隨機變量向量的數(shù)字特征學習資料

勤學好問(qínxuéhǎowèn)必有所獲第三章隨機變量（向量(xiàngliàng)）的數(shù)字特征

概率論

隨機變量的數(shù)學期望隨機變量的方差隨機變量的矩與中位數(shù)隨機變量間的協(xié)方差與相關系數(shù)第一頁，共40頁。在前面的課程中，我們討論了隨機變量及其分布，如果知道了隨機變量X的概率分布，那么，X的全部概率特征也就知道了.然而，在實際問題中，概率分布一般是較難確定的.而在一些實際應用中，人們并不需要知道隨機變量的一切概率性質，只要知道它的某些數(shù)字(shùzì)特征就夠了.因此，在對隨機變量的研究中，確定某些數(shù)字(shùzì)特征是重要的.第二頁，共40頁。隨機變量的數(shù)學(shùxué)期望MathematicalExpectation以頻率為權重的加權平均，反映了這7位同學(tóngxué)高數(shù)成績的平均狀態(tài)。一、引例(yǐnlì)

某7學生的高數(shù)成績?yōu)?0，85，85，80，80，75，60，則他們的平均成績?yōu)殡S機變量所有可能取值的平均應怎么確定？？？第三頁，共40頁。二、數(shù)學期望(qīwàng)的定義離散(lísàn)型隨機變量Def設離散(lísàn)型隨機變量的概率分布為連續(xù)型隨機變量Def設連續(xù)型隨機變量的概率密度為

，若廣義積分第四頁，共40頁。隨機變量數(shù)學(shùxué)期望所反應的意義例3.1已知隨機變量(suíjībiànliànɡ)X的分布律為1/41/21/4654求數(shù)學期望解：由數(shù)學(shùxué)期望的定義例3.2已知隨機變量X的分布律為求數(shù)學期望解：由數(shù)學期望的定義10X第五頁，共40頁。例3.3已知隨機變量。求數(shù)學期望例3.4已知隨機變量。求數(shù)學期望第六頁，共40頁。例3.5已知隨機變量。求數(shù)學期望第七頁，共40頁。例3.6已知隨機變量。求數(shù)學期望第八頁，共40頁。例3.7若將這兩個(liǎnɡɡè)電子裝置串聯(lián)連接組成整機,求整機壽命(以小時計)N的數(shù)學期望.的分布函數(shù)為第九頁，共40頁。二維隨機變量的數(shù)學期望(qīwàng)及邊緣分布的數(shù)學期望(qīwàng)(X,Y)為二維離散(lísàn)型隨機變量(X,Y)為二維連續(xù)型隨機變量(suíjībiànliànɡ)第十頁，共40頁。例3.8設(X,Y)的聯(lián)合(liánhé)密度為113解：第十一頁，共40頁。第十二頁，共40頁。隨機變量函數(shù)的數(shù)學(shùxué)期望1.一元(yīyuán)隨機變量函數(shù)的情況設是隨機變量X的函數(shù)，離散(lísàn)型連續(xù)型第十三頁，共40頁。該公式的重要性在于:當我們求E[g(X)]時,不必知道g(X)的分布(fēnbù)，而只需知道X的分布(fēnbù)就可以了.這給求隨機變量函數(shù)的期望帶來很大方便.例3.9解：因為(yīnwèi)第十四頁，共40頁。2.二元隨機變量函數(shù)(hánshù)的情況離散(lísàn)型連續(xù)型第十五頁，共40頁。例3.10例3.11設X與Y相互(xiānghù)獨立，它們的概率密度函數(shù)分別為第十六頁，共40頁。第十七頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)數(shù)學期望的性質1.設C是常數(shù)(chángshù)，則E(C)=C；2.若k是常數(shù)(chángshù)，則E(kX)=kE(X)；

3.E(X+Y)=E(X)+E(Y)；

4.設X，Y相互獨立，則E(XY)=E(X)E(Y)；請注意:由E(XY)=E(X)E(Y)不一定能推出X,Y獨立證明：這里只證明3，4第十八頁，共40頁。利用這些性質可以再求數(shù)學期望時計算(jìsuàn)得以化簡。第十九頁，共40頁。例3.12設隨機變量X~B(n,p)，求二項分布的數(shù)學(shùxué)期望。X~B(n,p)，則X表示n重貝努里試驗中的“成功”次數(shù)。解：第二十頁，共40頁。例3.12獨立地操作兩臺儀器，他們發(fā)生故障的概率分別為p1和p2.證明：產生故障的儀器數(shù)目(shùmù)的數(shù)學期望為p1+p2則X的所有(suǒyǒu)可能取值為0,1,2設產生故障的儀器數(shù)目為X解:所以，產生故障的儀器(yíqì)數(shù)目的數(shù)學期望第二十一頁，共40頁。數(shù)學期望在醫(yī)學上的一個(yīɡè)應用AnapplicationofExpectedValueinMedicine考慮用驗血的方法在人群(rénqún)中普查某種疾病。集體做法是每10個人一組，把這10個人的血液樣本混合起來進行化驗。如果結果為陰性，則10個人只需化驗1次；若結果為陽性，則需對10個人在逐個化驗，總計化驗11次。假定人群(rénqún)中這種病的患病率是10%，且每人患病與否是相互獨立的。試問：這種分組化驗的方法與通常的逐一化驗方法相比，是否能減少化驗次數(shù)？分析(fēnxī)：設隨機抽取的10人組所需的化驗次數(shù)為X需要計算X的數(shù)學期望，然后與10比較第二十二頁，共40頁?；灤螖?shù)(cìshù)X的可能取值為1，11先求出化驗(huàyàn)次數(shù)X的分布律{X=1}=“10人都是陰性(yīnxìng)”{X=11}=“至少1人陽性”結論：分組化驗法的次數(shù)少于逐一化驗法的次數(shù)。注意求X期望值的步驟！問題的進一步討論

1.概率p對是否分組的影響？2.概率p對每組人數(shù)n的影響?第二十三頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)的方差Variance隨機變量(suíjībiànliànɡ)方差的定義

設是一隨機變量，如果存在，則稱為的方差，記作或方差(fānɡchà)的計算公式與

有相同的量綱均方差（標準差）

第二十四頁，共40頁。離散(lísàn)型設離散(lísàn)型隨機變量X的概率分布為連續(xù)型設連續(xù)型隨機變量X的分布(fēnbù)密度為f(x)方差的統(tǒng)計意義

隨機變量的方差反映了隨機變量所有可能取值的聚散程度。例3.14已知隨機變量X的分布律為10求方差解：第二十五頁，共40頁。例3.15已知隨機變量。求方差第二十六頁，共40頁。例3.16已知隨機變量。求方差第二十七頁，共40頁。例3.17已知隨機變量。求方差第二十八頁，共40頁。例3.18已知隨機變量。求方差第二十九頁，共40頁。例3.19解：X的密度(mìdù)函數(shù)為所以(suǒyǐ)有第三十頁，共40頁。方差(fānɡchà)的性質1.設C是常數(shù)(chángshù)，則D(C)=0；

2.若a，b是常數(shù)，則相互獨立時

3當隨機變量證明(zhèngmíng):例3.20第三十一頁，共40頁。解：第三十二頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)的矩與中位數(shù)隨機變量(suíjībiànliànɡ)的矩原點矩與原點矩Def設X是隨機變量(suíjībiànliànɡ)，若存在，則稱其為X的k階原點矩，若存在，則稱其為X的k階中心矩，中位數(shù)Def顯然，隨機變量1階原點矩是數(shù)學期望；2階中心矩是方差第三十三頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)間的的協(xié)方差與相關系數(shù)CovarianceandCorrelationcoefficient隨機變量(suíjībiànliànɡ)間協(xié)方差與相關系數(shù)Def協(xié)方差的定義(dìngyì)相關系數(shù)的定義Def第三十四頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)間協(xié)方差的計算離散(lísàn)型連續(xù)型注意：協(xié)方差與相關系數(shù)反映的是同一個內容，只是協(xié)方差有單位，而相關系數(shù)無單位。第三十五頁，共40頁。例3.21解：邊際(biānjì)分布如表1/83/83/81/81/41/8001/833/403/83/8013210ijp第三十六頁，共40頁。例3.22解：邊際(biānjì)概率密度為第三十七頁，共40頁。隨機變量(suíjībiànliànɡ)間協(xié)方差與相關系數(shù)的性質性質(xìngzhì)