差商表差商具有如下性質(zhì):Warning:myheadisexploding…Whatisthepointofthisformula?差商的值與xi

的順序無關(guān)！Newton插值公式及其余項12…………n+11+(x

x0)2+……+(x

x0)…(x

xn1)n+1Nn(x)Rn(x)ai=f[x0,…,xi]Newton插值公式及其余項Newton插值公式及其余項例：已知x=1,4,9的平方根為1,2,3，利用牛頓基本差商公式求的近似值。解：從而得二階牛頓基本差商公式為因此計算得的近似值為復習：多項式插值問題：尋找一個n次多項式，滿足下列插值條件：函數(shù)在插值節(jié)點上的取值為：Lagrange插值方法其中：余項公式：Newton插值方法其中：余項公式：性質(zhì)3P32練習上面我們討論了節(jié)點任意分布的插值公式，但實際應用時經(jīng)常會遇到等距節(jié)點的情形，這時插值公式可以進一步簡化，計算也簡單多了，為了給出等距節(jié)點的插值公式，我們先來看一個新概念；向前向后中心差分算子不在函數(shù)表上，要用到函數(shù)表上的值利用一階差分可以定義二階差分差分可以用歸納法證明如差分差分表差分與函數(shù)值之間的關(guān)系歸納可知，k階差商可表示為在等距節(jié)點的前提下,差商與差分有如下關(guān)系